2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

專題10對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

【考點預(yù)測】

1.對數(shù)式的運算

(1)對數(shù)的定義：一般地，如果a，=N(a>0且awl),那么數(shù)x叫做以。為底N的對數(shù),

記作尤=logN,讀作以。為底N的對數(shù)，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

a

(2)常見對數(shù)：

①一般對數(shù)：以。(。>0且awl)為底，記為log',讀作以。為底N的對數(shù)；

a

②常用對數(shù)：以10為底，記為IgN；

③自然對數(shù)：以e為底，記為InN；

(3)對數(shù)的性質(zhì)和運算法則：

①10gl=0；logo=1；其中a>0且awl；

aa

②aiog,=N(其中〃〉0且aw1，N>0)；

logb

③對數(shù)換底公式：lOgb=\~=；

aloga

c

④log(W)=logM+logN；

aaa

_M

⑤log—=log"—logN；

aNaa

Yl

(6)log=—logb(m,neR)-

加ma

⑦aiogj=匕和logab=b；

a

⑧l(xiāng)ogz?=--1—.

aloga

b

2.對數(shù)函數(shù)的定義及圖像

(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)y=logx(a>0且a*l)叫做對數(shù)函數(shù).

a

對數(shù)函數(shù)的圖象

a>l0<6Z<l

1X=1匕LX=1

\,

圖象)

；\!(ho一

0/(l,0)t0r<x

定義域：(0,+C0)

性質(zhì)

值域：R

過定點（1，。），即X=1時，y=0

在（0,+00）上增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

當0＜冗＜1時，y＜0,當xNl時，當0<x<l時，y>0,當xNl時，y<0

y＞Q

【方法技巧與總結(jié)】

1.對數(shù)函數(shù)常用技巧

在同一坐標系內(nèi)，當。＞1時，隨4的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近X軸；當0＜。＜1時,

對數(shù)函數(shù)的圖象隨。的增大而遠離x軸.（見下圖）

。增大

------【題型歸納目錄】

,,。增大

題型一：對數(shù)運算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式

題型二：對數(shù)函數(shù)的圖像

題型三：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））

題型四：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

題型五：對數(shù)函數(shù)的綜合問題

【典例例題】

題型一：對數(shù)運算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式

例1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）⑴計算3啕2+27：+lg50+lg2；

（2）已知log,[log3（lgx）]=l,求實數(shù)x的值；

（3）若18。=5,log9=b,用a,b,表示log45.

1836

例2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（1）求logeJog8Jog27的值.

5

（2）已知log5=a,3/?=7,試用。，6表示log35

921

212

例3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（1）已知均為正數(shù),且3a=4b=6c,求證：—+7=—；

abc

（2）若60a=3,606=5,求10的值.

例4.（2022?全國?模擬預(yù)測）若e.=4,e》=25,則（）

A.a+6=100B.b—a—c

C.ab<81n22D.b-a>ln6

例5.(2022?全國?模擬預(yù)測)已知實數(shù)x,丁滿足x>0,y>0,x^l,ywl,xy=yx,

logX+-=4,貝gx+y=()

例6.（2022?北京昌平?二模）已知函數(shù)/（無）=以2一4辦+2（。＜0）,則關(guān)于尤的不等式

〃x）＞log」的解集是（）

A.(一8,4)C.(0,4)D.(4,+oo)

logX,X>1,

例7.（2022?全國?江西師大附中模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)/（x）=:則不等式

1-X2,X<1,

/?＜/（%-1）的解集為.

例8.（2022?遼寧?東北育才學(xué)校二模）若函數(shù)〃x）滿足：（1）Vx,尤e（0,zo）且XRX,

1212

都有勺）＜0；（2）f=/G）-/G）,則〃x）=___________.（寫出滿足這

X-xlx）12

21'2'

些條件的一個函數(shù)即可）

例9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fG）=log尤（加＞0且〃-1）的圖像經(jīng)過點（3,1）.

m

（1）解關(guān)于尤的方程/2（》）+（相-1）/（工）+1-根2=0；（2）不等式［1+/（*）］｛。一/（%）］＞。

的解集是9；試求實數(shù)a的值.

【方法技巧與總結(jié)】

對數(shù)的有關(guān)運算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問題

是要將其化為同底，利用對數(shù)單調(diào)性去掉對數(shù)符號，轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)的問題，但這里必須注

意對數(shù)的真數(shù)為正.

題型二：對數(shù)函數(shù)的圖像

例10.（2022?山東濰坊?二模）已知函數(shù)/G）=log（x-6）（a＞0且awl）的圖像如圖所示，

a

則以下說法正確的是（）

B.ab<-1

log|Z?|>0

例IL（2022?江蘇省高郵中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)y=log（x+3）-1（。>0且awl）的圖象恒

a

過定點A,若點A在直線如+盯+1=0上，其中加幾>0,則'+'的最小值為（）

mn

A.3-25/2B.1+72C.3+20D.2+2正

（多選題）例12.（2022?福建?莆田二中模擬預(yù)測）已知函數(shù)g（x）=log（x+Q（a>0且awl）

a

的圖象如下所示.函數(shù)的圖象上有兩個不同的點A（x,y）,B（x,y）,

1122

B./（尤）在R上是奇函數(shù)

A.a>l,k>2

C.7（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)D.當尤20時，2/（x）</（2x）

-2x2+3x,-2<x<0

例13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知了⑴工1八.，若g（%）=|/（初-依-a

In——,0<x<2

x+1

的圖象與尤軸有3個不同的交點，則實數(shù)。的取值范圍為.

【方法技巧與總結(jié)】

研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.圖像問題

是數(shù)和形結(jié)合的護體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.

題型三：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））

例14.（2022?陜西?榆林市第十中學(xué)高二期中（文））函數(shù)y=log（4+3x-尤2）的一個單調(diào)增

2

區(qū)間是（）

A.B.D.

1

<

辦2XX

--4--

例15.（2022?天津?南開中學(xué)二模）已知函數(shù)/G）=<是R上的單調(diào)函數(shù),

則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.B.

452

C.D.

例16.（2022?浙江?模擬預(yù)測）己知實數(shù)。,?！辏?,+00）,且log〃+log3=logb+log4,則

3b3a

（）

A.yfa<b<aB.b<\［a<aC.^/a<a<bD.a<b<y［a

例17.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））函數(shù)人x）=log〃x（0VaVl）在口2,〃］上的最大值是（）

A.0B.1

C.2D.。例18.（2022?重慶?模擬預(yù)測）若函數(shù)/（尤）=log（-3歲+4ax-l）有最小值，

a

則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.—4B.（1,⑨

I"）

（0r

C.0,D.（V3,+co）

I2J

【方法技巧與總結(jié)】

研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.性質(zhì)問題

是數(shù)和形結(jié)合的護體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.

題型四：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

例19.（2022?北京?高三專題練習(xí)）若不等式群-log/<。在，,，內(nèi)恒成立，則a的取值

范圍是（）

1111

A.—Wa<1B.—<a<lC.0<〃?—D.0<〃<—

16161616

（1Aax2—2x+4（|

例20.（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=：的值域為［。，驍］，若不等式

logC-4A）<logQT）在Xell,2］上恒成立，則r的取值范圍是（）

aa

A.f—,2jB.f—C.（—8,2）D.（0,2）

例21.（2022?浙江?高三階段練習(xí)）已知函數(shù)/G）=21二，8（。=臃」+°,若存在5€[3,4],

任意尤e[4,8],使得/（x）2g（x）,則實數(shù)。的取值范圍是

212-----------------------------

例22.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=x-lnx,已知實數(shù)a>0,若

/0）+00+1!1420在（0,+8）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

例23.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/⑶=ax+logx（a>0,a*1）在口Z上的最大值

a

與最小值之和為6+log2.

a

（1）求實數(shù)a的值；

（2）對于任意的xe[2,+s）,不等式9（x）T20恒成立，求實數(shù)上的取值范圍.

例24.（2022?陜西安康?高三期末（文））已知函數(shù)/G）=（logx>+21ogx+3（a>0,a21）.⑴

aa

若/（3）=2,求。的值；

⑵若對任意的xe[8,12],/（x）>6恒成立，求。的取值范圍.

例25.（2022?上海?高三專題練習(xí)）已知/（x）=3-21ogx,g（x）=logx.

22

（1）當xJ,4]時，求函數(shù)'=[/。）+1]送（無）的值域；

（2）對任意xe[2“,2”+[,其中常數(shù)〃wN,不等式/Q2）"（?）>念（工）恒成立，求實數(shù)上

的取值范圍.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像求解；

（2）分離自變量與參變量，利用等價轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用

導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.

題型五：對數(shù)函數(shù)的綜合問題

例26.（2022?河北?張家口市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知定義域為（0,討）的單調(diào)遞增函數(shù)

/G）滿足：Vxe（0,y）,有/G（x）-ln尤）=1,貝lj方程/（x）=-x2+4x-2的解的個數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

例27.（2022?四川雅安?三模（文））設(shè)/G）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意xeR,都有

/G+4）=/G）,且當xJ-2,0]時，=-6.若在區(qū)間（一2,61內(nèi)關(guān)于x的方程

/G）-logG+2）=0（a>l）恰有3個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是（）.

a

A.（1,2）B,（2,+s）C.（，加D.5,2）

例28.（2022?廣西柳州?高一期中）已知a>6>0,且a+b=l,則（）

A.sina>sinZ?B.—>-C.2a+2。>2"D.lgtz+lgZ?=O

ab

例29.（2022?河北保定二模）已知函數(shù)y=32,-23,在（0,鐘）上先增后減，函數(shù)y=43-'--34-'

在（0,討）上先增后減.若log（logX）=log（logx）=〃〉0,log（logX）=log（logX）=Z?,

231321242422

log（logX）=log（logX）=c>0,則（）

343433

A.a〈cB.b<aC.c<aD.a<b

例30.（2022?廣東?三模）已知a,6eR,e是自然對數(shù)的底，若b+eb=a+lna,則f的取值

b

可以是（）

A.1B.2C.3D.4

例31.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知x是函數(shù)/（無）=百1+辰_2的零點，則ezf+lg=

00

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2022?遼寧遼陽?二模）區(qū)塊鏈作為一種新型的技術(shù),被應(yīng)用于許多領(lǐng)域.在區(qū)塊鏈技術(shù)中，

某個密碼的長度設(shè)定為512B,則密碼一共有2512種可能，為了破解該密碼，在最壞的情況

下，需要進行2512次運算.現(xiàn)在有一臺計算機，每秒能進行2.5X10M次運算，那么在最壞的情

況下，這臺計算機破譯該密碼所需的時間大約為（參考數(shù)據(jù)lg2“0.3,Vi0?1.58）（）

A.3.16xl0i39sB.1.58x10139s

C.1.58xlOuosD.3.16xlOwos

2.（2022?山東?肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）已知?1°=P,%=〃，其中機＞0且

log3

m

九〉0且〃。1,若2加一〃=0,貝的值為（）

A.log2B.log3C.2D.3

32

3.（2022?河南安陽?模擬預(yù)測（文））已知正實數(shù)x,y,z滿足=1道），則（）

111111112112

A.—+—=-B.—+-=-C.—+—=-D.-+—=一

xyzyzxxyzxzy

4.（2022?河南?南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)f（x）=ln（2+2x）+ln（3-3。，則/（x）

（）

A.是奇函數(shù)，且在?！簧蠁握{(diào)遞增

B.是奇函數(shù)，且在0,1上單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在0』上單調(diào)遞增

D.是偶函數(shù)，且在。」上單調(diào)遞減

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)=log(x-l)+2的圖象恒過定點

a

A.(2,2)B.(2,1)C.(3,2)D.(2,0)

6.(2022?安徽六安一模(文))設(shè)函數(shù)/Q)=2-JX2+4,g(x)=InQx?-4尤+1),若對任

意的xeR,都存在實數(shù)，使得/G)=g(x)成立，則實數(shù)。的取值范圍為()

112

A.(-41B.(0,41C,[0,4]D.(0,2]

7.(2022?湖北?荊門市龍泉中學(xué)二模)設(shè)a>0且a,若>/51og龍〉sinx+cosx對xe(0,三)

a4

恒成立，則a的取值范圍是()

A.(0與B.(0,?c.D.0,1)

44424

8.(2022?浙江?模擬預(yù)測)己知實數(shù)a,be(1,+oo),且loga+log3=logb+log4,則()

3b3a

A.y/a<b<aB.b<-Ja<aC.y/a<a<bD.a<b<y[a

二、多選題

9.(2022?重慶市天星橋中學(xué)一模)已知。>0涉>0,且a+b=l,則下列結(jié)論正確的是()

A.!+:的最小值是4

ab

B.ab丁的最小值是2

ab

c.2a+2b的最小值是2"

D.log〃+log。的最小值是-2

22

10.(2022?廣東汕頭?二模)設(shè)a",。都是正數(shù)，且4a=6匕=%,則下列結(jié)論正確的是()

121

A.ab+bc=lacB.ab+bc=acC.D.—=-------

cba

11.(2022?河北?高三階段練習(xí))下列函數(shù)中，存在實數(shù)使函數(shù)/G)為奇函數(shù)的是()

A.于(x)=1g(+1尤2+〃)B./(x)=X2+ax

C./(%)=-----2D./(x)=xln+a)--

ex-12

12.(2022?江蘇?南京師大附中高三開學(xué)考試)當。時，4A<logx,則。的值可以為

2。

()

A.也B.3C.叵D.42

223

三、填空題

13.(2022?天津?二模)已知log4(x+4y)=l+log,^y^,貝!jx+2y的最小值為.

14.(2022?全國二專題練習(xí))已知me%-3+lnx=3,貝！Je3r+lnx=.

15.(2022?河南?模擬預(yù)測(文))已知函數(shù)/G)=4'T尤<1,若i</(q)v2,則實數(shù)。

logXX>1

I29

的取值范圍為.

16.(2022?河南?開封高中模擬預(yù)測(文))已知函數(shù)y=/G)為奇函數(shù)，且對定義域內(nèi)的任

意x者B有/(l+x)=-/(l-Q.當xw(l,2)時，/(x)=l-log尤.給出以下4個結(jié)論：

2

①函數(shù)y=/G)的圖象關(guān)于點Q,0)GeZ)成中心對稱；

②函數(shù)y=|/G)|是以2為周期的周期函數(shù)；③當xe(o,l)時，/G)=log(2-x)-l;

④函數(shù)y=/(|)在(左，左+1)Gwz)上單調(diào)遞減.

其中所有正確結(jié)論的序號為.

四、解答題

17.(2022?北京?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=logx(a>0),且awl),設(shè)0>1,函數(shù)

a

y=|logx|的定義域為阿，n\(m<n),值域為［0,1］,定義“區(qū)間［加，網(wǎng)的長度等于〃一加”，

a

若區(qū)間阿，司長度的最小值為葭求實數(shù)a的值；

18.(2022?全國?高三專題練習(xí)(理))已知函數(shù)人x)=logQ(x+l)—loga(l—x),a>0且。聲.

(1)求加)的定義域；

(2)判斷外)的奇偶性并予以證明；

(3)當?！?時，求使段)>0的二的解集.

19.(2022?北京?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=logMa>。)且〃。1),作出丁="(%)1的大致

a

圖像并寫出它的單調(diào)性；

20.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(logx-3)Jog4x.當xe；,16時，求該

4414

函數(shù)的值域；

21.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知：函數(shù)/(x)=log匕竺在其定義域上是奇函數(shù)，a

05X-1

為常數(shù).

⑴求a的值.

(2)證明：/。)在(1,+00)上是增函數(shù).

(3)若對于h4］上的每一個x的值，不等式+m恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

22.(2022?北京東城?高三期末)曲線y=lnx在點4(f,lnt)處的切線/交x軸于點

⑴當"e時，求切線/的方程；

(2)°為坐標原點，記AAM°的面積為S,求面積S以f為自變量的函數(shù)解析式，寫出其

定義域，并求單調(diào)增區(qū)間.

專題10對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

【考點預(yù)測】

1.對數(shù)式的運算

(1)對數(shù)的定義：一般地，如果a，=N(a>0且awl),那么數(shù)x叫做以。為底N的對數(shù),

記作尤=logN,讀作以。為底N的對數(shù)，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

a

(2)常見對數(shù)：

①一般對數(shù)：以。(。>0且awl)為底，記為log',讀作以。為底N的對數(shù)；

a

②常用對數(shù)：以10為底，記為IgN；

③自然對數(shù)：以e為底，記為InN；

(3)對數(shù)的性質(zhì)和運算法則：

①10gl=0；logo=1；其中a>0且awl；

aa

②aiog,=N(其中〃〉0且aw1，N>0)；

logb

③對數(shù)換底公式：lOgb=\~=；

aloga

c

④log(W)=logM+logN；

aaa

_M

⑤log—=log"—logN；

aNaa

Yl

(6)log=—logb(m,neR)-

加ma

⑦aiogj=匕和logab=b；

a

⑧l(xiāng)ogz?=--1—.

aloga

b

2.對數(shù)函數(shù)的定義及圖像

(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)y=logx(a>0且a*l)叫做對數(shù)函數(shù).

a

對數(shù)函數(shù)的圖象

a>l0<6Z<l

1X=1匕LX=1

\,

圖象)

；\!(ho一

0/(l,0)t0r<x

定義域：(0,+C0)

性質(zhì)

值域：R

過定點（1，。），即X=1時，y=0

在（0,+00）上增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

當0＜冗＜1時，y＜0,當xNl時，當0<x<l時，y>0,當xNl時，y<0

y＞Q

【方法技巧與總結(jié)】

1.對數(shù)函數(shù)常用技巧

在同一坐標系內(nèi)，當。＞1時，隨4的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近X軸；當0＜。＜1時,

對數(shù)函數(shù)的圖象隨。的增大而遠離x軸.（見下圖）

。增大

------【題型歸納目錄】

,,。增大

題型一：對數(shù)運算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式

題型二：對數(shù)函數(shù)的圖像

題型三：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））

題型四：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題

題型五：對數(shù)函數(shù)的綜合問題

【典例例題】

題型一：對數(shù)運算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式

例1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）⑴計算3啕2+27：+lg50+lg2；

（2）已知log,［log3（lgx）］=l,求實數(shù)x的值；

（3）若18。=5,log9=b,用a,b,表示log45.

1836

【答案】（1）7；（2）109；（3）—.

2-b

【解析】

（1）利用對數(shù)恒等式和對數(shù)的運算法則計算即可；

（2）利用指對互化可得實數(shù)尤的值；

（3）先求出再利用換底公式結(jié)合對數(shù)的運算法則求得結(jié)果.

【詳解】（1）原式=2+3+lg（5xl0）+lg2=5+lg5+l+lg2=6+lg5+lg2=6+lgl0=7；

（2）因為峪［愣（愴尤）］=1,所以log3（lgx）=2,所以lgx=3z=9,所以產(chǎn)109；

(3)因為18〃=5,所以1。%5=%所以

log45log(5x9)_log5+log9

log45二——

36log36log(18x2)log18+log~(18^-9)

18181818

log5+log9_a+b

log18+log18-log92-b'

181818

例2.(2022?全國?高三專題練習(xí))⑴求log春log8-log27的值.

5

(2)已知log5=a,3〃=7,試用。，6表示log35

921

2a+b

【答案】(1)18；(2)

b+1

【解析】

【分析】

(1)首先根據(jù)題意得到原式=(-21og5)-(31og2)-(-31og3),再利用換底公式化簡即可得

235

到答案.

⑵首先根據(jù)題意得到峭75照5=2%再利用換底公式化簡即可得到答案.

【詳解】

(1)原式=log5-2-log23-log33=(-210g5)-(3log2)-(-31og3)

235-1235

5?昌旨備18⑵由3:7得到bgjf

由log5=<7,得到Q=1log5,即log5=2〃.

9233

1__log35log5+log72a+b

log35=—^6——=-^6-------—=----------

21log21log7+log3b+1,

333

【點睛】

本題主要考查對數(shù)的換底公式，同時考查指數(shù)、對數(shù)的互化公式，屬于中檔題.

212

例3.(2022?全國?高三專題練習(xí))(1)已知a,b,c均為正數(shù),且3a=4b=6c,求證：一+丁=一;

abc

(2)若60〃=3,60b=5,求口4-＜，*的值.

【答案】(1)詳見解析；(2)2.

【解析】【分析】

(1)設(shè)3。=4&=6。=左＞1,應(yīng)用指對數(shù)的互化有。=logk,b=logk,c=logk,進而應(yīng)用

346

換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)分別求士2+;1、2即可證結(jié)論；

abc

1-a-b

(2)應(yīng)用指對數(shù)互化有〃=log3,A=log5,應(yīng)用對數(shù)的運算性質(zhì)求77r"k，進而可求

60602(1-/?)

122J(1i-6)“的侑且.

【詳解】

(1)設(shè)3a=48=6。=女，貝！J%>1.

a=logk,b=logk,c=logk,

346

=+=21og3+log4=log9+log4=log36=21og6,

ablogklogkkkkkkk

34

22

而一=?;_7=21°g6,

ClogKk

6

212

??一+-=—.

abc

(2)由題設(shè)知："log/,b=log6a5,

得1一/?=1一log5=log12,1-a-b=l-\og3-log5=log4,

6060606060

1-a-blog421Og2

—=----------69i2=log2

2(1-Z?)21og12212

60

lllll

122(1-/,)=1210gl22=2

例4.(2022?全國?模擬預(yù)測)若ea=4,加=25,則()

A.a~\~b—100B.b-a—Q

C.ab<81n22D.b-a>ln6

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指數(shù)和對數(shù)互化，得到。，b后逐項判斷.

【詳解】

對于A,由既=4,部=25,得。=ln4,Z?=In25,所以a+b=In4+ln25=Ini。。，故A錯

誤；

25

對于B,/>-a=ln25-ln4=ln—,故B錯誤；

4

對于C,flfe=ln4xln25>21n2xlnl6=81n22,故C錯誤；對于D,

25

Z?-a=In25-In4=In~~->In6,故D正確.

4

故選：D.

例5.(2022?全國?模擬預(yù)測)已知實數(shù)x,>滿足x>0,y>0,xwl,ywl,外=戶，

logx+—=4,貝!Jx+y=()

yy

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)X，=戶得到號一=一,再利用換底公式得到一=2,利用/一=2,即x=yz,求出x=4,

igyyyigy

y=2,所以尤+y=6.

【詳解】

,,Igxx

Sxy=yx,得yig尤=xlgy,--=—.

igyy

由logx+-=4,logx=^x,所以;gX+》=4,

》yx1gy1gyy

所以W,解得：-=2,則用=2,即x=y2,

yyyigy-

所以x=4,y=2,所以x+y=6,

故選：C.

例6.(2022?北京昌平?二模)已知函數(shù)/(刈=以2-4"+2(a<0),則關(guān)于尤的不等式

f(X)>logX的解集是()

2

A.(-<?,4)B.C.(0,4)D.(4,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】

由二次函數(shù)的性質(zhì)判斷了(x)區(qū)間單調(diào)性，根據(jù)解析式知Ax)恒過(4,2)且/(0)=2,進而確

定區(qū)間值域，再由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求>=logx的對應(yīng)區(qū)間值域，即可得不等式解集.

2

【詳解】

由題設(shè)，/(X)對稱軸為x=2且圖象開口向下，則〃X)在(0,2)上遞增，(2,+⑸上遞減，

由/(%)=ax2-4ax+2=ax(x-4)+2,即/(x)恒過(4,2)且/(0)=2,

所以(0,4)上/(尤)>2,(4,+co)上/(x)<2,

而y=logx在(0,+8)上遞增，且(0,4)上y<2,(4,+00)上>>2,所以/(x)>logx的解集

22

為(0,4).

故選：C

flogX,X>1,

例7.(2022?全國?江西師大附中模擬預(yù)測(文))已知函數(shù)/(x)=:則不等式

1-X2,%<1,

〃x)</(尤-1)的解集為

【答案】k

【解析】

【分析】

分XVI、1<X42和x>2,依次解不等式，再取并集即可.

【詳解】

當時，不等式/（x）</（無一1）為1-尤2,解得g<x41；

當1<X42時，不等式/（x）</（x-l）為bgJ<l-（xT）2,易知

2

logix<logil=0,l-（x-l）2>0）解得1<XW2；

22

當x>2時，不等式〃尤）為一1）,解得x>2；

22

綜上，解集為：

故答案為：1

例8.（2022?遼寧?東北育才學(xué)校二模）若函數(shù)/（X）滿足：（1）Vx,Xe（o,口）且XRX,

1212

都有'工.<（）；（2）f4=/G）_/（x）,貝打（無）=____________.（寫出滿足這

X-xlx）12

21'2'

些條件的一個函數(shù)即可）

［答案］l°g「，（logax,（0<a<］潮對）

2

【解析】

【分析】

滿足第一個條件，表示函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，第二個條件正好是符合對數(shù)的運算性質(zhì)；

【詳解】

對于條件①，不妨設(shè)X<X,則x—x>。，.../（&）一/（p<0,.../（x）一y（x）<0

1221x-X21

21

Af（x）>/（x）,”x）為（0,收）上的單調(diào)遞增函數(shù)，對于條件②，剛好符合對數(shù)的運算性

12

質(zhì)，故這樣的函數(shù)可以是一個單調(diào)遞減的對數(shù)函數(shù).

故答案為:咋工。（logqx,（0<"1）都對）

2

例9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/G）=log尤（加>0且機W1）的圖像經(jīng)過點（3,1）.

m

（1）解關(guān)于x的方程于2（%）+（m-1）/G）+l