2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二單元等式與不等式第15課均值不等式的應(yīng)用課時同步練習(xí)含解析新人教B版必修第一冊

其次單元等式與不等式第15課均值不等式的應(yīng)用一、基礎(chǔ)鞏固1．若a＞1，則a＋eq\f(1,a－1)的最小值是()A．2B．a(chǎn)C.eq\f(2\r(a),a－1)D．3【答案】D【解析】∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋eq\f(1,a－1)＝a－1＋eq\f(1,a－1)＋1≥2eq\r(a－1·\f(1,a－1))＋1＝3.2．已知x＜0，則y＝x＋eq\f(1,x)－2有()A．最大值為0 B．最小值為0C．最大值為－4 D．最小值為－4【答案】C【解析】∵x<0，∴y＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\f(1,－x)))－2≤－2－2＝－4，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1時取等號．3．設(shè)x＞0，則y＝3－3x－eq\f(1,x)的最大值是()A．3 B．－3eq\r(2)C．3－2eq\r(3) D．－1【答案】C【解析】∵x＞0，∴y＝3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))≤3－2eq\r(3x·\f(1,x))＝3－2eq\r(3).當(dāng)且僅當(dāng)3x＝eq\f(1,x)，且x＞0，即x＝eq\f(\r(3),3)時，等號成立．4．若x＞0，y＞0，且eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，則x＋y的最小值是()A．3B．6C．9 D．12【答案】C【解析】x＋y＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝1＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)＋4＝5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥5＋2eq\r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝5＋4＝9.當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)＝1，,\f(y,x)＝\f(4x,y)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝6))時等號成立，故x＋y的最小值為9.5.若關(guān)于x的不等式對隨意的恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?所以(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以由題意，得，解得,故選C.6.若,則的最小值是（ ）A. B. C.4 D.2【答案】A【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.7.某工廠第一年產(chǎn)量為,其次年增長率為,第三年的增長率為,這兩年的平均增長率為,則(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】這兩年的平均增長率為，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.8.已知均為正實(shí)數(shù),求證:.【答案】見解析【解析】∵，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，∴，∴，①同理，②.③①+②+③，得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r等號成立.二、拓展提升9.若實(shí)數(shù)滿意,則的最小值為（ ）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】實(shí)數(shù)滿意，則,當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立.故選C.10.設(shè)若，則的最小值為______．【答案】9【解析】因?yàn)椋遥?/p>

且，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

結(jié)合可解得且，

故所求最小值為9

故答案為：911.若實(shí)數(shù)x，y滿意x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________．【答案】eq\f(2\r(3),3)【解析】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2＋1.∴eq\f(3,4)(x＋y)2≤1.12.在下面等號右側(cè)兩個分?jǐn)?shù)的分母方塊處，各填上一個正整數(shù)，并且使這兩個正整數(shù)的和最小，1＝eq\f(1,□)＋eq\f(9,□)，試求這兩個數(shù)．【答案】見解析【解析】設(shè)eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝1，a，b∈N*，∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(9,b)))＝1＋9＋eq\f(b,a)＋eq\f(9a,b)≥10＋2eq\r(\f(b,a)·\f(9a,b))＝10＋2×3＝16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝e