第04講 二次根式（含詳解答案）-全國重點高中自主招生大揭秘

二次根式一、單選題1．已知實數(shù)x，y滿足（x-）（y-）=2008，則3x2-2y2+3x-3y-2007的值為（）A．-2008 B．2008 C．-1 D．12．下列根式中，是最簡二次根式的是(

)A． B． C． D．3．化簡：的結(jié)果是（）A．6 B． C． D．4．記，則（

）A． B． C． D．5．已知的三邊長為，，，有以下三個結(jié)論：（1）以，，為邊長的三角形一定存在；（2）以，，為邊長的三角形一定存在；（3）以，，為邊長的三角形一定存在．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個6．如果一個三角形的三邊長分別為1，k，3，則化簡的結(jié)果是（）A．-5 B．1 C．13 D．19-4k7．設(shè)a、b是整數(shù)，方程x2+ax+b=0的一根是，則的值為（）A．2 B．0 C．-2 D．-18．已知，將的整數(shù)部分加上的小數(shù)部分的倒數(shù)得到，再將的整數(shù)部分加上的小數(shù)部分的倒數(shù)得到，以此類推可得到，，……，．如的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為，所以．根據(jù)以上信息，下列說法正確的有（

）①；②的小數(shù)部分為；③；④；⑤．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、解答題9．求的值．解：設(shè)x=，兩邊平方得：，即，x2=10∴x=．∵＞0，∴=．請利用上述方法，求的值．10．先化簡，再求值：，其中．11．觀察下列一組式子的變形過程，然后回答問題：例1：例2：，，…（1）=；（2）請你用含n(n為正整數(shù))的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律；（3）利用上面的規(guī)律，求下面式子的值：12．（1）已知，求，的值．（2）化簡的結(jié)果是______．13．若實數(shù)x，y滿足（x﹣）（y﹣）＝2016．（1）求x，y之間的數(shù)量關(guān)系；（2）求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2017的值．14．閱讀材料：材料一：兩個含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個代數(shù)式互為有理化因式.例如：，我們稱的一個有理化因式是的一個有理化因式是.材料二：如果一個代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根號，這種變形叫做分母有理化.例如：，請你仿照材料中的方法探索并解決下列問題：(1)的有理化因式為______，的有理化因式為______.(均寫出一個即可)(2)將下列各式分母有理化(要求寫出變形過程)：①.②.(3)請從下列A，B兩題中任選一題作答，我選擇題.A計算：的結(jié)果為______.B計算：的結(jié)果為_____.15．閱讀下列材料，然后回答問題，在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如如一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：＝＝

（1）以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：＝

（2）①請參照（1）（2）的方法用兩種方法化簡：方法一：＝方法二：＝②直接寫出化簡結(jié)果：＝＝③計算：++

+…++16．定義，求+…++…+的值.17．設(shè)，，求為何值時，代數(shù)式的值為2001.18．閱讀下列兩則材料，回答問題：材料一：我們將與稱為一對“對偶式”因為，所以構(gòu)造“對倆式”相乘可以有效地將和中的去掉.例如：已知，求的值．解：，材料二：如圖，點，點，以AB為斜邊作，則，于是，，所以.反之，可將代數(shù)式的值看作點到點的距離.例如：=．所以可將代數(shù)式的值看作點到點的距離．利用材料一，解關(guān)于x的方程：，其中；利用材料二，求代數(shù)式的最小值，并求出此時y與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出x的取值范圍；將所得的y與x的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍代入中解出x，直接寫出x的值．19．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：，由于30沒有大于1的平方約數(shù)，因此為有理數(shù)的條件是正整數(shù)（其中t為正整數(shù)）．(1)若正整數(shù)a使得，則a的值為_________．(2)已知a、b、c是正整數(shù)，滿足．當時，稱為“三元數(shù)組”．①若為“三元數(shù)組”，且，則________；②若為“三元數(shù)組”，且，則________，________；③“三元數(shù)組”共有_________個．三、填空題20．計算，所得的結(jié)果是______.21．已知，是正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，則這樣的有序數(shù)對共有________對．22．已知，則=_______23．設(shè)表示最接近的整數(shù)(，為整數(shù))，則的值為______.24．觀察下列等式：第1個等式：，第個等式：，第個等式：，第個等式：，…按上述規(guī)律，計算___________．參考答案：1．D【詳解】由（x-）（y-）=2008，可知將方程中的x,y對換位置，關(guān)系式不變，那么說明x=y是方程的一個解由此可以解得x=y=，或者x=y=-，則3x2-2y2+3x-3y-2007=1，故選D.2．C【詳解】解：A．，不是最簡二次根式；B．=2，不是最簡二次根式；C．是最簡二次根式；D．，不是最簡二次根式；故選C．【點睛】本題考查了最簡二次根式，在判斷最簡二次根式的過程中要注意：（1）在二次根式的被開方數(shù)中，只要含有分數(shù)或小數(shù)，就不是最簡二次根式；（2）在二次根式的被開方數(shù)中的每一個因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)大于或等于2，也不是最簡二次根式．3．D【分析】利用完全平方公式化簡即可.【詳解】故選D【點睛】本題考查多重二次根式的化簡，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵.4．D【分析】利用完全平方公式可化簡為，再利用二次根式的性質(zhì)即可開方，再分別取k=1，2，3，4，…，n，并相加求得，取n=2016即可求得結(jié)果．【詳解】．所以，故．所以．故選：D．【點睛】本題考查了分式的化簡及運算、二次根式的性質(zhì)，就中項的一般形式化簡是本題的關(guān)鍵．5．C【分析】不妨設(shè)0＜a≤b≤c，利用作差法求出（＋）2－（）2的符號和三角形的三邊關(guān)系即可判斷（1）；利用舉反例的方法即可判斷（2）；假設(shè)≤≤，根據(jù)絕對值的性質(zhì)：和三角形的三邊關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】解：的三邊長為，，，不妨設(shè)0＜a≤b≤c，∴a＋b＞c，＜＜則（＋）2－（）2==∵∴＞0∴（＋）2＞（）2∴＋＞∴以，，為邊長的三角形一定存在，故（1）正確；令a=2，b=3，c=4，此時a＋b＞c，符合條件此時＋=13，=16，∴＋＜∴以，，為邊長的三角形不一定存在，故（2）錯誤；假設(shè)≤≤根據(jù)絕對值的性質(zhì)：＋≥=∴＋＋2＞∴＋＞∴以，，為邊長的三角形一定存在，故（3）正確．綜上：正確的有2個故選C．【點睛】此題考查的是三角形的三邊關(guān)系、二次根式的運算和絕對值的性質(zhì)，掌握三角形的三邊關(guān)系、二次根式的運算法則、利用舉反例說明假命題和絕對值的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．6．B【詳解】由三角形三邊關(guān)系得：2＜k＜4，，，所以原式等于，所以選B．7．C【分析】先化簡，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根據(jù)題意列出二元一次方程組并求解求得a和b的值，再代入計算即可．【詳解】解：==1．∵方程x2+ax+b=0的一根是，∴++b=0．∴．∴．∵、是整數(shù)，∴解得∴==．故選：C．【點睛】本題考查二次根式的化簡，一元二次方程的解，二元一次方程組的應用，正確構(gòu)造二元一次方程組是解題關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)定義找到的規(guī)律，再逐個判斷即可．【詳解】解：由題意得，，它的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為；，它的整數(shù)部分為4，小數(shù)部分為；，它的整數(shù)部分為5，小數(shù)部分為；，它的整數(shù)部分為7，小數(shù)部分為；，它的整數(shù)部分為8，小數(shù)部分為；，它的整數(shù)部分為10，小數(shù)部分為；∴n為奇數(shù)時，，它的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為；n為偶數(shù)時，，它的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為；∴①，正確；②的小數(shù)部分為，錯誤；③，正確；④，錯誤；⑤，正確；綜上所述，正確的是①③⑤,共3個；故選：B．【點睛】本題考查的是數(shù)字類規(guī)律探究、估算無理數(shù)的大小，二次根式的混合運算，通過計算找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．9．【分析】根據(jù)題意給出的解法即可求出答案即可．【詳解】設(shè)x=+，兩邊平方得：x2=（）2+（）2+2，即x2=4++4﹣+6，x2=14∴x=±．∵+＞0，∴x=．【點睛】本題考查了二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是正確理解題意給出的解法，本題屬于中等題型．10．1【詳解】分析：將括號內(nèi)的部分通分后相減，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法后代入求值．解：原式=．當時，原式=．11．（1）；（2）；（3）-1【分析】（1）利用分母有理化求解；（2）按照所給等式的變化規(guī)律寫出第n個等式即可；（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式計算．【詳解】解：（1）==.

故答案為：

（2）.（3）==-1【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可，在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì),選擇恰當?shù)慕忸}途徑,往往能事半功．12．（1）x=3或y=2；，；（2）【分析】（1）把等式右邊展開和左邊對比，據(jù)含根號的項相等和不含根號的項相等，列出關(guān)于x、y的方程組，解方程組即可．（2）變形，設(shè)運用（1）的方法求出x、y再進行化簡即可【詳解】解：（1），解得，，即，或者，．（2）因為，故設(shè)∴得解得，，∴==．【點睛】此題考查二次根式的化簡，對于二重根號，其關(guān)鍵是要列方程組找到x、y，使得成立．13．（1）x=y；（2）-1.【分析】（1）將式子變形后，再分母有理化得①式：x﹣＝y(tǒng)+，同理得②式：x+＝y(tǒng)﹣，將兩式相加可得結(jié)論；（2）將x=y代入①式得：x2=2016，再代入原式結(jié)合x2=2016，計算即可．【詳解】解：（1）∵（x﹣）（y﹣）＝2016，∴x﹣＝＝＝y(tǒng)+①，同理得：x+＝y(tǒng)﹣②，①+②得：2x＝2y，∴x＝y(tǒng)，（2）把x＝y(tǒng)代入①得：x－＝x+，∴x2＝2016，則3x2－2y2+3x－3y－2017，＝3x2－2x2+3x－3x－2017，＝x2－2017，＝2016－2017，＝－1．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡,掌握分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵.14．(1)；(2)①；②；(3)A：；B：.【分析】（1）乘以本身即可得有理數(shù)；乘以可得有理數(shù)，因此填，；（2）①中的分母乘以即可分母有理化；②中分子分母都乘以；（3）將每項分母有理化后進行加法計算即可【詳解】解：(1)乘以本身即可得有理數(shù)；乘以可得有理數(shù)，因此填，；(2)①.②(3)A：=B：==故A填；B填【點睛】此題是閱讀理解題，理解題意很重要，根據(jù)題意找到相應的分母有理化因式，才能將每個因式分母有理化.15．①方法一：＝＝

方法二：＝②；；③【分析】①根據(jù)材料運用的兩種方法進行分母有理化即可；②根據(jù)材料運用的兩種方法進行分母有理化即可；③先分母有理化，再根據(jù)式子的規(guī)律即可求解.【詳解】①方法一：＝＝

方法二：＝②＝＝＝＝故答案為；③++

+…++【點睛】本題主要考查二次根式的分母有理化，分析材料，運用材料的方法是解題關(guān)鍵.16．5.【分析】將進行分母有理化，分子分母同時乘以可得，進而求得，，，則【詳解】，，，，…，．．【點睛】本題以新定義型題形式考查了二次根式的運算，解本題的關(guān)鍵是通過分母有理化將簡化，再代值得到，即可解題.17．t=2.【分析】將x，y部分進行分母有理化可得，原代數(shù)式進行整理可得：，代x，y值即可解題【詳解】，，．由題知．則．或(舍去)．當時，代數(shù)式的值為2001．【點睛】本題考查了二次根式的運算，解一元二次方程，解本題的關(guān)鍵是通過對x，y進行分母有理化及對代數(shù)式用完全平方公式進行整理即可解題.18．（1）；（2）①，；②.【分析】根據(jù)理解材料一的內(nèi)容進行解答，比對這題很容易解決．中把根式下的式子轉(zhuǎn)化成平方平方的形式，轉(zhuǎn)化成點到點的距離問題，根據(jù)兩點之間距離最短，所以當三個點共線時距離最短，可以求出最小值和函數(shù)關(guān)系式中也根據(jù)材料二的內(nèi)容來解答求出x的值．【詳解】根據(jù)材料一；,，，,,解得：,；解：由材料二知：，，可將的值看作點到點的距離的值看作點到點的距離，∴，當代數(shù)式取最小值，即點與點，在同一條直線上，并且點位點的中間，的最小值=，且，設(shè)過，，的直線解析式為：，解得：，；中，，(ⅰ),又(ⅱ)由(ⅰ)得：，解得：舍，，的值為.【點睛】本題是材料閱讀題，屬于新定義題，理解新定義的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.19．(1)120(2)①270；②，；③3【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求解；（2）①由可得，即可解答；②設(shè)，（，為正整數(shù)而且），由可得，進行求解即可；③設(shè)，，（，，為正整數(shù)而且），可得，根據(jù)分子為1的分數(shù)和為1的分數(shù)的特點進行討論求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，故答案為：；（2）①∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案為：270，②∵，∴，∴，設(shè)，（，為正整數(shù)而且），∴，即，∵，∴，，∴，，∴，；故答案為：120，1080；③設(shè)，，（，，為正整數(shù)而且），∵，∴，∴，又∵∴，，當時，，此時，，當，∴，∴，當時，同②，，，；當時，，，，；綜上所述：“三元數(shù)組”共有3個．故答案為：3.【點睛】本題主要考查了算術(shù)平方根的應用，理解題干所給的提示，將轉(zhuǎn)化為幾個分子為1的分數(shù)和為1的分數(shù)的式子求解是解題關(guān)鍵．20．2005【分析】先把“2005×2006×2007×2008+1=（20052+3×2005+1）2”化為完全平方的形式，再開平方，然后再來求值．【詳解】∵2005×2006×2007×2008+1=2005×（2005+3）×（2005+1）（2005+2）+1=（20052+3×2005）×（20052+3×2005+2）+1=（20052+3×2005）2+2（20052+3×2005）+1=（20052+3×2005+1）2∴=20052+3×2005+1；∴-20062=20052+3×2005+1-20062=（2005+2006）（2005-2006）+3×2005+1=2005；故答案為2005．【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡求值．解答此題的難點是化“2005×2006×2007×2008+1”為完全平方的形式，并開平方，然后再利用平方差公式求出20052-20062=（2005+2006）（2005-2006）的值．21．7【分析】把2放在根號下，得出+，2()是整數(shù)，a、b的值進行討論，使