2024-2025學(xué)年上海市寶山區(qū)高二上冊10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年上海市寶山區(qū)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1-6題每題4分，7-12題每題5分）【考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.】1.用符號(hào)表示平面經(jīng)過直線：__________.【正確答案】【分析】略【詳解】略2.若圓柱底面半徑為2，高為3，則其側(cè)面積為__________．【正確答案】【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面積公式直接計(jì)算即可．【詳解】由圓柱側(cè)面積公式得，側(cè)面積為，故．3.已知直線，則直線與直線的位置關(guān)系有__________種（填數(shù)字）.【正確答案】3【分析】以正方體為例，分別指出對(duì)應(yīng)的位置關(guān)系，從而得解.【詳解】如圖，，此時(shí)；，此時(shí)與異面；，此時(shí)與相交；而直線與直線的位置關(guān)系只有平行、異面、相交三種，所以當(dāng)直線時(shí)，直線與直線的位置關(guān)系有3種.故3.4.若正方體的棱長為2，則點(diǎn)到直線的距離為_____【正確答案】【分析】根據(jù)線面垂直可得，得到點(diǎn)到的距離即為的長，即可求解；【詳解】在正方體中，平面，平面，，點(diǎn)到的距離即為的長，故5.已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半徑為3，且弧長為的扇形，則該圓錐的體積等于__________.【正確答案】【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖扇形弧長可求得底面半徑，并利用勾股定理求得圓錐的高，代入圓錐體積公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，則，解得：，圓錐的高，圓錐的體積.故答案為.6.如圖，在正四棱柱中，，，則三棱錐的體積為________.【正確答案】.【分析】由圖易得,求出代入計(jì)算即可?！驹斀狻咳忮F即三棱錐，在四棱柱中，，，則三棱錐的底面積為，高為3cm，所以.此題考查三棱錐體積，關(guān)鍵是找到底面積和高代入計(jì)算即可，屬于簡單題目。7.下來命題中，真命題的編號(hào)為__________．（1）若直線與平面斜交，則內(nèi)不存在與垂直的直線；（2）若直線平面，則內(nèi)不存在與不垂直的直線；（3）若直線與平面斜交，則內(nèi)不存在與平行的直線；（4）若直線平面，則內(nèi)不存在與不平行的直線．【正確答案】（2）（3）【分析】舉例判斷（1）；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)分析判斷（2）；根據(jù)反證法及線面平行的判定定理分析判斷（3）；舉例判斷（4）．【詳解】對(duì)于（1），如圖，在長方體中，直線與平面斜交，，故假命題；對(duì)于（2），若直線平面，則直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，所以內(nèi)不存在與不垂直的直線，故為真命題；對(duì)于（3），若直線與平面斜交，則內(nèi)不存在與平行的直線，否則根據(jù)線面平行的判定定理可知與平面平行，這與已知條件相矛盾，故為真命題；對(duì)于（4），如圖，直線平面，，與不平行，是異面直線，故為假命題，故（2）（3）．8.在正方體中，二面角的平面角大小為__________.【正確答案】【分析】通過分析圖形找到二面角的平面角，求角的余弦值，確定角的大小.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，由題意得，、、為等邊三角形，∴，，∴為二面角的平面角.設(shè)等邊三角形邊長為2，則，∴，∴.故答案為.9.已知中，所在平面外一點(diǎn)到此三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是6，則點(diǎn)到平面的距離是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意推得點(diǎn)在平面上的射影為的外心，進(jìn)而利用正弦定理求得，再利用勾股定理即可得解.【詳解】記點(diǎn)在平面上的射影為，連接，則平面，又平面，所以，因?yàn)?，所以由勾股定理可得，即是的外心，在中，，，則是正三角形，所以，所以，所以，又，得，即點(diǎn)到平面的距離為.故答案為.10.一個(gè)長方體的三條棱長分別為若在該長方體上面鉆一個(gè)圓柱形的孔后其表面積沒有變化,則圓孔的半徑為__________．【正確答案】3【詳解】設(shè)圓柱形孔的的半徑為，高為，則由題意知，故，顯然高只能取，故填：．11.點(diǎn)是二面角內(nèi)一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)，，，則點(diǎn)到棱的距離是______.【正確答案】##【分析】首先利用線面垂直的性質(zhì)證明，，再利用線面垂直的判定定理證明平面，最后由四點(diǎn)共圓，結(jié)合正余弦定理即可求解.【詳解】設(shè)平面與棱交于一點(diǎn)，連接，由，，，則，，又，，，則，，又，平面，平面，又平面，，因此點(diǎn)到棱的距離即為的長，又在四邊形中，，，則四點(diǎn)共圓，且為圓的直徑，又，則，則，即點(diǎn)到棱的距離為，故答案為.12.兩個(gè)邊長為的正方形和各與對(duì)方所在平面垂直，分別是對(duì)角線上的點(diǎn)，且，則兩點(diǎn)間的最短距離為______.【正確答案】【分析】過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，設(shè)，，由題意證明，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證，根據(jù)勾股定理即可得、與的數(shù)量關(guān)系，即可求得兩點(diǎn)間的最短距離.【詳解】過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，設(shè)，，因?yàn)?，所以，由已知可得，，，所以，，，所以，，所以，，又，所以，由，，所以，，所以，，同理可得，，又平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋?，所以，所以，是直角三角形，所以，，即，所以?dāng)，即、分別為線段、中點(diǎn)時(shí)，有最小值，即、兩點(diǎn)間的最短距離為，故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵通過面面垂直的性質(zhì)證明，再根據(jù)，，證明是直角三角形.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13?14題每題4分，15?16題每題5分）【每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得滿分，否則一律得零分.】13.在以下四圖中，直線與直線可能平行的位置關(guān)系只能是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用異面直線的判定及公理的應(yīng)用判定選項(xiàng)即可.【詳解】選項(xiàng)A中，平面內(nèi)的兩直線異面，則a與b異面；選項(xiàng)B中，平面內(nèi)的兩直線異面，則a與b異面；選項(xiàng)C中，平面內(nèi)的兩直線相交，兩相交直線能確定一個(gè)平面，則a與b有可能平行；選項(xiàng)D中，平面內(nèi)的兩直線異面，則a與b異面．故選：C．14.已知的直觀圖是直角邊長為的等腰直角三角形，那么的面積為（）A B. C. D.【正確答案】C【分析】由斜二測畫法結(jié)合三角形面積公式得出原圖形的面積.【詳解】如圖，根據(jù)斜二測畫法畫出原圖形，則為直角三角形，且，，所以.故選：C.15.已知直線l、m和平面、，下列命題中的真命題是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【正確答案】C【分析】線面平行及線線垂直，線可以有無數(shù)種朝向；線面垂直，線只有一種朝向；面面平行，面只有一種朝向，逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)A，若，，則可能有，m與相交不垂直，A錯(cuò)；對(duì)B，若，，則，則可能有，l與相交不垂直，，B錯(cuò)；對(duì)C，若，，則，C對(duì)；對(duì)D，若，，由于與關(guān)系不確定，故l與m關(guān)系也不確定，D錯(cuò).故選：C16.不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面α的距離都相等，這樣的平面α共有（）A.3個(gè) B.4個(gè) C.6個(gè) D.7個(gè)【正確答案】D【詳解】考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論．專題：數(shù)形結(jié)合；分類討論．分析：根據(jù)題意畫出構(gòu)成的幾何體，根據(jù)平面兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類，利用三棱錐的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行求解．解答：解：空間中不共面的四個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成三棱錐，如圖：三棱錐D-ABC，①當(dāng)平面一側(cè)有一點(diǎn)，另一側(cè)有三點(diǎn)時(shí)，即對(duì)此三棱錐進(jìn)行換低，則三棱錐由四種表示形式，此時(shí)滿足條件的平面?zhèn)€數(shù)是四個(gè)，②當(dāng)平面一側(cè)有兩點(diǎn)，另一側(cè)有兩點(diǎn)時(shí)，即構(gòu)成的直線是三棱錐的相對(duì)棱，因三棱錐的相對(duì)棱有三對(duì)，則此時(shí)滿足條件的平面?zhèn)€數(shù)是三個(gè)，所以滿足條件的平面共有7個(gè)，故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了三棱錐結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的幾何體，再由題意和結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行求解，考查了空間想象能力．三?解答題（本大題共有5題，滿分78分）【解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.】17.在直三棱柱中，.（1）求四棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大小.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先證明平面，再利用棱錐的體積公式求解即可；（2）由異面直線所成角的定義可知即為異面直線與所成的角，然后在直角三角形中求解正切值即可得解.【小問1詳解】由直三棱柱得，，又，，平面，所以平面，又，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以即為異面直線與所成的角，因?yàn)樵谥比庵校?，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，則，所以，所以，即異面直線與所成角的大小為.18.如圖，在正四棱柱中，（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．【正確答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）由結(jié)合線面平行的判定定理即可求證；（2）先證明平面，后利用面面垂直的判定定理即可求證.【小問1詳解】因?yàn)闉樵谡睦庵?，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又在平面，在平面外，所以平?【小問2詳解】因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，又為在正四棱柱，所以底面，又在底面?nèi)，所以,同時(shí)是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，又在平面內(nèi)，所以平面平面19.如圖（圖中單位：）是一種鑄鐵機(jī)器零件，零件下部是實(shí)心的直六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)面是全等的矩形），上部是實(shí)心的圓柱.（1）已知鐵的密度為，求生產(chǎn)一件這樣的鑄鐵零件需要多少克鐵？（結(jié)果精確到）；（2）要給一批共5000個(gè)零件鍍鋅，若電鍍這批零件每平方厘米要用鋅，求需要用鋅的總量（結(jié)果精確到）.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）借助圓柱與棱柱的體積公式計(jì)算可得體積，結(jié)合鐵的密度即可求解；（2）借助圓柱與棱柱的表面積公式計(jì)算可得表面積，即可得解.【小問1詳解】圓柱部分體積，直六棱柱部分體積為，則此零件的體積為，又鐵的密度為，故生產(chǎn)一件這樣的鑄鐵零件需要克鐵.小問2詳解】此零件的表面積為.則5000個(gè)零件的表面積為.故需鋅的質(zhì)量為.20.如圖，三棱錐中，側(cè)面底面，底面是斜邊為的直角三角形，且，記為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，直線與底面所成角的大小為，求二面角的大小.【正確答案】（1）證明過程見解析（2）【分析】（1）由面面垂直性質(zhì)定理證明底面，由此證明，再證明，由線面垂直判定定理證明平面，最后證明；（2）先得出（銳角）為二面角的平面角，然后結(jié)合解三角形知識(shí)即可求解.【小問1詳解】連接，因?yàn)椋?，?cè)面垂直于底面，平面，平面平面，所以底面，底面，所以，是斜邊為的直角三角形，且，所以，又因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，所以,所以為等邊三角形，又E為OC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，，，所以平面，又平面，所以；【小?詳解】由（1）知底面ABC，平面，所以直線PC與底面ABC所成角為，，因?yàn)橹本€PC與底面ABC所成角的大小為，，因?yàn)?，所以，在中，，所以，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以（銳角）為二面角的平面角，由題意，從而，所以，所以二面角的大小為.21.如圖，現(xiàn)將以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，（1）若，斜邊，點(diǎn)為圓錐底面圓周上的一點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，求：直線與平面所成的角的大小（用反三角函數(shù)表示）；（2）若圓錐底面的半徑為10，母線長為60，求底面圓周上一點(diǎn)沿側(cè)面繞兩周回到點(diǎn)的最短距離；（3）若圓錐的母線長為為圓錐的側(cè)面積，為體積，求取得最大值時(shí)圓錐的體積的值.【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）作出D在底面的投影，結(jié)合線面夾角的定義解