初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級(jí)專題27面積法

專題27面積法閱讀與思考平面幾何學(xué)的產(chǎn)生源于人們測(cè)量土地面積的需要，面積關(guān)聯(lián)著幾何圖形的重要元素邊與角．所謂面積法是指借助面積有關(guān)的知識(shí)來解決一些直接或間接與面積問題有關(guān)的數(shù)學(xué)問題的一種方法．有許多數(shù)學(xué)問題，雖然題目中沒有直接涉及面積，但由于面積聯(lián)系著幾何圖形的重要元素，所以借助于有關(guān)面積的知識(shí)求解，常常簡捷明快．用面積法解題的基本思路是：對(duì)某一平面圖形面積，采用不同方法或從不同角度去計(jì)算，就可得到一個(gè)含邊或角的關(guān)系式，化簡這個(gè)面積關(guān)系式就可得到求解或求證的結(jié)果．下列情況可以考慮用面積法：（1）涉及三角形的高、垂線等問題；（2）涉及角平分線的問題．例題與求解【例1】如圖，從等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)向三邊作垂線，已知這三條垂線段的長分別為1，3，5，則這個(gè)等邊三角形的邊長為______________．(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)解題思路：從尋求三條垂線段與等邊三角形的高的關(guān)系入手．等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰距離之和等于一腰上的高，那么等邊三角形呢？等腰梯形呢？【例2】如圖，△AOB中，∠O＝，OA＝OB，正方形CDEF的頂點(diǎn)C在DA上，點(diǎn)D在OB上，點(diǎn)F在AB上，如果正方形CDEF的面積是△AOB的面積的，則OC：OD等于()A．3：1B．2：1C．3：2D．5：3解題思路：由面積關(guān)系，可能想到邊、角之間的關(guān)系，這時(shí)通過設(shè)元，即可把幾何問題代數(shù)化來解決．【例3】如圖，在□ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BE＝DF，BE與DF交于G，求證：∠BGC＝∠DGC.（長春市競(jìng)賽試題）解題思路：要證∠BGC＝∠DGC，即證CG為∠BGD的平分線，不妨用面積法尋找證題的突破口．【例4】如圖，設(shè)P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，直線AP，BP，CP交BC，CA，AB于點(diǎn)D、E、F.求證：（1）；（2）.（南京市競(jìng)賽試題）解題思路：過P點(diǎn)作平行線，產(chǎn)生比例線段.【例5】如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)，P分別在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一點(diǎn)D，且，求的值.解題思路：利用上例的結(jié)論，通過代數(shù)恒等變形求值.（黃岡市競(jìng)賽試題）【例6】如圖，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在面積為1的四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上，且（是正數(shù)），求四邊形EFGH的面積．（河北省競(jìng)賽試題）解題思路：連對(duì)角線，把四邊形分割成三角形，將線段的比轉(zhuǎn)化為三角形的面積比．線段比與面積比的相互轉(zhuǎn)化，是解面積問題的常用技巧．轉(zhuǎn)化的基本知識(shí)有：(1)等高三角形面積比，等于它們的底之比；(2)等底三角形面積比，等于它們的高之比；(3)相似三角形面積比，等于它們相似比的平方．能力訓(xùn)練1．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，E是AD的中點(diǎn)，BM⊥EC，垂足為M，則BM＝______.（福建省中考試題）2．如圖，矩形ABCD中，P為AB上一點(diǎn)，AP＝2BP，CE⊥DP于E，AD＝，AB＝，則CE＝__________.（南寧市中考試題）第1題圖第2題圖第3題圖3．如圖，已知八邊形ABCDEFGH中四個(gè)正方形的面積分別為25，48，121，114，PR＝13，則該八邊形的面積為____________.（江蘇省競(jìng)賽試題）4.在△ABC中，三邊長為，，，表示邊上的高的長，，的意義類似，則(＋＋)的值為____________.（上海市競(jìng)賽試題）5．如圖，△ABC的邊AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分別表示以AB，BC，CA為邊的正方形，則圖中三個(gè)陰影部分的面積之和的最大值是__________.（全國競(jìng)賽試題）6．如圖，過等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)P向三邊作垂線，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，則△ABC的面積是()．A.B.C.D.（湖北省黃岡市競(jìng)賽試題）第5題圖第6題圖第7題圖7．如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，若∠CAD＝∠DAB＝，AC＝3，AB＝6，則AD的長是()．A．2B.C.3D.8．如圖，在四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，AN，BN，DM，CM劃分四邊形所成的7個(gè)區(qū)域的面積分別為，，，，，，，那么恒成立的關(guān)系式是()．A.+=B.+=C.+=D．+=9．已知等邊△ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊AB，AC，BC的距離分別為，，，△ABC的高為．若點(diǎn)P在一邊BC上（如圖1），此時(shí)，可得結(jié)論：＋＋＝.請(qǐng)直接用上述信息解決下列問題：當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)（如圖2）、點(diǎn)P在△ABC外（如圖3）這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否還成立？若成立．請(qǐng)給予證明；若不成立，，，與之間又有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．（黑龍江省中考試題）10.如圖，已知D，E，F(xiàn)分別是銳角△ABC的三邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且AD、BE、CF相交于P點(diǎn)，AP＝BP＝CP＝6，設(shè)PD＝，PE＝，PF＝，若，求的值．（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）11.如圖，在凸五邊形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求證：AE∥BD.（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題）12.如圖，在銳角△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA邊上的三等分點(diǎn).P，Q，R分別是△ADF，△BDE，△CEF的三條中線的交點(diǎn).(1)求△DEF與△ABC的面積比；(2)求△PDF與△ADF的面積比；(3)求多邊形PDQERF與△ABC的面積比.13．如圖，依次延長四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA至E，F(xiàn)，G，H，使，若，求的值．（上海市競(jìng)賽試題）如圖，一直線截△ABC的邊AB，AC及BC的延長線分別交于F，E，D三點(diǎn)，求證：．（梅涅勞斯定理）15．如圖，在△ABC中，已知，求的值.（“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）

專題27面積法例1提示：例2B提示：作FG⊥OA于點(diǎn)G，則△CFG≌△DCO。于是CG=DO，OC=GF=AG，設(shè)OC=m，OD=n，OA=OB=a，CD=x。則（勾股定理），由題設(shè)知即，化簡得，即，∴，即m：n=2：1，故選B例3提示：連接EC，F(xiàn)C，則，過C點(diǎn)分別作BE，DF的垂線，Q，P分別為垂足，推得CQ=CP。例4（1）分別過P，A作BC的垂線，垂足為P1，A1。則，同理，，，故。（2）∵，，，∴例5設(shè)，則由上例得，將上式去分母，化簡整理得，即。例6連接AC，AG，由，得，，∵∴又∴同理，故=連接BD，同理，故=能力訓(xùn)練1.2.3.提示：△PRQ，△PRT為直角三角形，4.5.9提示：延長AC到點(diǎn)F，使CF=CD，連接BF。易證△DCE≌△FCB，所以它們的面積相等，又CF=CA，所以，即，同理可知，其他兩個(gè)三角形的面積也與△ABC的面積相等，而只有當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，的最大值為，∴三個(gè)陰影部分的面積和最大為9.6.A7.A8.B提示：設(shè)A，M，B到DC的距離分別為，易知，則，故選B.9.當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)，結(jié)論仍成立；當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外時(shí)，結(jié)論不成立，它們的關(guān)系是10.提示：由例4的結(jié)論，得，將此式去分母，并化簡整理