2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章計(jì)數(shù)原理1.2排列與組合1.2.1第2課時(shí)排列的綜合應(yīng)用教師用書教案新人教A版選修2-3

PAGE1-第2課時(shí)排列的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.進(jìn)一步理解排列的概念，駕馭一些排列問(wèn)題的常用解決方法．(重點(diǎn))2.能應(yīng)用排列學(xué)問(wèn)解決簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題．(難點(diǎn))通過(guò)排列學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).無(wú)限制條件的排列問(wèn)題【例1】(1)有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)有5種不同的書(每種不少于3本)，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？[思路點(diǎn)撥](1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問(wèn)題；(2)給每人的書均可以從5種不同的書中任選1本，各人得到哪本書相互之間沒有聯(lián)系，要用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算．[解](1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60，所以共有60種不同的送法．(2)由于有5種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的每本書都有5種不同的選購(gòu)方法，因此送給3名同學(xué)，每人各1本書的不同方法種數(shù)是5×5×5＝125，所以共有125種不同的送法．1．沒有限制的排列問(wèn)題，即對(duì)所排列的元素或所排列的位置沒有特殊的限制，這一類問(wèn)題相對(duì)簡(jiǎn)潔，分清元素和位置即可．2．對(duì)于不屬于排列的計(jì)數(shù)問(wèn)題，留意利用計(jì)數(shù)原理求解．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．將3張電影票分給10人中的3人，每人1張，共有________種不同的分法．720[問(wèn)題相當(dāng)于從10個(gè)人中選出3個(gè)人，然后進(jìn)行全排列，這是一個(gè)排列問(wèn)題．故不同分法的種數(shù)為Aeq\o\al(3,10)＝10×9×8＝720.]元素“相鄰”與“不相鄰”問(wèn)題【例2】3名男生、4名女生根據(jù)不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方法的種數(shù)．(1)全體站成一排，男、女各站在一起；(2)全體站成一排，男生必需站在一起；(3)全體站成一排，男生不能站在一起；(4)全體站成一排，男、女各不相鄰．[思路點(diǎn)撥]相鄰捆綁，不相鄰插空．[解](1)男生必需站在一起是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)種排法；女生必需站在一起是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法；全體男生、女生各視為一個(gè)元素，有Aeq\o\al(2,2)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288種排隊(duì)方法．(2)三個(gè)男生全排列有Aeq\o\al(3,3)種方法，把全部男生視為一個(gè)元素，與4名女生組成5個(gè)元素全排列，有Aeq\o\al(5,5)種排法．故有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720種排隊(duì)方法．(3)先支配女生，共有Aeq\o\al(4,4)種排法；男生在4個(gè)女生隔成的五個(gè)空中支配，共有Aeq\o\al(3,5)種排法，故共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440種排法．(4)排好男生后讓女生插空，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144種排法．“相鄰”與“不相鄰”問(wèn)題的解決方法處理元素“相鄰”“不相鄰”問(wèn)題應(yīng)遵循“先整體，后局部”的原則．元素相鄰問(wèn)題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”為一個(gè)大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列．元素不相鄰問(wèn)題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“一般”元素全排列，然后在“一般”元素之間及兩端插入不相鄰元素．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．5人站成一排，甲、乙兩人之間恰有1人的不同站法的種數(shù)為()A．18B．24C．36D．48C[5人站成一排，甲、乙兩人之間恰有1人的不同站法有3Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,2)＝36(種)．]元素“在”與“不在”問(wèn)題[探究問(wèn)題]有4名男生、5名女生，全體排成一排，則甲不在中間，也不在兩端有多少種不同排法？(1)用元素分析法，以甲為探討對(duì)象，如何解答？(2)用位置分析法，以中間和兩端三個(gè)位置為探討對(duì)象，如何解答？(3)用間接法，如何解答？(4)用等機(jī)會(huì)法，如何解答？[提示](1)先排甲有6種排法，其余有Aeq\o\al(8,8)種不同排法，故共有6Aeq\o\al(8,8)＝241920種排法．(2)中間和兩端共有Aeq\o\al(3,8)種不同排法，其余6人共有Aeq\o\al(6,6)種不同排法，故共有Aeq\o\al(3,8)·Aeq\o\al(6,6)＝336×720＝241920種排法．(3)共有Aeq\o\al(9,9)－3Aeq\o\al(8,8)＝6Aeq\o\al(8,8)＝241920種排法．(4)甲排在任何一個(gè)位置都是等可能的，故甲不在中間也不在兩端的排法，共有eq\f(6,9)Aeq\o\al(9,9)＝241920種排法．【例3】(1)有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物6門課程，從中選4門支配在上午的4節(jié)課中，其中化學(xué)不排在第四節(jié)，共有________種不同的支配方法．(用數(shù)字回答)(2)用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合下列條件的無(wú)重復(fù)數(shù)字的數(shù)？①六位數(shù)且是奇數(shù)；②個(gè)位上的數(shù)字不是5的六位數(shù)．[思路點(diǎn)撥](1)可以用干脆法或間接法求解，留意“化學(xué)”這個(gè)特殊元素．(2)留意“0”300[(1)法一：(分類法)分兩類．第1類，化學(xué)被選上，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,5)種不同的支配方法；第2類，化學(xué)不被選上，有Aeq\o\al(4,5)種不同的支配方法．故共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(4,5)＝300種不同的支配方法．法二：(分步法)第1步，第四節(jié)有Aeq\o\al(1,5)種排法；第2步，其余三節(jié)有Aeq\o\al(3,5)種排法，故共有Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(3,5)＝300種不同的支配方法．法三：(間接法)從6門課程中選4門支配在上午，有Aeq\o\al(4,6)種排法，而化學(xué)排第四節(jié)，有Aeq\o\al(3,5)種排法，故共有Aeq\o\al(4,6)－Aeq\o\al(3,5)＝300種不同的支配方法．](2)[解]①法一：從特殊位置入手(干脆法)：第一步：排個(gè)位，從1,3,5三個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有Aeq\o\al(1,3)種排法；其次步：排十萬(wàn)位，有Aeq\o\al(1,4)種排法；第三步：排其他位，有Aeq\o\al(4,4)種排法．故可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)且是奇數(shù)的共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝288(個(gè))．法二：從特殊元素入手(干脆法)：0不在兩端，有Aeq\o\al(1,4)種排法；從1,3,5中任選一個(gè)排在個(gè)位上，有Aeq\o\al(1,3)種排法；其他數(shù)字全排列有Aeq\o\al(4,4)種排法．故可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)且是奇數(shù)的共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝288(個(gè))．法三：(解除法)從整體上解除：6個(gè)數(shù)字的全排列數(shù)為Aeq\o\al(6,6)，0,2,4在個(gè)位上的排列數(shù)為3Aeq\o\al(5,5)，而1,3,5在個(gè)位上，0在十萬(wàn)位上的排列數(shù)為3Aeq\o\al(4,4)，故符合題意的六位數(shù)奇數(shù)共有Aeq\o\al(6,6)－3Aeq\o\al(5,5)－3Aeq\o\al(4,4)＝288(個(gè))．②法一：(解除法)6個(gè)數(shù)字的全排列有Aeq\o\al(6,6)個(gè)，0在十萬(wàn)位上的排列有Aeq\o\al(5,5)個(gè)，5在個(gè)位上的排列有Aeq\o\al(5,5)個(gè)，0在十萬(wàn)位上且5在個(gè)位上的排列有Aeq\o\al(4,4)個(gè)，故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(5,5)－(Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(4,4))＝504(個(gè))．法二：(干脆法)個(gè)位上不排5，有Aeq\o\al(1,5)種排法．但十萬(wàn)位上數(shù)字的排法因個(gè)位上排0與不排0而有所不同，因此，需分兩類：第一類，當(dāng)個(gè)位上排0時(shí)，有Aeq\o\al(5,5)種排法；其次類，當(dāng)個(gè)位上不排0時(shí)，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)種排法．故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝504(個(gè))．1．本例(2)條件不變，能組成多少個(gè)能被5整除的五位數(shù)？[解]個(gè)位上的數(shù)字必需是0或5.若個(gè)位上是0，則有Aeq\o\al(4,5)個(gè)；若個(gè)位上是5，若不含0，則有Aeq\o\al(4,4)個(gè)；若含0，但0不作首位，則0的位置有Aeq\o\al(1,3)種排法，其余各位有Aeq\o\al(3,4)種排法，故共有Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,4)＝216(個(gè))能被5整除的五位數(shù)．2．本例(2)條件不變，若全部的六位數(shù)按從小到大的依次組成一個(gè)數(shù)列{an}，則240135是第幾項(xiàng)？[解]由于是六位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有Aeq\o\al(5,5)個(gè)數(shù)，首位數(shù)字為2，萬(wàn)位上為0,1,3中的一個(gè)有3Aeq\o\al(4,4)個(gè)數(shù)，所以240135的項(xiàng)數(shù)是Aeq\o\al(5,5)＋3Aeq\o\al(4,4)＋1＝193，即240135是數(shù)列的第193項(xiàng)．解排數(shù)字問(wèn)題常見的解題方法1．“兩優(yōu)先排法”：特殊元素優(yōu)先排列，特殊位置優(yōu)先填充．如“0”不排“首位2．“分類探討法”：根據(jù)某一標(biāo)準(zhǔn)將排列分成幾類，然后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行，要留意以下兩點(diǎn)：一是分類標(biāo)準(zhǔn)必需恰當(dāng)；二是分類過(guò)程要做到不重不漏．3．“解除法”：全排列數(shù)減去不符合條件的排列數(shù)．4．“位置分析法”：按位置逐步探討，把要求數(shù)字的每個(gè)數(shù)位排好．解有限制條件的排列問(wèn)題的基本思路限制條件解題策略特殊元素通常采納“元素分析”法，即以元素為主，優(yōu)先考慮特殊元素的要求，再考慮其他元素特殊位置通常采納“位置分析”法，即以位置為主，優(yōu)先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置元素相鄰?fù)ǔ２杉{“捆綁”法，即把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列元素不相鄰?fù)ǔ２杉{“插空”法，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰元素插在前面元素排列的空當(dāng)中1．6名學(xué)生排成兩排，每排3人，則不同的排法種數(shù)為()A．36 B．120C．720 D．240C[由于6人排兩排，沒有什么特殊要求的元素，故排法種數(shù)為Aeq\o\al(6,6)＝720.]2．6位選手依次演講，其中選手甲不排在第一個(gè)也不排在最終一個(gè)演講，則不同的演講次序共有()A．240種 B．360種C．480種 D．720種C[先排甲，有4種方法，剩余5人全排列，有Aeq\o\al(5,5)＝120種，所以不同的演講次序有4×120＝480種．]3．用1,2,3,4,5,6,7這7個(gè)數(shù)字排列組成一個(gè)七位數(shù)，要求在其偶數(shù)位上必需是偶數(shù)，奇數(shù)位上必需是奇數(shù)，則這樣的七位數(shù)有________個(gè)．144[先排奇數(shù)位有Aeq\o\al(4,4)種，再排偶數(shù)位有Aeq\o\al(3,3)種，故共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,3)＝144個(gè)．]4．從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選出4人參與4×100m接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒，問(wèn)共有多少種參賽方案？[解]法一：從運(yùn)動(dòng)員(元素)的角度考慮，優(yōu)先考慮甲，分以下兩類：第1類，甲不參賽，有Aeq\o\al(4,5)種參賽方案；第2類，甲參賽，可優(yōu)先將甲支配在其次棒或第三棒，有2種方法，然后支配其他3棒，有Aeq\o