春季高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)

中職數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)匯總

預(yù)備知識(shí)：

1.完全平方和（差）公式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2

2.平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

3.立方和（差）公式：a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）

第一章集合

1.構(gòu)成集合的元素必須滿(mǎn)足三要素；確定性、互異性、無(wú)序性。

2.集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖像法（文氏圖）。

3.常用數(shù)集：N（自然數(shù)集）、Z（整數(shù)集）、Q（有理數(shù)集）、R（實(shí)數(shù)集）、N+（正整數(shù)集）

4.元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系：

（1）元素與集合是“e”與“青謝關(guān)系。

⑵集合與集合是“1"專(zhuān)”“二”“j”的關(guān)系。

注，（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做題時(shí)多考慮中是否滿(mǎn)足題意）

（2）1個(gè)集合含有n個(gè)元素，則它的子集有2n個(gè)，真子集有2n.i個(gè)，非空真子集有2n?2個(gè)。

5.集合的基本運(yùn)算（用描述法表示的集合的運(yùn)算盡量用畫(huà)數(shù)軸的方法）

（1）74nB={45撾4且45）；A與B的公共元素組成的集合

（2）4UB二次k撾4或1B］：A與8的所有元素組成的集合（相同元素只寫(xiě)一次）。

（3）CyA：U中元素去掉A中元素剩下的元素組成的集合。

注：C^AD6）二CVAUCQ。儲(chǔ)U6）=CVACgB

6.會(huì)用文氏圖表示相應(yīng)的集合，會(huì)將相應(yīng)的集合畫(huà)在文氏圖上。

7.充分必要條件:p是g的.條件p是條件，g是結(jié)論

如果p=q,那么p是q的充分條件;q是p的必要條件.

如果poq,那么P是q的充要條件

第二章不等式

1.不等式的基本性質(zhì)：（略）

注;（1）比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小一般用比較差的方法；另外還可以用平方法、倒數(shù)法。

（2）不等式兩邊同時(shí)乘以負(fù)數(shù)要變號(hào)?。?/p>

（3）同向的不等式可以相加（不能相減），同正的同向不等式可以相乘。

2.重要的不等式：

（1）a2+b2＞2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=＞時(shí),等號(hào)成立。

（2）a+bN2^（a,bwR+）,當(dāng)且僅當(dāng)。二力時(shí)，等號(hào)成立。（3）

注：—（算術(shù)平均數(shù)）＞y^b（幾何平均數(shù)）

2

3.一元一次不等式的解法（略）

4.一元二次不等式的解法

（1）保證二次項(xiàng)系數(shù)為正

（2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：

(3)定解：(口訣)大于取兩邊，小于取中間。

5.絕對(duì)值不等式的解法

若。>0,則《\x\<a<^>-a<-x<a

\x\>aox>aWc<-a

分式不等式的解法：與二次不等式的解法相同。注：分母不能為0.

第三章函數(shù)

1.函數(shù)

(1)定義：設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集,如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)A內(nèi)任一個(gè)元素x,在B中總有一個(gè)且只

有一個(gè)值y與它對(duì)應(yīng),則稱(chēng)/是集合A到B的函數(shù)，可記為：/:A-B,或/:x->y.其中A叫做函數(shù)f的定義域.函

數(shù)/在工=。的函數(shù)值，記作/(。)，函數(shù)值的全體構(gòu)成的集合C(CGB),叫做函數(shù)的值域.

(2)函數(shù)的表示方法：列表法、圖像法、解析法

注：在解函數(shù)題時(shí)可以畫(huà)出圖像，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法可以使大部分題目變得更簡(jiǎn)單。

2.函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則

(1)定義城的求法：使函數(shù)(的解析式)有意義的X的取值范圍

主要依據(jù)：①分母不能為0,②偶次根式的被開(kāi)方式N0,

③特殊函數(shù)定義域：y=x°,x#0y=a。(a>。且〃*l),xuR

y=log,,x,(a>0且a/l),x>0

(2)值域的求法：y的取值范圍

①正比例函數(shù)：y=Lc和一次函數(shù)：y=的值域?yàn)镽

②二次函數(shù)：丁二^^+陵+^的值域求法：配方法。如果元的取值范圍不是R則還需畫(huà)圖像

③反比例函數(shù)：yw』的值域?yàn)椋鹹lyrO)

x

?另求值域的方法：換元法、不等式法、數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)的單調(diào)性等等。

(3)解析式求法：在求函數(shù)解析式時(shí)可用換元法,構(gòu)造法、待定系數(shù)法等。

3.函數(shù)圖像的變換

(1)平移

向左平移一、向右平移

-^y=f(x+a)—‘=a)

y=fMa個(gè)單位

、向上平移一、〃、向下平移〃、

y=/(的人品4—丁=a

a個(gè)單位>寸⑴不銃f=⑴一〃

(2)翻折

沿X軸保留X軸上方圖像

y二/(外-y=-/(或->y=lf(x)\

上、下對(duì)折下方翻折到上方

4.函數(shù)的奇偶性

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

(2)若/(一%)=~f(x)—>奇若/(一冗)=/(力T偶

注：①若奇函數(shù)在x=0處有意義，則/(0)=0

②常值函數(shù)/(?=〃(4。0)為偶函數(shù)

③/(X)二0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

5.函數(shù)的單調(diào)性

/(x,)<八勺),稱(chēng)/'(x)在［〃㈤上為增函數(shù)

對(duì)于必；［、彳2￡［。力］且商<%2，若,

/(x,)>/(9),稱(chēng)/(X)在出力］上為減函數(shù)

增函數(shù)：X值越大，函數(shù)值越大；X值越小，函數(shù)值越小。

減函數(shù)：X值越大，函數(shù)值反而越小；X值越小，函數(shù)值反而越大。

6.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)的三種解析式

①一般式:/(x)=ax2+bx+c(〃N0)

②頂點(diǎn)式:f(x)=a(x-k)2+h(。聲0),其中(2,〃)為頂點(diǎn)

③兩根式：f(x)^a(x-x1)(x-x2)(Q工0),其中%、%是/(工)二。的兩根

(2)圖像與性質(zhì)

二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，有如下特征與性質(zhì):

①開(kāi)口4>0->開(kāi)口向上a<0—>開(kāi)口向下

b4ac-h\

②對(duì)稱(chēng)軸:x=-■—頂點(diǎn)坐標(biāo)：(-

2a2a4"

b

A>0->有兩交點(diǎn)=

+x2—

③△可五軸的交點(diǎn)；A=0f有1交點(diǎn)④根與系數(shù)的關(guān)系；(韋達(dá)定理)a

C

AvOf無(wú)交點(diǎn)再=-

a

⑤/(?=ax2+bx+c為偶函數(shù)的充要條件為人=0

⑥二次函數(shù)(二次函數(shù)恒大(小)于0)

/(?>0o卜>°=圖像位五軸上方f(x)<0o［"°o圖像位五軸下方

A<0［A<0

⑦若二次函數(shù)對(duì)任意工都有=/(r+x),則其對(duì)稱(chēng)軸是/=/。

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)導(dǎo)的性質(zhì)與運(yùn)算

（1）根式的性質(zhì):

①〃為任意正整數(shù)，（折）〃=。②當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，痂=4;當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，痂二|〃|

③零的任何正整數(shù)次方根為零；負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根。

（2）零次能a°=\（〃于0）

（3）負(fù)數(shù)指數(shù)塞；〃-"=5（axO/eN"）

nt__

（4）分?jǐn)?shù)指數(shù)幕；。7=而（〃>0,加,〃￡村+且〃>1）

（5）實(shí)數(shù)指數(shù)轅的運(yùn)算法則：（〃>0,施4它/?）

?an,^a,,=crn②（〃）"=amn③（小。）"二/力"

2.某運(yùn)算時(shí)，注意將小數(shù)指數(shù)、根式都統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)指數(shù)；一般將每個(gè)數(shù)都化為最小的一個(gè)數(shù)的〃次方。

c的J當(dāng)。>0?寸，>=/在（0,+8）上單調(diào)遞增

3.累函數(shù)y=、.

當(dāng)〃〈耐，y二工"在（0,+oo）上單調(diào)遞減

4.指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化：〃'=Nolog“N=/?（。>0且。工1）、（/V>0）

N

5.對(duì)數(shù)基本性質(zhì)：①bgd=1②bg〃l=0③戶(hù)"N=N?\ogaa=N

⑤log。匕與10瓦?；榈箶?shù)<=>log^logy,a=l<=>log”b=-----

?logbn=—logZ?

mmrt

6.對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算：

log“(M?N)=k)g“M+log.Nlog“萬(wàn)=log”M-log,N

IOPN

7,換成公式；log.N=一J。>0且6/1）

log/,a

8.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)

定

尸屋3>0,"1的常數(shù)）y=logax(a>0、a*1的常數(shù))

義

\

圖

0<\c<Jl\~0

像

NX

(1)xeR,y>0(1)x>0,y^R

性

(2)圖像經(jīng)過(guò)(0,1)點(diǎn)⑵圖像經(jīng)過(guò)(1,0)點(diǎn)

質(zhì)

⑶〃>l,y=能在R上為增函數(shù)：⑶〃>Ly=iog“工在(0,+8)上為增函數(shù)：

0<a<ty="在R上為減函數(shù)o0<a<l,y=logdx在(0,+8)上為減函數(shù)

9.利用暴函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)數(shù)的大小，將其變?yōu)橥?、同?次)或用換底公式或是利

用中間值0,1來(lái)過(guò)渡。

10.指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程：①指數(shù)式和對(duì)數(shù)式互化②同底法③換元法④取對(duì)數(shù)法

注；解完方程要記得驗(yàn)證根是否是增根，是否失根。

第五章數(shù)列

等差數(shù)列等比數(shù)列

每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差為同一個(gè)常數(shù)每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比為同一個(gè)常數(shù)

定

。2-。1=〃3-。2=???=%-%-1=1幺=&=...=入=4(9工°)

為出明

義

注：當(dāng)公差"=0時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列注：等比數(shù)列各項(xiàng)及公比均不能為0；

當(dāng)公比為1時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列

通項(xiàng)

%=4+(〃-l)d見(jiàn)二。

公式4

,a,,-a?,⑴n-m=%

推(1)d=」~~注q

n-m金

論

(+(〃一機(jī))

2)an=4”d⑵an=amq-

(若〃則〃

3)=p+q.(3)若m+/i=p+q,KOaman=4%

中項(xiàng)三個(gè)數(shù)。、b、c成等差數(shù)列，則有三個(gè)數(shù)。、b、c成等比數(shù)列，則有

公式

2b=a^-c<^>b="cb2=ac

2

前n

n^皿山=上空])

項(xiàng)和sd

n

公式22\-q\-q

1.已知前〃項(xiàng)和S,的解析式，求通項(xiàng)明

S|(〃T)

S“一Se(n>2)

2.弄懂等差、等比數(shù)通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式的證明方法。(見(jiàn)教材)

第六章三角函數(shù)

1.弧度和角度的互換

二二弧度々弧度1弧度=（嗎

180"二"弧度r0.01745W18'

180

2.扇形弧長(zhǎng)公式和面積公式

Li;i=|a|-rS^=^Lr=^\a\-r（記憶法：與5.如二1"類(lèi)似）

3.任意三角函數(shù)的定義：

?人—對(duì)邊鄰邊X

VUdU-...—tana=

''斜邊r斜t邊r鄰邊X

4.特殊三角函數(shù)值

a0=0°2=30°-=45°￡=60°-=90°

6432

n工五百

sinaR

TTTTT

74V2

cosa石如Vo

2TT

理

tana01V3不存在

3

5.三角函數(shù)的符號(hào)判定

（1）口訣：一全二正弦，三切四余弦。（三角函數(shù)中為正的，其余的為負(fù)）

（2）圖像記憶法

6.三角函數(shù)基本公式

sin。

tana=--------（可用于化簡(jiǎn)、證明等）

cosa

sin2a+cos2a=1（可用于已知sina求cosa；或者反過(guò)來(lái)運(yùn)用）

7.誘導(dǎo)公式；口訣；奇變偶不變，符號(hào)看象限。

7T

解釋?zhuān)褐干弦?a（女wZ）,若女為奇數(shù)，則函數(shù)名要改變，若女為偶數(shù)函數(shù)名不變。

2

7.已知三角函數(shù)值求角a：

（1）確定角a所在的象限;（2）求出函數(shù)值的絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角優(yōu)；（3）寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的0~2笈的角;（4）加上周期（同

終邊的角的集合）

8.和角、倍角公式

⑴和角公式：sin（a±￡）=sinacos￡±cosasin￡注意正負(fù)號(hào)相同

co$(a±夕)=cosacos/千sinasinp注意正負(fù)號(hào)相反

/、。、tana±tan/7

tan(a±')二-----------—

1+tanatan/J

⑵二倍角公式：Sinla=2sinacosacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=l-2sin2?

9.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

(1)定義域H，值域［一4川

(2)周期：T=—

0)

(3)注意平移的問(wèn)題：一要注意函數(shù)名稱(chēng)是否相同，二要注意將R的系數(shù)提出來(lái)，再看是怎樣平移的。

(4)y=asinx+bcosx=^1a2+h2sin(x+^?)

10,正弦定理

—=—='一=2R(R為AA3C的外接惻半徑)

sinAsinBsinC

其他形式：(1)a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinC(注意理解記憶，可只記一個(gè))

(2)a:Z?:c=sinA:sinB:sinC

11.余弦定理

,,,b2+c2-a2

a"=b~-TbccosA=>cos4=----------(注意理解記憶，可只記一個(gè))

2bc

12.三角形面積公式

S.ARr=-absinC=-bcs］nA=-ac^inB（注意理解記憶，可只記一個(gè)）

AADC222

13.海倫公式；=/P（P—G（P—b）（P—c）（其中尸為A4BC的半周長(zhǎng)，P=a+^Ic）

第七章平面向■"

1.向量的概念

（1）定義：既有大小又有方向的量。

（2）向量的表示：書(shū)寫(xiě)時(shí)一定要加箭頭！另起點(diǎn)為A,終點(diǎn)為B的向量表示為通。

（3）向量的模（長(zhǎng)度）：|而|或

（4）零向量；長(zhǎng)度為0,方向任意，

單位向量；長(zhǎng)度為1的向量。

向量相等：大小相等，方向相同的兩個(gè)向量。

反（負(fù)）向量：大小相等，方向相反的兩個(gè)向量。

2.向量的運(yùn)算

（1）圖形法則

三角形法則平形四邊形法則

（2）計(jì)算法則

加法：AB+BC=AC減法：AB-AC=CA

（3）運(yùn)算律：加法交換律、結(jié)合律注：乘法（內(nèi)積）不具有結(jié)合律

3.數(shù)乘向量：Aa（1）模為：|4|日|（2）方向：2為正與5相同；4為負(fù)與1相反。

4.AS的坐標(biāo)：終點(diǎn)B的坐標(biāo)減去起點(diǎn)A的坐標(biāo)。AB={XB-xA,yB-yA）

5.向量共線（平行）：三唯一實(shí)數(shù)2,使得〉（可證平行、三點(diǎn)共線問(wèn)題等）

6.平面向量分解定理；如果1，或是同一平面上的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)該平面上的任一向量都存在唯一

的一對(duì)實(shí)數(shù)%,%，使得a=+五2。2。

7.注意AABC中，重心（三條中線交點(diǎn)）、外心（外接圓圓心：三邊垂直平分線交點(diǎn)）、內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心：三角平分

線交點(diǎn)）、垂心（三高線的交點(diǎn)）

8.向量的內(nèi)積（數(shù)量積）

（1）向量之間的夾角：圖像上起點(diǎn)在同?位置；范圍［。，萬(wàn)］.

⑵內(nèi)積公式:a-b=\a\\b\cos<a,b>

9,向量?jī)?nèi)積的性質(zhì)：

--ci'b----

（1）cos<a,b>=__（夾角公式）（2）alba-b=O

\a\\h\

（3）或|Z|（長(zhǎng)度公式）

10.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：⑴施=（為一七4，%一%）

⑵設(shè)4=a，y）》=（孫必），則Ci±b=（xi±x29yi±y2）癡=（',勾）ab=xix2±y]y2

11.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：若A（再,％）,B區(qū),%），點(diǎn)M（x,y）是線段AB的中點(diǎn)，則x二—,y=）,；）2

12.向量平行、垂直的充要條件：設(shè)3=（和y）3=（勺,為），則

々〃%o2=乂（相對(duì)應(yīng)坐標(biāo)比值相等）

a1b<=>ab=0<^>xlx2+y1y2=0（兩個(gè)向量垂直則它們的內(nèi)積為0）

11.長(zhǎng)度公式

（1）向量長(zhǎng)度公式：設(shè)i=（x,y）,則向=次+.

⑵兩點(diǎn)間距離公式；設(shè)點(diǎn)4（玉,））8（工2，）'2），則I而1二&當(dāng)一4）2十（%一%>

11向量平移

（1）平移公式：點(diǎn)P（x,y）平移向量Z=（〃”〃2）到尸（總川，則’：='十1記憶法：“新二舊+向量”

j=y+4

（2）圖像平移：y=/（x）的圖像平移向量"二3”生）后得到的函數(shù)解析式為：y-a2=f（x-a.）

第八章平面解析幾何

1.曲線。上的點(diǎn)與方程尸（x,y）;0之間的關(guān)系：

（1）曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F（x,y）=0的解；

（2）以方程F（x,y）=0的解（x,y）為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上。

則曲線。叫做方程F（x,y）=0的曲線，方程F（x,y）=0叫做曲線。的方程。

2,求由線方程的方法及步驟；（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）；（2）寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)在曲線上的充要條件；（3）用X,y的關(guān)系

式表示這個(gè)條件列出的方程：（4）化簡(jiǎn)方程（不需要的全部約掉）：（5）證明化簡(jiǎn)后的方程是所求曲線的方程。如

果方程化簡(jiǎn)過(guò)程是同解變形的話第五步可省略。

3.兩由線的交點(diǎn)：聯(lián)立方程組求解即可。

4.直線：

(1)傾斜角a；一條直線/向上的方向與x軸的正方向所成的最小正角叫這條直線的傾斜角。其范圍是[0,不)

(2)斜率：①傾斜角為90(,的直線沒(méi)有斜率；②上=tana(傾斜角的正切)

③經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)2(用,弘),8(心,必)的直線的斜率長(zhǎng)=紅21(玉聲心)

%一%

(3)直線的方程

①兩點(diǎn)式：±2L=三WL②斜截式：y=kx+b

③點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0)④一般式：Ax+By+C=0

注：1.若直線/方程為3xMy+5=0,則與/平行的直線可設(shè)為3x+4y+C=0：與/垂直的直線可設(shè)為4X-3Y+C=0

2.求直線的方程最后要化成一般式。

(4)兩條直線的位置關(guān)系

/i：y=%x+4l:y-kx+b:AjX+Bjjv+C,=0l:=0

2222A2X+B2X+C2

a二26

4與平行k、=及且4工b?

&BaC2

A二"二j

「與7重合k.=E且a=b、

A2B2C2

△工”

人與。相交k、羊k]

t

klk2==1A.+RB2=0

注；系數(shù)為0的情況可畫(huà)圖像來(lái)判定。

(5)點(diǎn)到直線的距離

①點(diǎn)尸(公,加)到直線Ax+B}+C=O的距離：d=坐+8%+1

JA"?

5.惻的方程

(1)標(biāo)準(zhǔn)方程：(7-。尸十(了一份2(r>0)其中圓心伍力),半徑r。

(2)一般方程：x2+y2A-Dx+Ey-iF=0(D2+E2-4F>0)

DE

圓心(---,—)

22

(4)直線和圓的位置關(guān)系：主要用幾何法，利用圓心到直線的距離d和半徑，?比較。

相交；d=相切；相離

6.橢圓

動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之和等于常數(shù)2〃

幾何定義

\PF]\+\PF2\=2a

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程-r+=1(焦點(diǎn)在4軸上)1+旨1（焦點(diǎn)在y軸上,

a~b-

7^

圖像歹?

44c的關(guān)系222注意；通常題目會(huì)隱藏這個(gè)條件

a=b+c

對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心r軸：長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a；y軸：短軸長(zhǎng)處：0(0,0)

頂點(diǎn)坐標(biāo)(±a,0)(0,坳

焦點(diǎn)坐標(biāo)(±c,0)焦距2c注：要特別注意焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上

e，=j-當(dāng)

離心率<1

a\a

7.雙由線

動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2〃

兒何定義

IIPF/TP居||二2a

222X2

標(biāo)準(zhǔn)方程55（焦點(diǎn)在*軸上）/v一3=1（焦點(diǎn)在）,軸上）

4

圖像

//a￡.

J

4,Ac的關(guān)系c2=a~+b~注意：通常題目會(huì)隱就這個(gè)條件

對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心x軸：實(shí)軸長(zhǎng)2〃；y軸：虛軸長(zhǎng)4：0（0,0）

頂點(diǎn)坐標(biāo)（土。,0）

焦點(diǎn)坐標(biāo)（±c,0）焦距2c注：要特別注意焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上

2

cLb1

離心率e=—=1一>1

a\a~

漸近線y=±-x（焦點(diǎn)在不軸上）y=±-x（焦點(diǎn)在y軸上）

Qb

注：等軸雙曲線：（1）實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等=6（2）離心率c二五（3）漸近線y=±x

8.拋物線

到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡

幾何

定義\MF\=d（"為拋物線上一點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離）

焦點(diǎn)

x軸正半軸X軸負(fù)半軸y軸正半軸y軸負(fù)半軸

位置

Jy

ALp

圖像

1PX

~22￥

-5-2-

標(biāo)準(zhǔn)

J2=2Px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)-=-2py(p>0)

方程

焦點(diǎn)Fg,0)“Y，o)尸（。,-9

坐標(biāo)2

準(zhǔn)線x=-Px=PT

y=2

方程22

頂點(diǎn)0(0,0)

對(duì)稱(chēng)

X軸y軸

軸1

離心

e=\

率

注：（1）p的幾何意義表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。

（2）掌握焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的判斷方法

（3）圓錐曲線中凡涉及到弦長(zhǎng)，都可用聯(lián)立直線和曲線的方程求解再用弦長(zhǎng)公式;

|AB\=J]+&2＞尢2）2—4/也

(4)圓錐曲線中最重要的是它本身的定義！！做題時(shí)應(yīng)注意圓錐曲線上的點(diǎn)是滿(mǎn)足圓錐曲線的定義的！

第九章立體幾何

1.空間的基本要素：點(diǎn)、線、面

注：用集合符號(hào)表示空間中點(diǎn)(元素)、線(集合)、面(集合)的關(guān)系

2.平面的基本性質(zhì)

(1)三個(gè)公理：

①如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。

②如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們的所有公共點(diǎn)組成的集合是過(guò)該點(diǎn)的一條直線。

③經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

(2)三個(gè)推論：

①經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

②經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。

③經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。

3.兩條直線的位置關(guān)系：

(1)相交：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，記作

(2)平行：a過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與該直線平行。

小平行于同一條直線的兩條直線平行

(3)異面：

①定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線

②異面直線的夾角：對(duì)于兩條異面直線，平移一條與另一條相交所成的不大于巳的角。注意在找異面直線之間

2

的夾角時(shí)可作其中一條的平行線，讓它們相交。

4.直線和平面的位置關(guān)系：

(1)直線在平面內(nèi)：ya

(2)直線與平面相交：lC\a=A

(3)直線與平面平行

①定義：沒(méi)有公共點(diǎn)，記作：l//a

②判定：如果平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與平面平行，

③性質(zhì)：如果一條直線與一平面平行，且過(guò)直線的另一平面與該平面相交，則該直線與交線平行。

5.兩個(gè)平面的位置關(guān)系

(1)相交；=l

(2)平行：

①定義：沒(méi)有公共點(diǎn)，記作：“a〃少”

②判定；如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，則兩平面平行

③性質(zhì)；a兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面都相交，則交線互相平行

。平行于同一平面的兩個(gè)平面平行

c.夾在兩平行平面間的平行線段相等

4兩條直線被三個(gè)平行平面所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例

6.直線與平面所成的角；

(1)定義：直線與它在平面內(nèi)的射影所成口勺角

(2)范圍：[0,￡]

2

7.直線與平面垂直

(1)判定：如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，則該直線與平面垂直

(2)性質(zhì)；

①如果一條直線垂直于一平面，則它垂直于該平面內(nèi)任何直線；

②垂直于同一平面的兩直線平行：

③垂直于同一直線的兩平面平行。

8.兩個(gè)平面垂直

(1)判定定理；如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則兩個(gè)平面互相垂直。

(2)性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

9.二面角

(1)定義：過(guò)二面角比一/一夕的棱上一點(diǎn)。，分別在兩半平面內(nèi)引棱/的垂線04、0B,則N408為二面角

的平面角

(2)范圍：[0,1]

(3)二面角的平面角構(gòu)造：

①按定義，在棱上取一點(diǎn)0,分別在兩半平面內(nèi)引棱的垂線0A、0B,則40B即是

②作一平面與二面角的棱垂直，與兩半平面分別交于。4、0B,4。6即是

第十章排列、組合與二項(xiàng)式定理

1.分類(lèi)用加法：N=+m2+....+mn分步用乘法：N=....mn

川

2.有序?yàn)榕帕校?”=〃(〃一1)("-2)......("一陽(yáng)+1)二――

(n-my.

無(wú)序?yàn)榻M合：望=摘―1)("2)……(”川+1)=成

"匕:/n!加!(〃一加)！

階乘：P"=/1!=/?(/:=1)(/1=2)....x3x2xl

規(guī)定：0!=1C；=l

注：(1)做排列組合題的原則：先特殊，后一般！

(2)在一起，用捆綁法：不在一起，用插空法：另外的思考方法：一般法、排除法、分類(lèi)討論法、機(jī)會(huì)均等法等等。

3.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：(1)c;;=c;r(2)c;；i=q;+er

4,二項(xiàng)式定理；

nnnlrnrr

(a+b)=C^ab°+C\a-b'+……+Crab+……方川+C：a°b”

通項(xiàng)：T川=C；ab「I/，其中C；叫做第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)。

注；(1)二項(xiàng)展開(kāi)式中第r十1項(xiàng)的系數(shù)與第r+l項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C；是兩個(gè)不同的概念。

(2)楊輝三角

1.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

(1)除每行兩端的1以外，每個(gè)數(shù)字都等于它肩上兩數(shù)之和，即C[=C；+C；T

(2)與首末兩端等距離的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C；=c;r

(3)〃為偶數(shù)，展開(kāi)式有奇數(shù)項(xiàng)，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；(第2+1項(xiàng))

2

〃為奇數(shù)，展開(kāi)式有偶數(shù)項(xiàng)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大。(第四項(xiàng)和后一項(xiàng))

2

7.C：+C"……C：+……聶=2"c?c"C；+……=C"C；+C：+……=2-

第十一章概率與統(tǒng)計(jì)

一、概率.

I.概率；隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值，

2.等可能事件的概率：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有年n個(gè)，且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么，每

一個(gè)基本事件的概率都是如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率P(A)=E.

nn

3.①互斥事件；不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫互斥事件,如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A、B中

有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P(A十B)=P(A)十P(B)。

②對(duì)立事件：兩個(gè)事件必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫對(duì)立事件.

注意：i.對(duì)立事件的概率和等于1：P(A)+P(A)=P(A+A)=L

ii.互為對(duì)立的兩個(gè)事件一定互斥，但互斥不一定是對(duì)立事件.

③相互獨(dú)立事件：事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響.這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件.

如果兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(AB)=P(A)P(B).由此，當(dāng)兩個(gè)事件

同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)等于這兩個(gè)事件發(fā)生概率之積，這時(shí)我們也可稱(chēng)這兩個(gè)事件為獨(dú)立事件，

④獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴(lài)于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱(chēng)這n次試

驗(yàn)是獨(dú)立的.如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率：

kk

Pn(k)=C；P(l-P)?-.

二、隨機(jī)變量.

I.隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果應(yīng)該是不確定的.試驗(yàn)如果滿(mǎn)足下述條件：

①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行：②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)：③每次試驗(yàn)總是

恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.

它就被稱(chēng)為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn).

2.離散型隨機(jī)變量；如果對(duì)于隨機(jī)變置可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型

隨機(jī)變量。

設(shè)離散型隨機(jī)變量&可能取的值為：%,4，,?、馬?，???

;取每一個(gè)值再(i=1,2，…)的概率PC=Xi)=P(,則表稱(chēng)為隨機(jī)變量&的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)《的分布列.

X

$?0“2i?..

PPlPlPl..?

有性質(zhì)①PiNO,i=1,2,…：②〃1+〃2+……=1?

注意：若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.例如:Jc[O,5]即F可以取0?

5之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無(wú)理數(shù).

3.⑴離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布：在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在〃次獨(dú)立重復(fù)

試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)4是一個(gè)隨機(jī)變量.如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在〃次獨(dú)立重復(fù)試

驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是

P”(4=k)=C：PW”,(g0,1,2,...,n,q=[-p).

于是得到隨機(jī)變量代的概率分布如下；

€01kn

PC：PhMc”pqC：PV

由于d恰好是二項(xiàng)展開(kāi)式

(q+P)n=C：pW