2024-2025學(xué)年上海位育中學(xué)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷（2025.01）（含答案）

參考答案一、填空題1.；2.點朝上點朝上點朝上點朝上）,點朝上點朝上；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；11.在平行六面體中，，且，則________．【答案】【解析】因為所以所以．故答案為：12．正三棱錐中，底面邊長，側(cè)棱，空間向量，滿足，，則的最大值為________【答案】4【解析】由三棱錐是正三棱錐，可得，且，由化簡得，根據(jù)化簡得.

設(shè)，代入，，分別化簡得且，

因此，點在以為直徑的球面上，半徑在以為直徑的球面上，半徑分別取線段的中點，則，故，故答案為：4．二、選擇題13.D；14.B；15.B；16.A15.個不透明的盒子中裝有若干個紅球和5個黑球，這些球除顏色外均相同．每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸?個球記下顏色后再放回盒子．經(jīng)過重復(fù)摸球足夠多次試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0．1左右，則據(jù)此估計盒子中紅球的個數(shù)約為（）A．40個 B．45個 C．50個 D．55個【答案】【解析】設(shè)盒子中球的總數(shù)為，由題意可知，，解得，

所以估計盒子中紅球的個數(shù)約為個．故答案為：．16．，分別為菱形的邊，的中點，將菱形沿對角線折起，使點不在平面內(nèi)，則在翻折過程中，對于下列兩個命題：①直線恒與平面平行；②異面直線與恒垂直．以下判斷正確的是（）A．①為真命題，②為真命題 B．①為真命題，②為假命題C．①為假命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題【答案】【解析】對于①：由于分別為菱形的邊，的中點，

所以，由于平面平面，故直線恒與平面平行；

故①正確；對于②，取的中點，連接和，如圖所示：

根據(jù)菱形的性質(zhì)，所以，故平面；由于平面，所以，

由于，所以，故②正確．故選：．三、解答題17.證明略18.（1）（2）19.（1）0.91（2）甲分配獎金78.4元，乙分配獎金21.6元20.如圖①，有一個圓柱形狀的玻璃水杯，底面圓的直徑為，高為，杯內(nèi)有深的溶液?，F(xiàn)將水杯傾斜，且傾斜時點始終在桌面上。在傾斜過程中一直保持溶液不會溢出，且設(shè)直徑所在直線與桌面所成的角為（圖②）．（1）求圖②圓柱的母線與液面所在平面所成的角（用表示）；（2）要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會溢出，求角的最大值．【答案】（1）（2）【解析】（1）如圖，過點作，交于，過點作，交延長線于點，過點作，交于，則，

∴圖②中圓錐的母線與液面所在平面所成的角為：

圖②圓柱的母線與液面所在平面所成的角為；

（2）根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示，過作，交所在的直線于，在直角中，，，且點在線段上，，此時容器內(nèi)能容納的溶液量為：

而容器內(nèi)原有溶液量為

令，解得

所以，即的最大角為時，溶液不會溢出21.如圖，在三棱錐中，側(cè)面，是全等的直角三角形，是公共的斜邊，且，，另一個側(cè)面是正三角形．（1）求證：；（2）求二面角的大?。弧敬鸢浮浚?）見解析（2）【解析】（1）作面于，連．，又，，

∴，