2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.2.3空間中的垂直關(guān)系第2課時(shí)平面與平面垂直學(xué)案新人教B版必修2

PAGEPAGE1第2課時(shí)平面與平面垂直1．理解平面與平面垂直的定義．2．駕馭面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理．3．能用定義、判定定理、性質(zhì)定理解決有關(guān)垂直問(wèn)題．1．兩個(gè)平面相互垂直的定義(1)定義：假如兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線相互垂直，就稱這兩個(gè)平面相互垂直．(2)表示：平面α，β相互垂直，記作α⊥β．(3)畫(huà)法：兩個(gè)相互垂直的平面通常畫(huà)成如圖①、②所示．即把直立平面的豎邊畫(huà)成與水平平面的橫邊垂直．2．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理假如一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則兩個(gè)平面相互垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?平面α,a⊥平面β))?α⊥β性質(zhì)定理假如兩個(gè)平面相互垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β.a?α,α∩β＝b,a⊥b))?a⊥β1．對(duì)于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：選C．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,n⊥β))?eq\a\vs4\al(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(,m⊥β,m?α))?α⊥β.)2．點(diǎn)P是菱形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA＝PC．求證：平面PAC⊥平面PBD．證明：如圖所示，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以BD⊥AC，又因?yàn)锳O＝OC，PA＝PC，所以PO⊥AC．因?yàn)锽D∩PO＝O，所以AC⊥平面PBD．又因?yàn)锳C?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD．3．已知α⊥β，α∩β＝l，作直線m，使m⊥l，則m⊥α嗎？解：不肯定．當(dāng)m?β時(shí)，m肯定垂直α，如m?β，則m與α的關(guān)系不確定．面面垂直的判定如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，E，F(xiàn)，G分別是AD，DC，CA的中點(diǎn)．求證：平面BEF⊥平面BDG．【證明】因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是AD，DC，CA的中點(diǎn)，且AD＝DC，所以DFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))EG，且DF＝DE，所以四邊形EDFG為菱形，所以EF⊥DG，又因?yàn)锳B＝BC，AG＝GC，所以AC⊥BG，又因?yàn)镋F∥AC，所以EF⊥BG．又BG∩DG＝G，所以直線EF⊥平面BDG，又因?yàn)镋F?平面BEF，所以平面BEF⊥平面BDG．eq\a\vs4\al()在證明兩平面垂直時(shí)，一般方法是先從現(xiàn)有的直線中找尋平面的垂線，若圖形中沒(méi)有這樣的直線，則可通過(guò)作協(xié)助線來(lái)解決．在有平面垂直時(shí)，一般應(yīng)用性質(zhì)定理使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，即達(dá)到“線線垂直、線面垂直、面面垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化，這種垂直轉(zhuǎn)化也是立體幾何中解決垂直問(wèn)題的重要思想．如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點(diǎn)，且AC＝BC＝a，求證：平面VAB⊥平面VCD．證明：因?yàn)锳C＝BC，所以△ABC是等腰三角形．又D是AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB．又VC⊥底面ABC，AB?底面ABC，所以VC⊥AB．因?yàn)镃D∩VC＝C，CD?平面VCD，VC?平面VCD，所以AB⊥平面VCD．又AB?平面VAB，所以平面VAB⊥平面VCD．面面垂直的性質(zhì)已知P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求證：BC⊥AC．【證明】如圖，在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC于點(diǎn)D，因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AD⊥BC．因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，因?yàn)锳D∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，又AC?平面PAC，所以BC⊥AC．eq\a\vs4\al()證明線面垂直，除利用定義和判定定理外，另一種重要的方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理證明，應(yīng)用時(shí)應(yīng)留意：(1)兩平面垂直；(2)直線必需在一個(gè)平面內(nèi)；(3)直線垂直于交線．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD．求證：AE∥平面BCD．證明：如圖，取BC的中點(diǎn)M，連接DM，AM，因?yàn)锽D＝CD，且BD⊥CD，BC＝2，所以DM＝1，DM⊥BC．又因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC，所以AE∥DM．又因?yàn)锳E?平面BCD，DM?平面BCD，所以AE∥平面BCD．垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)，求證：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．【證明】(1)如圖，取EC的中點(diǎn)F，連接DF．因?yàn)镋C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以EC⊥BC．易知DF∥BC，所以DF⊥EC．在Rt△EFD和Rt△DBA中，因?yàn)镋F＝eq\f(1,2)EC，EC＝2BD，所以EF＝BD．又FD＝BC＝AB，所以Rt△EFD≌Rt△DBA，故DE＝DA．(2)取CA的中點(diǎn)N，連接MN，BN，則MN∥EC，且MN＝eq\f(1,2)EC．因?yàn)镋C∥BD，BD＝eq\f(1,2)EC，所以MNeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))BD，所以N點(diǎn)在平面BDM內(nèi)．因?yàn)镋C⊥平面ABC，所以EC⊥BN．又CA⊥BN，所以BN⊥平面ECA．因?yàn)锽N在平面MNBD內(nèi)，所以平面MNBD⊥平面ECA，即平面BDM⊥平面ECA．(3)由其次問(wèn)易知DM∥BN，BN⊥平面CAE，所以DM⊥平面ECA．又DM?平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．eq\a\vs4\al()垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化在關(guān)于垂直問(wèn)題的論證中要留意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一種垂直的判定都是從某一垂直起先轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)．求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD．證明：(1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD．(2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以AB∥DE，且AB＝DE．所以四邊形ABED為平行四邊形．所以BE∥AD．又因?yàn)锽E?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD．(3)因?yàn)锳B⊥AD，而且四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD．由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．所以CD⊥平面PAD．所以CD⊥PD．因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PD∥EF．所以CD⊥EF．又因?yàn)镃D⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF．因?yàn)镃D?平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD．線線、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用概述：(1)線線、線面、面面垂直間的關(guān)系(2)線線、線面、面面的垂直是從低維到高維逐層推動(dòng)的，其中線面垂直是紐帶．(3)線面垂直的判定方法運(yùn)用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，一般需作協(xié)助線．基本作法是過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，這樣把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直．證明時(shí)要分清求證結(jié)論與題設(shè)．1．若兩個(gè)平面α與β垂直，在第一個(gè)平面α內(nèi)的一條直線a垂直于其次個(gè)平面β內(nèi)的一條直線b，則()A．a(chǎn)⊥βB．b⊥αC．a(chǎn)不肯定垂直于βD．過(guò)a的平面必垂直于過(guò)b的平面答案：C2．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：選D．因?yàn)锳D⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD．又因?yàn)锳D?平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC．3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ACD1與平面BB1D1D的位置關(guān)系是．解析：如圖所示，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AC⊥BD,AC⊥BB1))?AC⊥平面BB1D1D,AC?平面AD1C))?平面AD1C⊥平面BB1D1D．答案：垂直4．如圖，已知PA垂直于圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，則圖中面面垂直的共有對(duì)．答案：3[學(xué)生用書(shū)P99(單獨(dú)成冊(cè))])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知平面α、β、γ，則下列命題中正確的是()A．α⊥β，β⊥γ，則α∥γB．α∥β，β⊥γ，則α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，則a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，則b⊥α解析：選B．A中α，γ可以相交；C中如圖：a與b不肯定垂直；D中b僅垂直于α的一條直線a，不能判定b⊥α．2．下列命題中錯(cuò)誤的是()A．假如平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)肯定存在直線平行于平面βB．假如平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)肯定不存在直線垂直于平面βC．假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．假如平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)全部直線都垂直于平面β解析：選D．假如平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)垂直于交線的直線都垂直于平面β，其它與交線不垂直的直線均不與平面β垂直，故D項(xiàng)敘述是錯(cuò)誤的．3．如圖所示，在立體圖形D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列命題正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：選C．因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，所以AC⊥平面BDE，因?yàn)锳C?平面ABC，AC?平面ADC．所以平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE．4．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成幾何體A-BCD，則在幾何體A-BCD中，下列結(jié)論正確的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：選D．由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，從而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC．又AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC．5．如圖所示，三棱錐P-ABC的底面在平面α內(nèi)，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點(diǎn)P，A，B是定點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是()A．一條線段B．一條直線C．一個(gè)圓D．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)解析：選D．因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC?平面PAC，所以AC⊥平面PBC．又因?yàn)锽C?平面PBC，所以AC⊥BC．所以∠ACB＝90°．所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點(diǎn)．6．長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，MN?平面BCC1B1，且MN⊥BC于M，則MN與AB的位置關(guān)系是．解析：由面面垂直的性質(zhì)定理知，MN⊥平面ABCD，因?yàn)锳B?平面ABCD．所以MN⊥AB．答案：垂直7．如圖，在三棱錐P-ABC內(nèi)，側(cè)面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝．解析：因?yàn)閭?cè)面PAC⊥底面ABC，交線為AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，所以PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)．答案：eq\r(5)8．如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，下列結(jié)論：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°．其中正確的有(把全部正確的序號(hào)都填上)．解析：由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，又PA∩AB＝A，所以AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，所以AE⊥PB，①正確；由題意得平面PAD⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②錯(cuò)；由正六邊形的性質(zhì)得BC∥AD，又AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD，所以直線BC∥平面PAE不成立，③錯(cuò)；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，所以∠PDA＝45°，所以④正確．答案：①④9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)，求證：(1)直線EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD．證明：(1)因?yàn)镋、F分別是AP、AD的中點(diǎn)，所以EF∥PD，又因?yàn)镻D?平面PCD，EF?平面PCD，所以直線EF∥平面PCD．(2)因?yàn)锳B＝AD，∠BAD＝60°，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，所以BF⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD，又因?yàn)锽F?平面BEF．所以平面BEF⊥平面PAD．10．在斜三棱柱A1B1C1-ABC(側(cè)棱與底面不垂直)中，底面是等腰三角形，AB＝AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC．若D是BC的中點(diǎn)．(1)求證：AD⊥CC1；(2)過(guò)側(cè)面BB1C1C的對(duì)角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C．證明：(1)因?yàn)锳B＝AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，因?yàn)榈酌鍭BC⊥側(cè)面BB1C1C，所以AD⊥側(cè)面BB1C1C，所以AD⊥CC1．(2)如圖，取BC1的中點(diǎn)E，連接ME，DE．因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以DE∥CC1，DE＝eq\f(1,2)CC1．因?yàn)锳A1∥CC1，AA1＝CC1，且M為AA1的中點(diǎn)，所以AM∥CC1且AM＝eq\f(1,2)CC1．所以DE∥AM，DE＝AM，所以四邊形ADEM是平行四邊形，所以EM∥AD．因?yàn)锳D⊥平面BB1C1C，所以EM⊥平面BB1C1C．又EM?截面MBC1，所以截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C．[B實(shí)力提升]11．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不肯定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β解析：選D．如圖所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β，故選D．12．在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，PC＝4，M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為．解析：連接CM，則由題意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝eq\r(PC2＋CM2)，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，當(dāng)CM⊥AB時(shí)CM有最小值，此時(shí)有CM＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，所以PM的最小值為2eq\r(7)．答案：2eq\r(7)13．如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．求證：(1)PA∥平面BDE；(2)平面PAC⊥平面BDE．證明：(1)連接EO，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，又E是PC的中點(diǎn)．所以EO∥PA．因?yàn)镋O?平面BDE，PA?平面BDE，所以PA∥平面BDE．(2)因?yàn)镻O⊥平