《信號與系統(tǒng)(第2版)》第二章-連續(xù)系統(tǒng)的時域分析

第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.2連續(xù)系統(tǒng)的響應2.3沖激響應與階躍響應2.4卷積積分2.5卷積的性質點擊目錄，進入相關章節(jié)第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析

2.1連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學模型2.1連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學模型的建立分析一個實際的電路系統(tǒng)，首先要對其建立數(shù)學模型，基于建立的數(shù)學模型運用數(shù)學方法求解，然后再回到實際系統(tǒng)對結果做出相應解釋。根據電路系統(tǒng)的結構、元件特性，利用相關基本定律尋找能表征系統(tǒng)特性的數(shù)學關系式，稱為對系統(tǒng)建模，所建立的數(shù)學關系式稱之為系統(tǒng)的數(shù)學模型。線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的時域數(shù)學模型是線性常系數(shù)微分方程。第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析例2.1如圖2.1.1所示電路，寫出激勵和響應間的微分方程。解：根據KVL、KCL可列方程

對上式兩邊求導，得

將式(2.1.3)代入式(2.1.1)，得

上式即為激勵和響應間的微分方程。(2.1.2)(2.1.3)(2.1.1)(2.1.4)第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析例2.2圖2.1.2所示電路，輸入激勵是電流源，試列出以電流為響應的微分方程。(2.1.5)解：由KVL，列出電壓方程對式(2.1.5)求導，并考慮到、，則(2.1.6)

根據KCL，有(2.1.7)

因而(2.1.8)

將式(2.1.7)、式(2.1.8)代入式(2.1.6)，得整理上式后，可得第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析上式即為以電流為響應的微分方程。為響應的微分方程為

式(2.1.10)和式(2.1.11)是二階線性常系數(shù)非齊次微分方程。，以電流

采用同樣的方法可以求得輸入激勵是(2.1.10)(2.1.11)第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析從上面例子可得到兩點結論：(1)求得的微分方程的階數(shù)與動態(tài)電路的階數(shù)(即獨立動態(tài)元件的個數(shù))是一致的。一般有N個獨立動態(tài)元件組成的系統(tǒng)是N階系統(tǒng)，可以由N階微分方程描述(或N個一階微分方程組描述)。

(2)輸出響應無論是、或是、，還是其它別的變量，它們的齊次方程系數(shù)都相同。這表明同一系統(tǒng)當它的元件參數(shù)確定不變時，它的自由頻率是唯一的。、第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析例題如圖2.1.3所示電路，判斷系統(tǒng)階數(shù)。解：(1)列電路(a)的KVL方程為(a)

(b)

有兩個獨立的，所以該系統(tǒng)是二階系統(tǒng)。

(2)列電路(b)的KVL方程為是通過其它表示的，是非獨立的，故系統(tǒng)是二階系統(tǒng)。第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.1.2系統(tǒng)模擬

通過建立數(shù)學模型的連續(xù)系統(tǒng)分析方法，在實際研究過程中顯得十分繁瑣。為了簡化，可將連續(xù)系統(tǒng)分解為若干基本運算單元，由它們組合構成復雜的系統(tǒng)。所謂連續(xù)系統(tǒng)模擬是指利用線性微分方程的基本運算單元給出系統(tǒng)方框圖的方法。這種方法容易理解系統(tǒng)性能特征的實質，系統(tǒng)分解與互連的研究方法也有助于從系統(tǒng)分析過渡到系統(tǒng)設計。通常用到三種基本運算單元模擬連續(xù)系統(tǒng)：數(shù)乘器、加法器和積分器。數(shù)乘器、加法器和積分器的模型符號及其相應的運算功能如圖2.1.4所示。

(a)數(shù)乘器

(b)加法器

(c)積分器

第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析例2.4描述一個二階系統(tǒng)輸入與輸出關系的微分方程為

請畫出該系統(tǒng)的模擬框圖。

圖2.1.5二階系統(tǒng)的模擬框圖解：為畫出該系統(tǒng)的模擬框圖，將系統(tǒng)微分方程改寫為第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析例2.5描述一個二階系統(tǒng)輸入與輸出關系的微分方程為請畫出該系統(tǒng)的模擬框圖。解：引入一輔助函數(shù)，使?jié)M足方程

可推導出它滿足原方程，則該系統(tǒng)的模擬框圖如圖2.1.6所示。第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.2連續(xù)系統(tǒng)的響應2.2.1微分方程的經典解描述LTI連續(xù)系統(tǒng)激勵與響應關系的數(shù)學模型是N階線性常系數(shù)微分方程，即或寫為由高等數(shù)學知識可知，該微分方程的全解由齊次解和特解組成，即第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析1.微分方程的齊次解當及其各階導數(shù)都等于零時，該微分方程為齊次微分方程，即上式的解為齊次解，其特征方程為其中N個根稱為微分方程的特征根。若齊次方程的特征根均為單實根，則其中常數(shù)，由初始條件確定。

齊次解的函數(shù)形式由特征根確定，表2.1列出了不同的特征根所對應的齊次解。第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析表2.1不同特征根所對應的齊次解第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.特解特解的函數(shù)形式與激勵的函數(shù)形式有關，表2.2列出了幾種常見類型的激勵函數(shù)及其所對應的特解第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析3.全解微分方程的全解為齊次解與特解之和，即齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)的自身特性相關，而與激勵的函數(shù)形式由激勵確定，也被稱為強迫響應。的函數(shù)形式無關，也被稱為系統(tǒng)的自由響應或固有響應。特解第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析

一般情況下，激勵信號是在時刻接入，那么微分方程的全解適合的時間區(qū)間為。

為確定解的待定系數(shù)就需要一組時刻的值

對于N階常系數(shù)線性微分方程，利用初始條件可求得待定系數(shù)。第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析例2.6描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為求：

(1)；、時的全解；；、時的全解。

(2)解：求

(1)、時的全解；1)首先求齊次解特征方程為其特征根為和。微分方程的齊次解為

，

2)求特解由表2.2可知，當時，其特解設為第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析將其代入式得解上式得，則微分方程的特解為3)求全解微分方程的全解為其一階導數(shù)第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析令，根據初始條件得到由上兩式可解得則微分方程的全解為、時的全解。

(2)1)齊次解同上，即第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2)當激勵時，

其指數(shù)與特征根相等。由

表2-2知，其特解設為代入微分方程可得，則，但不能求得，則特解為3)微分方程的全解為第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析其一階導數(shù)為代入初始條件到上兩式得求解上兩式得所以全解為其中第一項的系數(shù)，不能區(qū)分和，因而也不能區(qū)分自由響應和強迫響應。第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.2.2系統(tǒng)初始條件在求系統(tǒng)的初始條件時，可用系數(shù)匹配法求時的初始值。

若輸入是在時接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)時用時刻的初始值，即。

而輸入信號的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。

包含了在時，激勵尚未接入，該時刻的值歷史情況而與激勵無關，稱這些值為初始狀態(tài)。

反映了系統(tǒng)的通常，對于具體的系統(tǒng)，初始狀態(tài)一般容易求得。這樣為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)設法求得第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析例2.7描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為已知、，，求和。解：將代入到原微分方程，得用系數(shù)匹配法分析：上式對于也成立，在區(qū)間等號兩端項的系數(shù)應相等。

故應包含沖激函數(shù)；含有階躍函數(shù)，在處將發(fā)生躍變，即但不含沖激函數(shù)，否則將含有項，故在處是連續(xù)的，即(1)第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析對（1）式從到進行積分，有由于，則又因為，故解得第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析解：(1)以為輸出列出其微分方程又因為故整理得第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析將已知參數(shù)代入上式得(2)求初始條件和根據系數(shù)匹配法可知(3)微分方程的解(2.2.10)式(2.1.10)的特征方程為其特征根：微分方程的齊次解為：第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析由于時，激勵為常數(shù)，故設特解為將其代入式(2.1.10)，得電容電壓全解為,其一階導數(shù)為,將初始條件和代入可得求解得第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析所以電容電壓為2.2.3零輸入響應與零狀態(tài)響應線性非時變系統(tǒng)的完全響應也可分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應。零輸入響應是激勵為零時，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所引起的響應，用表示。零狀態(tài)響應是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時，僅由輸入信號所引起的響應，用

表示。這樣，線性非時變系統(tǒng)的全響應將是零輸入響應和零狀態(tài)響應之和，即1．零輸入響應

在零輸入條件下，式(2.2.1)等式右端均為零，化為齊次方程第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析若其特征根全為單根，則其零輸入響應為其中為待定系數(shù)。由于輸入為零，則在處都連續(xù)，故初始值2．零狀態(tài)響應

若系統(tǒng)的初始儲能為零，亦即初始狀態(tài)為零，這時式(2.2.1)仍為非齊次方程。若其特征根均為單根，則其零狀態(tài)響應為第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析其中為待定系數(shù)，

為特解。系統(tǒng)的完全響應即可分解為自由響應和強迫響應，也可分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應，它們的關系為其中第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析可見，兩種分解方式有明顯的區(qū)別：

(1)盡管自由響應與零輸入響應都是齊次方程的解，但二者系數(shù)各不相同。由初始狀態(tài)和激勵共同確定，由初始狀態(tài)確定。(2)自由響應包含了零輸入響應和零狀態(tài)響應中的齊次解。對于系統(tǒng)響應還有一種分解方式，即瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應。

瞬態(tài)響應指時，響應趨于零的那部分響應分量。穩(wěn)態(tài)響應指時，響應不為零的那部分響應分量。第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析例2.9描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為已知、，。

求該系統(tǒng)的零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應。解：(1)求零輸入響應因為激勵為零，故滿足初始狀態(tài)為由于激勵為零，故在處都連續(xù)，即，則第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析該齊次方程的特征根為和，故零輸入響應為其一階導數(shù)為將初始值代入上兩式得解得將求得系數(shù)代入式(2.2.19)得(2.2.19)

，第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析(2)求零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應應滿足現(xiàn)在就要求出初始條件，由系數(shù)匹配法，可知

對式(2.2.20)從到進行積分，有(2.2.20)第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析在時，式(2.2.20)有不難求得其齊次解為其特解為于是零狀態(tài)響應為其一階導數(shù)為將初始值代入上式求得解之得第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析所以有

，(3)求全響應第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.3沖激響應與階躍響應2.3.1沖激響應1.沖激響應的定義當激勵為單位沖激函數(shù)時，LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應。沖激響應用表示，如圖2.3.1所示。第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.沖激響應的求解例2.10描述某系統(tǒng)的微分方程為試求該系統(tǒng)的沖激響應。(2.3.1)解：由沖激響應的定義可知：首先求初始條件和。

利用系數(shù)匹配法：從到積分得(2.3.2)第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析則由上式可得則當時，

式(2.3.2)為微分方程的特征根為故系統(tǒng)的沖激響應為系統(tǒng)的齊次解。，故系統(tǒng)的沖激響應為其一階導數(shù)為代入初始條件得解之得第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析所以系統(tǒng)的沖激響應為3.

初始值的確定一般說來，若N階微分方程的等號右端只含有激勵，即當時，沖激響應應滿足方程

由系數(shù)平衡法，可推得各初始值為第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析4.LTI系統(tǒng)沖激響應的求解步驟一般情況下，描述LTI系統(tǒng)的微分方程為(1)選取新變量，滿足方程的求解過程與式(2.3.2)的求解過程相同。(2)根據線性時不變系統(tǒng)零狀態(tài)響應的線性性質和微分特性，即可求出式(2.3.6)所示系統(tǒng)的沖激響應為(2.3.6)第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析例2.11描述某系統(tǒng)的微分方程為:試求該系統(tǒng)的沖激響應解：(1)選取新變量滿足方程微分方程的特征根為，故沖激響應為其一階導數(shù)為代入初始條件得解得第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析所以(2)求系統(tǒng)的沖激響應第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.3.2階躍響應1.階躍響應的定義

當輸入激勵為單位階躍函數(shù)時所引起的零狀態(tài)響應稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應。階躍響應用表示，如下圖所示2.初始值的確定及

的求解

如果N階微分方程等號右端只含有，當激勵為時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應即為階躍響應，滿足方程第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析根據系數(shù)匹配可知：(2.3.11)式(2.3.11)為非齊次微分方程，其解由齊次解和特解組成。3.階躍響應

與沖激響應

的關系

沖激函數(shù)與階躍函數(shù)的關系為根據線性時不變系統(tǒng)的微分、積分性質可得第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析例2.12描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為求該系統(tǒng)的階躍響應。解：階躍響應滿足方程微分方程的特征根為，故齊次解為特解為則階躍響應將初始值代入上式，得解得全解為第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析例2.13如圖所示的LTI系統(tǒng)，求其階躍響應及沖激響應。圖2.3.3例2.13用圖

解：(1)列寫微分方程設圖2.3.3中右端積分器的輸出為，則左端加法器的輸出即右端加法器的輸出消去中間變量后得到系統(tǒng)的微分方程為(2.3.18)第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析(2)階躍響應先求出如下微分方程的解根據線性性質，則式(2.3.18)描述的系統(tǒng)的階躍響應為滿足方程(2.3.19)由系數(shù)匹配可知式(2.3.18)微分方程的特征根為，其特解為0.5，則第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析將求得的初始值代入上式，有由解上式得：于是得：其一階導數(shù)為：所以系統(tǒng)的階躍響應為：第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析根據沖激響應與階躍響應的關系，即得(3)沖激響應第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.4卷積積分2.4.1卷積的定義1.信號的分解如果系統(tǒng)的激勵是任意信號，近似地看成由許多幅度不等的矩形脈沖組成。這些窄脈沖的寬度為，幅度分別取窄脈沖左側的函數(shù)值。第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析當時，窄脈沖可用階躍函數(shù)表示為令(2.4.2)式(2.4.2)表示幅值為，寬度為，面積等于1的矩形脈沖，則所以，當，將變?yōu)闆_激函數(shù)，即第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析故任意信號當時，，于是式(2.4.6)可改寫為(2.4.6)由式(2.4.6)可知，可看成由許多沖激函數(shù)疊加而成。

2.任意信號作用下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應若已知LTI系統(tǒng)的沖激響應，即第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析當系統(tǒng)的激勵為任意信號時的零狀態(tài)響應為當，上式可寫為稱為卷積積分簡記為3.卷積的定義若已知定義在區(qū)間上的任意兩個信號

和，則其積分稱為信號和的卷積積分，簡稱卷積，記為第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析例2.14已知某LTI系統(tǒng)的沖激響應為，求當激勵時的零狀態(tài)響應。解：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應是激勵信號與沖激響應的卷積積分，即由于當，，則第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.4.2卷積的圖解

對于一些較簡單的函數(shù)，如方波、三角波等，可以利用圖解方式來計算卷積。熟練掌握圖解卷積的方法，對理解卷積的運算過程是有幫助的。下面通過例題來介紹圖解卷積的具體步驟。例2.15已知信號已知兩信號和的波形如下圖所示，求第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析第二章連續(xù)系統(tǒng)的時域分析圖解法一般比較繁瑣，但若只求某一時刻的卷積值還是比較方便的。