2024年中考數(shù)學復習：開放探究型題型專項復習講義

開放探究型題型專項復習講義

題型清單類型一條件（或結(jié)論）開放題

條件開放題的特點是缺少確定的條件，一般要求學生將所缺的條件補齊，并根據(jù)自己所給出的條件

進行解答，需要注意的是添加的條件必須符合題意.而結(jié)論開放題，常需要根據(jù)條件的不同分類討論，分別

求解出各種情況的相應(yīng)結(jié)論.

例1（2021浙江紹興,23,12分澗題:如圖在口ABCD中,AB=8,AD=5,NDAB,NABC的平分線AE,BF分別與直

線CD交于點E,F,求EF的長.

nF￡r

答案:EF=2.//

探究：~X

⑴把“問題”中的條件“AB=8”去掉,其余條件不變

①當點E與點F重合時，求AB的長；

②當點E與點C重合時，求EF的長.

⑵把“問題”中的條件“AB=8,AD=5"去掉，其余條件不變，當點C,D,E,F相鄰兩點間的距離相等時，求

浜勺值

圖1

V四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB〃CD,，ZDEA=ZEAB.

：AE平分/DAB,；.ZDAE=ZEAB.

ZDAE=ZDEA,DE=AD=5.

同理可得BC=CF=5.

:點E與點F重合，

.?.AB=CD=10.（3分）

②如圖2,點E與點C重合，

，DE=DC=5,

1/CF=BC=5,，點F與點D重合,

，EF=DC=5.（6分）

（2）情況1,如圖3,

DEFC

AB

圖3

易知AD=DE=EF=CF,

AD_1

?,——>（8分）

AB3

情況2,如圖4,

DFEr

圖4

易知AD=DE=CF,

又：DF=FE=CE,

AD_2

??——■（10分）

AB3

情況3,如圖5,

FDCE

圖5

易知AD=DE=CF,

又：FD=DC=CE,

ADf

???—=2.

AB

綜上，知的值是:或|或2.（12分）

思路分析

本題以平行四邊形為載體，通過改變平行四邊形的邊長，求相關(guān)線段的長或線段的長度比，正確運

用基本模型“平行、平分加等腰”是解題的關(guān)鍵，由于點C,D,E,F的相鄰情況可以改變，故求ADB的值需要

分類討論.

類型二運動型問題

動態(tài)幾何問題集幾何、代數(shù)于一體，數(shù)形結(jié)合，題目靈活多變，有較強的綜合性.在幾何圖形運動的

過程中，常常伴隨著圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變"動中有靜，靜中有動，能有效考查學生的空間

想象能力和綜合分析問題的能力.

解決動態(tài)幾何問題需要用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動和變化的全過程，抓住

其中的，，變，，與，，不變，,，特別要關(guān)注一些不變量或不變關(guān)系.在求圖形的變量之間的關(guān)系時，常建立函數(shù)模型

或不等式模型來求解；求圖形之間的特殊數(shù)量關(guān)系和一些特殊值時，一般用方程思想解決.

例2（2021山西,23,13分）綜合與探究如圖，拋物線y=卜2+2久―6與x軸交于A,B兩點（點A在點B的左

側(cè)），與y軸交于點C,連接AC,BC.

⑴求A,B,C三點的坐標并直接寫出直線AC,BC的函數(shù)表達式；

⑵點P是直線AC下方拋物線上的一個動點，過點P作BC的平行線1,交線段AC于點D.

①試探究：在直線1上是否存在點E，使得以點D,C,B,E為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點E

的坐標；若不存在，請說明理由；

②設(shè)拋物線的對稱軸與直線1交于點M,與直線AC交于點N.當SDMN=SA℃時，請直接寫出DM的長.

解析⑴當y=0時弓久2+2%-6=0,解得xi=-6,久2=2.

:點A在點B的左側(cè)，

???點A的坐標為（-6,0）,（1分）

點B的坐標為（2,0）.（2分）

當x=0時,y=-6,...點C的坐標為（0,-6）.

（3分）

直線AC的函數(shù)表達式為y=-x-6.（4分）

直線BC的函數(shù)表達式為y=3x-6.（5分）

⑵①存在.設(shè)點D的坐標為其中-6<m<0.（6分）

:點B,點C的坐標分別為（2,0）,（0,-6）,

BD2—（jn—2/+（m+6）2,BC2=22+62—40,DC2=m2+m2—2m2.

?/DE〃BC,

???當DE=BC時，以D,C,B,E為頂點的四邊形是平行四邊形.

如圖1,當BD=BC時尸BDEC是菱彩

（m-2）2+（m+6）2=40.（7分）

解得mi=-4,ni2=0（舍去）,

.?.點D的坐標為（-4,-2）.

，點￡的坐標為（-6,-8）.（8分）

如圖2,當CD=CB時尸CBED是菱形,2m2=40.（9分）

解得叫=-2V5,m2=2遍（舍去）.

.??點D的坐標為（-2逐，2V5-6）.

，點E的坐標為（2-2代，2V5）.

綜上所述,存在點E,使得以D,B,C,E為頂點的四邊形為菱形，且點E的坐標為（-6,-8）或

（2-2V5-275）.（10^）

圖1

圖2

②3"U.（13分）

詳解：由題意知，拋物線的對稱軸為直線x=-2.

設(shè)直線DM的解析式為y=3x+k,

當x=-2時,y=-x-6=-4,

.??點N的坐標為（-2,-4）,

當x=-2時,y=3x+k=-6+k,

，點M的坐標為（-2,-6+k）,

當點D在點N下方時,-6<k<2,

令-x-6=3x+k,解得%=手，即點D的橫坐標為中，

44

點D到直線MN的距離為手—（―2）=—[+去

??.MN=-4-（-6+k）=2-k,

SDMN=[x（2一幻?（一：+今=SAOC=|x6x6,

化簡得（（2-fc）2=144,解得k=-10（舍）或k=14（舍），

當點D在點N上方時,2<k<18,點D到直線MN的距離為-2-k-64=+J,MN=-6+fc-（-4）=k-2,

■■SDMN=|（卜-2）-+=SA0C=|xex6,

化簡得（k-2>=144,解得k=-10倍）或k=14,

，點D的坐標為（-5,-1）,點M的坐標為（一2,8）,DM=V32+92=3V10.

解題策略

動態(tài)問題中，主動點與從動點的相對位置關(guān)系發(fā)生變化時，所研究對象的頂點間的相對位置關(guān)系會

隨之變化.因此，要畫出不同情況下的幾何圖形，對它們分別進行研究.處理運動型問題，常常需要運用分

類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.

類型三存在性問題

存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在以及存在幾個的問題.這類問題知識覆蓋面廣，綜

合性強，構(gòu)思精巧，方法靈活.解題的一般步驟是：假設(shè)存在一推理論證一-＞得出結(jié)論.若能導出合理結(jié)果，

則做出“存在”的判斷；若導出矛盾，則做出“不存在”的判斷.有的題目則無需假設(shè)，根據(jù)題目條件即可分析

出符合條件的答案.

例3(2021湖南衡陽,25,10分)如圖,AOAB的頂點坐標分別為0(0,0),A(3,4),B(6,0),動點P、Q同時從點O出

發(fā),分別沿x軸正方向和y軸正方向運動，速度分別為每秒3個單位和每秒2個單位，點P到達點B時點P、

Q同時停止運動.過點Q作MN〃OB分別交AO、AB于點M、N,連接PM、PN,設(shè)運動時間為t(秒).

⑴求點M的坐標(用含t的式子表示)；

⑵求四邊形MNBP面積的最大值或最小值；

⑶是否存在這樣的直線1,總能平分四邊形MNBP的面積?如果存在，求出直線1的解析式；如果不存在，

請說明理由；

⑷連接AP,當/OAP=/BPN時，求點N到OA的距離.

解析⑴過M點作MG±x軸于G點過A點作AD±x軸于D點，則/MGO=9(T,MG〃AD.

：NQOB=9()o,MN〃OB,

，ZOQM=1800-ZQOB=90°,

四邊形QOGM為矩形，則MG=OQ=2t.

V0(0,0),A(3,4),B(6,0),AD_LOB,

，D(3,0),OD=3,AD=4.

?/MG//AD,AMOG^AAOD,

.OG_MG日nOG_2t

??OD—40間3-4，

(2)vOQ=2t,QM=|t=OG,2(3,4)OM=JOQ2+QM2=|t,OX=V32+42=5.

VB(6,0),

/.OB=6,

又：OP=3t,

.OM_ft_1t_3t_OP

''OA~5-26"OB'

?.,ZMOP=ZAOB,

.,.△MOP^AAOB,

AZMPO=ZABO,

AMP//AB.

?「MN〃OB,

???四邊形MNBP為平行四邊形，

.*.S°MNBp=BPOQ=(6-3t)x2t=-6(t-l)2+6,

???當t=l時,S取最大值6;

當t=0或t=2時,S取最小值0.

???四邊形MNBP面積的最大值為6,最小值為0.

(3)存在

如圖，連接BM,交PN于H.

由(2)得四邊形PBNM為平行四邊形，

，過點H的任意直線都平分口MNBP的面積,MH=BH.

...易得嗚+3,t),即直線1過點H,.?.卜=%+3,

H)Iy=t,

???x=-3y+.-3,

4

-X-

直線1的解析式為y34.

(4)如圖，當0<t<2時，

:A(3,4),B(6,0),AO=5,

??.AB=J(3—6/+(4—0)2=5,

AAB=AO=5,

AZAOB-ZABO.

ZOAP=ZBPN,

AAOP^APBN,

.40_OP曰n5_3t

''PB~BN罔6-3t-BN

VMN//OB,

ZAMN=ZAOB,ZANM=ZABO,

NAMN二NANM,

??.AM=AN,.??0M=BN=,

53t

6-3tF

經(jīng)檢驗：G=?是原方程的根,t2=0是增根，舍去，此時,MN=PB=6-3t=g,0Q=2t=昔.

過N作NK,AO于K,連接ON.

^ABO=5xOBxAD=12=S0BN+SAON，

：.-x6x—+-x5xNK=12,

292

…710

，NK=T

當t=0時,/OAP=/BPN=0。,此時N到OA的距離是B到OA的距離.

設(shè)這個距離為h,由等面積法可得

11

-OA-h=-OB-AD,

22

24

???5/i=6X4,???/i=—.

當t=2時，不合題意，舍去.

綜上，點N到OA的距離為日或高

解后反思

⑴動態(tài)問題中，需要根據(jù)速度、時間與路程的關(guān)系，用含字母參數(shù)的代數(shù)式表示出相關(guān)線段長度，

為判斷等邊、等角、全等三角形、相似三角形、平行關(guān)系做好鋪墊.

(2)存在性問題中，有時考慮特殊條件下的特殊結(jié)論，可以少走彎路.如本題中：經(jīng)過平行四邊形對稱

中心的任意一條直線均平分該平行四邊形的面積.

(3)發(fā)散性思維的訓練有助于快速提升解題能力.如等角條件下，要聯(lián)想到全等三角形的判定、相似三

角形的判定、等角對等邊等.

類型四類比探究型問題

類比是指依據(jù)兩類數(shù)學對象的相似性，將已知的一類數(shù)學對象的性質(zhì)遷移到另一類未知的對象上去

的一種合情推理.通常先解決比較常見、比較形象具體的問題，然后變換圖形或條件，通過比較、猜想、化

歸等方式，觸類旁通，用相似的方法解決問題或猜想相似的結(jié)論.一般分結(jié)論的相似或解題策略的相似兩種

例4(2020湖北荊州,21,8分)九年級某數(shù)學興趣小組在學習了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進一步研究了函

數(shù)丫=高的圖象與性質(zhì).其探究過程如下:

1*1

(1)繪制函數(shù)圖象，如圖1.

列表：下表是X與y的幾組對應(yīng)值，其中m=.

-

X-3-2-1123***

y2/312442m##

描點：根據(jù)表中各組對應(yīng)值(x,y),在平面直角坐標系中描出了各點；

連線：用平滑的曲線順次連接各點，畫出了部分圖象.請你把圖象補充完整.

(2)通過觀察圖1,寫出該函數(shù)的兩條