2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)周練卷5課時作業(yè)含解析新人教A版選修2-1

周練卷(五)一、選擇題(本大題共7小題，每小題5分，共35分)1．拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)到直線x－eq\r(3)y＝0的距離是(D)A．2eq\r(3) B．2C.eq\r(3) D．1解析：y2＝8x的焦點(diǎn)為F(2,0)，它到直線x－eq\r(3)y＝0的距離d＝eq\f(2,\r(1＋3))＝1.故選D.2．準(zhǔn)線與x軸垂直，且經(jīng)過點(diǎn)(1，－eq\r(2))的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(B)A．y2＝－2x B．y2＝2xC．x2＝2y D．x2＝－2y解析：本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法．由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝ax，則(－eq\r(2))2＝a，解得a＝2，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2x，故選B.3．已知點(diǎn)P(6，y)在拋物線y2＝2px(p>0)上，若點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F的距離等于8，則焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于(C)A．2 B．1C．4 D．8解析：本題主要考查拋物線的定義和拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2).因為P(6，y)為拋物線上的點(diǎn)，所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，所以6＋eq\f(p,2)＝8，解得p＝4，所以焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于4，故選C.4．拋物線y2＝12x的準(zhǔn)線與雙曲線eq\f(y2,3)－eq\f(x2,9)＝－1的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為(A)A．3eq\r(3) B．2eq\r(3)C．2 D.eq\r(3)解析：本題主要考查拋物線和雙曲線中的基本量和三角形面積的計算．拋物線y2＝12x的準(zhǔn)線為x＝－3，雙曲線的兩條漸近線為y＝±eq\f(\r(3),3)x，它們所圍成的三角形為邊長為2eq\r(3)的正三角形，所以所求三角形的面積為3eq\r(3)，故選A.5．過點(diǎn)(0,1)且與拋物線y2＝4x只有一個公共點(diǎn)的直線有(C)A．1條 B．2條C．3條 D．0條解析：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系．易知過點(diǎn)(0,1)且斜率不存在的直線x＝0，滿意與拋物線y2＝4x只有一個公共點(diǎn)．當(dāng)過點(diǎn)(0,1)的直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為y＝kx＋1，與y2＝4x聯(lián)立，整理，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，當(dāng)k＝0時，方程有一個解，滿意直線y＝kx＋1與拋物線y2＝4x只有一個公共點(diǎn)；當(dāng)k≠0時，由Δ＝0，可得k＝1，滿意直線y＝kx＋1與拋物線y2＝4x只有一個公共點(diǎn)．綜上，滿意題意的直線有3條，故選C.6．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1＋x2＝3p，則|PQ|＝(A)A．4p B．5pC．6p D．8p解析：設(shè)焦點(diǎn)為F，則|PQ|＝|PF|＋|QF|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝4p.7．已知雙曲線eq\f(y2,4)－x2＝1的兩條漸近線分別與拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的面積為1，則p的值為(B)A．1 B.eq\r(2)C．2eq\r(2) D．4解析：雙曲線eq\f(y2,4)－x2＝1的兩條漸近線方程是y＝±2x.又拋物線y2＝2px(p>0)準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(p,2)，故A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是y＝±p.∵△AOB的面積為1，∴eq\f(1,2)·eq\f(p,2)·2p＝1.∵p>0，∴p＝eq\r(2).二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)8．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則p＝2，準(zhǔn)線方程為x＝－1.解析：本題主要考查對拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解和應(yīng)用．因為拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，所以p＝2，準(zhǔn)線方程為x＝－1.9．已知點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，且|AP|＝eq\r(2)|PF|，則|OP|＝eq\f(\r(5),2).解析：過P作拋物線y2＝2x準(zhǔn)線的垂線，垂足為B.由|AP|＝eq\r(2)|PF|知△PBA為等腰直角三角形，則四邊形PBAF為正方形，故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).∴|OP|＝eq\f(\r(5),2).10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有肯定點(diǎn)A(2,1)，若線段OA的垂直平分線過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(5,4).解析：線段OA的垂直平分線方程為y＝－2x＋eq\f(5,2)，令y＝0，得x＝eq\f(5,4).于是拋物線的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，0)).故拋物線方程為y2＝5x，其準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(5,4).11．過拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸左側(cè))，則eq\f(|AF|,|FB|)＝eq\f(1,3).解析：本題主要考查拋物線定義的應(yīng)用．如圖，過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D，E，再過點(diǎn)A作AC垂直BE于點(diǎn)C，設(shè)|BC|＝a，由于直線AB的傾斜角為30°，因此|AB|＝2a.由|AD|＝|AF|，|BF|＝|BE|，得|AD|＝eq\f(a,2)，則|AF|＝eq\f(a,2)，|FB|＝eq\f(3a,2)，于是eq\f(|AF|,|FB|)＝eq\f(1,3).三、解答題(本大題共3小題，共45分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)12．(15分)點(diǎn)M到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線l：x＋6＝0的距離小2.(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若直線y＝x－5與(1)中的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長度．解：(1)解法一：由題意可知：點(diǎn)M到點(diǎn)F(4,0)的距離與它到直線l：x＋4＝0的距離相等，故點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)的拋物線．由eq\f(p,2)＝4得p＝8，所以其軌跡方程是y2＝16x.解法二：設(shè)M(x，y)，則由題意可得：eq\r(x－42＋y－02)＋2＝|x＋6|，化簡得軌跡方程為y2＝16x，(2)解法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝|x1－x2|eq\r(1＋k2)＝eq\r(2)|x1－x2|.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,y＝x－5，))得x2－26x＋25＝0.所以|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(576)＝24.于是|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝24eq\r(2).解法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,y＝x－5，))得x2－26x＋25＝0，解得x1＝1，x2＝25.所以A(1，－4)，B(25,20)，從而|AB|＝eq\r(1－252＋－4－202)＝24eq\r(2).13．(15分)已知拋物線C1的焦點(diǎn)與橢圓C2：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,5)＝1的右焦點(diǎn)重合，拋物線C1的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M(4,0)的直線l與拋物線C1交于A，B兩點(diǎn)．(1)寫出拋物線C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求△ABO面積的最小值．解：(1)橢圓C2：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,5)＝1的右焦點(diǎn)(1,0)，即為拋物線C1的焦點(diǎn)．又拋物線C1的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直線方程為x＝4，此時|AB|＝8，△ABO的面積S＝eq\f(1,2)×8×4＝16.當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－4)(k≠0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－4，,y2＝4x，))得ky2－4y－16k＝0，Δ＝16＋64k2>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－16，所以S△ABO＝S△AOM＋S△BOM＝eq\f(1,2)|OM||y1－y2|＝eq\f(1,2)|OM|·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝2eq\r(\f(16,k2)＋64)>16.綜上所述，△ABO面積的最小值為16.14．(15分)已知拋物線x2＝2py(p>0)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線OA于點(diǎn)C，如圖所示．(1)求點(diǎn)C的軌跡M的方程；(2)直線m是拋物線的不與x軸重合的切線，切點(diǎn)為P，點(diǎn)C的軌跡M與直線m交于點(diǎn)Q，求證：以線段PQ為直徑的圓過點(diǎn)F.解：(1)由題意可得，直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx＋eq\f(p,2).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，動點(diǎn)C(x，y)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,y＝kx＋\f(p,2)，))可得x2－2pkx－p2＝0，可得x1x2＝－p2.因為OA：y＝eq\f(y1,x1)x＝eq\f(x1,2p)x，CB：x＝x2，所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x1,2p)x，,x＝x2))可得y＝eq\f(x1,2p)·x2＝－eq\f(p,2)，即點(diǎn)C的軌跡方程為y＝－eq\f(p,2).(2)證明：設(shè)直線m的方程為y＝kx＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,y＝kx＋m))得x2－2pkx－2pm＝0，所以Δ＝4p2k2＋8pm.因為直線m與拋物線相切，所以Δ＝0，即pk2＋2m可得P(pk，－m)．又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,y＝－\f(p,2)，))可得Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs