2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第32講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（練習(xí)）（解析版）

第32講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用

錄

題型01理解正弦、余弦、正切的概念

題型02求角的正弦值

題型03求角的余弦值

題型04求角的正切值

題型05已知正弦值求邊長(zhǎng)

題型06己知余弦值求邊長(zhǎng)

題型07已知正切值求邊長(zhǎng)

題型08含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算

題型09求特殊角的三角函數(shù)值

題型10由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀

題型11用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值

題型12根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)

題型13已知角度比較三角函數(shù)值大小

題型14根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍

題型15利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解

題型16互余兩角三角函數(shù)關(guān)系

題型17構(gòu)造直角三角形解直角三角形

題型1R網(wǎng)格中解直角三角形

題型19在坐標(biāo)系中解直角三角形

題型20解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

題型21構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積

題型22仰角、俯角問題

題型23方位角問題

題型24坡度坡比問題

題型25坡度坡比與仰角俯角問題綜合

真題實(shí)戰(zhàn)練

題型過關(guān)練

題型01理解正弦、余弦、正切的概念

1.（2022?湖北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖,在Rt△力中,BD是斜邊AC上的高,AB工BC,則下列比值中等于sia4

的是（）.

【答案】D

【分析】由同角的余角相等求得NA=/DBC,根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可：

【詳解】解：???NA3O+NA=90。，NABD+N。4c=90°,

:.NA=NO8C,

A.^=cosA,不符合題意：

AD

B.黑tanA,不符合題意;

C.^=cosZDBC=cosA,不符合題意；

DBC=sinA?符合題意；

D.B—C=sinZ

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的概念，掌握直角三角形中銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊是解題關(guān)鍵.

2.（2023?安徽合肥?一模）一個(gè)鋼球沿坡角31。的斜坡向上滾動(dòng)了5米，此時(shí)鋼球距地面的高度是（單位:

米）（）

31°

A.5cos31°B.5sin31°C.D.5tan31°

sin310

【答案】B

【分析】鐵球上滾的距離，鐵球距地面的高度，可看作直角三角形的斜邊與已知角的對(duì)邊，可利用正弦函

數(shù)求解.

【詳解】???鐵球上滾的距離xsin310=鐵球距地面的高度，

???鐵球距地面的高度=5sin31°.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一個(gè)角的正弦等于這個(gè)角的對(duì)邊比斜邊，熟知三角形的正弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?湖北宜昌?統(tǒng)考二模）如圖，在RSA8C中，CO是斜邊A8上的高，/A"5。，則下列比值中不等

于cos?的是（）

A.巴B.吧C."D.這

ACCBCBAB

【答案】C

【分析】根據(jù)己知可得N8=N4CO,然后利用銳角三角函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】A.*：CDLAB,

:.ZCD5=ZAD5=90°,

:.N8+N8CA90。，

VNACB=90。，

o

:.ZACZHZ/?CZ）=90f

:.NB=NACD,

在RAACO中，COS/ACD=M，

AL

cosB=—AC,

故A不符合題意；

B.在心AQ8C中，cosB=^,故8不符合題意；

C.在心△Q8C中，cosZ^CD=—,

CB

INA為5°,

AN瓊45。,

:.ZB豐乙BCD,

，co）B

岑CB/

故。符合題意；

D.在MA48C中，cosB=—,故D不符合題意：

AB

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)只與角度大小有關(guān)與角度位置無(wú)關(guān)是解題的關(guān)

鍵.

題型02求角的正弦值

I.（2022?山東濟(jì)寧?統(tǒng)考二模）如圖，48為。。的直徑，點(diǎn)P在48的延長(zhǎng)線上，PC,P。與0。相切，切點(diǎn)

分別為C,D.若4B=6,PC=4,貝iJsinNQ4D等于（）

彳

A.-1B.2C.-D.4

S545

【答案】D

【分析】連接OC,CP,OP是。O的切線，根據(jù)定理可知/OCP=90°,ZCAP=ZPAD,利用三角形的

一個(gè)外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可求NC4Q=NCOP,在RtAOCP中求出sin4COP即可.

【詳解】解：連接OC，

c

CP,。尸是。。的切線，則NOCP=9D°,^CAP=^FAD,

:.ZCAD=2ZCAP,

'：OA=OC

:.NOAC=ZACO,

:.ZCOP=2ZCAO

：.ZCOP=ZCAD

\'AB=6

，0C=3

在RsCOP中，0C=3,PC=4

，OP=5.

??.sin"/W=sin"OPW

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題利用了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系求解..

2.（2017?廣東東莞?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)力的坐標(biāo)為（4,3）,那么sina的值是（）

【答案】D

【分析】過A作ABLv軸于點(diǎn)8,在RSA。/?中，利用勾股定理求出OA,再根據(jù)正弦的定義即可求解.

：.OB=4,AB=3,

在R2AO8中，0A=，0B2+AB2=，42+32=5

??AB3

..sina=—=-

OA5

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查求正弦值，利用坐標(biāo)求出直角三角形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?浙江金華?校考?模）如圖，在6x6正方形網(wǎng)格中，△A8C的頂點(diǎn)小B、C都在網(wǎng)格線上，且都是

小正方形邊的中點(diǎn)，則sinA=.

【答案】1/0.8

【分析】如圖所示，過點(diǎn)C作CE_LAB于E,先求出C￡,AE的長(zhǎng)，從而利用勾股定理求出4C的長(zhǎng)，由此

求解即可.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作。E1AZ?于日

由題意得CE=4,AE=3,

：.AC=>]AE2+CE2=5,

,..CE4

..s\nA=—=

AC5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正弦值，為股定理與網(wǎng)格問題正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

題型03求角的余弦值

1.（2022?吉林長(zhǎng)春?校考模擬預(yù)測(cè)）如圖,O。是△4BC的外接圓,C。是。。的直徑.若CD=10,弦4。=6,

則cos〃8c的值為（）

A.-B.-C.-D.-

5534

【答案】A

【分析】連接AO,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90。和勾股定理，可以求得4。的長(zhǎng)，然后即可求得

的余弦值.再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等.可以得到/AAG/4DC從而可以得到mf/AAC的值.

【詳解】解：連接4。，如右圖所示，

：.AD^y/CD2-AC2=8,

'：NABC=/AOC,

??.esNABC的值為右

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考杳三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出

es/AOC的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

2.（2022?安徽合肥?統(tǒng)考二模）如圖，在△48C中，AH=AC,ZA=36°,8。平分N48C,交AC于點(diǎn)。，則

cosA=（）

<\G-1V5+1cV5-1c3-V5

A.DB.-----C.-----D.-----

4422

【答案】B

【分析】過點(diǎn)。作于￡設(shè)八8=4C=a,BC=b.根據(jù)等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理求出NA8C和

ZC,根據(jù)角平分線的定義求出NABZ）和NCBO,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出NBOC,根據(jù)等角對(duì)等邊確定

AD=BD=BC,并用6表示出AO的長(zhǎng)度，進(jìn)而表示出。。的長(zhǎng)度，根據(jù)該等腰三角形的性質(zhì)用〃來表示AE

的長(zhǎng)度，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)列出比例式，并用a表示）進(jìn)而用。表示A。的長(zhǎng)度，最后根

據(jù)余弦的定義即可求解.

【詳解】解：如下圖所示，過點(diǎn)。作。EJ_AB于E,設(shè)A4=AC=a,BC=b.

'：AB=AC,NA=36°,

：.z.ABC=“=18°片=72°.

平分/ABC,

：.^ABD=乙CBD=\LABC=36°.

ZA=ZCBD=ZABD,ZBDC=ZA^ZABD=120.

/.Z5DC=ZC,AD=BD.

：.AD=BD=BC=b.

：.DC=AC-AD=a-b.

DEIAB,

：.AE=-AB=^a.

22

V/ACB=/BCD,

?二△ABC—△BDC.

?ABBC

??-=----.

BDDC

?ab

??一=--?

ba-b

???用。表示力得瓦=亨如b2=^a（舍）.

???bk=-匹--T--a.

2

.\AD=—a.

2

..AE*Vs+l

..cos/l="-=

AD<I-ia4

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊，三角形外角的性質(zhì)，

等腰三角形三線合一的性質(zhì)，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，余弦的定義，綜合應(yīng)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)

犍.

3.(2022?河北?模擬預(yù)測(cè))在△八8c中，ZA=90°,若tanB=0.75,則cosC的值為()

A.0.5B.0.6C.0.8D.—

2

【答案】C

【分析】根據(jù)⑶止的值，把AC、A8邊長(zhǎng)設(shè)為3八4/,勾股定理求出8C邊，再利用三角函數(shù)的定義求解

cosC.

【詳解】在/?/△ABC中，NA=90。，

tan5=—=0.75=7>

設(shè)4C=3r,AB=4t,則8C=5f,

故，cosC啜考=08

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的計(jì)算、勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

題型04求角的正切值

1.(2022.廣東廣州?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级?如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C都在

格點(diǎn)匕以4/T為有徉的阿I經(jīng)過點(diǎn)。和點(diǎn)。,則tan/4OC=()

【答案】D

【分析】先利用阿周角定理得到NACB=90。，ZADC=ZABC,再利用E切的定義得到lanNABC：,從而得

到lunNAOC的值.

【詳解】解：二?AB為直徑，

:.NAC8=90。，

在RSABC中,tan/A8C=翌=:,

BC2

VZADC=Z4Z?C,

.,?tanN4DC=|,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的

圓心角的一半：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.也考查了解直角三角

形.

2.(2022?湖北省直轄縣級(jí)單位??？家荒?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4,8分別在x軸負(fù)半軸和)，軸

正半軸上，點(diǎn)。在08上，OC.BC=1:2,連接AC,過點(diǎn)。作。PII交4c的延長(zhǎng)線于P.若P(l,l),則

A.YB.yC.1D.3

【答案】C

【分析】由P(l,l)可知，。尸與x軸的夾角為45。,又因?yàn)镺P||AB,則4。4B為等腰直角形,設(shè)OC=x,OB=2xt

用勾股定理求其他線段進(jìn)而求解.

【詳解】???尸點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),

則OP與x軸正方向的夾角為45。，

又〈OP||AB,

貝|JNBAO=45。，△O/IB為等腰直角形，

：.OA=OB,

設(shè)OC=x,則08=20。=然,

則0B=0A=3x,

【點(diǎn)睛】本題考杳了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)的求解，根據(jù)尸點(diǎn)坐標(biāo)

推出特殊角是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考一模）如圖，CO是平面鏡，光線從4點(diǎn)出發(fā)經(jīng)C。上點(diǎn)O反射后照射到3點(diǎn)，若

入射角為a,反射角為。（反射角等于入射角），AC_LC。于點(diǎn)C,BD工CD于點(diǎn)D,且4c=3,BD=6,CD

=12,則tana的值為.

【分析】如圖（見解析），先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得乙4=a，乙8=應(yīng)從而可得乙4=乙8,再根據(jù)相

似三角形的判定證出△/10C~4B0D,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得0C的長(zhǎng)，然后根據(jù)正切的定義即可得.

【詳解】解：如圖，由題意得：OP1.C。,

vAC1CD,

'.AC||OP,

???z./1=a,

同理可得：乙B=°,

va=/?,

N?力—乙B>

在LOC和"。。中，二常=9。

AOCBOD9

ocAC

：?""""=9

ODBD

-AC=3,BD=6,CD=12,。。=CD-OC,

O€3

12-OC6

解得。。=4,

經(jīng)檢驗(yàn)，。。=4是所列分式方程的解,

【點(diǎn)睛】本題考叁了相似三角形的判定與性質(zhì)、正切等知識(shí)點(diǎn)，正確找出兩個(gè)相似三角形是解題關(guān)鍵.

題型05已知正弦值求邊長(zhǎng)

1.（2022?安徽合肥?統(tǒng)考二模）圖，在R//14BC中，N21CB=9O。，C￡是斜邊A3上的中線，過點(diǎn)E作ERLAB

交AC于點(diǎn)尸,若8C=4,sin/CEF=g則4AE廠的面積為（）

【分析】連接8心由已知CE=4E=BE得到乙4=乙廠84=乙4。凡再得出“"t與"8F的關(guān)系，由三角函

數(shù)關(guān)系求得CRB尸的值，通過BF=AF,用三角形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：連接8F,

?1E是斜邊48上的中線,

VC￡=AE=BE=\AB（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

Z.A=Z.FBA=Z.ACE,

又??28Q4=乙BEF=90。，

在ZCBF=180O-Z,ACB-Z-A-/.ABF=90°-2/.A,

在^AEC中，Z.CEF=180°-乙AEF-Z.A-乙ACE=90°-244,

工乙CEF=LCBF,

:.sinzCFF=sinz.CFF=1,

vBC=4,設(shè)CF=3x,BF=5x,

則DC?+CF2=BF2,即42+（3x）2=（5幻2,

解得T=1（負(fù)值舍掉），

:.CF=3,BF=5,

JEF是力B的垂直平分線，：.BF=AF=S,

:.S^AFB—^AFBC=Ix5x4=10.

SAAEF=QS^ABF=5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及三角函數(shù)等相

關(guān)知識(shí)，熟練利用相關(guān)定理和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

2.（2020?山東濰坊?統(tǒng)考二模）如圖，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。為圓心，以1為半徑作圓.若點(diǎn)尸是該圓上第

一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且OP與x軸正方向組成的角為。，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

A.(cosa,1)B.(l,sina)C.(sina,cosa)D.(cosa,sina)

【答案】D

【分析】作附_Lx軸于點(diǎn)A.那么。4是a的鄰邊，是點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，為cosa：是a的對(duì)邊，是點(diǎn)/＞的

縱坐標(biāo)，為sina.

【詳解】解：如圖，作出_Lx軸于點(diǎn)4,

:.%=OPsina,

..A0

?co$F

AOA=OPcosa.

'：OP=\,

B4=sina,OA=cosa.

:.P點(diǎn)的坐標(biāo)為(cosa,sina),

故選D.

【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是得到點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)與相應(yīng)的函數(shù)和半徑之間的關(guān)系.

3.(2022?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考一模)如圖，在AABC中，AB=AC,以AC邊為直徑作。。交8c于點(diǎn)。，過點(diǎn)。

作。E1A8交A8于點(diǎn)交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證:DE是OO的切線;

⑵若EB=1,且sin4C/D=求。尸的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析

喈

【分析】（1）連接O/九宜接利用切線判定定理證明即可；

（2）根據(jù)sin/CTO嚶，則設(shè)。。=340F=5x,可得EB=，=1,解出x,用勾股定理即可.

【詳解】（1〉⑴連接0/3

'：AB=AC,

:./B=/ACD,

?：0D=0C,

:.Z0DC=Z0CD,

：./B=/ODC,

.\OD//AB,

'：DELAB,

：.OD±EF,

???EF是OO的切線；

（2）,/sinzCFD=

設(shè)0D=3x,0F=5x,

則AB=AC=6x,AF=Sx,

.*.AE=AFsin/J\FE=yx,

：.EB=AB-AE=^x,

.*.-x=1,

5

.5

??X=z，

6

：.0DOF

26

/.DF=VOF2-OD2=y.

B

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合問題，涉及到切線的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，本題第二問關(guān)

鍵在于能夠用表示O。的字母表示出EB.

題型06已知余弦值求邊長(zhǎng)

1.（2022?廣西南寧?南寧二中?？既＃┤鐖D，在△ABC中，乙。=90。,85力=￡,力。=4百，則/13長(zhǎng)為（）

A.4B.8C.8x/3D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)余弦的定義即可求解.

【詳解】解：Z.C=90°,cos/l=^-,AC=4\/3）

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了已知余弦求邊長(zhǎng)，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?北京西城?統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABC。的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、O,點(diǎn)E,尸分別在DA,BC的

延長(zhǎng)線上，旦3E_LEO,CF=AE.

(1)求證：四邊形￡3人。是矩形：

(2)若48=5.COSZ.0BC=*求曲長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

⑵斯的長(zhǎng)為總

【分析】(I)利用“SAS”證明△ABEgACDF,得至lj3￡>"凡ZE=ZF=90%即可證明四邊形是矩形;

⑵在RIABCO中,利用余弦函數(shù)求得。3的長(zhǎng)，在R仙BDF中,再利用余弦函數(shù)即可求得8尸的長(zhǎng).

【詳解】(1)證明：???四邊形ABC。是菱形，

:?AB二CD,AB//CD,AD//BC,

：.ZEAB=ZADC,NFCD=NADC,

:./EAB=4FCD,

'：AE=CF,

.?.△/WE絲△CO/(SAS),

:?BE=DF,NF=NE=90。,

：.BE//DF,

???四邊形EBFO是平行四邊形，

VNE=90。,

???四邊形EMD是矩形；

(2)解：..?四邊形A8CO是菱形，AB=5,

：.OB=OD,AC±BD,AB=BC=5,

在飛△8co中，COSAOBC=pBC=5,

.08_4

??就二9

：,OB=4,則8D=2O8=8,

..4,

在"；△BDF中，cos408c=\8D=8,

.??一BF=-4

BD5

【點(diǎn)睛】本題考查r矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)：

熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?陜西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)。在。。上且不與點(diǎn)人，B重合,CO是。。的

切線，過點(diǎn)B作BD1CD丁點(diǎn)。，交0。于點(diǎn)E.

(1)證明：點(diǎn)C是框的中點(diǎn)；

(2)若BD=4,COSZ.ABD=求。。的半徑.

【答案】(1)見解析：

(2)3

【分析】(I)連接OCME,根據(jù)題意證明4E10C,根據(jù)垂徑定理即可求解；

(2)先證明四邊形CCE?是矩形，根據(jù)8$4/18。=3設(shè)8￡=(1,則AB=3a,根據(jù)矩形的性質(zhì)以及三角形

中位線的性質(zhì)求得。0根據(jù)。8=4,求得Q的值，進(jìn)而即可求解.

【詳解】(1)如圖,連接0&4E,

???48是。。的直徑，

LAEB=90。,即力E1BD

???CD是0。的切線，

COLCD,

vBD1CD,

'.AEWCD,

?-?COLAE,

：?AC—f^E,

.?.點(diǎn)C是腦的中點(diǎn)；

(2)如圖，連接。C,/4E,設(shè)4E,C。交于點(diǎn)尸,

由(I)wJ^flOC1CD,CO1AD,AE1.BD,

.??四邊形CD"是矩形，

CF=DE,

COS/.ABD=

3

設(shè)BE=a,則力8=3Q,

AE=y/AB2-BE2=2&a,

:.AF=FE=CD=y/2a,

-AO=BO.AF=EF,

：

,OF=-2BE=-2a,

???DE=CF=CO-FO=2-a-2-a=a,

DB=DE+EB=a+a=2a,

???DB=4,

二a=2,

:，AB=3a=6,

.??。。的半徑為：48=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，矩形的性質(zhì)與判定，己知余弦求邊長(zhǎng)，勾股

定理，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

題型07已知正切值求邊長(zhǎng)

1.（2021?江蘇無(wú)錫?統(tǒng)考一模）如圖，在△A8。中，ZABC=90°,tan/朋八。=2,8。=4,連接CD,

則CD長(zhǎng)的最大值是（）

A.275+-B.275+1C.275D.275+2

42

【答案】B

【分析】過點(diǎn)A作ND4P=N84C,過點(diǎn)。作交AP于點(diǎn)P,分別求出PO,PC,在△POC中，利

用三角形的三邊關(guān)系即可求出C。長(zhǎng)的最大值.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作ND4P=N8AC,過點(diǎn)。作AOJLOP交AP于點(diǎn)尸，

*/ZABC=90°,tan4B4C=

2

AtanzD/IP=tanz,BAC=

2

?DP1

AD2

?.?AD=2,

：.DP=\,

,：4DAP=4BAC,ZADP=ZABC,

：.△AOQS4ABC,

.AP_AD

**'AC-布’

VZDAB=ZDAP+ZR\B,ZPAC=ZRM3+^BAC,ZDAP=^BAC,

：.ADAB=^PAC,空=華，

ACAB

???△AOBs△月PC,

.ADDB

,,茄=7T

'：AP=\/AD2+DP2=V22+I2=V5,

：.PC=^^=%=2瓜

AD2

：.PD+PC=1+2VS,PC-PD=2>/5-l,

在APOC中，:PD+PODC,PC-PIXDC,

：.2\5-1<CD<2V5十1,

當(dāng)DP,C三點(diǎn)共線時(shí)，。。最大，最大值為2遮+1,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，構(gòu)

造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考二模）如圖，直角△ABC中，乙C=90。，根據(jù)作圖痕跡，若&4=3cm,tanff=

4

貝JiOE=cm.

【答案】

8

【分析】先解直角三角形48c求出8C的長(zhǎng)，從而求出A8的長(zhǎng)，再由作圖方法可知OE是線段48的垂直

平分線，即可得到8E的長(zhǎng)，再解直角ABE。即可得到答案.

【詳解】解：???/C=90°,4C=3cm,tanfi=-,

4

.?.*tanDH=—AC=-3,

BC4

:.8c=4cm,

：.AB=>/AC2+BC2=5cn\,

由作圖方法可知OE是線段AH的垂直平分線,

：.DELAB,

AE==y=1cm,

..tan?=—=一，

BE4

：.DE=-BE=^cm,

48

故答案為：器.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖,

正確理解。石是線段AB的垂直平分線是解題的關(guān)健.

3.(2023?江蘇泰州?統(tǒng)考一模)如圖，zMAC內(nèi)接于。。/是OO的直徑A8延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，NPCB=NOAC,

過點(diǎn)O作8c的平行線交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。.

(1)試判斷PC與。。的位置關(guān)系，并說明理由：

(2)若PC=4,tan4=：,求△OCQ的面積.

【答案】(1)PC與。。相切，理由見解析

(2)9

【分析】(1)先證明/ACS=90°,然后推出/尸CS=NOCA,即可證明//CO=900即可；

(2)先證明與=再證明△PBCs小PCA,從而求出/M=4,PB=1,48=3,0C=OB=0P=-,最

后證明△PBCs叢POD,求出PD=10,則CD=6,由此求解即可.

【詳解】(1)解：PC與。O相切，理由如下：

TAZ?足圓。的直徑，

:.NAC8=90°,

???NOCB+NOCA=90。，

VOA=OC,

:.NOCA=NOAC,

?:/PCB=/OAC,

:.^PCB^^OCA,

:.ZPCB+ZOCB=ZOCA+ZOCB=W,即N〃CO=90°,

，PC與。O相切：

(2)解：VZ4C?=90°,tan/=5

.BC_1

.?就=5'

???/PCB=/OAC,ZP=ZP,

???△PBCs△尸C4

.PCPBBC1

??==~~=一，

PAPCCA2

：.PA=8,PB=2,

:.AB=6,

：.0C=OB=3,

：.0P=5,

'：BC\\OD,

：?4PBCS4P0D,

??.空=上，即三=￡,

OPPD5PD

：.PD=10,

:,CD=6,

,,S&OCD~20。'CD—9.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，等邊對(duì)等角證明，解直角三角形，直徑所對(duì)的圓周角是直角，相似

三角形的性質(zhì)與判定等等，熟練掌握?qǐng)A切線的判定是解題的關(guān)鍵.

題型08含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算

1.（2022?廣東珠海?珠海市第九中學(xué)?？家荒＃┯?jì)算：6sin450-|1-V2|-V8x（TT-2021）°-（1）-2.

【答案】-3

【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，絕對(duì)值的意義，零指數(shù)累，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，二次根式等運(yùn)完法則計(jì)算:即

可.

【詳解】解：原式=6X學(xué)一（&一1）-2&x1-4

=3我一企+1-2企-4

=—3.

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，絕對(duì)值的意義，零指數(shù)幕，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，二次根式等知識(shí)點(diǎn),

熟知相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?江西?模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：（-1）-3+那+|2-通|+自一157）°-癡：

（2）先化簡(jiǎn)，再求值：會(huì)浮+焉?-（￡+1）,其中％=cos60。-

【答案】（1）-V5；（2）-2

【分析】（1）先每項(xiàng)化簡(jiǎn)，再加減算出最終結(jié)果即可：

（2）先因式分解，化除為乘，通分，化簡(jiǎn)；再帶入數(shù)值計(jì)算即可.

【詳解】(1)(-I)-3+V8+|2-V5|+(^-1.57)°->/20

1

+2+V5-2+1-2V5

=-l+2+V5-2+l-2x/5

=—'/§；

(2)M+2x+i-"t——/_L_+i)

X-2022X-2022VX-1,

Q+l)2x-20221+x-l

=x-2022*(x+l)(x-1)x-1

X+1X

:------------

x-1x-1

x-1

Vx=cos60=1,

?'?原式==T-=-2

--1

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)求值，二次根式的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)

耗和負(fù)整數(shù)指數(shù)冢的意義，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

3.（2023?河南商丘??？级＃┫然?jiǎn)，再求值：（與弁-1）+"，其中a=2cos3（T+l.

\/Q+1

【答案】十，T

l-a3

【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)分式，再把特殊角的三角函數(shù)值代入，求出a值，然后把“值代入

化簡(jiǎn)式計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=（嶗-嗯）?巖

\a2-la2-l/2a-1

1—2aa+1

a2-12a-1

i

-

當(dāng)a=2cos30°+1=遍+1時(shí)，

原式=^^=一直

1-V3-13

【點(diǎn)睛】本題考查分式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式運(yùn)算法則和熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

題型09求特殊角的三角函數(shù)值

1.（2022?貴州銅仁?統(tǒng)考二模）tan30。的值等于（）

A.YB.yC.1D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)30。的正切值直接求解即可.

【詳解】解：由題意可知，tan30°=

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查30。的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題，熟記其正切值即可.

2.（2022?天津?yàn)I海新?統(tǒng)考二模）2sin45。的值等于（）

A.yB.yC.1D.y/2

【答案】D

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可得解.

【詳解】解：2sin45。=2x4=夜.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

題型10由特殊角的三角函數(shù)值判斷三角形形狀

3.（2021?貴州黔西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△力8c中，若乙1,48都是銳角，且sin4=￡cosB=則△48C的

形狀是（）

A.鈍角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.直角三角形

【答案】D

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可判斷41=30%乙B=60°,從而可求出4c=90。，即證明△48C的形

狀是直角三角形.

【詳解】.乙4,乙8都是銳角，且sin/l=}cosB=

."A=30°,乙B=60°,

=1800-Z.A-Z.B=180°-30°-60°=90°,

???△48C的形狀是直角三角形.

故選D.

【點(diǎn)暗】本題考杏由特殊角的三角函數(shù)侑判斷三角形形狀，三角形內(nèi)角和定理.熟記特殊的的三角函數(shù)值

是解題關(guān)鍵.

2.（2020?四川自貢??？家荒＃┰凇?1BC中，若卜inA-耳+G-COSB）2=0,々1,乙8都是銳角，則A/IBC是

三角形.

【答案】等邊

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出和/從繼而可判斷△48C的形狀.

（詳解】解:V\s\nA-y|+（1-cosff）2=0,

|sin/l-y|=0,Q—cosB^=0,

???Sin4=今cosB=1,

/.ZA=60°,Z5=60°,

???△48C是等邊三角形.

故答案為：等邊.

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判斷，解題關(guān)鍵是熟記特殊角的三

角函數(shù)值.

3.(2019?四川自貢?統(tǒng)考一模)在AASC中，(cos4-1)2+|tanZ?-1|=0,則NC=.

【答案】75°.

【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定cosA=1,ianB=l,再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)解答.

【詳解】解：V(cos4-1)2+|tan^-1|=0,

cosA-1=0,tanB-1=0,

則cosA=g,tan5=1,

AZA=60°,ZB=45°,

.??ZC=180°-60°-45°=75°.

故答案為75。.

【點(diǎn)睛】熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，同時(shí)還考查了三角形內(nèi)角和定理

4.(2022?河北?模擬預(yù)測(cè))已知△/1BC中，Z/I,2B都是銳角，且^os/-+|tanB-1|=0,

(1)分別求出三個(gè)內(nèi)角度數(shù)：

(2)若4c=2,求48長(zhǎng)度.

【答案】(1)^4=60°,48=45°,4c=75°

(2)14-V3

【分析】(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得cos4=}tanF=l,進(jìn)而確定NA和N8的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理求NC即可；

(2)過點(diǎn)。作CO_LA3于點(diǎn)。，求出AD和4。即可.

【詳解】(1)解：(cos4—4-|tanfi-1|=0

：?cosA-：=0,tanfi-1=0

2

A1

：?cos4=5,tan8=l

乙力=60°,z/?=45°

:.乙C=180°-60°-45°=75°；

(2)解：如圖：過點(diǎn)C作CD1AB于點(diǎn)。

v4C=2?Z4=6O°

:.乙40=30。

AD=1,CD=>JAC2-AD2=^22-12=V3

■:46=45。

:.ZFCD=ZF=45°

???BD=CD=\f3

???AB=AD4-BD=1+V3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理，熟練掌握解直角三角形的方法

是解決本題的關(guān)鍵.

題型11用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值

1.（2023?山東威海?統(tǒng)考一模）利用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算：cos35。，下列按鍵順序正確的是（）

【答案】A

【分析】簡(jiǎn)單的電子計(jì)算器工作順序是先輸入者先算，根據(jù)按鍵順序?qū)懗鍪阶樱俑鶕?jù)開方運(yùn)算即可求出

顯示的結(jié)果.

【詳解】解：利用該型號(hào)計(jì)算器計(jì)算：cos35。，按鍵順序正確的是:

QHEEE

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了計(jì)算器-三角函數(shù)，要求學(xué)生對(duì)計(jì)算器上的各個(gè)功能鍵熟練掌握，會(huì)根據(jù)按鍵順序

列出所要計(jì)算的式子.借助計(jì)算器這樣的工具做題既鍛煉了學(xué)生動(dòng)手能力，又提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

2.（2023?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考二模）運(yùn)用我們課本上采用的計(jì)算淵進(jìn)行計(jì)算時(shí)，下列說法不正確的是（）

A.計(jì)算通的按鍵順序依次為

ON/CMODE2

B.要打開計(jì)算器并啟動(dòng)其統(tǒng)計(jì)計(jì)算功能應(yīng)按的鍵是

2ndF

C.啟動(dòng)計(jì)克器的統(tǒng)計(jì)計(jì)算功能后，要清除原有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)應(yīng)按健

D.用計(jì)算器計(jì)算時(shí)，依次按如下各鍵最后顯示結(jié)

果是0.5

【答案】D

【分析】根據(jù)計(jì)算器的使用方法依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】解：A選項(xiàng)，計(jì)算通的按鍵順序正確，本選項(xiàng)不符合題意;

B選項(xiàng)，要打開計(jì)算器并啟動(dòng)其統(tǒng)計(jì)計(jì)算功能應(yīng)按的鍵正確，本選項(xiàng)不符合題意,

2ndF

C選項(xiàng)，啟動(dòng)計(jì)算器的統(tǒng)沖計(jì)算功能后，要清除原有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)應(yīng)按鍵，說法正確，本選項(xiàng)不符合題意,

D選項(xiàng)，用訂算轄訂算時(shí)，依次按如下各鍵sin最后

顯示結(jié)果是0.866025403,不是0.5,原說法錯(cuò)誤，本選項(xiàng)符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查計(jì)算器的基礎(chǔ)知識(shí)，熟練掌握計(jì)算器的使用是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?山東淄博?統(tǒng)考一模）運(yùn)用課本上的計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，按鍵順序如下，則計(jì)算器顯示的結(jié)果是

【答案】-I

【分析】根據(jù)計(jì)算器的按鍵代表的運(yùn)算可得答案.

（詳解】解：（-2）3xsin30°+^x9=-8x14-3=-l.

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】本題考杳的是計(jì)算器的使用，掌握使用計(jì)算器是解題的關(guān)鍵.

題型12根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù)

1.（2021?廣東廣州?校聯(lián)考二模）已知NA是銳角，且I-2siM=0,貝!NA=.

【答案】30730度

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)而計(jì)算得出答案.

【詳解】解：??T-2sinA=0,

???sinA.

??.ZA=30°.

故答案為:30。.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題美鍵.

2.（2023?廣東佛山??？家荒＃┤魌an（仆10。）=1,則銳角a=

【答案】55755度

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)加45。=1即可求解.

【詳解】解：Vtan（a-10°）=1,tan450=l,

10。=45。，

.'?a=55°,

故答案為：55。.

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角困數(shù)，熟記特殊角的三角圖數(shù)值tan45o=l是解題的關(guān)鍵.

題型13已知角度比較三角函數(shù)值大小

I.（2019?江蘇南京?統(tǒng)考一模）如圖，在RSA8C中，ZC=90°,則下列結(jié)論正確的是（）

A.sinAVsinBB.cosA<cosB

C.tan4<tan5D.sin4<cosA

【答案】B

【分析】本題可采用特殊值法，令24=60。/8=30。，然后利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行判斷即可.

【詳解】Z.A>Z.B,

，可令24=60°,Z,B=30°.

A.sinA=?,sin8=所以sinA>sinB,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.cosA=gcosB=4，所以cos/1<cosB,故該選項(xiàng)正確：

C.tanA=V3,tanF=y,所以taru4>tanF,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤：

D.sin/1=y,cos/1=p所以sin/l>cosA,故該選項(xiàng)錯(cuò)誤：

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)，掌握特殊值法在選擇題中的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?四川成都??？寄M預(yù)測(cè)）比較大小：sin540cos35。（填“<、*>“）.

【答案】V

【分析】把余弦化成正弦,再通過角度大小比較正弦值的大小即可.

【詳解】Vcos35°=sin（90°-35°）=sin55°.

在銳角范圍內(nèi)，sina隨a的增大而增大，

.*.sin540<sin550,

sin540<cos350.

故答案為：V.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值的大小比較，利用正弦余弦的關(guān)系進(jìn)行大小比較即可.

3.（2017.四川遂寧.統(tǒng)考一模）化簡(jiǎn)：J（1一$也52。）2-n1-tan52。）?的結(jié)果是

A.tan52°—sin52°B.sin52°—tan52°

C.2-sin52°—tan52°D.-sin52°—tan52°

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：Vl-sin52°>0,l-tan520<0,

/.V（1-Sin52°）2-VC1-tan520）2

=l-sin520-tan52°+l

=2-sin520-tan520.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)和正弦、正切的增減性是解題的關(guān)鍵.

題型14根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍

1.（2023?陜西西安??？既＃┤鬺aM=2,則N4的度數(shù)估計(jì)在（

A.在0。和30。之間B.在30。和45。之間

C.在45°和60°之間D.在60°和90。之間

【答案】D

【分析】由題意直接結(jié)合特殊銳角三角函數(shù)值進(jìn)行分析即可得出答案.

【詳解】解：Vtan600=V3<tanA=2,

：.Lk>60°,

.?.60"<Z.A<90".

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用，熟練掌握tan300=白陋45°=l,tan60°=遍是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?安徽安慶?統(tǒng)考一模）若銳角a滿足cosaV當(dāng)且tanaVg,則a的范圍是（）

A.30°<?<45°B.45°<a<60°

C.60°<a<90°D.30°<a<60°

【答案】B

【詳解】???〃是銳角，

cosa>0?

Vcoia<——，

?八一戶

..0<cos?<-

又??,cos9(T=0,cos450=亞

.,.45°<a<90°；

???a是銳角,

tana>0>

*.*tan?<V3,

/.0<tana<V3?

又Vtan0°=0,tan60°=V3,

0<?<60°；

故45°<?<60°.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)、正切函數(shù)的增減性與特殊角的余弦函數(shù)、正切函數(shù)值，熟記特殊角的

三角函數(shù)值和了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵

題型15利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解

I.（2022?河北石家莊??？寄M預(yù)測(cè)）圳圖，在RM48C中,Z.BAC=90。,4。1BC于點(diǎn)D,若BD:CD=3:2,

則tan乙ZMC的值為（）

A：B.漁C.在D.叵

3323

【答案】B

【分析】先根據(jù)題目已知條件推出△/^/^△二4。，則可得乙。4。二乙8,然后根據(jù)8。:。。=3:2,設(shè)8。=3x,

CD=2x,利用對(duì)應(yīng)邊成比例表示出4D的值，進(jìn)而得出taPZMC的值，

【詳解】??,在Rt△二BC中,Z.BAC=90°,

?38+”=90。，

:力。_LBC于點(diǎn)D,

：./.B+/.BAD=90°,ZC+Z.DAC=90°

/.BAD=Z.C,Z-B=Z.DAC?

.*./??△ABDs&CAD,

即，AD2=BDCD,

ADCD

\'BD:CD=3:2,

?,?設(shè)80=3%,CD=2x,

?'.AD=V3x-2x=V6x,

/.tanz.5=tanzD/lC=,=~=匹，

BD3x3

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、相似比、銳角三角函數(shù)的定義、直角三角形的性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是根據(jù)垂直證明三角形相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求邊長(zhǎng).

2.（2023?吉林松原?統(tǒng)考一模）在RSABC中，ZC=90°,sinA=g,貝UtanA=.

【答案w

【分析】根據(jù)已知條件設(shè)出直角三角形一直角邊與斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出另?直角邊的長(zhǎng)，運(yùn)用

三角函數(shù)的定義解答.

【詳解】由sinA=/口，可設(shè)a=4x,則c=5x,h=3x,

AlanA=^=S=r

故答案為g.

【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系.求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過

設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值.

3.（2019?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）a為銳角，則sin2a+cos2a=.若sina=cos40°?則銳角a=.

【答案】I50°

【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】解：為銳角，

，sin2a+cos2a=1,

Vsina=cos40°,

：.a=90°-40°=50°,

故答案為：1,5（T.

【點(diǎn)睛】本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)知識(shí).

4.（2018?浙江寧波?統(tǒng)考一模〉如圖，△ABC中，以8。為直徑的。。交AB于點(diǎn)。，AE平分N84C交BC

于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F.KCE=CF.

（1）求證：直線。是。。的切線;

（2）若8"紗。，求器的值.

3Cr

【分析】（1）若要證明直線CA是。。的切線，則只要證明NACB=90。即可：

（2）易證△AOFS^ACE,由相似三角形的性質(zhì)以及結(jié)合已知條件即可求出苗的值.

【詳解】解：（1）證明：:Be為直徑，

:.NBOC=NADC=90。，

/.Z1+Z3=9O°

?.，A￡平分NBAC,

/.Z1=Z2,

'：CE=CF

.：N4=N5,

VN3=N4,

23=N5,

???Z2+Z5=9O°,

/.ZACB=90°,即AC_LBC,

???直線CA是。。的切線；

（2）由（1）可知，Nl=N2,N3=/5,

ACCECF

:BD^DC,

/.tanZiAZ?C=—BD=4-

VZAZ?C+Z54C=90°,Z4CZHZ7?AC=90°,

:.NABC=NACD,

tanZ/AC￡>=-,

4

.*.sinZ/\CD=—=

AC5

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判斷和性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)、圓周角定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟

記切線的判斷和性質(zhì)是解題的關(guān)健.

題型16互