2024-2025學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高三上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年天津市河?xùn)|區(qū)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷一、單選題1.已知集合，則集合B為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】確定全集中的元素，根據(jù)補(bǔ)集的含義，即可求得答案.【詳解】∵集合，又，∴,故選：D．2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】必要性：若，則可得，所以可得，必要性成立；若，則，而，故充分性不成立，“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】判斷出的奇偶性，結(jié)合的符號(hào)可選出答案.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以是奇函?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除B，D因?yàn)?，所以排除A故選：C4.已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，，則的值是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求出的值，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求出的值，再利用等差數(shù)列的求和公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列an是等比數(shù)列，則，可得，因?yàn)榈炔顢?shù)列bn前項(xiàng)和為，，則，可得，所以，因此，.故選：A.5.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得答案.【詳解】因函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，則，，則.故選：A6.設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和，數(shù)列的前m項(xiàng)和，則m的值為（）A.8 B.10 C.12 D.20【正確答案】A【分析】由結(jié)合題意可得，再由裂項(xiàng)求和法可化簡(jiǎn)，即可得答案.【詳解】由，又，則，又時(shí)，，則.則，則.令.故選：A7.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及對(duì)稱性，可得函數(shù)的周期性，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得答案.【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，則為關(guān)于成中心對(duì)稱；由函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足，則函數(shù)關(guān)于直線成軸對(duì)稱；故，則，即函數(shù)的最小正周期.，由，則，即.故選：D.8.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則以下說法正確的個(gè)數(shù)為（）①函數(shù)的最小正周期是；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③把函數(shù)圖像上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到的圖象；④當(dāng)時(shí)，A.0 B.1 C.2 D.3【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由圖象知：，解得，故①錯(cuò)誤；所以，解得.將代入得，所以，即，又因?yàn)椋裕?當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故②正確；把函數(shù)圖像上的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，故③正確；當(dāng)時(shí)，，，，故④錯(cuò)誤.所以說法正確的是②③.故選：C.9.設(shè)函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間上函數(shù)，f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且，則不等式的解集是A. B.（1，＋∞） C.（－∞，1） D.（0，1）【正確答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，結(jié)合，可得在上單調(diào)遞增，則不等式，可變?yōu)?，則，結(jié)合單調(diào)性即可求解．【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，由，所以，即在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋瑒t不等式，可變?yōu)?，則，所以，所以，故選D本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生發(fā)散思維和計(jì)算能力，屬中檔題．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)給出的條件，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)可應(yīng)用題中條件，得到新函數(shù)的單調(diào)性，把問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)單調(diào)性解不等式問題，進(jìn)而得到答案．二、填空題10.的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______．【正確答案】3【分析】先求出展開式中的通項(xiàng)公式，然后令的指數(shù)為0求解.【詳解】由展開式中的通項(xiàng)公式為：，令，則，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：，故3.11.袋子中有5個(gè)大小相同的球，其中紅球2個(gè)，白球3個(gè)，依次從中不放回的取球，則第一次取到白球且第二次取到紅球的概率是__________；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到紅球的概率是__________.【正確答案】①.##0.3②.12##0.5【分析】由題意設(shè)第一次取到白球?yàn)槭录嗀，第二次取到紅球?yàn)槭录﨎，由古典概型概率公式和獨(dú)立事件的乘法公式分別求出，結(jié)合條件概率公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意，設(shè)第一次取到白球?yàn)槭录嗀，第二次取到紅球?yàn)槭录﨎，則，所以.故；.12.已知等比數(shù)列前項(xiàng)和（其中）．則的最小值是__________．【正確答案】【分析】由等比數(shù)列前n項(xiàng)和可得，再利用基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和，所以，，，又，即，解得，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故答案為.13.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【分析】分析可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，由已知條件可得出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，因?yàn)?，由，可得，即，即，所以，，即，解?因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.14.已知函數(shù)，（i）若，將函數(shù)沿x軸向右平移單位后得到函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則______；（ii）若在上單調(diào)，則ω的最大值為______．【正確答案】①.②.【分析】（i）根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)圖像平移的性質(zhì)，結(jié)合正弦型奇偶性進(jìn)行求解即可；（ii）根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)性與周期性的關(guān)系，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】.（i）若，則，函數(shù)沿x軸向右平移單位后得到函數(shù)圖像的解析式為：，由題意可知：函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)是偶函數(shù)，于是有，因，所以令，得；（ii）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，所以函數(shù)的最小正周期，解得，當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增時(shí)，因，所以，則有，即，而，所以令，則有；當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞減時(shí)，因?yàn)?，所以，則有，即，而，所以令，則有；綜上所述：ω的最大值為，故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分類討論.15.設(shè)，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．【正確答案】，．【分析】設(shè)，結(jié)合題意可知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，分析時(shí)不符合題意，時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的正負(fù)及的正負(fù)即可求解．【詳解】由題意，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，即函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)最多有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，，所以，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上無零點(diǎn)，所以函數(shù)在，上有三個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上只有一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)，時(shí)，，令，解得或，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上有1個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在，上有2個(gè)零點(diǎn)，則，即，所以；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間，上有2個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在，上只有1個(gè)零點(diǎn)，則或或，即無解．綜上所述，的取值范圍是，．故，．本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)與方程等知識(shí)點(diǎn)，屬于較難題判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：(1)直接法：令則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)；(2)零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.三、解答題16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知的面積為．(1)求和的值；(2)求的值．【正確答案】（1），（2）【分析】（1）由面積公式可得結(jié)合可求得解得再由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值;（2）直接展開求值.【詳解】（1）△ABC中,由得由,得又由解得由,可得a=8.由,得.（2）,本題主要考查三角變換及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查基本運(yùn)算求解能力.17.如圖所示，在三棱柱中，平面，.是棱的中點(diǎn)，為棱中點(diǎn)，是的延長線與的延長線的交點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的一個(gè)法向量，進(jìn)而利用向量法即可證明平面；（2）利用向量法求解直線與平面所成的夾角的正弦值即可；（3）利用向量法求解平面與平面所成的夾角的余弦值即可.【小問1詳解】在三棱柱中，平面，，則直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：由，得，，在中，且是棱的中點(diǎn)，則也是的中點(diǎn)，即，，設(shè)平面的一個(gè)法向量n=x,y,z，則則，令，得，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面．【小?詳解】由（1）知平面的法向量，又，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值．18.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：，．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）證明：；（3）設(shè)數(shù)列滿足：，求．【正確答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由題及（1）可求得與，即可完場(chǎng)證明；（3）由錯(cuò)位相減法可得答案.【小問1詳解】因，則，.則是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列；【小問2詳解】設(shè)的公差為，則，則；由（1），，因，則注意到，，則命題得證；【小問3詳解】由（1）可得，則，則.得，則，兩式相減得：.19.已知無窮數(shù)列中，、、…、構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，、、…、，構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其中，．（1）當(dāng)，時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若m是偶數(shù)且，求．（3）若對(duì)任意的，都有成立，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．判斷是否存在m，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【正確答案】（1）（2）（3）不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)的取值利用分段數(shù)列的形式表示通項(xiàng)公式即可；（2）根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式即可求解；（3）由題意可知數(shù)列的周期，先將數(shù)列的前項(xiàng)和求出，然后利用周期性可得，構(gòu)造函數(shù)，利用定義法可求出的最大值，即可判斷.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；【小問2詳解】因?yàn)閙是偶數(shù)，所以；【小問3詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，所以數(shù)列的周期為，由（1）可得，又，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即，故時(shí)，取得最大值，最大值為，從而最大值為，不可能有成立，故不存在滿足條件的實(shí)數(shù).關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決（3）的關(guān)鍵是利用數(shù)列的周期性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.20.已知函數(shù)，，（）．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）存在唯一的極大值點(diǎn)，且．【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2），考慮和兩種情況，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只需，設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值即可；（3）求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，確定，結(jié)合（2）中的結(jié)論得到，設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)遞增，計(jì)算最值得到證明．【小問1詳解】由得，又，所以，所以切線方程為：，即；【小問2詳解】，當(dāng)時(shí)，，為上的增函數(shù)，所以存在，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得，時(shí)，是減函數(shù)，時(shí)，是增函數(shù)，所以，所以只需，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)不等式成立，綜上所述：；【小問3詳解】，因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，由正切函數(shù)的性質(zhì)及可知，在內(nèi)，存