2024-2025學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高三上冊第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.設(shè)，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C. D.4.已知奇函數(shù)，且在上是增函數(shù).若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為A. B. C. D.5.某校抽取名學(xué)生做體能測認(rèn)，其中百米測試中，成績?nèi)拷橛诿肱c秒之間，將測試結(jié)果分成五組：第一組，第二組，，第五組．如圖是按上述分組方法得到頻率分布直方圖，若成績低于即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為人，則的估計(jì)值是（）A. B. C. D.6.如圖，在直三棱柱中，，是等邊三角形，點(diǎn)為該三棱柱外接球的球心，則三棱柱外接球表面積與四棱錐體積之比為（）A. B. C. D.7.已知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)、、，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.9已知，給出下列結(jié)論：①若，且，則；②存在，使得的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到的圖像關(guān)于軸對稱；③若，則上單調(diào)遞增；④若在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則取值范圍為.其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部是______.11.在的展開式中，x的系數(shù)為_______．12.計(jì)算：______．13.設(shè)，，若，則的最小值為_____________.14.甲?乙兩名槍手進(jìn)行射擊比賽，每人各射擊三次，甲三次射擊命中率均為；乙第一次射擊的命中率為，若第一次未射中，則乙進(jìn)行第二次射擊，射擊的命中率為，如果又未中，則乙進(jìn)行第三次射擊，射擊的命中率為.乙若射中，則不再繼續(xù)射擊.則甲三次射擊恰好命中1次的概率為______，乙射擊次數(shù)的期望為______.15.在菱形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為線段BC，CD上的點(diǎn)，，，點(diǎn)M在線段EF上，且滿足，則x=___________；若點(diǎn)N為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為___________.三、解答題16.在中，分別是三個(gè)內(nèi)角的對邊，若，且.（1）求及的值；（2）求的值.17.如圖，在四棱錐中，，，底面為正方形，分別為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角正弦值．18.在中，角、、的對邊分別是、、，且滿足，，且的面積.（1）求的值和邊的值；（2）求的值.19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，，E為棱BC上的點(diǎn)，且（1）求證：DE⊥平面；（2）求二面角的余弦值；（3）設(shè)Q為棱CP上的點(diǎn)（不與C、P重合），且直線QE與平面PAC所成角的正弦值為，求的值.20.已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)（1，）處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）已如函數(shù)，若，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2024-2025學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)集合運(yùn)算的定義計(jì)算．【詳解】由題意，，．故選：C．2.設(shè)，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【詳解】由，解得，由，可知“x<1”是“”的充分不必要條件，選A.3.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】判斷函數(shù)為奇函數(shù)排除，計(jì)算排除，得到答案.【詳解】，，函數(shù)為奇函數(shù)，排除.，排除.故選.本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式選擇圖像，判斷函數(shù)的奇偶性是解題的關(guān)鍵.4.已知奇函數(shù)，且在上是增函數(shù).若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為A. B. C. D.【正確答案】C【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，，又，則，所以即，，所以，故選C．【考點(diǎn)】指數(shù)、對數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性【名師點(diǎn)睛】比較大小是高考常見題，指數(shù)式、對數(shù)式的比較大小要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小，特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性數(shù)形結(jié)合不僅能比較大小，還可以解不等式.5.某校抽取名學(xué)生做體能測認(rèn)，其中百米測試中，成績?nèi)拷橛诿肱c秒之間，將測試結(jié)果分成五組：第一組，第二組，，第五組．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，若成績低于即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為人，則的估計(jì)值是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用左邊的矩形面積之和為列等式可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】優(yōu)秀人數(shù)所占的頻率為，測試結(jié)果位于的頻率為，測試結(jié)果位于的頻率為，所以，，由題意可得，解得.故選：B.6.如圖，在直三棱柱中，，是等邊三角形，點(diǎn)為該三棱柱外接球的球心，則三棱柱外接球表面積與四棱錐體積之比為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】分別求得三棱柱外接球表面積與四棱錐體積即可解決.【詳解】取三棱柱上底面中心D，下底面中心，連接、取中點(diǎn)O，連接則點(diǎn)O為三棱柱外接球球心，為三棱柱外接球半徑.由，可得，則則三棱柱外接球表面積為延長交與，則為四棱錐的高則則三棱柱外接球表面積與四棱錐體積之比為故選：A7.已知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】函數(shù)在上單調(diào)遞減,周期,解得:,令可得，由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，分析即得解【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減,周期,解得:又函數(shù)的減區(qū)間滿足:解得：由于函數(shù)在上單調(diào)遞減故即又，故則的取值范圍是:.故選：B8.設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)、、，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得出的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱性可得出，進(jìn)而可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：設(shè)，當(dāng)時(shí)，，由圖象可知，，則，可得，由于二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，所以，，因此，.故選：C.方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（或取值范圍），常用方法如下：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；（2）分離常數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.9.已知，給出下列結(jié)論：①若，且，則；②存在，使得的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到的圖像關(guān)于軸對稱；③若，則在上單調(diào)遞增；④若在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為.其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】由二倍角公式可得，利用余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)判斷各結(jié)論即可.【詳解】由題意可得，①由且可得兩相鄰對稱軸間的距離為，所以，解得，錯(cuò)誤；②的圖像向左平移個(gè)單位長度得，若關(guān)于軸對稱，則，即，解得，所以當(dāng)時(shí)符合題意，正確；③當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，錯(cuò)誤；④設(shè)，當(dāng)時(shí)，在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，即在上有5個(gè)零點(diǎn)，則，解得，正確；綜上②④正確，故選：B二、填空題10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部是______.【正確答案】【分析】由復(fù)數(shù)模的定義和復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算．【詳解】．虛部為-2.故．11.在的展開式中，x的系數(shù)為_______．【正確答案】【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于1，求出r的值，即可求得展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)．【詳解】的展開式中，通項(xiàng)公式為，

令，求得，可得展開式中含x項(xiàng)的系數(shù).

故．12.計(jì)算：______．【正確答案】【分析】根據(jù)換底公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解：．故．13.設(shè)，，若，則的最小值為_____________.【正確答案】【分析】由已知可得，從而有，展開后利用基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，因?yàn)闈M足，所以，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取得最小值.故本題主要考查了利用基本不等式求最值問題的應(yīng)用，合理利用基本不等式求得最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.14.甲?乙兩名槍手進(jìn)行射擊比賽，每人各射擊三次，甲三次射擊命中率均為；乙第一次射擊的命中率為，若第一次未射中，則乙進(jìn)行第二次射擊，射擊的命中率為，如果又未中，則乙進(jìn)行第三次射擊，射擊的命中率為.乙若射中，則不再繼續(xù)射擊.則甲三次射擊恰好命中1次的概率為______，乙射擊次數(shù)的期望為______.【正確答案】①.##0.096②.##1.15625【分析】根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算空1，空2根據(jù)射擊次數(shù)的取值算出對應(yīng)概率，求解期望.【詳解】根據(jù)甲每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響，故甲三次射擊恰好命中1次的概率為.乙射擊次數(shù)X可能取值為1，2，3，，，，所以.故；15.在菱形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為線段BC，CD上的點(diǎn)，，，點(diǎn)M在線段EF上，且滿足，則x=___________；若點(diǎn)N為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為___________.【正確答案】①.；②.【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，建立以為x軸，為y軸的直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示形式分別表示出，根據(jù)它們的關(guān)系求得x的值及M的坐標(biāo)；設(shè)，表示出的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得取值范圍.【詳解】根據(jù)菱形的性質(zhì)，建立以為x軸，為y軸的直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，，由題知，，且，設(shè)，則，由，則，解得，，設(shè)，，，則，則故；.三、解答題16.在中，分別是三個(gè)內(nèi)角的對邊，若，且.（1）求及的值；（2）求的值.【正確答案】（1），;（2）.【分析】（1）由正弦定理可得，再利用二倍角的正弦公式可得，從而根據(jù)余弦定理可得；（2）利用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式求得的值，再由兩角和的余弦公式可得結(jié)果.【詳解】（1）中，由正弦定理，得，，，即，解得，在中，由余弦定理，得，解得或．，．（2），，，.本題主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對邊，求另一個(gè)角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.17.如圖，在四棱錐中，，，底面為正方形，分別為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用中位線定理證明，然后由線面平行的判定定理證明即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可.【小問1詳解】∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，故平面.【小問2詳解】由題可知DA、DC、DP兩兩垂直，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：設(shè)，則，∴，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，∴，故直線與平面所成角的正弦值為18.在中，角、、的對邊分別是、、，且滿足，，且的面積.（1）求的值和邊的值；（2）求的值.【正確答案】（1），（2）【分析】（1）利用余弦定理化簡已知條件，求得的值，進(jìn)而求得的值，利用正弦定理化簡已知條件，結(jié)合三角形的面積公式列方程，由此求得的值；（2）由題意求出，再由正弦定理可得，根據(jù)二倍角公式以及兩角差正弦公式即可求解.【小問1詳解】由題意，又因，為內(nèi)角，所以.因?yàn)?，所以得，的面積，即，得，所以；【小問2詳解】，因?yàn)?，，解得，，又因?yàn)?，，解得，由，角為銳角，所以，，，.19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，，E為棱BC上的點(diǎn)，且（1）求證：DE⊥平面；（2）求二面角的余弦值；（3）設(shè)Q為棱CP上的點(diǎn)（不與C、P重合），且直線QE與平面PAC所成角的正弦值為，求的值.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）以為原點(diǎn)，所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得，，再由線面垂直的判定定理可得答案；（2）求出平面、平面的法向量，再由二面角的向量求法可得答案；（3）設(shè)，利用可得，再由可得答案.【小問1詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，所以，，所以，，且，所以DE⊥平面.【小問2詳解】由（1）知，DE⊥平面，是平面的一個(gè)法向量，且，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令，則，所以，，由圖二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【小問3詳解】由（1）得，，，，設(shè)，則，可得，所以，是平面的一個(gè)法向量所以，解得.所以.20.已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)（1，）處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）已如函數(shù)，若，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在（0，）遞增，在遞減；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)得切線斜率，進(jìn)而由點(diǎn)斜式即可得解；（Ⅱ）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）由（Ⅱ）得的最大值是，，，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，再求的導(dǎo)數(shù)，討論單調(diào)性求最值即可.