2024年中考數學一輪復習講義第32講銳角三角函數及其應用（練習）（解析版）

第32講銳角三角函數及其應用

錄

題型01理解正弦、余弦、正切的概念

題型02求角的正弦值

題型03求角的余弦值

題型04求角的正切值

題型05已知正弦值求邊長

題型06己知余弦值求邊長

題型07已知正切值求邊長

題型08含特殊角的三角函數值的混合運算

題型09求特殊角的三角函數值

題型10由特殊角的三角函數值判斷三角形形狀

題型11用計算器求銳角三角函數值

題型12根據特殊角的三角函數值求角的度數

題型13已知角度比較三角函數值大小

題型14根據三角函數值判斷銳角的取值范圍

題型15利用同角三角函數關系求解

題型16互余兩角三角函數關系

題型17構造直角三角形解直角三角形

題型1R網格中解直角三角形

題型19在坐標系中解直角三角形

題型20解直角三角形的相關計算

題型21構造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積

題型22仰角、俯角問題

題型23方位角問題

題型24坡度坡比問題

題型25坡度坡比與仰角俯角問題綜合

真題實戰(zhàn)練

題型過關練

題型01理解正弦、余弦、正切的概念

1.（2022?湖北?統(tǒng)考模擬預測）如圖,在Rt△力中,BD是斜邊AC上的高,AB工BC,則下列比值中等于sia4

的是（）.

【答案】D

【分析】由同角的余角相等求得NA=/DBC,根據正弦三角函數的定義判斷即可：

【詳解】解：???NA3O+NA=90。，NABD+N。4c=90°,

:.NA=NO8C,

A.^=cosA,不符合題意：

AD

B.黑tanA,不符合題意;

C.^=cosZDBC=cosA,不符合題意；

DBC=sinA?符合題意；

D.B—C=sinZ

故選：D.

【點睛】本題考查了三角函數的概念，掌握直角三角形中銳角的正弦為對邊比斜邊是解題關鍵.

2.（2023?安徽合肥?一模）一個鋼球沿坡角31。的斜坡向上滾動了5米，此時鋼球距地面的高度是（單位:

米）（）

31°

A.5cos31°B.5sin31°C.D.5tan31°

sin310

【答案】B

【分析】鐵球上滾的距離，鐵球距地面的高度，可看作直角三角形的斜邊與已知角的對邊，可利用正弦函

數求解.

【詳解】???鐵球上滾的距離xsin310=鐵球距地面的高度，

???鐵球距地面的高度=5sin31°.

故選:B.

【點睛】本題考查了一個角的正弦等于這個角的對邊比斜邊，熟知三角形的正弦函數是解題的關鍵.

3.（2023?湖北宜昌?統(tǒng)考二模）如圖，在RSA8C中，CO是斜邊A8上的高，/A"5。，則下列比值中不等

于cos?的是（）

A.巴B.吧C."D.這

ACCBCBAB

【答案】C

【分析】根據己知可得N8=N4CO,然后利用銳角三角函數的定義判斷即可.

【詳解】A.*：CDLAB,

:.ZCD5=ZAD5=90°,

:.N8+N8CA90。，

VNACB=90。，

o

:.ZACZHZ/?CZ）=90f

:.NB=NACD,

在RAACO中，COS/ACD=M，

AL

cosB=—AC,

故A不符合題意；

B.在心AQ8C中，cosB=^,故8不符合題意；

C.在心△Q8C中，cosZ^CD=—,

CB

INA為5°,

AN瓊45。,

:.ZB豐乙BCD,

，co）B

岑CB/

故。符合題意；

D.在MA48C中，cosB=—,故D不符合題意：

AB

故選：c.

【點睛】本題考查了銳角三角函數，熟練掌握銳角三角函數只與角度大小有關與角度位置無關是解題的關

鍵.

題型02求角的正弦值

I.（2022?山東濟寧?統(tǒng)考二模）如圖，48為。。的直徑，點P在48的延長線上，PC,P。與0。相切，切點

分別為C,D.若4B=6,PC=4,貝iJsinNQ4D等于（）

彳

A.-1B.2C.-D.4

S545

【答案】D

【分析】連接OC,CP,OP是。O的切線，根據定理可知/OCP=90°,ZCAP=ZPAD,利用三角形的

一個外角等于與其不相鄰的兩個內角的和可求NC4Q=NCOP,在RtAOCP中求出sin4COP即可.

【詳解】解：連接OC，

c

CP,。尸是。。的切線，則NOCP=9D°,^CAP=^FAD,

:.ZCAD=2ZCAP,

'：OA=OC

:.NOAC=ZACO,

:.ZCOP=2ZCAO

：.ZCOP=ZCAD

\'AB=6

，0C=3

在RsCOP中，0C=3,PC=4

，OP=5.

??.sin"/W=sin"OPW

故選：D.

【點睛】本題利用了切線的性質，銳角三角函數，三角形的外角與內角的關系求解..

2.（2017?廣東東莞?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，點力的坐標為（4,3）,那么sina的值是（）

【答案】D

【分析】過A作ABLv軸于點8,在RSA。/?中，利用勾股定理求出OA,再根據正弦的定義即可求解.

：.OB=4,AB=3,

在R2AO8中，0A=，0B2+AB2=，42+32=5

??AB3

..sina=—=-

OA5

故選：D.

【點睛】本題考查求正弦值，利用坐標求出直角三角形的邊長是解題的關鍵.

3.（2023?浙江金華?校考?模）如圖，在6x6正方形網格中，△A8C的頂點小B、C都在網格線上，且都是

小正方形邊的中點，則sinA=.

【答案】1/0.8

【分析】如圖所示，過點C作CE_LAB于E,先求出C￡,AE的長，從而利用勾股定理求出4C的長，由此

求解即可.

【詳解】解：如圖所示，過點C作。E1AZ?于日

由題意得CE=4,AE=3,

：.AC=>]AE2+CE2=5,

,..CE4

..s\nA=—=

AC5

【點睛】本題主要考查了求正弦值，為股定理與網格問題正確作出輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵.

題型03求角的余弦值

1.（2022?吉林長春?校考模擬預測）如圖,O。是△4BC的外接圓,C。是。。的直徑.若CD=10,弦4。=6,

則cos〃8c的值為（）

A.-B.-C.-D.-

5534

【答案】A

【分析】連接AO,根據直徑所對的圓周角等于90。和勾股定理，可以求得4。的長，然后即可求得

的余弦值.再根據同弧所對的圓周角相等.可以得到/AAG/4DC從而可以得到mf/AAC的值.

【詳解】解：連接4。，如右圖所示，

：.AD^y/CD2-AC2=8,

'：NABC=/AOC,

??.esNABC的值為右

故選：A.

【點睛】本題考杳三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數、勾股定理，解答本題的關鍵是求出

es/AOC的值，利用數形結合的思想解答.

2.（2022?安徽合肥?統(tǒng)考二模）如圖，在△48C中，AH=AC,ZA=36°,8。平分N48C,交AC于點。，則

cosA=（）

<\G-1V5+1cV5-1c3-V5

A.DB.-----C.-----D.-----

4422

【答案】B

【分析】過點。作于￡設八8=4C=a,BC=b.根據等邊對等角，三角形內角和定理求出NA8C和

ZC,根據角平分線的定義求出NABZ）和NCBO,根據三角形外角的性質求出NBOC,根據等角對等邊確定

AD=BD=BC,并用6表示出AO的長度，進而表示出。。的長度，根據該等腰三角形的性質用〃來表示AE

的長度，根據相似三角形的判定定理和性質列出比例式，并用a表示）進而用。表示A。的長度，最后根

據余弦的定義即可求解.

【詳解】解：如下圖所示，過點。作。EJ_AB于E,設A4=AC=a,BC=b.

'：AB=AC,NA=36°,

：.z.ABC=“=18°片=72°.

平分/ABC,

：.^ABD=乙CBD=\LABC=36°.

ZA=ZCBD=ZABD,ZBDC=ZA^ZABD=120.

/.Z5DC=ZC,AD=BD.

：.AD=BD=BC=b.

：.DC=AC-AD=a-b.

DEIAB,

：.AE=-AB=^a.

22

V/ACB=/BCD,

?二△ABC—△BDC.

?ABBC

??-=----.

BDDC

?ab

??一=--?

ba-b

???用。表示力得瓦=亨如b2=^a（舍）.

???bk=-匹--T--a.

2

.\AD=—a.

2

..AE*Vs+l

..cos/l="-=

AD<I-ia4

故選：B.

【點睛】本題考查三角形內角和定理，角平分線的定義，等邊對等角，等角對等邊，三角形外角的性質，

等腰三角形三線合一的性質，相似三角形的判定定理和性質，余弦的定義，綜合應用這些知識點是解題關

犍.

3.(2022?河北?模擬預測)在△八8c中，ZA=90°,若tanB=0.75,則cosC的值為()

A.0.5B.0.6C.0.8D.—

2

【答案】C

【分析】根據⑶止的值，把AC、A8邊長設為3八4/,勾股定理求出8C邊，再利用三角函數的定義求解

cosC.

【詳解】在/?/△ABC中，NA=90。，

tan5=—=0.75=7>

設4C=3r,AB=4t,則8C=5f,

故，cosC啜考=08

故選C.

【點睛】本題考查了銳角三角函數的計算、勾股定理，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

題型04求角的正切值

1.(2022.廣東廣州?廣東實驗中學?？级?如圖，由邊長為1的小正方形組成的網格中，點A,B,C都在

格點匕以4/T為有徉的阿I經過點。和點。,則tan/4OC=()

【答案】D

【分析】先利用阿周角定理得到NACB=90。，ZADC=ZABC,再利用E切的定義得到lanNABC：,從而得

到lunNAOC的值.

【詳解】解：二?AB為直徑，

:.NAC8=90。，

在RSABC中,tan/A8C=翌=:,

BC2

VZADC=Z4Z?C,

.,?tanN4DC=|,

故選：D.

【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.也考查了解直角三角

形.

2.(2022?湖北省直轄縣級單位??？家荒?如圖，在平面直角坐標系中，點4,8分別在x軸負半軸和)，軸

正半軸上，點。在08上，OC.BC=1:2,連接AC,過點。作。PII交4c的延長線于P.若P(l,l),則

A.YB.yC.1D.3

【答案】C

【分析】由P(l,l)可知，。尸與x軸的夾角為45。,又因為OP||AB,則4。4B為等腰直角形,設OC=x,OB=2xt

用勾股定理求其他線段進而求解.

【詳解】???尸點坐標為(1,1),

則OP與x軸正方向的夾角為45。，

又〈OP||AB,

貝|JNBAO=45。，△O/IB為等腰直角形，

：.OA=OB,

設OC=x,則08=20。=然,

則0B=0A=3x,

【點睛】本題考杳了等腰三角形的性質、平行線的性質、勾股定理和銳角三角函數的求解，根據尸點坐標

推出特殊角是解題的關鍵.

3.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考一模）如圖，CO是平面鏡，光線從4點出發(fā)經C。上點O反射后照射到3點，若

入射角為a,反射角為。（反射角等于入射角），AC_LC。于點C,BD工CD于點D,且4c=3,BD=6,CD

=12,則tana的值為.

【分析】如圖（見解析），先根據平行線的判定與性質可得乙4=a，乙8=應從而可得乙4=乙8,再根據相

似三角形的判定證出△/10C~4B0D,根據相似三角形的性質可得0C的長，然后根據正切的定義即可得.

【詳解】解：如圖，由題意得：OP1.C。,

vAC1CD,

'.AC||OP,

???z./1=a,

同理可得：乙B=°,

va=/?,

N?力—乙B>

在LOC和"。。中，二常=9。

AOCBOD9

ocAC

：?""""=9

ODBD

-AC=3,BD=6,CD=12,。。=CD-OC,

O€3

12-OC6

解得。。=4,

經檢驗，。。=4是所列分式方程的解,

【點睛】本題考叁了相似三角形的判定與性質、正切等知識點，正確找出兩個相似三角形是解題關鍵.

題型05已知正弦值求邊長

1.（2022?安徽合肥?統(tǒng)考二模）圖，在R//14BC中，N21CB=9O。，C￡是斜邊A3上的中線，過點E作ERLAB

交AC于點尸,若8C=4,sin/CEF=g則4AE廠的面積為（）

【分析】連接8心由已知CE=4E=BE得到乙4=乙廠84=乙4。凡再得出“"t與"8F的關系，由三角函

數關系求得CRB尸的值，通過BF=AF,用三角形面積公式計算即可.

【詳解】解：連接8F,

?1E是斜邊48上的中線,

VC￡=AE=BE=\AB（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

Z.A=Z.FBA=Z.ACE,

又??28Q4=乙BEF=90。，

在ZCBF=180O-Z,ACB-Z-A-/.ABF=90°-2/.A,

在^AEC中，Z.CEF=180°-乙AEF-Z.A-乙ACE=90°-244,

工乙CEF=LCBF,

:.sinzCFF=sinz.CFF=1,

vBC=4,設CF=3x,BF=5x,

則DC?+CF2=BF2,即42+（3x）2=（5幻2,

解得T=1（負值舍掉），

:.CF=3,BF=5,

JEF是力B的垂直平分線，：.BF=AF=S,

:.S^AFB—^AFBC=Ix5x4=10.

SAAEF=QS^ABF=5,

故選：C.

【點睛】本題綜合考查了垂直平分線的性質、直角三角形和等腰三角形的性質、勾股定理及三角函數等相

關知識，熟練利用相關定理和性質進行計算是解決本題的關鍵.

2.（2020?山東濰坊?統(tǒng)考二模）如圖，以直角坐標系的原點。為圓心，以1為半徑作圓.若點尸是該圓上第

一象限內的一點，且OP與x軸正方向組成的角為。，則點P的坐標為（）

A.(cosa,1)B.(l,sina)C.(sina,cosa)D.(cosa,sina)

【答案】D

【分析】作附_Lx軸于點A.那么。4是a的鄰邊，是點P的橫坐標，為cosa：是a的對邊，是點/＞的

縱坐標，為sina.

【詳解】解：如圖，作出_Lx軸于點4,

:.%=OPsina,

..A0

?co$F

AOA=OPcosa.

'：OP=\,

B4=sina,OA=cosa.

:.P點的坐標為(cosa,sina),

故選D.

【點睛】解決本題的關鍵是得到點P的橫縱坐標與相應的函數和半徑之間的關系.

3.(2022?江蘇揚州?統(tǒng)考一模)如圖，在AABC中，AB=AC,以AC邊為直徑作。。交8c于點。，過點。

作。E1A8交A8于點交AC的延長線于點F.

(1)求證:DE是OO的切線;

⑵若EB=1,且sin4C/D=求。尸的長.

【答案】（1）見解析

喈

【分析】（1）連接O/九宜接利用切線判定定理證明即可；

（2）根據sin/CTO嚶，則設。。=340F=5x,可得EB=，=1,解出x,用勾股定理即可.

【詳解】（1〉⑴連接0/3

'：AB=AC,

:./B=/ACD,

?：0D=0C,

:.Z0DC=Z0CD,

：./B=/ODC,

.\OD//AB,

'：DELAB,

：.OD±EF,

???EF是OO的切線；

（2）,/sinzCFD=

設0D=3x,0F=5x,

則AB=AC=6x,AF=Sx,

.*.AE=AFsin/J\FE=yx,

：.EB=AB-AE=^x,

.*.-x=1,

5

.5

??X=z，

6

：.0DOF

26

/.DF=VOF2-OD2=y.

B

【點睛】本題是圓的綜合問題，涉及到切線的判定和性質，三角函數，勾股定理等知識點，本題第二問關

鍵在于能夠用表示O。的字母表示出EB.

題型06已知余弦值求邊長

1.（2022?廣西南寧?南寧二中?？既＃┤鐖D，在△ABC中，乙。=90。,85力=￡,力。=4百，則/13長為（）

A.4B.8C.8x/3D.12

【答案】B

【分析】根據余弦的定義即可求解.

【詳解】解：Z.C=90°,cos/l=^-,AC=4\/3）

故選B.

【點睛】本題考查了已知余弦求邊長，掌握余弦的定義是解題的關鍵.

2.（2022?北京西城?統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABC。的對角線AC,BD交于點、O,點E,尸分別在DA,BC的

延長線上，旦3E_LEO,CF=AE.

(1)求證：四邊形￡3人。是矩形：

(2)若48=5.COSZ.0BC=*求曲長.

【答案】(1)見解析

⑵斯的長為總

【分析】(I)利用“SAS”證明△ABEgACDF,得至lj3￡>"凡ZE=ZF=90%即可證明四邊形是矩形;

⑵在RIABCO中,利用余弦函數求得。3的長，在R仙BDF中,再利用余弦函數即可求得8尸的長.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABC。是菱形，

:?AB二CD,AB//CD,AD//BC,

：.ZEAB=ZADC,NFCD=NADC,

:./EAB=4FCD,

'：AE=CF,

.?.△/WE絲△CO/(SAS),

:?BE=DF,NF=NE=90。,

：.BE//DF,

???四邊形EBFO是平行四邊形，

VNE=90。,

???四邊形EMD是矩形；

(2)解：..?四邊形A8CO是菱形，AB=5,

：.OB=OD,AC±BD,AB=BC=5,

在飛△8co中，COSAOBC=pBC=5,

.08_4

??就二9

：,OB=4,則8D=2O8=8,

..4,

在"；△BDF中，cos408c=\8D=8,

.??一BF=-4

BD5

【點睛】本題考查r矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、勾股定理、銳角三角函數定義等知識：

熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵.

3.(2022?陜西?校聯(lián)考模擬預測)如圖，48是。。的直徑，點。在。。上且不與點人，B重合,CO是。。的

切線，過點B作BD1CD丁點。，交0。于點E.

(1)證明：點C是框的中點；

(2)若BD=4,COSZ.ABD=求。。的半徑.

【答案】(1)見解析：

(2)3

【分析】(I)連接OCME,根據題意證明4E10C,根據垂徑定理即可求解；

(2)先證明四邊形CCE?是矩形，根據8$4/18。=3設8￡=(1,則AB=3a,根據矩形的性質以及三角形

中位線的性質求得。0根據。8=4,求得Q的值，進而即可求解.

【詳解】(1)如圖,連接0&4E,

???48是。。的直徑，

LAEB=90。,即力E1BD

???CD是0。的切線，

COLCD,

vBD1CD,

'.AEWCD,

?-?COLAE,

：?AC—f^E,

.?.點C是腦的中點；

(2)如圖，連接。C,/4E,設4E,C。交于點尸,

由(I)wJ^flOC1CD,CO1AD,AE1.BD,

.??四邊形CD"是矩形，

CF=DE,

COS/.ABD=

3

設BE=a,則力8=3Q,

AE=y/AB2-BE2=2&a,

:.AF=FE=CD=y/2a,

-AO=BO.AF=EF,

：

,OF=-2BE=-2a,

???DE=CF=CO-FO=2-a-2-a=a,

DB=DE+EB=a+a=2a,

???DB=4,

二a=2,

:，AB=3a=6,

.??。。的半徑為：48=3.

【點睛】本題考查了切線的性質，直徑所對的圓周角是直角，矩形的性質與判定，己知余弦求邊長，勾股

定理，綜合運用以上知識是解題的關鍵.

題型07已知正切值求邊長

1.（2021?江蘇無錫?統(tǒng)考一模）如圖，在△A8。中，ZABC=90°,tan/朋八。=2,8。=4,連接CD,

則CD長的最大值是（）

A.275+-B.275+1C.275D.275+2

42

【答案】B

【分析】過點A作ND4P=N84C,過點。作交AP于點P,分別求出PO,PC,在△POC中，利

用三角形的三邊關系即可求出C。長的最大值.

【詳解】解：如圖，過點A作ND4P=N8AC,過點。作AOJLOP交AP于點尸，

*/ZABC=90°,tan4B4C=

2

AtanzD/IP=tanz,BAC=

2

?DP1

AD2

?.?AD=2,

：.DP=\,

,：4DAP=4BAC,ZADP=ZABC,

：.△AOQS4ABC,

.AP_AD

**'AC-布’

VZDAB=ZDAP+ZR\B,ZPAC=ZRM3+^BAC,ZDAP=^BAC,

：.ADAB=^PAC,空=華，

ACAB

???△AOBs△月PC,

.ADDB

,,茄=7T

'：AP=\/AD2+DP2=V22+I2=V5,

：.PC=^^=%=2瓜

AD2

：.PD+PC=1+2VS,PC-PD=2>/5-l,

在APOC中，:PD+PODC,PC-PIXDC,

：.2\5-1<CD<2V5十1,

當DP,C三點共線時，。。最大，最大值為2遮+1,

故選：B.

【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義，相似三角形的判定和性質，勾股定理，三角形的三邊關系，構

造相似三角形是解題的關鍵.

2.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考二模）如圖，直角△ABC中，乙C=90。，根據作圖痕跡，若&4=3cm,tanff=

4

貝JiOE=cm.

【答案】

8

【分析】先解直角三角形48c求出8C的長，從而求出A8的長，再由作圖方法可知OE是線段48的垂直

平分線，即可得到8E的長，再解直角ABE。即可得到答案.

【詳解】解：???/C=90°,4C=3cm,tanfi=-,

4

.?.*tanDH=—AC=-3,

BC4

:.8c=4cm,

：.AB=>/AC2+BC2=5cn\,

由作圖方法可知OE是線段AH的垂直平分線,

：.DELAB,

AE==y=1cm,

..tan?=—=一，

BE4

：.DE=-BE=^cm,

48

故答案為：器.

【點睛】本題主要考查了銳角三角函數，勾股定理，線段垂直平分線的性質，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖,

正確理解。石是線段AB的垂直平分線是解題的關健.

3.(2023?江蘇泰州?統(tǒng)考一模)如圖，zMAC內接于。。/是OO的直徑A8延長線上一點，NPCB=NOAC,

過點O作8c的平行線交PC的延長線于點。.

(1)試判斷PC與。。的位置關系，并說明理由：

(2)若PC=4,tan4=：,求△OCQ的面積.

【答案】(1)PC與。。相切，理由見解析

(2)9

【分析】(1)先證明/ACS=90°,然后推出/尸CS=NOCA,即可證明//CO=900即可；

(2)先證明與=再證明△PBCs小PCA,從而求出/M=4,PB=1,48=3,0C=OB=0P=-,最

后證明△PBCs叢POD,求出PD=10,則CD=6,由此求解即可.

【詳解】(1)解：PC與。O相切，理由如下：

TAZ?足圓。的直徑，

:.NAC8=90°,

???NOCB+NOCA=90。，

VOA=OC,

:.NOCA=NOAC,

?:/PCB=/OAC,

:.^PCB^^OCA,

:.ZPCB+ZOCB=ZOCA+ZOCB=W,即N〃CO=90°,

，PC與。O相切：

(2)解：VZ4C?=90°,tan/=5

.BC_1

.?就=5'

???/PCB=/OAC,ZP=ZP,

???△PBCs△尸C4

.PCPBBC1

??==~~=一，

PAPCCA2

：.PA=8,PB=2,

:.AB=6,

：.0C=OB=3,

：.0P=5,

'：BC\\OD,

：?4PBCS4P0D,

??.空=上，即三=￡,

OPPD5PD

：.PD=10,

:,CD=6,

,,S&OCD~20。'CD—9.

【點睛】本題主要考查了切線的判定，等邊對等角證明，解直角三角形，直徑所對的圓周角是直角，相似

三角形的性質與判定等等，熟練掌握圓切線的判定是解題的關鍵.

題型08含特殊角的三角函數值的混合運算

1.（2022?廣東珠海?珠海市第九中學?？家荒＃┯嬎悖?sin450-|1-V2|-V8x（TT-2021）°-（1）-2.

【答案】-3

【分析】根據特殊角三角函數值，絕對值的意義，零指數累，負整數指數累，二次根式等運完法則計算:即

可.

【詳解】解：原式=6X學一（&一1）-2&x1-4

=3我一企+1-2企-4

=—3.

【點睛】本題考查了特殊角三角函數值，絕對值的意義，零指數幕，負整數指數累，二次根式等知識點,

熟知相關運算法則是解題的關鍵.

2.（2022?江西?模擬預測）（1）計算：（-1）-3+那+|2-通|+自一157）°-癡：

（2）先化簡，再求值：會浮+焉?-（￡+1）,其中％=cos60。-

【答案】（1）-V5；（2）-2

【分析】（1）先每項化簡，再加減算出最終結果即可：

（2）先因式分解，化除為乘，通分，化簡；再帶入數值計算即可.

【詳解】(1)(-I)-3+V8+|2-V5|+(^-1.57)°->/20

1

+2+V5-2+1-2V5

=-l+2+V5-2+l-2x/5

=—'/§；

(2)M+2x+i-"t——/_L_+i)

X-2022X-2022VX-1,

Q+l)2x-20221+x-l

=x-2022*(x+l)(x-1)x-1

X+1X

:------------

x-1x-1

x-1

Vx=cos60=1,

?'?原式==T-=-2

--1

【點睛】本題考查了實數的混合運算，分式的化簡求值，二次根式的性質，特殊角的三角函數值，零指數

耗和負整數指數冢的意義，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵.

3.（2023?河南商丘??？级＃┫然?，再求值：（與弁-1）+"，其中a=2cos3（T+l.

\/Q+1

【答案】十，T

l-a3

【分析】先根據分式的混合運算法則化簡分式，再把特殊角的三角函數值代入，求出a值，然后把“值代入

化簡式計算即可.

【詳解】解：原式=（嶗-嗯）?巖

\a2-la2-l/2a-1

1—2aa+1

a2-12a-1

i

-

當a=2cos30°+1=遍+1時，

原式=^^=一直

1-V3-13

【點睛】本題考查分式化簡求值，熟練掌握分式運算法則和熟記特殊角的三角函數值是解題的關鍵.

題型09求特殊角的三角函數值

1.（2022?貴州銅仁?統(tǒng)考二模）tan30。的值等于（）

A.YB.yC.1D.2

【答案】A

【分析】根據30。的正切值直接求解即可.

【詳解】解：由題意可知，tan30°=

故選：A.

【點睛】本題考查30。的三角函數，屬于基礎題，熟記其正切值即可.

2.（2022?天津濱海新?統(tǒng)考二模）2sin45。的值等于（）

A.yB.yC.1D.y/2

【答案】D

【分析】根據特殊角的三角函數值，即可得解.

【詳解】解：2sin45。=2x4=夜.

故選：D.

【點睛】此題主要考查特殊角的三角函數值，熟記特殊角的三角函數值是解題的關鍵.

題型10由特殊角的三角函數值判斷三角形形狀

3.（2021?貴州黔西?統(tǒng)考模擬預測）在△力8c中，若乙1,48都是銳角，且sin4=￡cosB=則△48C的

形狀是（）

A.鈍角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.直角三角形

【答案】D

【分析】根據特殊角的三角函數值可判斷41=30%乙B=60°,從而可求出4c=90。，即證明△48C的形

狀是直角三角形.

【詳解】.乙4,乙8都是銳角，且sin/l=}cosB=

."A=30°,乙B=60°,

=1800-Z.A-Z.B=180°-30°-60°=90°,

???△48C的形狀是直角三角形.

故選D.

【點暗】本題考杏由特殊角的三角函數侑判斷三角形形狀，三角形內角和定理.熟記特殊的的三角函數值

是解題關鍵.

2.（2020?四川自貢??？家荒＃┰凇?1BC中，若卜inA-耳+G-COSB）2=0,々1,乙8都是銳角，則A/IBC是

三角形.

【答案】等邊

【分析】根據非負數的性質分別求出和/從繼而可判斷△48C的形狀.

（詳解】解:V\s\nA-y|+（1-cosff）2=0,

|sin/l-y|=0,Q—cosB^=0,

???Sin4=今cosB=1,

/.ZA=60°,Z5=60°,

???△48C是等邊三角形.

故答案為：等邊.

【點睛】本題考查特殊角的三角函數值，非負數的性質，等邊三角形的判斷，解題關鍵是熟記特殊角的三

角函數值.

3.(2019?四川自貢?統(tǒng)考一模)在AASC中，(cos4-1)2+|tanZ?-1|=0,則NC=.

【答案】75°.

【分析】先根據非負數的性質確定cosA=1,ianB=l,再根據特殊角的三角函數解答.

【詳解】解：V(cos4-1)2+|tan^-1|=0,

cosA-1=0,tanB-1=0,

則cosA=g,tan5=1,

AZA=60°,ZB=45°,

.??ZC=180°-60°-45°=75°.

故答案為75。.

【點睛】熟記特殊角的三角函數值是解題的關鍵，同時還考查了三角形內角和定理

4.(2022?河北?模擬預測)已知△/1BC中，Z/I,2B都是銳角，且^os/-+|tanB-1|=0,

(1)分別求出三個內角度數：

(2)若4c=2,求48長度.

【答案】(1)^4=60°,48=45°,4c=75°

(2)14-V3

【分析】(1)根據非負數的性質可得cos4=}tanF=l,進而確定NA和N8的度數，再根據三角形內角和

定理求NC即可；

(2)過點。作CO_LA3于點。，求出AD和4。即可.

【詳解】(1)解：(cos4—4-|tanfi-1|=0

：?cosA-：=0,tanfi-1=0

2

A1

：?cos4=5,tan8=l

乙力=60°,z/?=45°

:.乙C=180°-60°-45°=75°；

(2)解：如圖：過點C作CD1AB于點。

v4C=2?Z4=6O°

:.乙40=30。

AD=1,CD=>JAC2-AD2=^22-12=V3

■:46=45。

:.ZFCD=ZF=45°

???BD=CD=\f3

???AB=AD4-BD=1+V3.

【點睛】本題主要考查非負數的性質以及特殊角的三角函數值，勾股定理，熟練掌握解直角三角形的方法

是解決本題的關鍵.

題型11用計算器求銳角三角函數值

1.（2023?山東威海?統(tǒng)考一模）利用科學計算器計算：cos35。，下列按鍵順序正確的是（）

【答案】A

【分析】簡單的電子計算器工作順序是先輸入者先算，根據按鍵順序寫出式子，再根據開方運算即可求出

顯示的結果.

【詳解】解：利用該型號計算器計算：cos35。，按鍵順序正確的是:

QHEEE

故選：A.

【點睛】本題主要考查了計算器-三角函數，要求學生對計算器上的各個功能鍵熟練掌握，會根據按鍵順序

列出所要計算的式子.借助計算器這樣的工具做題既鍛煉了學生動手能力，又提高了學生學習的興趣.

2.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考二模）運用我們課本上采用的計算淵進行計算時，下列說法不正確的是（）

A.計算通的按鍵順序依次為

ON/CMODE2

B.要打開計算器并啟動其統(tǒng)計計算功能應按的鍵是

2ndF

C.啟動計克器的統(tǒng)計計算功能后，要清除原有統(tǒng)計數據應按健

D.用計算器計算時，依次按如下各鍵最后顯示結

果是0.5

【答案】D

【分析】根據計算器的使用方法依次判斷各個選項即可.

【詳解】解：A選項，計算通的按鍵順序正確，本選項不符合題意;

B選項，要打開計算器并啟動其統(tǒng)計計算功能應按的鍵正確，本選項不符合題意,

2ndF

C選項，啟動計算器的統(tǒng)沖計算功能后，要清除原有統(tǒng)計數據應按鍵，說法正確，本選項不符合題意,

D選項，用訂算轄訂算時，依次按如下各鍵sin最后

顯示結果是0.866025403,不是0.5,原說法錯誤，本選項符合題意，

故選：D.

【點睛】本題主要考查計算器的基礎知識，熟練掌握計算器的使用是解題的關鍵.

3.（2020?山東淄博?統(tǒng)考一模）運用課本上的計算器進行計算，按鍵順序如下，則計算器顯示的結果是

【答案】-I

【分析】根據計算器的按鍵代表的運算可得答案.

（詳解】解：（-2）3xsin30°+^x9=-8x14-3=-l.

故答案為：-1.

【點睛】本題考杳的是計算器的使用，掌握使用計算器是解題的關鍵.

題型12根據特殊角的三角函數值求角的度數

1.（2021?廣東廣州?校聯(lián)考二模）已知NA是銳角，且I-2siM=0,貝!NA=.

【答案】30730度

【分析】直接利用特殊角的三角函數值進而計算得出答案.

【詳解】解：??T-2sinA=0,

???sinA.

??.ZA=30°.

故答案為:30。.

【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數值，正確記憶相關數據是解題美鍵.

2.（2023?廣東佛山??？家荒＃┤魌an（仆10。）=1,則銳角a=

【答案】55755度

【分析】根據特殊角的三角函數加45。=1即可求解.

【詳解】解：Vtan（a-10°）=1,tan450=l,

10。=45。，

.'?a=55°,

故答案為：55。.

【點睛】本題考查了特殊角的三角困數，熟記特殊角的三角圖數值tan45o=l是解題的關鍵.

題型13已知角度比較三角函數值大小

I.（2019?江蘇南京?統(tǒng)考一模）如圖，在RSA8C中，ZC=90°,則下列結論正確的是（）

A.sinAVsinBB.cosA<cosB

C.tan4<tan5D.sin4<cosA

【答案】B

【分析】本題可采用特殊值法，令24=60。/8=30。，然后利用特殊角的三角函數值進行判斷即可.

【詳解】Z.A>Z.B,

，可令24=60°,Z,B=30°.

A.sinA=?,sin8=所以sinA>sinB,故該選項錯誤；

B.cosA=gcosB=4，所以cos/1<cosB,故該選項正確：

C.tanA=V3,tanF=y,所以taru4>tanF,故該選項錯誤：

D.sin/1=y,cos/1=p所以sin/l>cosA,故該選項錯誤：

故選：B.

【點睛】本題主要考查銳角三角函數，掌握特殊值法在選擇題中的應用是解題的關鍵.

2.（2020?四川成都??？寄M預測）比較大?。簊in540cos35。（填“<、*>“）.

【答案】V

【分析】把余弦化成正弦,再通過角度大小比較正弦值的大小即可.

【詳解】Vcos35°=sin（90°-35°）=sin55°.

在銳角范圍內，sina隨a的增大而增大，

.*.sin540<sin550,

sin540<cos350.

故答案為：V.

【點睛】本題考查三角函數值的大小比較，利用正弦余弦的關系進行大小比較即可.

3.（2017.四川遂寧.統(tǒng)考一模）化簡：J（1一$也52。）2-n1-tan52。）?的結果是

A.tan52°—sin52°B.sin52°—tan52°

C.2-sin52°—tan52°D.-sin52°—tan52°

【答案】C

【分析】根據二次根式的性質化簡即可.

【詳解】解：Vl-sin52°>0,l-tan520<0,

/.V（1-Sin52°）2-VC1-tan520）2

=l-sin520-tan52°+l

=2-sin520-tan520.

故選：C.

【點睛】本題考查的是二次根式的化簡，掌握二次根式的性質和正弦、正切的增減性是解題的關鍵.

題型14根據三角函數值判斷銳角的取值范圍

1.（2023?陜西西安??？既＃┤鬺aM=2,則N4的度數估計在（

A.在0。和30。之間B.在30。和45。之間

C.在45°和60°之間D.在60°和90。之間

【答案】D

【分析】由題意直接結合特殊銳角三角函數值進行分析即可得出答案.

【詳解】解：Vtan600=V3<tanA=2,

：.Lk>60°,

.?.60"<Z.A<90".

故選：D.

【點睛】本題考查特殊銳角三角函數值的應用，熟練掌握tan300=白陋45°=l,tan60°=遍是解題的關鍵.

2.（2021?安徽安慶?統(tǒng)考一模）若銳角a滿足cosaV當且tanaVg,則a的范圍是（）

A.30°<?<45°B.45°<a<60°

C.60°<a<90°D.30°<a<60°

【答案】B

【詳解】???〃是銳角，

cosa>0?

Vcoia<——，

?八一戶

..0<cos?<-

又??,cos9(T=0,cos450=亞

.,.45°<a<90°；

???a是銳角,

tana>0>

*.*tan?<V3,

/.0<tana<V3?

又Vtan0°=0,tan60°=V3,

0<?<60°；

故45°<?<60°.

故選B.

【點睛】本題主要考查了余弦函數、正切函數的增減性與特殊角的余弦函數、正切函數值，熟記特殊角的

三角函數值和了解銳角三角函數的增減性是解題的關鍵

題型15利用同角三角函數關系求解

I.（2022?河北石家莊??？寄M預測）圳圖，在RM48C中,Z.BAC=90。,4。1BC于點D,若BD:CD=3:2,

則tan乙ZMC的值為（）

A：B.漁C.在D.叵

3323

【答案】B

【分析】先根據題目已知條件推出△/^/^△二4。，則可得乙。4。二乙8,然后根據8。:。。=3:2,設8。=3x,

CD=2x,利用對應邊成比例表示出4D的值，進而得出taPZMC的值，

【詳解】??,在Rt△二BC中,Z.BAC=90°,

?38+”=90。，

:力。_LBC于點D,

：./.B+/.BAD=90°,ZC+Z.DAC=90°

/.BAD=Z.C,Z-B=Z.DAC?

.*./??△ABDs&CAD,

即，AD2=BDCD,

ADCD

\'BD:CD=3:2,

?,?設80=3%,CD=2x,

?'.AD=V3x-2x=V6x,

/.tanz.5=tanzD/lC=,=~=匹，

BD3x3

故選：B.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、相似比、銳角三角函數的定義、直角三角形的性質，解題

的關鍵是根據垂直證明三角形相似，根據對應邊成比例求邊長.

2.（2023?吉林松原?統(tǒng)考一模）在RSABC中，ZC=90°,sinA=g,貝UtanA=.

【答案w

【分析】根據已知條件設出直角三角形一直角邊與斜邊的長，再根據勾股定理求出另?直角邊的長，運用

三角函數的定義解答.

【詳解】由sinA=/口，可設a=4x,則c=5x,h=3x,

AlanA=^=S=r

故答案為g.

【點睛】本題考查了同角三角函數的關系.求銳角的三角函數值的方法：利用銳角三角函數的定義，通過

設參數的方法求三角函數值，或者利用同角（或余角）的三角函數關系式求三角函數值.

3.（2019?浙江杭州?模擬預測）a為銳角，則sin2a+cos2a=.若sina=cos40°?則銳角a=.

【答案】I50°

【分析】根據同角的三角函數關系可得結果.

【詳解】解：為銳角，

，sin2a+cos2a=1,

Vsina=cos40°,

：.a=90°-40°=50°,

故答案為：1,5（T.

【點睛】本題考查了同角的三角函數關系，屬于基礎知識.

4.（2018?浙江寧波?統(tǒng)考一?！等鐖D，△ABC中，以8。為直徑的。。交AB于點。，AE平分N84C交BC

于點E,交CD于點F.KCE=CF.

（1）求證：直線。是。。的切線;

（2）若8"紗。，求器的值.

3Cr

【分析】（1）若要證明直線CA是。。的切線，則只要證明NACB=90。即可：

（2）易證△AOFS^ACE,由相似三角形的性質以及結合已知條件即可求出苗的值.

【詳解】解：（1）證明：:Be為直徑，

:.NBOC=NADC=90。，

/.Z1+Z3=9O°

?.，A￡平分NBAC,

/.Z1=Z2,

'：CE=CF

.：N4=N5,

VN3=N4,

23=N5,

???Z2+Z5=9O°,

/.ZACB=90°,即AC_LBC,

???直線CA是。。的切線；

（2）由（1）可知，Nl=N2,N3=/5,

ACCECF

:BD^DC,

/.tanZiAZ?C=—BD=4-

VZAZ?C+Z54C=90°,Z4CZHZ7?AC=90°,

:.NABC=NACD,

tanZ/AC￡>=-,

4

.*.sinZ/\CD=—=

AC5

【點睛】本題考查了切線的判斷和性質、相似三角形的判斷和性質、圓周角定理以及三角函數的性質，熟

記切線的判斷和性質是解題的關健.

題型16互