2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：面積問(wèn)題復(fù)習(xí)講義

面積問(wèn)題復(fù)習(xí)講義

解題要點(diǎn)剖析

近年來(lái)，全國(guó)各地中考卷中頻頻出現(xiàn)“面積問(wèn)題”的試題，成為中考數(shù)學(xué)卷中的一個(gè)亮點(diǎn).面積問(wèn)題常常

涉及三角形（三角形、全等三角形、相似三角形）、圓、扇形、四邊形（平行四邊形）、勾股定理等知識(shí).求解

面積問(wèn)題的一般方法：觀察這個(gè)圖形是否是規(guī)則圖形，如果圖形不規(guī)則，常常采用割補(bǔ)法求解；如果圖形

是三角形或比較規(guī)則的四邊形，常常需要借助相似三角形或勾股定理等知識(shí)求出相應(yīng)的邊長(zhǎng)和高，最后利

用面積公式求解即可.

考題解析

例1（蘇州）如圖9-1所示,在菱形ABCD中,NA=6（F,AD=8,F是AB的中點(diǎn)過(guò)點(diǎn)F作FEXAD,垂足為

E.WAAEF沿點(diǎn)A到點(diǎn)B的方向平移，得到△4E下.設(shè)P、P分別是EF、EF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí),

四邊形PP'CD的面積為（）.

A.28V3B.24V3

C.32V3D.32V3-8

圖9-1

分析如圖9-2所示，連接BD,DF,DF交PP于H.易知AABD是等邊三角形，由等腰三角形三線合一性

質(zhì)可得：DF，AB進(jìn)而可得DF，PP,故只需求出DH的長(zhǎng)即可.

由平移的性質(zhì)可得：PP'=AA'=CD=AB=8,PP'\\AA'\\CD

四邊形PP'CD是平行四邊形.

，DF±PP'.

在RtAAEF中,NAEF=90。/4=60。，4F==4,P為EF中點(diǎn).

AE=2,EF=2V3,

???PE=PF=V3.

在RtAPHF中,.NFP”=30°,PF=V3,HF=|?F=y.

在RtADFA中,AD=8,NA=60。，

???DF=ADsinA=8xsin60°=4A/3.DH=DF-HF=4百一號(hào)=學(xué).

s==8x受=28Vl

四邊形PP'CD

解答A.

小結(jié)本題綜合考查了菱形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的應(yīng)

用、等腰三角形三線合一性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì).求解的關(guān)鍵是：先根據(jù)菱形的性質(zhì)和等腰三角

形的性質(zhì)，確定出DFXAB,這樣就可以確定出四邊形.PP'CD的高，再根據(jù)平移的性質(zhì)和平行四邊形的

判定可以判斷，四邊形.PP'CD是平行四邊形，進(jìn)而可得PP的長(zhǎng)度，最后代入面積公式計(jì)算即可.

例2如圖9-3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C是由函數(shù)y=:在第一象限內(nèi)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)O

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到的，過(guò)點(diǎn)4(-4/，4夜),B(2夜，2段)的直線與曲線C相交于點(diǎn)M、N,則AOMN的面

積為—.

圖9-3

分析根據(jù)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)特征可得，直線0A的解析式為y=-x,直線0B的解析式為y=x,故OALOB,

建立如圖9-4所示的新坐標(biāo)系：以O(shè)為圓心，射線0B為x軸，射線OA為y軸.

曲線C在新坐標(biāo)系下的解析式為V=/,根據(jù)勾股定理或者兩點(diǎn)間的距離公式可得：OB=4,OA=8,故

在新的坐標(biāo)系中,A(0,8),B(4,0),然后求出點(diǎn)M和N的坐標(biāo)，最后利用ABOM的面積減去ABON的面積即可求

出AOMN的面積.

易求得直線AB的解析式為/=-2/+8,

r

y=-2x'+8,=3,

令y,=9解得

=2.

所以點(diǎn)M和N的新坐標(biāo)分別為(1,6)和(3,2).

11

,'eS（）MN=S0BM~S0BN=-X4X6--X4X2=8.

圖9-4

小結(jié)本題綜合考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、建立新坐標(biāo)系、求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)、勾股定理

以及割補(bǔ)法求面積等知識(shí).若要求AOMN的面積，需要求出點(diǎn)M和N的坐標(biāo)，但在原坐標(biāo)系下很難求出，

結(jié)合點(diǎn)A和B的坐標(biāo)特征，建立新的坐標(biāo)系可以很容易表示出曲線C的解析式，進(jìn)而容易求出點(diǎn)M和N

的坐標(biāo)，這就是求解本題的核心所在.

例3運(yùn)用圖形變化的方法研究下列問(wèn)題：如圖9-5所示,AB是。O的直徑,CD、EF是。O的弦，且AB

〃CD〃EF,AB=10,CD=6,EF=8,貝［|圖中陽(yáng)景鄉(xiāng)部分的面積是().

A25

A.一71B.1071

2

C.24+4兀D.24+5兀

分析如圖9-6所示，連接0C、OD.fiAB/7CD可知SAACD=SACD;連接

OE、OF,由AB〃EF可知SAAEF=SZkOEFm作直徑CG,連接DG,由圓的直徑

所對(duì)的圓周角是直角，可得NCDG=90。,由勾股定理可得：DG=A

7AB2—CD2="02_62=8,所以EF=DG.由在同圓或等圓中，等弦對(duì)等弧可

得：SADOO=SAOEF.故將陰景彳部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OCD和扇形DOG的面積

之和，而這兩個(gè)扇形的面積之和正好是半圓。的面積.

?C—CC

??圓錐側(cè)~加水力詠OEF

=S梯欣D+,球=S梯形ODG=S梯形=-^x52=y

解答A.

圖9-6

小結(jié)本題綜合考查了平行線間的距離處處相等，圓的基本性質(zhì)（直徑所對(duì)的圓周角是直角，在同圓

或等圓中相等的弦所對(duì)的弧相等）,勾股定理以及“轉(zhuǎn)化”思想等方法.求解的關(guān)鍵是：首先把不規(guī)則的陰影

部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OCD和扇形OEF的面積之和，但由于中心角/COD和/EOF不好求，故通過(guò)構(gòu)

造新直徑CG,然后把扇形OEF的面積轉(zhuǎn)化為扇形DOG的面積，最后把陰影面積轉(zhuǎn)化為扇形OCD和扇形

DOG的面積之和，而它們的和正好是半圓的面積.

例4如圖9-7所示，在正方形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,DE平分NADO,交AC于點(diǎn)E.把

AADE沿AD翻折得到AADE,點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接AF,BF,EF.若AE=則四邊形ABFE的面積是一

圖9-7

分析四邊形ABFE，是不規(guī)則圖形，直接求面積很難進(jìn)行，故需要用割補(bǔ)法求面積.如圖9-8所示，連

接EB,EE,作EMLAB,垂足為點(diǎn)M,EE交AD于點(diǎn)N.先求出EM,EN,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求OE和OA

的長(zhǎng)，進(jìn)而可求AB和BD的長(zhǎng).根據(jù)S=&SEDB和$圓錐側(cè)AEF。-2sADE^DFE'=2S—可求出

EFBADE

SAEFB和S四邊形AEFE',最后把S四邊形，S"FB和SAAEB加起來(lái)就是四邊形ABFE’的面積

四邊形ABCD是正方形.

.?.AB=BC=CD=DA,AC_LBD,AO=OB=OD=OC,NDAC="AB=4DAE'=45°.

根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性可得：△ADE=AADE'=AABE?AD垂直平分EE,.

???乙NAE=乙NEA=^MAE=^MEA=45°,AE=V2,

???AM=EM=EN=AN=1.

??ED平分.N4D0,EN1DA,EO1DB,

：.EN=EO=1,AO=V2+1.

AB=y[2A0=2+V2.

^AEB=SAED-^ADE'

=|x（2+V2）xl=l+^,

**,SBDE=^ADB-2SAEB

=5x（2+V2）x（2+V2）-2x（1+f）=1+V2.

BQE

???DF=EF,\SEFB=|S=

SDEE，=^ADE-^AEE'=2X（1+-jxV2xV2=V2+l,

s_1c_1+涯

、DFE，=2^DEE，~2'

3+V2

S四邊形AEFE，=2SADEFFE，=2X（1+務(wù)等2，

..S四邊形ABFE'一'四邊形AEFE，+^AEB+‘EPI

3+V2,,1+V26+3V2

=--------FH--------=

222,

解答"I空

小結(jié)本題考查了正方形的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)、角平

分線的性質(zhì)以及割補(bǔ)法求面積等知識(shí).求解的關(guān)鍵在于先把所求四邊形分割為比較容易求面積的一個(gè)新四邊

形和兩個(gè)三角形，再根據(jù)基本定理和性質(zhì)，求相應(yīng)的邊長(zhǎng)和高，最后利用割補(bǔ)法求這個(gè)新四邊形的面積，

并把分割得到的新四邊形和兩個(gè)三角形的面積相加.

例5如圖9-9所示，在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中，把邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。彳導(dǎo)到線段BM,

連接AM并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)N,連接MC,則AMNC的面積為（）.

分析思路1:易知AMBC是等邊三角形，所以BM=CM=BC=a,/MBC=/MCB=/BMC=60。.因?yàn)?/p>

AB=BC,所以AB=BM,易知.N力MB=丁?！?7s°,Z.NMC=180°-75°-60°=45。如圖9-10所示,

作NEJ_CM,垂足為點(diǎn)E.設(shè)NE=x，貝（].ME=NE=x,CE=遮NE=百久.因?yàn)閂3x+%=a,所以%=磊=

?^―a,因此SAMNC=[xax'^―a—a2.

思路2:要求AMNC的面積，只需求出CN和邊CN上的高.如圖9-11所示，作MF，BC,MG，CD,垂足分

別為點(diǎn)F和點(diǎn)G.因?yàn)锳MBC是等邊三角形，所以BF=CF.又因?yàn)锳B〃MF〃CD,由平行線分線段成比例定理

可得:AM=MN.因?yàn)镸G〃AD,所以DG=GN.在RtAMCG中,.NMCG=90°-60°=30°,MG=|MC=

|a,CG=yMC=與a,所以GN=DG=CD—CG=a—?a.所以CN=CG-GN^^-a-=

y[3a-a.因止匕SMNC=~~a?.

解答C.

小結(jié)本題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、平行線分

線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí).思路1利用解直角三角形的方法求AMNC底邊CM上

的高；思路2利用相似三角形的判定和性質(zhì)得到DG=GN,進(jìn)而根據(jù)間接法可求出CN的長(zhǎng)度.

例6我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形(古人稱(chēng)直角三角形為勾股形)分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全

等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖9-12所示的

矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成.若a=3,b=4,則該矩形的面積為().

A.20B.24

D.-

2

分析要求矩形的面積，只需求出小正方形的邊長(zhǎng).故設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為X,則矩形的一邊長(zhǎng)為3+X,

另一邊長(zhǎng)為4+x,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理可得：(a+%)2+(6+%)2=(a+6產(chǎn)即(%+3)2+

(x+4)2=7%.%2+7%=12..?.該矩形的面積為(3+x)(4+%)=爐+7x+12=24.

解答24.

小結(jié)本題以劉徽勾股形為背景創(chuàng)造了一個(gè)全新的面積問(wèn)題，綜合考查了全等三角形的性質(zhì)、勾股定

理以及整體代入法等知識(shí).本題的關(guān)鍵是借助勾股定理建立方程模型，然后利用整體代入法求矩形的面積.

例7如圖9-13所示,在等腰RtAABO中,NA=90。,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2).若直線l:y=mx+m(m加肥AABO

分成面積相等的兩部分，則m的值為一.

分析如圖9-14所示.y=mx+m=m(x+l),函數(shù)y=mx+m一定過(guò)點(diǎn)(一1,0).

當(dāng)x=0時(shí),y=m.直線1與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,m).

由等腰RtAABO易知，直線AB的解析式為y=-x+2,

2-m

X--

令『二解得，［?！?:點(diǎn)D的坐標(biāo)為篇品).

y一而,

直線l:y=mx+m（m￥O）把AABO分成面積相等的兩部分,

SBCD=2^ABO'

|x(2-m)x=|x|x2xl,解得，m=與乎或m=亞/(舍去).

解答一.

小結(jié)本題綜合考查了一次函數(shù)的圖象，待定系數(shù)法求解析式，聯(lián)立方程組求兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)的

坐標(biāo)與線段的長(zhǎng)相互轉(zhuǎn)化以及解分式方程等知識(shí).求解的關(guān)鍵是先畫(huà)出示意圖，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想和

點(diǎn)的坐標(biāo)與線段的長(zhǎng)之間相互轉(zhuǎn)化，分別表示出相關(guān)三角形的面積，并建立方程模型，最后注意要檢驗(yàn)方

程的根是否符合題意.

例8如圖9-15所示.菱形OABC的一邊OA在x軸的負(fù)半軸上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（一10,

0）,對(duì)角線AC和OB相交于點(diǎn)D且ACOB=160.若反比例函數(shù)y=久久＜0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,并與BC的

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,則SAOCE:SAOAB=

分析如圖9-16所示，作CG±AO于點(diǎn)G,作BHXAO于點(diǎn)H.

AC-0B160,???S斗…=-AC-OB=80.

差錐狽He2

-I-1

???So.=2S~7=40,即-AO?CG=40.

2菱形OABC2

VA(-10,0),BPOA=10,ACG=8.

在RtAOGC中./OGC=9()o,OC=OA=10,CG=8,

??.OG="02-82=6.故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-6,8).

?；D為AC的中點(diǎn),.?.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-8,4).

：D在反比例函數(shù)y=f勺圖象上，

圖9-16

??.k=-8x4=-32.

即反比例函數(shù)解析式為y=子.

當(dāng)y=8時(shí),x=-4,則點(diǎn)E（-4,8）.ACE=2.

?-?SaEE=\CE-CG=|x2x8=8,SOAB=|X0-BH=|x10x8=40,

^OCE-^OAB=1：5.

解答1：5.

小結(jié)本題綜合考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、反比例函數(shù)、點(diǎn)的坐標(biāo)與線段的長(zhǎng)相互轉(zhuǎn)化以及中點(diǎn)

坐標(biāo)公式等知識(shí).求解的關(guān)鍵是先根據(jù)菱形的等面積法求出邊OA上的高，然后利用勾股定理求出點(diǎn)C的坐

標(biāo)，接著利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出反比例函數(shù)解析式和點(diǎn)E的坐標(biāo)，最后直接計(jì)算所

求的三角形的面積即可.

模擬訓(xùn)練

1.如圖9-17所示,面積為1的等腰RtAOA1A2,^OA2A1=90。,以O(shè)A?為斜邊在△。人企外作等腰

RSOA2A3,以O(shè)A3為斜邊在AOA2A3外作等腰RtAOA3A《以O(shè)A4為斜邊在AOA3A&外作等腰

RtAOA4A§......連接A1A3,A3A5,A5A7…分別與OAzQAdQAe…父于點(diǎn)2,外,%…按此規(guī)律繼續(xù)下去,記

△OB1A3的面積為S“OBzA的面積為S2,A0B34的面積為S3,…，。當(dāng)力2n+i的面積為S團(tuán)廁S團(tuán)=（用含正

整數(shù)n的式子表示）.

2.如圖9-18所示已知正方形ABCD,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)DE與AC相交于點(diǎn)F,連接BF,下列結(jié)論：

①SAABF=S