2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列4.3等比數(shù)列4.3.1第1課時(shí)等比數(shù)列的概念及簡單表示課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教A版選擇性必修第二冊

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(七)等比數(shù)列的概念及簡潔表示(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．若正數(shù)a，b，c組成等比數(shù)列，則log2a，log2b，log2c肯定是()A．等差數(shù)列B．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列C．等比數(shù)列D．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列A[由題意得b2＝ac(a，b，c>0)，∴l(xiāng)og2b2＝log2ac，即2log2b＝log2a＋log2c，∴l(xiāng)og2a，log2b，log2c成等差數(shù)列．]2．已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，a6－a2＝40，a4＋a2＝10，則a1＝()A．eq\f(\r(5),3)B．eq\f(\r(5),2)C．eq\f(5,3)D．eq\f(5,2)A[由條件知，a2(q4－1)＝40①且a2(q2＋1)＝10②，①÷②得q2－1＝4，∴q＝eq\r(5)，把q＝eq\r(5)代入②得a2＝eq\f(5,3)，∴a1＝eq\f(a2,q)＝eq\f(5,3×\r(5))＝eq\f(\r(5),3).]3．已知一等比數(shù)列的前三項(xiàng)依次為x，2x＋2，3x＋3，那么－eq\f(27,2)是此數(shù)列的()A．第2項(xiàng) B．第4項(xiàng)C．第6項(xiàng) D．第8項(xiàng)B[由(2x＋2)2＝x(3x＋3)解得x＝－1(舍)或x＝－4，∴首項(xiàng)為－4，公比為eq\f(3,2).∴由－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n－1)＝－13eq\f(1,2)，解得n＝4.]4．已知數(shù)列－1，a1，a2，－4成等差數(shù)列，－1，b1，b2，b3，－4成等比數(shù)列，則eq\f(a2－a1,b2)的值是()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)或－eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)A[由于－1，a1，a2，－4成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則a2－a1＝d＝eq\f(1,3)[(－4)－(－1)]＝－1.∵－1，b1，b2，b3，－4成等比數(shù)列，∴beq\o\al(2,2)＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2.若設(shè)公比為q，則b2＝(－1)q2，∴b2＜0，∴b2＝－2，∴eq\f(a2－a1,b2)＝eq\f(－1,－2)＝eq\f(1,2).]5．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}單調(diào)遞增，且a1·a3＝36，a1＋a2＋a3＝26，則a4＝()A．24 B．36C．48 D．54D[因?yàn)閍1·a3＝36，且eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為各項(xiàng)是正數(shù)的等比數(shù)列，得a2＝6，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1·a3＝36，,a1＋a3＝20，))由于eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))為遞增的等比數(shù)列，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,a3＝18，))∴q2＝eq\f(a3,a1)＝9.∵an＞0，∴q＝3.∴a4＝a1q3＝2×33＝54.故選D.]二、填空題6．已知等比數(shù)列{an}中，a3＝3，a10＝384，則該數(shù)列的通項(xiàng)an＝________.3×2n－3[由已知得eq\f(a10,a3)＝eq\f(a1q9,a1q2)＝q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.]7．在9與243中間插入兩個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)為________．27，81[設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3.所以插入的兩個(gè)數(shù)分別為9×3＝27，27×3＝81.]8．設(shè)等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿意a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________．64[設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a3＝10，,a2＋a4＝5))得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q2＝10，,a1q1＋q2＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,q＝\f(1,2).))所以a1a2…an＝aeq\o\al(n,1)q1＋2＋…＋(n－1)＝8n×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(nn－1,2))＝2eq\s\up10(－eq\f(1,2)n2＋eq\f(7,2)n)，于是當(dāng)n＝3或4時(shí)，a1a2…an取得最大值26＝64.]三、解答題9．在各項(xiàng)均為負(fù)的等比數(shù)列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝eq\f(8,27).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)－eq\f(16,81)是否為該數(shù)列的項(xiàng)？若是，為第幾項(xiàng)？[解](1)因?yàn)?an＝3an＋1，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(2,3)，數(shù)列{an}是公比為eq\f(2,3)的等比數(shù)列，又a2·a5＝eq\f(8,27)，所以aeq\o\al(2,1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)，由于各項(xiàng)均為負(fù)，故a1＝－eq\f(3,2)，an＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－2).(2)設(shè)an＝－eq\f(16,81)，則－eq\f(16,81)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)，n＝6，所以－eq\f(16,81)是該數(shù)列的項(xiàng)，為第6項(xiàng)．10．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿意a1＝1，aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項(xiàng)公式．[解](1)由題意可得a2＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(1,4).(2)由aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).故{an}是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，因此an＝eq\f(1,2n－1)(n∈N*)．11．(多選題)有下列四個(gè)命題，正確的是()A．等比數(shù)列中的每一項(xiàng)都不行以為0B．等比數(shù)列中公比的取值范圍是(－∞，＋∞)C．若一個(gè)常數(shù)列是等比數(shù)列，則這個(gè)常數(shù)列的公比為1D．若b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列AC[對于A，因?yàn)榈缺葦?shù)列中的各項(xiàng)都不為0，所以A正確；對于B，因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比不為0，所以B不正確；對于C，若一個(gè)常數(shù)列是等比數(shù)列，則這個(gè)常數(shù)不為0，依據(jù)等比數(shù)列的定義知此數(shù)列的公比為1，所以C正確；對于D，只有當(dāng)a，b，c都不為0時(shí)，a，b，c才成等比數(shù)列，所以D不正確．因此，正確的說法有AC，故選AC.]12．(一題兩空)已知{an}是等差數(shù)列，公差d不為零．若a2，a3，a7成等比數(shù)列，且2a1＋a2＝1，則a1＝________，d＝________.eq\f(2,3)－1[∵a2，a3，a7成等比數(shù)列，∴aeq\o\al(2,3)＝a2a7，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0. ①又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1. ②由①②解得a1＝eq\f(2,3)，d＝－1.]13．商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格，及依據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a，最高銷售限價(jià)b(b＞a)以及常數(shù)x(0＜x＜1)確定實(shí)際銷售價(jià)格c＝a＋x(b－a)．這里，x被稱為樂觀系數(shù)．閱歷表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項(xiàng)．據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)x的值等于________．eq\f(－1＋\r(5),2)[已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項(xiàng)，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2.因?yàn)閎＞a，所以b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝eq\f(－1＋\r(5),2)或x＝eq\f(－1－\r(5),2)(舍去)．]14．設(shè)a1，a2，a3，a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d(d≠0)的等差數(shù)列．(1)證明：2eq\s\up10(a1)，2eq\s\up10(a2)，2eq\s\up10(a3)，2eq\s\up10(a4)依次構(gòu)成等比數(shù)列；(2)是否存在a1，d，使得a1，aeq\o\al(2,2)，aeq\o\al(3,3)，aeq\o\al(4,4)依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由．[解](1)因?yàn)閑q\f(2eq\s\up10(an＋1),2eq\s\up10(an))＝2eq\s\up10(an＋1－an)＝2d(n＝1，2，3)是同一個(gè)常數(shù)且d≠0，所以2eq\s\up10(a1)，2eq\s\up10(a2)，2eq\s\up10(a3)，2eq\s\up10(a4)依次構(gòu)成等比數(shù)列．(2)令a1＋d＝a，則a1，a2，a3，a4分別為a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d，a＞－2d，d≠0)．假設(shè)存在a1，d，使得a1，aeq\o\al(2,2)，aeq\o\al(3,3)，aeq\o\al(4,4)依次構(gòu)成等比數(shù)列，則a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4.令t＝eq\f(d,a)，則1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(