2023年高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及礎(chǔ)題型復(fù)習(xí)：立體幾何模塊之簡單空間幾何體

第一節(jié)簡單空間幾何體

【知識(shí)點(diǎn)1］認(rèn)識(shí)簡單幾何體

1.空間幾何體

（1）概念：如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形叫做空

間幾何體.

（2）多面體與旋轉(zhuǎn)體

多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體（如圖），圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；

相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).

2.幾種常見的多面體

多面體定義圖形及表示相關(guān)概念

有兩個(gè)面互相平行，其余各

底面（底）：兩個(gè)互相平行的面

面都是四邊形，并且每相鄰

側(cè)面：其余各面..

棱柱兩個(gè)四邊形的公共邊都互相

如圖可記作：棱柱45CDE尸側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊.

平行，由這些面所圍成的多

—A'B'CD1E'F'頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn).

面體叫做棱柱.

夫”廢名

有一個(gè)面是多邊形，其余各底面（底）：多邊形面.側(cè)面：有

面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面

棱錐

角形，由這些面所圍成的多*It側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊.

如圖可記作，

面體叫做棱錐.頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn).

棱錐S-ABCD

q上底面：原棱錐的截面

佻\

〃1、

下底面：原棱錐的底面.

用一個(gè)平行于棱錐底面的平

通側(cè)面：其余各面

棱臺(tái)面去截棱錐，底面與截面之

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊.

間的部分叫做棱臺(tái).

如圖可記作：棱臺(tái)頂點(diǎn)：側(cè)面與上（下）底面的公

ABCD-A'B'C'D'共頂點(diǎn).

3.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的關(guān)系

在運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)下，棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的關(guān)系可以用下圖表示出來（以三棱柱、三棱錐、三棱臺(tái)為例）.

1

上底面變小

下.底面獷大到

與下底面相等

4.（1）各種棱柱之間的關(guān)系

①棱柱的分類

,正棱柱（底面是正多邊形）

直棱柱（側(cè)棱垂直底面）＜

棱柱＜一般的直棱柱

斜棱柱（側(cè)棱不垂直底面）

②常見的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系

底面是平行四邊形惻樓垂直于底面

平行六面體

四

核

柱

例棱垂直于底面底面是平行四邊形

底

底面是正方形面

_是

所

_長

有

_方

校_

_形

長_

相_

等_

體

訪底面是矩形

長

體

所有校長相等方平行六面體

（2）棱柱、棱錐、棱臺(tái)在結(jié)構(gòu)上既有區(qū)別又有聯(lián)系，具體見下表:

平行于底面

名稱底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤飧?/p>

的截面

平行且全等的兩個(gè)

斜棱柱平行四邊形平行且相等與底面全等

多邊形

棱柱

平行且全等的兩個(gè)平行、相等且垂等于

直棱柱矩形與底面全等

多邊形直于底面?zhèn)壤?/p>

全等的等腰二有一個(gè)公共頂

正棱錐一個(gè)正多邊形過底面中心與底面相似

角形點(diǎn)且相等

棱錐

其他棱有一個(gè)公共頂

一個(gè)多邊形三角形與底面相似

錐點(diǎn)

平行且相似的兩個(gè)全等的等腰梯相等且延長后

正棱臺(tái)與底面相似

正多邊形形交于一點(diǎn)

棱臺(tái)

其他棱平行且相似的兩個(gè)延長后交于一

梯形與底面相似

臺(tái)多邊形點(diǎn)

溫馨提醒：正四面體是所有棱長相等的特殊的正三棱錐。正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱。

5.旋轉(zhuǎn)體

2

⑴圓柱

①定義：以矩形一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.

②相關(guān)概念（圖I）

③表示法：圓柱用表示它的軸的字母表示，圖中圓柱表示為圓柱O。.

IMJtE

圖1圖2

（2）圓錐

①定義：以直角三角形的一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐.

②相關(guān)概念（圖2）

③表示法：圓錐用表示它的軸的字母表示，圖中圓錐表示為圓錐SO

（3）圓臺(tái)

①定義：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái).

②相關(guān)概念（圖3）

③表示法：圓臺(tái)用表示軸的字母表示,圖中圓臺(tái)表示為圓臺(tái)0。）

底面

母線y

底向，F(xiàn)徑

(4)球

①定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.

②相關(guān)概念（圖4）

③表示法：球常用表示球心的字母表示，圖中的球表示為球0.

（5）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的關(guān)系如圖所示.

上底縮小

上底縮小一%一點(diǎn)

1

1

11.底擴(kuò)大至頂點(diǎn)拓展為

等下底面與底面平行

但不全等的

圓柱上底面圓錐

6.簡單組合體

（1）概念：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.常見的簡單組合體大多是由具有柱、錐、臺(tái)、

球等幾何結(jié)構(gòu)特征的物體組成的.

（2）基本形式：一種是由簡單幾何體拼接而成，另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.

3

【典型題型】

【例1】下列幾何體中，是棱柱，是棱錐，是棱臺(tái)(僅填相應(yīng)序號(hào)).

/?'--今

【變式1］下列幾何體是臺(tái)體的是(

【變式2］如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后將水槽傾斜一個(gè)小角度，則傾斜后水槽中的水形

成的幾何體的形狀是.

【例2】下列說法正確的有(填序號(hào)).

①棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；②棱錐的側(cè)面為三角形，且所有側(cè)面都有一個(gè)公共點(diǎn)；

③棱臺(tái)的側(cè)面有的是平行四邊形，有的是梯形；④棱臺(tái)的側(cè)棱所在直線均相交于同一點(diǎn)；

⑤多面體至少有四個(gè)面.

【變式1】判斷下列各命題是否正確：

(1)圓柱上底面圓上任一點(diǎn)與下底面圓上任一點(diǎn)的連線都是圓柱的母線；

(2)一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺(tái)；

(3)圓錐、圓臺(tái)中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形;

(4)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球.

4

［例3］在正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線，那么一個(gè)正

五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有（）

A.20B.15C.12D.10

【變式1】過球面上任意兩點(diǎn)/、8作大圓，可能的個(gè)數(shù)是（）

A.有且只有一個(gè)B.一個(gè)或無窮多個(gè)C.無數(shù)個(gè)D.以上均不正確

［例4］某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案相同的正方體禮品盒（如圖），則這個(gè)正方體禮品盒的表面展開圖應(yīng)該

為（）

【變式1】如圖，在4X3的紙上用線條勾畫出一個(gè)圖形，使每一格作為一個(gè)面，能折成一個(gè)正方體.你能

畫出4個(gè)這樣的圖形嗎?

【例5】（1）在半徑等于13cm的球內(nèi)有一個(gè)截面，它的面積是25"cm2,求球心到截面的距離.

（2）一個(gè)圓臺(tái)的母線長為12cm,兩底面面積分別為4ncm2和2571cm2.求：

①圓臺(tái)的iWj；

②截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長.

5

【變式1】已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為5n和8",它們位于球心的同一側(cè)，且距離為1,那么這

個(gè)球的半徑是（）

A.4B.3C.2D.O.5.

【能力】【例6】如圖所示，在側(cè)棱長為2的正三棱錐V—ABC中，ZAVB=ZBVC=ZCVA=40°,

過A作截面AEF,求截面4AEF周長的最小值.

【探究變式】

【變式1】如圖所示，在所有棱長均為1的直三棱柱上，有一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行

一周到達(dá)點(diǎn)A1,則爬行的最短路程為.

【變式2】如圖，一只正三棱錐ABC-A1B1C1的底面邊長為1,高為8,一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的

側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1的最短路線長為？

B1

6

【變式3】如圖所示，已知圓錐SO中，底面半徑廠=1,母線長/=4,M為母線”上的一個(gè)點(diǎn)，且血：

x,從點(diǎn)M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)4求:

（1）繩子的最短長度的平方加）；

（2）繩子最短時(shí)，頂點(diǎn)到繩子的最短距離;

（3加0的最大值.

【知識(shí)點(diǎn)2】投影問題

1.投影問題

光是直線傳播的，由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上會(huì)留下這個(gè)物體的影子,這種現(xiàn)象叫做投影.

其中的光線叫做投影線，留下物體影子的屏幕叫做投影面.

中心投影：把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫做中心投影

平行投影：把在一束平行光線照射下形成的投影叫做平行投影。

在平行投影中，投影線正對(duì)著（即垂直）投影面時(shí)叫做正投影，否則叫做斜投影.

例1.如圖所示，在正方體中中，M、N分別是BC的中點(diǎn).則圖中陰影部分在平面

/￡）與4上的正射影為（）

7

【變式1】如圖所示，在正方體ABCD-ABCD中，M為DD的中點(diǎn)，則圖中陰影部分BCM在平面BCCB上

11111111

的正投影是（）

【變式2】將正方體（如圖①所示）截去兩個(gè)三棱錐，得到圖②所示的幾何體，則該幾何體在平面BCC1B1的正

投影為

【答案】B

【變式3】下列圖形：①線段；②直線；③球；④梯形；⑤長方體，其中投影不可能是線段的是

（填序號(hào)）.

【例2】如圖所示，棱長為1的正方體2BC?！?，若E,F分別為生4的中點(diǎn)，G是正方

形BCJB］的中心，則空間四邊形AEFG在該正方體的面上的投影的面積的最大值為

8

【變式1】半徑為R的球。放置在水平平面a上,點(diǎn)P位于球。的正上方,且到球。表面的最小距離為尺,

則從點(diǎn)P發(fā)出的光線在平面a上形成的球。的中心投影的面積等于.

【知識(shí)點(diǎn)3】三視圖問題（備選內(nèi)容）

（1）光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖,叫做幾何體的正視圖;

（2）光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖,叫做幾何體的側(cè)視圖;

（3）光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖,叫做幾何體的俯視圖;

正視圖、側(cè)視圖、俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖.

太難了，有沒有熟悉的場(chǎng)景理解三視圖??？長方體看為空間，下面對(duì)應(yīng)的面看為投影面。

熟悉1：簡單幾何體的三視圖

llV0

俯視圖

動(dòng)動(dòng)手：作出三棱錐P-ABD的三視圖

9

例1.將長方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()

【變式1］某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是()

【變式2】沿一個(gè)正方體三個(gè)面的對(duì)角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()

【變式3】如圖(1)(2X3)(4)為四個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這四個(gè)幾何體依次分別為()

二△

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

(1)

A.三棱臺(tái)、三棱柱、三棱臺(tái)、三棱錐、圓錐、圓臺(tái)

C.三棱柱、正四棱錐、圓錐、圓臺(tái)D.三棱柱、三棱臺(tái)、圓錐、圓臺(tái)

【例3】如圖所示，畫出下列組合體的三視圖.

【變式1】某組合體的三視圖如圖所示，試畫圖說明此組合體的結(jié)構(gòu)特征.

【知識(shí)點(diǎn)4】斜二測(cè)畫法

1.用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的規(guī)則

(1)畫軸：在已知圖形中取互相垂直的龍軸和了軸，兩軸相交于點(diǎn)。，畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的V

軸和V軸，兩軸相交于點(diǎn)O,且使//。，'=45。(或135°),它們確定的平面表示水平面.

(2)畫線：已知圖形中平行于x軸或〉軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于V軸或了軸的線段.

(3)取長度：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原來的長度不變,平行于y軸的線段，貴

度變?yōu)樵瓉淼囊话?

2.立體圖形直觀圖的畫法規(guī)則：畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時(shí)，要多畫一條與平面無'O'y'垂直

的軸O'z',且平行于O'z'的線段長度不變，其他同平面圖形的畫法.

【典例】

例1(平面圖形的直觀圖)畫出如圖水平放置的直角梯形的直觀圖.

口

【思考】若將本例中的直角梯形改為等腰梯形，其直觀圖如何?

【反思】在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵之一，一般要使平面多邊形

盡可能多的頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn).原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過作平行于坐標(biāo)軸的線

段來作出其對(duì)應(yīng)線段.確定多邊形頂點(diǎn)的位置是關(guān)鍵之二，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這

些頂點(diǎn)順次連結(jié)即可.

變式1：如圖所示，為一個(gè)水平放置的正方形/BC。，它在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)3的坐標(biāo)為(2,2),則在

用斜二測(cè)畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)夕到x'軸的距離為.

例2(由直觀圖還原平面圖形)如圖所示，B'C是水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，將其還

原成平面圖形.

【反思】由直觀圖還原平面圖形的關(guān)鍵

⑴平行N軸的線段長度不變，平行/軸的線段擴(kuò)大為原來的2倍.

(2)對(duì)于相鄰兩邊不與x'、/軸平行的頂點(diǎn)可通過作/軸，y'軸的平行線確定其在xQy中的位置.

【變式2】如圖所示，矩形。