拋物線 -高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點資料歸納

第11講拋物線

真題展示

2022新高考一卷第11題

已知O為坐標原點，點A(1J)在拋物線?！?=2胡(〃>0)上，過點8(0,-1)的

直線交。于P，Q兩點，則()

A.c的準線為)，=-1B.直線m與c相切

C.\OP\\OQ\>\OAfD.\BP\\BQ\>\BAf

【思路分析】對于A,根據(jù)題意求得〃的值，進而得到準線；對于8,

求出直線四方程，聯(lián)立直線即與拋物線方程即可得出結(jié)論；對于C,

設(shè)過點8的直線方程為v="7(Q2),聯(lián)立該直線與拋物線方程，由韋

達定理得到兩根之和及兩根之積，然后利用兩點間的距離公式，結(jié)合

基本不等式判斷選項8.

【解析】

【解法一】(基本不等式)點A(l,l)在拋物線C:V=2p),(p>0)上，

?.2p=l,解得p=g,

.?拋物線。的方程為.V2n,準線方程為產(chǎn)一；,選項A錯誤；

4

由于4(1,1),B(0,-l),則如=1一(-1)=2,直線AB的方程為y=2x-l,

1—0

聯(lián)立，,可得f_2x+]=。，解得方程有兩個相等的根x=l,故直

線他與拋物線。相切，選項8正確；

根據(jù)對稱性及選項8的分析，不妨設(shè)過點4的直線方程為

y=kx-l(k>2),與拋物線在第一象限交于尸(百，X),Q(x2,y2),

聯(lián)立，消去y并整理可得f—g1=o,貝！]玉+七=21=i,

[y=^

2

y1y2=(AX)-l)(fcr2-1)=kx{x2-k5+x2)+l=l,

1。尸1131=斤57-7?奇.7^兄7^=2尻菽=2=|3|2,由于等號在

石=Z=X=必=I時才能取到，故等號不成立,選項。正確；

IBP||8Q|=舊+(y+If"￡+(%+1>收+4y.7v+4y2=廚.卮=5他x2y=50BA『

,選項。正確.

故選:BCD.

【解法二】(參數(shù)方程)：將A點坐標代入拋物線C的方程得2P=1,

從而p=；,c的準線為y=-l,A錯誤；

直線AB的方程為y=2xT,代入拋物線C的方程得,即

x2-2x+1=(),判別式△=(),且AB不平行于拋物線的對稱軸，故AB與

拋物線C相切，B正確；

設(shè)直線PQ的方程為[x=:°sa，。為參數(shù)。為直線的傾斜角),

代入拋物線C的方程得rcos2a-rsina+1=0,判別式

△=sin2a-4cos2a>0,BPcos2<,

設(shè)P、Q對應(yīng)的參數(shù)分別為小,貝"+，2=舞，

V=—,.'.|BP|-|BQ|=V=—>5=|A8『，D正確；

2cosacos2a

|OP|=y]xp+yp=sina(r,sina-1),

同理|OQ|=>/r2sina(r2sina-1),故

2

|OP|x|OQ|=sina(txsina-1)(/2sina-1)

22sir2

=sina(t}t2sina-(t}+/Jsincr+1)=JL5=_L---1>2=|OA|.

VCOS-aVcosa

C正確。

【試題評價】本題考查拋物線方程的求解，直線與拋物線位置關(guān)

系的綜合運用，同時還涉及了兩點間的距離公式以及基本不等式

的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

知識要點整理

-拋物線的定義

1.定義：平面內(nèi)與一定點廠和一條定直線/(不經(jīng)過點F)距離相等的

點的軌跡.

?焦點：定點、F.

3.準線：定直線/.

思考拋物線的定義中，為什么要加條件/不經(jīng)過點尸？

答案若點F在直線/上,點的軌跡是過點尸且垂直于直線I的直線.

知識點二拋物線的標準方程

隹八、、占/、、、坐】?準線方

圖形標準方程

標程

fe0)

科=2〃Mz?>0)x=

9/-2

?=一

V,°)x=2

卜2Px(p>0)

(0,2

？=22)℃))

6\乙)y=~2

/=一

y=2

2，y30)

二拋物線的簡單幾何性質(zhì)

標準方

y2=2px(p>0)y1=—2px(p>0)x2=2p)f(p>0)x2=—2py[p>0)

程

%W

圖形

1不

范圍x20,y￡RxWO,y￡R代0,%eRy《0,%ER

對稱軸X軸X軸y軸y軸

隹八〉、八占、、坐1?

標T。)“-外

準線方

x=—E

程2了2y=-2y=2

頂點坐

0(0,0)

標

離心率e=l

通徑長2P

三直線與拋物線的位置關(guān)系

直線尸船+b與拋物線y2=2pxS>0）的交點個數(shù)決定于關(guān)于x的方程

ykxIb,

組［。解的個數(shù)，即二次方程公好+2（幼一〃）工+。2=。解的

ly2=2px

個數(shù).

當女W0時，若/>0,則直線與拋物線有兩個不同的公共點；若/=0,

直線與拋物線有二個公共點；若/V0,直線與拋物線沒直公共點.

當k=0時，直線與拋物線的軸平行或重合,此時直線與拋物線有1

個公共點.

四和拋物線有關(guān)的軌跡方程

根據(jù)定義，可以直接判定一個動點的軌跡是拋物線，求動點的軌跡方

程.

五直線和拋物線

1.拋物線的通徑（過焦點且垂直于軸的弦）長為2P.

2.拋物線的焦點弦

過拋物線V=2px（p>0）的焦點廠的一條直線與它交于兩點4汨，V），

次及，丁2），則

①yi"=—p1，xiX2=4；

?\AB\=x\+x2+p；

(3HL+-L=2

Wj有十|BF|p

三年真題

1.設(shè)廠為拋物線V=4x的焦點，A、B、C為該拋物線上三點.若產(chǎn)A+F8+FC=0，貝U

|E4|+|ra|+|FC|=()

A.9B.6C.4D.3

【答案】B

【詳解】解：設(shè)點A8,C的坐標分別為G，y),(毛,％),(七,%).

又〃=2,尸(1,0),則E4=($-l,yj,FB=(x2-l,j2),FC=(x3-l,y3),

FA-\-FB-\-FC=Q^:.x}-l+Xj-1-f-Xj-1=0,.\^4-Xj+七=3.

由拋物線的定義可得：|必|=王+

5,irai=x2+1,|FCI=X3+￡

/.IMI+irai+lFCHx.+Xj+x,+^=3+3=6

故選：B

2.設(shè)0是坐標原點，尸是拋物線丁=2沖(〃>0)的焦點，A是拋物線上的一點，￡4與3軸

正向的夾角為60。，則|?？蔀?)

A.去B.%C.李〃D.%

42630

【答案】B

【詳解】如圖所示過A點做A￡>_Lx軸，令FD=m,

因為尸是拋物線y2=2px（p>0）的焦點，￡4與X軸正向的夾角為60。,

所以由拋物線的性質(zhì)得以=26=加+〃，解得加=，，

3雙曲線G=1（"。"。）的左準線為'，左焦點和右焦點分別為6和小拋物線

焦點為居；G與G的一個交點為M,則黑!一萼!等于（）

C?的準線為/,

C1

A.—1B.1.~2D"

過M作準線/的垂線，垂足為“，

由拋物線的定義可得|M*=|M瑪卜

設(shè)"（＞0,匕）），貝"例￡|二J"o+4++b?^T-lj

Ao+-

故幽.c，故驚）=3又|崢|一|年|=為,

|^|c

r+a

2。即|“用=三，故附瑪|=三

2ac

幽|\MF\_2c~^a_c-ac_

\MF\\MF2\2a￡-至_aa

c-ac-a

故選：A.

4.若雙曲線片—5?

=1的一條準線與拋物線V=8x的準線重合，則雙曲線離心率為（）

8b2

A.&B.2A/2C.4D.472

【答案】A

【詳解】拋物線V=8x的準線為”-2,

喘一A1‘得八8,則/=§+/,得。=標，

因為雙曲線上-[=1的一條準線與拋物線V=8x的準線重合,

8b~

所以4=2所以舟=2,

所以，8+從=4，所以》*=8,

A?*c4

所以。=2&,c=4,所以e='=%J=J2,

故選：A

5.雙曲線￡=1（癡/0）離心率為2,有一個焦點與拋物線丁=4/的焦點重合，則mn的

mn

值為（）

33168

A.—B.-C.—D.-

16?33

【答案】A

【詳解】解汕題知，雙曲線離心率為2,即c=2a,

/.a2+b2=4/,

3a2=b13m=n,

拋物線),2=4x的焦點為(1,0),

22

:.c=lya+h=\jn+n=\,

.3m=〃,〃?+〃=1,

133

-m=4'n=4'ftvt=-^-

故選:A

6.如果拋物線y2=a(x+l)的準線方程是工二一3,那么這條拋物線的焦點坐標是()

A.(3,0)B.(2,0)C.(1,0)D.(-1,0)

【答案】C

【詳解】拋物線/=。(不+1)可由幗物線＞2=如向左平移一個單位長度得到，

因為拋物線丁=a(x+1)的準線方程是x=-3,

可得拋物線＞2=辦的準線方程是x=-2,且焦點坐標為⑵0),

那么拋物線V=a(x+1)的焦點坐標為(1,0).

故選：C.

7.焦點在頂點在(1,0)的拋物線方程是()

A./=8U+1)B.y2=-8(x+l)C.y2=8(x-l)D.y2=-8(x-l)

【答案】D

【詳解】對于A,因為頂點(LO)是拋物線上的點，故將彳=1代入可得y2=8(x+l)=16H0,

故A錯誤；

對于B,同理，將x=l代入得y2=_8(x+l)=T6H0,故B錯誤；

對于C,易知產(chǎn)=8*-1)的圖像是由產(chǎn)=標的圖像向右平移一個單位得到的，而丁二版的

焦點為(2,0),向右平移一個單位后，焦點為(3,0),顯然不滿足題意，故C錯誤；

對于D,易知y2=-8*7)的圖像是由丁=_8x的圖像向右平移一個單位得到的，而尸=一版

的焦點為(-2,0),頂點為(0,0),向右平移一個單位后，焦點為(-LO),頂點為(1,0),滿足

題意，故D正確.

故選：D.

8.拋物線V=y的準線方程是()

A.4A+1=0B.4y+I=0C.2x+l=0D.2y+l=0

【答案】B

【詳解】拋物線f=y的準線方程是),=一；，即4)，+1=0.

故選:B.

9.方程亡―79x+l=0的兩根可分別作為()

A.一橢圓和一雙曲線的離心率B.兩拋物線的離心率

C.一橢圓和一拋物線的離心率D.兩橢圓的離心率

【答案】A

【詳解】設(shè)f—79x+l=0的兩根為玉則演+*2=79＞0,王士=1,

可得0＜玉＜1＜天，

???橢圓的離心率0＜4＜1,雙曲線的離心率?2＞1,拋物線的離心率?3=1，

故方程f_79x+l=0的兩根可分別作為--橢圓和一雙曲線的離心率.

故選：A.

10.曲線＞2=4、關(guān)于直線x=2對稱的曲線方程是（）

A.y2=8-4xB.y2=4A-8C.y2=16-4xD.y2=4x-16

【答案】C

【詳解】設(shè)曲線V=4x關(guān)于直線4=2對稱的曲線為C,

在曲線C上任取一點p（x,y）,

則P（x,y）關(guān)于直線戶2對稱的點為Q（4-x,y）

因為Q（4—x,y）在曲線V=以上，

所以＞2=4（4—力，gfj/=16-4x

故選:C.

11.已知拋物線V=464，居分別是雙曲線*■-/=1（。＞0泊＞0）的左、右焦點，拋物線的

準線過雙曲線的左焦點與雙曲線的漸近線交于點4,若N6瑪A=?,則雙曲線的標準

方程為（）

【答案】C

【詳解】拋物線9=46丫的準線方程為]=一石，則。=石，則耳卜石,0）、居（右,0,

_b

不妨設(shè)點A為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立,"一可得be?即點川-。，"],

x=-cy=-

因為AE_L^E且/耳凡4=f,則為等腰直角三角形，

4

且|A用二|耳閭，即舁2c,可得§=2,

b八

a=\2

所以，\c=y/5,解得?b=2,因此，雙曲線的標準方程為1一區(qū)=1.

4

c2=a2+b2c=x/5

故選：C.

12.設(shè)尸為拋物線C:y?=4x的焦點，點A在C上，點8(3,0),若小耳=|四，則|明=()

A.2B.2&C.3D.3&

【答案】B

【詳解】由題意得，尸。⑼,則網(wǎng)=忸尸|=2,

即點A到準線x=-1的距離為2,所以點A的橫坐標為T+2=1,

不妨設(shè)點A在x軸上方，代入得，4(1,2),

所以|人叫=J(3_l『+(0_2)2=2近.

故選：B

13.已知雙曲線￡-提=1(。>0,〃>0)的右焦點與拋物線y2=2px(p>0)的焦點重合，拋物線

a-b-

的準線交雙曲線于A,B兩點,交雙曲線的漸近線于C、D兩點,若|CD|=&|A8|.則雙曲

線的離心率為()

A.y/2B.石C.2D.3

【答案】A

【詳解】設(shè)雙曲線m-1=1(。>0力>0)與拋物線y2=2px(p>0)的公共焦點為(c,0),

ab

則拋物線丁=2px(p>0)的準線為x=-c,

令*=Y,則54=1，解得產(chǎn)士號，所以|明二子，

又因為雙曲線的漸近線方程為5=±3］，所以|8|二華，

所以出=2曳，即。=缶，所以〃=/一〃=!匕2,

aa2

所以雙曲線的離心率e=￡=貝.

a

故選：A.

14.拋物線y2=2px(p>0)的焦點到直線尸x+1的距離為及，則。=()

A.1B.2c.2V2D.4

【答案】B

【詳解】拋物線的焦點坐標為［芻，。｝

K-0+1

其到直線*-y+i=o的距離：,2宿，

d=-/=72

V1+1

解得：P=2(〃=-6舍去).

故選：B.

15.設(shè)拋物線的頂點為0,焦點為產(chǎn)，準線為/./>是拋物線上異于。的一點，過?作PQ_U

于。，則線段尸。的垂直平分線().

A.經(jīng)過點。B.經(jīng)過點P

C.平行于直線。尸D.垂直于直線。?

【答案】B

【詳解】如圖所示：I

因為線段尸。的垂直平分線上的點到EQ的距離相等，又點尸在拋物線上，根據(jù)定義可知，

|PQ|=|P%所以線段尸。的垂直平分線經(jīng)過點P.

故選：B.

16.已知A為拋物線C:必=2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12,到y(tǒng)軸的距離

為9,則p=()

A.2B.3C.6D.9

【答案】C

【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F,由拋物線的定義知|4尸|=4+勺12,即12=9+勺解得p=6.

故選：C.

三年模擬

一、單選題

1.若雙曲線(營=1(°>0,〃>0)的實軸的兩個端點與拋物線爐=8勿的焦點是一個直角三角

形的頂點，則該雙曲線的離心率為()

A.七B.孚C.2D.72

【答案】B

【詳解】解：如圖所示，拋物線的焦點為。(0，3)，雙曲線的實軸端點為4-4,0),5(4,0),

由題得NAC8=；,|AC|=|BC|,所以eC|=9AB|,

22

所以2Z?=d「.4〃=a2,:.4(c2-a2)=a2.

所以4c2=5°2,.,./=2,e>\,:.e=^~.

42

故選：B

2.已知O為坐標原點，點A(l,l)在拋物線C：f=20，(〃>0)上，過點8(0,-1)的直線交

拋物線C于P、Q兩點：①拋物線C的準線為y=-g；②直線48與拋物線C相切；

③|0叩0。|>|04匕④忸叩題|=|網(wǎng)2,以上結(jié)論中正確的是()

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】B

【詳解】將點從。,1)代入拋物線方程，可得P=g,故拋物線C的準線為丁=-；，①錯誤；

拋物線C方程為V=y,令/(x)=V,/，(])=2=女.，拋物線在4點處切線斜率與直線AB

斜率相同，因此直線48與拋物線C相切，②正確；

由題可知|。<=2,直線PQ斜率存在，所以設(shè)直線PQ的方程為了=丘-1,交點

Q(W，￥),聯(lián)立方程1=；V,整理可得：x2-kx+\=0

[y=Ax-1

△=左一。=且%+￡=%,

24>22>4,x,x2=1

|。尸卜"&+X：-&+引=，(卒2)2+薪+中;+(52)’=J(52)2+&；(3+君)+(中2)4

=J（x/2）2+再2K[（百+七＞-2百W]+（百馬）'=護

因為爐＞4,所以JF＞2=|OA「，③正確;

忸葉陶=〃+（凹+/&+（）,2+1）2=，7研葉7[7￥同=（1+標）|中2|=1+公

因為爐＞4,所以忸斗忸。=1+二＞5

|BA「=(1—0)2+(1+1)2=5,所以忸丹.忸0＞忸葉，④錯誤

故選：B.

3.己知尸是橢圓G：《+《=1與拋物線。2：y2=2px(，＞0)的一個共同焦點，G與。2相交

43

于A,8兩點，則線段AB的長等于()

2/74/7510

A.-V6B.-V6C.-D.—

3333

【答案】B

【詳解】橢圓G：[+f=l的右焦點坐標為(L0),

則拋物線的焦點坐標為

C2:/=2Px(p＞0)(L0)，

則?=1，則P=2,拋物線C2：)；=4X

22

fJx=-

=133

由，43,解得或，

2y=|>/6

y=4xy=_|76

則|陰=口

故選：B

4.已知拋物線V=2px(p＞0)的焦點為F,A(m,4＞萬"J”＞])為該拋物線上一點，且

COS/4FO=T(點0為坐標原點)，則〃=()

A.2B.3C.4D.8

【答案】C

【詳解】當y=4女時，32=2px,解得“=3，故小=3，

PP

AF=m+與=3+與,cosNAR?=M，.??其鄰角的余弦值為!，

2P233

16_/?

所以備9=；，化簡得/=16,解得〃=4(負舍)

----1---

P2

故選：C.

5.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：y2=2pM〃>0)的焦點為凡M是。上的一點,

且以0M為直徑的圓經(jīng)過點F,若點必到拋物線C的準線的距離為2,則|。M|=()

A.1B.2C.x/5D.272

【答案】C

【詳解】如圖，連接MF,因為以0M為直徑的圓經(jīng)過點尸(5,0),所以叱_LOF,由題

所以|O尸1=5=1,由拋物線的定義得|MF|=2,

所以|OM|=.0尸r|2=途.

故選：C.

二、多選題

6.已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點尸到準線的距離為4,過產(chǎn)的直線與拋物線交于4B

兩點，M為線段AB的中點，則下列結(jié)論正確的是()

A.拋物線C的準線方程為y=-2

B.當34尸=尸8，則直線A8的傾斜角為30

C.若|AB|=16,則點M到x軸的距離為8

D.41M+網(wǎng)..18

【答案】AD

【詳解】對于A,易知P=4,從而準線方程為)，=-2,故A正確；

對于B,如圖分別過A8

兩點作準線y=-2的垂線，垂足分別為A，旦，過A點作3片的垂線，垂足為點”.

由于3通=尸瓦不妨設(shè)|AF|=f,則忸F|=3f,

由拋物線的定義易知：|的|=，忸4|=3力忸”|=2/,

在直角中，/班”二30，

此時A8的傾斜角為30,

根據(jù)拋物線的對稱性可知，的傾斜角為30或150，故B錯誤：

對于C,

由拋物線的定義知，|明+|防=?+2+%+2=16,

所以有X+%=12,

所以M到工軸距離上尹=6,故C錯誤;

1121

對于D,由拋物線定義知兩+研=]=]，

所以4|AF|+|BF|=2（4|4月+怛尸|）.18,

當且僅當篇二簿1即忸目=2|A同時取得等號，故D正確;

7.已知點A（-l,0）,5（1,0）,G（0,l）,拋物線C：V=4x.過點G的直線/與C交于尸

。（9，%）兩點，直線ARAQ分別與C交于另一點反尸，則下列說法中正確的是（）

A.凹+必=5跖

B.直線E77的斜率為g

C.若△尸OE的面積為亞（。為坐標原點），則OE與。尸的夾角為￡

66

D.若M為拋物線。上位于x軸上方的一點，|4"|二，阿四，則當，取最大值時，的

面積為2

【答案】ACD

/2\/2、

B選項：設(shè)E序可，斗得直線正的方程為4x-（x+y3）y+y%=°直線正過點

A（—1,O）得y%=4,同理刈％=4即可解決；

22

C選項：0/>.0七=手.9+,％）仇=4得0P.0E=5，設(shè)NPOE=a,|°耳|0@cosa=5,

又SME=述得tana=3即可；

POE63

D選項：過M作MO垂直拋物線C的準線x=-l于點。，由拋物線定義得/=.八直線

sin/MAD

AM與拋物線相切時，/最大，設(shè)直線AM:y=Mx+l）?得2=±1，"（1，2）即可.

【詳解】A選項：易知％=￥，

所以直線PQ的方程為4x-（y+yJy+yM=°，（利用兩點式求解直線也的方程）

因為直線尸。過點G（0,l）,

所以））十月=乂月，A正確.

<2\/2、

B選項：設(shè)E3,為，F(xiàn)春必，

所以直線PE的方程為4x-（y+%）y+y%=°，

因為直線收過點A（-l,0）,所以升力=4,

同理可得必乂=4,

k二乂一必二4二4二用，2二］

所以即金_反*+月±+AX+九，故B錯誤.

44y2Ji

C選項：OP.OE=,.?+yy3=5，（利用B選項中）［%=4）

設(shè)Z.POE=a,則|OP|.cosa=5,

因為S"o￡=g|0EH0P|sina=乎,

所以匕na=正，所以O(shè)七與OP的夾角為J,故C正確.

36

D選項：易知B為拋物線的焦點，過M作MZ）垂直拋物線C的準線x=-1于點。,

如圖

\AM\\AM\11

==

由拋物線的定義知，?/wxn,即'二.八八八

7\M77B^\~\M[77D7\7sin/.MADsinZ.MAD，

當，取最大值時，NMAD取最小值，（正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用）

即直線4W與拋物線。相切.

設(shè)直線AM的方程為y=Mx+1）,

由｛'得也￡+（2攵2-4卜+%2=0,

所以△=（2/-4）-4k2=0,解得欠=±1,

此時公”2+（2公-4卜+公=o,即f一2%+1=o,

所以x=l,又點”在x軸上方，故M（l,2）,

所以&A8M=g|AB|?|%|=；x2x2=2,故D正確.

故選：ACD

8.已知過拋物線C：）?=2pM"0）的焦點尸的直線/：丁=攵（％-2]信中0）與拋物線。交

于M，N兩點，若MF=A,FN，且|MN|=9,則4的取值可以為（）

A.-jB.1C.2D.3

【答案】AC

【詳解】設(shè)M（5,y）,N^,%），

由題意可知：直線/：、二攵5-2）（女工0）過定點（2,0）,即拋物線C的焦點為尸（2,0）,

所以5=2,p=4,故拋物線的方程為丁=8乩

2=8x

聯(lián)立方程什v=4_2），消去y得^^4伊+2卜+4/=0,可得：3=4,

,?|A//V|=XI+X2+4=9,

X)+/=5,

uuuuuu

又;MF=2FN,且M尸=(2_%「y),尸N均一2,七)，

/.2-x,=2(Xj-2),

XW=4xx=1x,=4

故%或2=2.

故，X+工2=5解得%2=4或，/=1

2—X|=A(x>-2),12=2

A=—

2

故選：AC.

9.已知O為坐標原點，拋物線C：y2=2px(〃>())的焦點尸為(1,0),過點M(3,2)的直

線/交拋物線C于A,B兩點,點P為拋物線C上的動點，則()

A.|PM|十|用的最小值為2&

B.C的準線方程為x=-l

C.OAOB>-4

D.當尸尸〃/時，點P到直線/的距離的最大值為2拉

【答案】BCD

【詳解】對于A、B,由拋物線的焦點尸(1,0),則〃=2,即丁=代，其準線方程為x=-l,

設(shè)點尸到準線的距離為4,則|PM|+|M|=|PM|+4，,

設(shè)點M(3,2)到準線的距離為乙，易知歸M|+4，Nd“=4,如下圖：

對于C,由題意可知，過點M(3,2)的直線/可設(shè)為x=m(y-2)+3,代入拋物線C：V=4x,

可得y2-4my+8/n-12=0,

設(shè)人(冷)，1),3(生%)，則%=4m,y%=8〃?T2,

必=

OAOB=xw+y[6(y-2)+3][/n(%-2)+3]+y1y2

=(病+1)>M+機(3-2加)(y+%)+(3-26)2,

將，+%=4九yM=86-12代入上式,可得

+1)(8，〃—12)+/w(3—2m>4"?+(3—2，〃)=4/w2-4wz-3=^\w——j—4>—4?故CJE確；

對于D,由C可得直線/的方程為x—2，+2m-3=。，可設(shè)直線尸產(chǎn)的方程為x-my-1=0,

易知點P到直線/的距離等于兩平行線I與PF的距離d=摩二*=,

Vi+m2V1+4

_2(1+X2)-2X2X_2(1-X)(1+X)

2x/

令》'=,y=-------------------------=

1+x2("Y(")2

當工式--。。。，”)時，y<o,當xe(-u)時，y>o,

則)，二高在(-8,-1)和(L”)上單調(diào)遞減，在(7,1)上單調(diào)遞增,

由當XV—1時，y<0,當X>1時，7>0,則%n=T，、2=1，可得d?2&，故D正確.

故選：BCD.

10.已知拋物線。：/=2.(〃>0)的準線4_1與“軸相交于點長，過拋物線。的焦點F的

直線/與拋物線C相交于只。兩點，且尸、。兩點在準線上的投影點分別為M、N,則下列結(jié)

論正確的是()

A.p=2B.|P0|的最小值為4

I-/VI?十他1

.|明。尸|為定值ED.NPKF=NQKF

【答案】ABD

【詳解】對于A,因為拋物線C：y2=2px(p>0)的準線尸-1,

所以］=1,則〃=2,故A正確；

對于B,拋物線C：V=4x,過焦點的直線為x=my+l,貝時］:

()廣-Ax

整理可得產(chǎn)一4m)，-4=o,設(shè)P&yJ,。(孫必)，

可得)'1+%=4〃2,/「為二-4，

22

若再==］

Xy+Xy=m(yt+y2)+2=4nT+2,，%

16

所以|P。=與+毛+2=4相?+4,當m=0時取等號，

\PQ\最小值為4,所以B正確；

對于C,|MN|=|y-M|二J(yi+%)2-4y=Jl6m?+16=4ylm?+1,

附=X+1,|QF|=W+1,

所以芭〉

|PF|MH=(+1)(x2+1)=x)x2+x1+x2+l=4+4,

|MN『

所以所以C不正確;

MM4gi廠'

對于D,Pa，））Q（w，%），K（TO）,%=37,%=/，

人]I14,I1

k+k二y?__凹（憶+1）+%（％+1）_'[7+i卜"、才”）

昨2一內(nèi)+1再+i—（K+I）（/+I）-仕+1）（再+1）

22?

，*+%?+%+%W凹力（y+）'2）+y+必；（T）?4機+4m

一荷

（^+1）（%2+1）（X]+1）（W+1）+4

所以NPK/=/Q",故D正確.

11.設(shè)A是拋物線C:/=4y上一點，尸是。的焦點，A在C的準線/上的射影為M,M關(guān)

于點A的對稱點為N,曲線C在A處的切線與準線/交于點P,直線斷交直線，于點。，則

()

A.尸到/距離等于4B.FMLFN

C.△"Q是等腰三角形D.|MQ|的最小值為4

【答案】BCD

【詳解】對于A,焦點到準線距離〃=2,A不正確.

對于B,因為C:犬=”的準線為/：y=-l,焦點為一(0,1),設(shè)A/,%),則M(%-1),

N(Xo,2%+l),

所以尸以m=(%-2〉伍,2)，0)==1%+*=0,所以NMFN=90。，：或由拋物線定義知

AM=AN=AF,所以NM/W=90°,)故選項B正確；

對于C,因為y'=],所以A處的切線斜率，砥/>=+，而腦_2%_21/「0,所以

%與2

%AP="NF'

從而AP〃NF,又A是線段MN中點，所以P是線段M。的中點，又NMFN=900,

所以尸Q=尸尸，所以C正確.

對于D,因為般=?，所以直線尸N的方程為y1=9,令y=T得。㈡-力，

221玉J

所以|M2|=x。-?=聞+木之2"=4,當且僅當聞=2時，最小值為4,故選項D正確.

故選：BCD.

12.已知拋物線y=2/的焦點為F,N（$,%）是拋物線上兩點，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.點尸的坐標為（%。）

B.若直線MN過點尸，則為占=-4

16

C.若MF—NF，則|網(wǎng)的最小值為3

D.若|Mr|+|Nr|=:,則線段MV的中點P到x軸的距離為9

【答案】BCD

【詳解】解：拋物線y=2f,即.l2=gy,

對于A,由拋物線方程知其焦點在y軸上，焦點為尸（04）,故A錯誤；

對于B,依題意，直線MN斜率存在，設(shè)其方程為y=H+：,

O

x2=—y

2

由，i，消去y整理得V—：區(qū)—上=0,.?.%七二一」，%+巧=工2,故B正確;

y=kx+-

8

對于C,若MF=2NF，則直線MN過焦點,

所以|MN|=|MV|+|陰=乂+：+%+：=5+:+5+:+；=92+，

oooo4ZZ

所以當無時毛

=0|MN1nlm

的最小值為拋物線的通徑長故C正確;

對于D,網(wǎng)丹+|橋|=乂+：+必+:=3?.?乂+、2=。，即尸點縱坐標為峙

oo242o

??.P到X軸的距離為故D正碓.

O

故選：BCD.

13.過拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為尸的直線/與。相交于“（不乂）山（生/）兩點，

若|MN|的最小值為6,則（）

A.拋物線的方程為丁=6%B.MN的中點到準線的距離的最小值為4

當直線的傾斜角為。時，

C.y.J2=-36D.MN60|MN|=8

【答案】AD

【詳解】當斜率不存在時，即MN過拋物線的焦點，且垂直x軸，

,y2=2pxg、MNT=2p,

當斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y=A

聯(lián)立直線與拋物線方程"'=""一夕，可得心2—（yp+2pb+"l=o①，

y2=2px

由韋達定理藥+%="22P=p+1

由拋物線的定義，可得|MN|"十"+「二女p：2P="+二,

kk

綜合以上兩種情況可得，當斜率不存在時，即MN過拋物線的焦點，且垂直x