北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

北京市海淀區(qū)2024?2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共10小題）1．在我國傳統(tǒng)的祥瑞紋樣中，云紋有著流動(dòng)飄逸的曲線和回轉(zhuǎn)交錯(cuò)的結(jié)構(gòu)，是生動(dòng)、靈性、精神以及祥瑞的載體和象征．下列四個(gè)云紋紋樣中是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．某計(jì)算機(jī)完成一次基本運(yùn)算的時(shí)間約為、已知，將用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（

）A． B． C． D．3．六邊形的內(nèi)角和為（

）A． B． C． D．4．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．5．已知等腰三角形兩條邊的長(zhǎng)分別為3和6，則它的周長(zhǎng)為（

）A．12 B．15C．12或15 D．9或156．下列分式變形正確的是（

）A． B．C． D．7．如圖，在中，，是的中點(diǎn)，，則的大小為（

）A． B． C． D．8．下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（

）A．B．C．D．9．如用，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，若添加一個(gè)條件可使，則添加的這個(gè)條件不可以是（

）A． B．C． D．10．如圖，小華同學(xué)用四個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形、兩個(gè)長(zhǎng)和寬分別為和的長(zhǎng)方形拼成圖1和圖2．則下列四個(gè)關(guān)系式中，能利用圖1和圖2驗(yàn)證的是（

）①；②；③；④．A．①② B．②③ C．①③ D．②④二、填空題（本大題共6小題）11．若分式有意義，則的取值范圍是．12．因式分解：.13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為0,2，．以點(diǎn)為圓心，線段的長(zhǎng)為半徑畫弧，交軸正半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．14．方程的解為．15．如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接和，則的大小為°．16．如圖，在銳角中，，于點(diǎn)，，，，其中，、、分別為線段、、上的點(diǎn)（均不與點(diǎn)，、重合），對(duì)于每一個(gè)確定的點(diǎn)，將周長(zhǎng)的最小值記為．給出下列三個(gè)結(jié)論：

①過點(diǎn)向、作垂線、垂足分別為、，此時(shí)的周長(zhǎng)即為；②在點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值為；③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)能在兩個(gè)不同的位置取到相同的值．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（本大題共10小題）17．計(jì)算：．18．（1）計(jì)算：；（2）已知，求的值．19．如圖，在中．．求作線段的中點(diǎn)．小明發(fā)現(xiàn)作線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．(1)使用直尺和圓規(guī)，依小明的思路作出點(diǎn)（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接．∵垂直平分，∴________（________）（填推理依據(jù)）．∴．∵，∴，．∴________．∴．∴．∴點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．20．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．21．如圖，是上一點(diǎn)，，，．求證：平分．22．秋天是北京四季中最美的季節(jié)，深秋的北京香山更是景美如畫，金代詩人周昂在《香山》中用詩句“山林朝市兩茫然，紅葉黃花白一川”描繪了香山紅葉與黃花交相輝映的自然美景．小明和小亮都是登山愛好者．金秋十月，兩人相約去香山爬山賞景，挑戰(zhàn)香爐峰．小明沿北線步道上山，小亮沿南線步道上山，北線步道長(zhǎng)度為，南線步道長(zhǎng)度為．兩人分別從各自步道起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，小明比小亮每小時(shí)少走，結(jié)果小明和小亮到達(dá)各自步道終點(diǎn)所用的時(shí)間之比是，求兩人走完各自步道全程分別用了多少小時(shí)．23．如圖，在中，，過點(diǎn)作的垂線，過點(diǎn)作的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)，作直線．(1)求證：垂直平分；(2)若，，，直接寫出的長(zhǎng)．24．我們知道，“整式乘法”與“因式分解”是方向相反的變形．類似的，“幾個(gè)分式相加”與“將一個(gè)分式化成幾個(gè)分式之和的形式”也是方向相反的變形，我們稱這種與“幾個(gè)分式相加”方向相反的變形為“分式分解”．例如，將分式分解：．(1)將分式分解的結(jié)果為________；(2)若可以分式分解為（其中，，是常數(shù)），則________，________；(3)當(dāng)時(shí)，判斷與的大小關(guān)系，并證明．25．在中，，，點(diǎn)在上（與點(diǎn)，不重合），連接，是的中點(diǎn)，是平面上一點(diǎn)，滿足，連接，．(1)如圖1，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示和的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，，若（1）中和的數(shù)量關(guān)系仍成立，直接寫出的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和線段，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，對(duì)于給定的一個(gè)正數(shù)，若點(diǎn)使得是以為底邊的等腰三角形，且．則稱點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于線段的度等腰點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)在軸上，，，在，，中，是點(diǎn)關(guān)于線段的90度等腰點(diǎn)的是________；(2)如圖2，，，，若存在點(diǎn)關(guān)于線段的90度等腰點(diǎn)，求的取值范圍；(3)如圖3，點(diǎn)，，點(diǎn)在軸正半軸上，滿足，點(diǎn)為軸上的動(dòng)點(diǎn)，若存在點(diǎn)關(guān)于線段的60度等腰點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍（用含的式子表示）．參考答案1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】D11．【答案】12．解：13．解：如圖，連接，點(diǎn)的坐標(biāo)為0,2，，∵，∴，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，由同圓半徑相等得：，是等腰三角形，，，又點(diǎn)位于軸正半軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為2,014．解：方程兩邊同乘，去分母得，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原分式方程的根15．解：∵，，∴，，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴，則16．解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于，交于，連接，交于，交于，連接，，，，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：，，，，，，，是等邊三角形，，的周長(zhǎng)，的周長(zhǎng)，，，與重合時(shí)，，即最小，故①錯(cuò)誤；故②正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)能在兩個(gè)不同的位置取到相同的值，分別在點(diǎn)兩側(cè)且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故③正確，

17．解：．18．解：（1）；（2）∵∴原式．19．（1）作圖如圖所示：（2）證明：連接．∵垂直平分，∴（線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．∴．∵，∴，．∴．∴．∴．∴點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．20．解：，當(dāng)時(shí)，原式．21．證明：∵，∴．∴．在和中，，∴．∴．∵，∴．∴．∴是的平分線．22．解：設(shè)小明走完步道全程用了小時(shí)，則小亮走完步道全程用了小時(shí)，可列方程：，化簡(jiǎn)得：，，解得：，檢驗(yàn)：時(shí)，且∴原分式方程的解為，∴，答：小明走完步道全程用了小時(shí)，小亮走完步道全程用了小時(shí)．23．（1）證明：∵直線分別為的垂線，∴.∴在和中，，∴．∴．又∵，∴點(diǎn)A，P都在線段的垂直平分線上.∴垂直平分.（2）解：在中，，由勾股定理得：；∵，∴；∵，∴，即，∴．24．（1）解：，故答案為：；（2）解：，，，解得（3）證明：，，，，，．25．（1）解：①補(bǔ)全圖形如下：②延長(zhǎng)至F，使得，連接CF，如圖所示：∵，，∴為等邊三角形，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線右下方時(shí)，如圖所示：延長(zhǎng)至F，使得，連接CF，如圖所示：∵，，∴為等腰三角形，，∵，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P在直線左下方時(shí)，如圖所示：同理得：，，，∴，綜上可得：或．26．（1）解：∵，，∴線段的對(duì)稱軸為直線，設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為Q，∴點(diǎn)B，點(diǎn)C到對(duì)稱軸的距離為，∵點(diǎn)使得是以為底邊的等腰三角形，∴點(diǎn)P在對(duì)稱軸直線上，∴點(diǎn)，，都在對(duì)稱軸直線上，當(dāng)時(shí)，∴，此時(shí)是等腰直角三角形，且，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，恰好是，符合題意；點(diǎn)在下方，連接，∵，∴，∴，∴，故，也符合題意；點(diǎn)在上方，連接，∵，∴，∴，∴，故，不符合題意；故答案為：，．（2）解：設(shè)的中點(diǎn)為T，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)M，∵O0,0，，∴，，，，∴直線為線段OD的垂直平分線，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，∴點(diǎn)關(guān)于線段的90度等腰點(diǎn)在直線上，∵，，設(shè)與x軸的交點(diǎn)為G，∴，的垂直平分線為直線，∴點(diǎn)E，點(diǎn)F到對(duì)稱軸的距離為，∵點(diǎn)使得是以為底邊的等腰三角形，且點(diǎn)關(guān)于線段的90度等腰點(diǎn)，∴點(diǎn)關(guān)于線段的90度等腰點(diǎn)在對(duì)稱軸直線上，且當(dāng)?shù)妊c(diǎn)到x軸的距離為1時(shí)，為直角，∴點(diǎn)，都是等腰點(diǎn)的直角點(diǎn)，∴或，解得或，∴等腰點(diǎn)在點(diǎn)下方，在上方，包括這兩點(diǎn)，∴的取值范圍為，∵時(shí)，E，等腰點(diǎn)，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴，此時(shí)不符合題意，∴的