2024-2025學(xué)年江西省宜春市高二上冊(cè)11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江西省宜春市高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一．單選題（5分×8=40分）1.已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，，則（）A.0 B.2 C.1 D.4【正確答案】D【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程根的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于x的方程的一個(gè)根，，所以是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，于是有，故選：D2.已知直線和直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)的充要條件求得或，再由充分條件、必要條件的概念得解.【詳解】若，則，解得或．若，則直線，直線，可知；若，則直線，直線，可知，綜上所述：或．所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A3.設(shè)是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，若，則=A. B. C. D.【正確答案】A【詳解】令，由即所以故選擇A【考點(diǎn)定位】考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)相等問(wèn)題.4.已知點(diǎn)，若直線與線段AB相交，則a的取值范圍是（）A. B.C D.【正確答案】D【分析】由已知可得直線過(guò)定點(diǎn)，求得，，數(shù)形結(jié)合可求的取值范圍.【詳解】由直線方程，可知直線過(guò)定點(diǎn)，，，作出示意圖如圖所示：直線與線段相交，則可得或，解得或，所以的取值范圍是.故選：D.5.若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算，可得答案.【詳解】由已知，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則解得，即，所以．故選：B.6.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)最小時(shí)，三棱錐的體積為（）A.1 B. C. D.【正確答案】C【分析】如圖，將直三棱柱展開(kāi)成矩形，連結(jié)交于，此時(shí)最小，則，利用等體積法和棱錐的體積公式計(jì)算即可求解.【詳解】將直三棱柱展開(kāi)成矩形，如下圖，連接，交于，此時(shí)最小，∵，則，而，由且都在面，則面，又，則面，即面，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，即，得，又為直角三角形，此時(shí)三棱錐的體積為：.故選：C7.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，若，則三棱錐的外接球的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用空間幾何體及球的特征確定球心，結(jié)合球體體積公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榈酌?，底面，即，根?jù)題意可知為等邊三角形，為直角三角形，而，則，取的中點(diǎn)，連接，所以，易知，則，所以三棱錐的外接球的球心為F，，∴該外接球的體積為.故選：B8.如圖，若P是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積變化B.當(dāng)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C.使直線與平面所成的角為45°的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為D.若F是棱的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，長(zhǎng)度的最小值是【正確答案】D【分析】對(duì)A，點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的底面積和高均不變，所以體積不變；對(duì)B，D，建系利用向量法求解；對(duì)C，根據(jù)線面角的定義，討論點(diǎn)在各個(gè)表面的情況求解得答案.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈酌嬲叫蔚拿娣e不變，點(diǎn)P到平面的距離為正方體棱長(zhǎng)，所以四棱錐的體積不變，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖①，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，.設(shè)，，則，.設(shè)直線與所成角為θ，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以異面直線與所成角的取值范圍是，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，已知直線與平面所成的角為45°，若點(diǎn)P在平面和平面內(nèi)，因?yàn)?，最大，點(diǎn)P僅在點(diǎn)；若點(diǎn)P在平面內(nèi)，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是；若點(diǎn)P在平面內(nèi)，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是；若點(diǎn)P在平面內(nèi)，作平面，如圖②所示，因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A1為圓心，以2為半徑的四分之一圓，所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.綜上，點(diǎn)P的軌跡總長(zhǎng)度為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖③，由前面建系得，，，，設(shè)，，，則，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以.因?yàn)槠矫?，所以，可得，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．故選：D.二．多選題（6分×3=18分）9.下列結(jié)論正確的有（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.直線的傾斜角的取值范圍是C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的直線方程均可用表示D.直線和都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則過(guò)兩點(diǎn)，直線方程為【正確答案】ACD【分析】對(duì)于A：將直線方程化為點(diǎn)斜式方程即可判斷；對(duì)于B：首先求出斜率范圍，進(jìn)而得到傾斜角范圍；對(duì)于C：利用兩點(diǎn)式即可判斷；對(duì)于D：將點(diǎn)代入兩個(gè)方程分析兩個(gè)方程的即可判斷.【詳解】對(duì)于A，直線，即，直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則,所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的直線方程均可用表示，故C正確；對(duì)于D，直線和都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則所以點(diǎn)，的直線方程為上，故D正確.故選：ACD.10.下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A.已知向量，，若，則為鈍角B.已知，，則向量在向量上投影向量是C.若直線經(jīng)過(guò)第三象限，則，D.已知，，三點(diǎn)不共線，對(duì)于空間任意一點(diǎn)，若，則，，，四點(diǎn)共面【正確答案】BD【分析】取可得，進(jìn)而得到A錯(cuò)誤；由投影向量的計(jì)算可得B正確；令可得C錯(cuò)誤；由空間向量共面定理可得D正確；【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，向量在向量上的投影向量為，故B正確；對(duì)于C，令，則直線為，且經(jīng)過(guò)第三象限，但此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以由向量共面定理的推論可得，，，四點(diǎn)共面，故D正確；故選：BD.11.在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為定值C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在以的中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段上D.當(dāng)時(shí)，平面【正確答案】BCD【分析】對(duì)于A，由即可判斷；對(duì)于B，由和平面即可判斷；對(duì)于C，分別取和的中點(diǎn)和，由即即可判斷；對(duì)于D，先求證平面，接著即可求證平面，進(jìn)而即可求證平面.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，又，所以即，又，所以三點(diǎn)共線，故點(diǎn)在上，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，又，所以即，又，所以三點(diǎn)共線，故點(diǎn)在棱上，由三棱柱性質(zhì)可得平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，所以且，，即，所以即，又，所以三點(diǎn)共線，故在線段上，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，由題為正三角形，所以，又由正三棱柱性質(zhì)可知，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以，設(shè)與相交于點(diǎn)O，則，即，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，由正方形性質(zhì)可知，又，平面，所以平面，故D正確.故選：BCD.思路點(diǎn)睛：對(duì)于求證平面，可先由和得平面，從而得，接著求證得平面，進(jìn)而，再結(jié)合即可得證平面.三．填空題（5分×3=15分）12.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上截距的兩倍，則直線的方程為_(kāi)_______．【正確答案】或【分析】分截距為和截距不為兩種情況討論，再分別利用直線的點(diǎn)斜式和截距式，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上截距的兩倍，當(dāng)截距時(shí)，斜率為，此時(shí)直線方程為，即，當(dāng)截距不為時(shí)，由題可設(shè)直線方程為，又直線過(guò)點(diǎn)，所以，得到，故直線方程為，即，故或.13.過(guò)定點(diǎn)且傾斜角是直線傾斜角的兩倍的直線方程為_(kāi)_______.【正確答案】【分析】由已知直線的斜率，利用正弦的二倍角公式得到所求直線的斜率，點(diǎn)斜式求出直線方程.【詳解】直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，可得，即可得，所以所求直線的斜率為，所求直線方程為，即，故答案為.14.已知矩形，，，沿對(duì)角線將折起，使得，則二面角的余弦值是__________________【正確答案】##-0.5【分析】過(guò)和分別作，，根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，利用向量數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】過(guò)和分別作，，，，，，，則，即，，，，，二面角的余弦值為，故答案為.四．解答題（13分+15分+15分+17分+17分=77分）15.（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直的直線一般式方程.（2）求過(guò)點(diǎn)，且與直線平行的直線的一般式方程；（3）求過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距與在軸上的截距之和為2的直線斜率.【正確答案】（1）；（2）；（3）或.【分析】（1）（2）根據(jù)給定條件，設(shè)出直線方程，再利用待定系數(shù)法求出直線方程.（3）根據(jù)給定條件，利用直線方程的截距式，再利用待定系數(shù)法求出直線的橫縱截距，進(jìn)而求出直線的斜率.【詳解】（1）設(shè)與直線垂直的直線方程為，又該直線過(guò)點(diǎn)，則，解得，所以所求直線方程為.（2）設(shè)與直線平行的直線方程為，又該直線過(guò)點(diǎn)，則，解得，所以所求直線方程為.（3）顯然直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其方程為，則，整理得，即，因此，解得，而直線，即，其斜率，所以所求直線的斜率為或.16.已知一條動(dòng)直線，（1）求直線恒過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線不經(jīng)過(guò)第二象限，求m的取值范圍；（3）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為6，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）將直線整理成直線系方程，求出定點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）由直線不經(jīng)過(guò)第二象限，分類整合求出m的取值范圍即可.（3）由題意設(shè)出直線的截距式方程，代入定點(diǎn)，解出方程再化成一般式即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，整理得，所以不管取何值時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，解得，即【小問(wèn)2詳解】由上問(wèn)可知直線恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)，直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線是，顯然滿足題意；當(dāng)時(shí)，由直線不經(jīng)過(guò)第二象限，直線與軸有交點(diǎn)時(shí)，則縱截距小于或等于零即可，令，則，即，解得；綜上所述：【小問(wèn)3詳解】設(shè)直線方程為，則，由直線恒過(guò)定點(diǎn)，得，由整理得：，解得或，所以直線方程為：或，即或，又直線的斜率，所以不合題意，則直線方程為.17.如圖，在三棱柱中，平面，為線段上的一點(diǎn)．（1）求證:平面；（2）求直線與直線所成角的余弦值；（3）若直線與平面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）借助線面平行的性質(zhì)定理推導(dǎo)即可得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式可得，即可得其所成角的余弦值；（3）利用空間向量夾角公式可確定點(diǎn)位置，再結(jié)合空間點(diǎn)到面距離公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】連接，由三棱柱性質(zhì)可得平面平面，又平面，故平面；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，而，故兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，連接，則，由，故，故直線與直線所成角的余弦值為；【小問(wèn)3詳解】設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為，有，令，則，，即，因?yàn)橹本€與平面所成角為，所以，解得，即，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為.18.如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成角為，四邊形是梯形，．（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)T是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離．（3）點(diǎn)是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，上是否存在一點(diǎn)M，使平面，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【正確答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）先證明，繼而證明，即可證明平面，從而根據(jù)面面垂直的判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)空間距離的向量求法，即可求得答案.（3）設(shè)，，進(jìn)而表示出，，由題意列出關(guān)于的方程組求解即可.【小問(wèn)1詳解】由平面，平面，平面，得，，與底面所成角為．所以三角形為等腰直角三角形，．又由四邊形是直角梯形，，可知，所以為等腰直角三角形，而，故．在直角梯形中，過(guò)C作，垂足為E，則四邊形為正方形，可知．所以，在等腰直角三角形中，．則有，所以．又因?yàn)?，，平面，平面．所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．【小?wèn)2詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A0,0,0，P0,0,1，B1,0,0，，因?yàn)門是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，所以，．設(shè)平面的法向量為，，，則，得，取，則，得平面的一個(gè)法向量為，而,所以點(diǎn)P到平面的距離為．【小問(wèn)3詳解】設(shè)，注意到A0,0,0，所以，所以，設(shè)，注意到P0,0,1，所以，因?yàn)锳0,0,0，B1,0,0，所以若平面，則當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)重合，此時(shí)存在，使平面.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問(wèn)的關(guān)鍵在于知道若平面，則當(dāng)且僅當(dāng)，從而只需引入兩個(gè)參數(shù)，分別表示出，由此即可順利得解.19.如圖1，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)、分別在線段、上，，，沿將折起到的位置，使得，如圖2．（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)在線段上，且，，求直線與平面所成角的正弦值；（3）在（2）的條件下，判斷線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在，．【分析】（1）由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得，，得到線面垂直，證明出面面垂直；（2）由余弦定理得到，由等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，求出直線與平面所成角的正弦值；（3），得到，線面平