2024年中考數(shù)學復習：圓知識點歸納及練習

圓知識點歸納及練習

垂徑定理

知識提煉

名稱文字語言符號語言圖示

CD是直徑

垂徑定垂直于弦的直徑平分弦，并

CD±AB于點MJ

理且平分弦所對的兩條弧

TAC=BC

AM=BM

垂徑定平分弦（不是直徑）的直徑垂直CD是直徑

理的推于弦，并且平分弦所對的兩CD交AB于點M

論條弧(AB不是直徑)r

RAC-BC)c

CD是直徑

平分弦所對的一條弧的直徑垂

^CDMAAB

直平分弦，并且平分弦所對

CD交AB于點M

的另一條弧

AC=BCAD=BDI2

z)

拓展

弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，

并且平分弦所對的兩條弧

對于一個圓和一條直線，如果具備下列五個條件中的任意兩個，那么一定具備其他a三個（知二推

歸納

三）：①過圓心；②垂直于弦；③平分弦（非直徑）；④平分弦所對的劣弧；⑤平分弦所對的優(yōu)弧.

注意：“垂徑定理”中的“徑"并不需要一定是直徑，有時候是“半徑”、有時候是“弦心距"還可以是其它

可以經(jīng)過圓心的線段（或直線），總之：“過圓心”是其特征。

基本圖1基本圖2

垂徑基本圖1：“雙垂徑”，多用于已知圓內有“垂直弦”，并且求其中的一條弦長或和弦長相關聯(lián)的其他線

段長。方法：作2條垂徑，用2次勾股，矩形“導邊”。

垂徑基本圖2:“過圓內定點（N）的弦”，根據(jù)垂徑+勾股定理得：AB=2尸二7落又hWd,故當h=d時，弦

長AB有最小值，此時ON為AB的垂徑。當弦AB過圓心（變直徑）時，弦長有最大值。

弧、弦、圓心角的關系定理

知識提煉

圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.

①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；②在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，

那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等；③在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓

心角相等，所對的優(yōu)弧或劣弧也相等.

弧、弦、圓心角之間的關系

名稱文字語言符號語言圖示

在同圓或等圓中，相等

定理的圓心角所對的弧相等，所對NAOB=NCODo{AB=CD

的弦也相等

在同圓或等圓中，如果

兩條弧相等，那么他們所對的AB=CD=[NAB=二NCOD

圓心角相等，所對的弦相等

重要結

論在同圓或等圓中，如果

兩條弦相等，那么他們所對的

AB=CD=>{ZAB=ZCOD

圓心角相等，所對的優(yōu)弧、劣

弧相等

不能忽略“在同圓或等圓中”這個前提條件，如果丟掉了這個前

提條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等。如右圖所

注意

示，兩個圓的圓心相同，AB與AE對應同一個圓心角.但ABWAE,

AB^A'B'

規(guī)律總在同圓或等圓中，兩條?。ㄒ话阃瑸榱踊』騼?yōu)?。?、兩條弦、兩個二圓心角中，中只要有一組量

結相等，那么它們所對應的其余各組量也分別相等

模型快練

1.如圖,AB為。O的直徑,C,D分別是OA,OB的中點,（CF1AB,ED14B,點E,F都在。O上.求證:⑴

CF=DE(2)AF=EF=BE(3)AE=2CF

圓周角、圓內接四邊形的性質

知識提煉

圓內接多邊形：

如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形

的外接圓.

圓內接四邊形的性質:

圓內接四邊形的對角互補；圓內接四邊形的外角等于它的內對角.

圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

圓周角定理的推論：

①在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等；

②半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.

模型快練

1.（2017武漢元調）如圖,OA,OB,OC都是。O的半徑,ZAOB=2ZBOC.

⑴求證：ZACB=2ZBAC;

⑵若AC平分/OAB,求/AOC的度數(shù)

B

垂直弦的平行弦解決方案

知識提煉

平行弦的性質：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

M

證明方法：1.過0作垂徑，利用垂徑定理證明；

2.連AD,相等的圓周角所對的弧相等。

模型快練

1.（2020?武鋼實驗）如圖,在△4BC中"tan^BACxtan^ABC=1,?O經(jīng)過A,B兩點分別交AC,BC于D,E

兩點若.DE=10MB=24,則。O的半徑為.

cEB

2如圖,四邊形ABCD是。O的內接四邊形,.AC1BD于點P,半徑T=6,BC=8,則tern/。。!=,

定弦定角

知識提煉

【基本方法】圓周角定理的逆運用，用于解決，隱圓問題”，“軌跡”、“動點等。

模型快練

1.如圖,M,N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點，滿足AM=BN,連接AC交BN于點E,連接DE交AM

于點F,連接CF.若正方形的邊長為2,則線段CF的最小值是_____.

2.如圖,在邊長為2的等邊△ABC中,D,E分別是BC,AC上的兩點，且BD=CE,AD與BE相交于點M.當點D

從點B運動到點C的過程中，點M運動的路徑長為

A

E

c

BD

圓的折疊

知識提煉

本質：軸對稱、兩個等圓的相交問題（圖2）

補充概念：

如圖2,OCT為兩圓的連心線，AB為兩圓的公共弦，對于等圓，連心線和公共弦互相垂直平分，即:四邊

形AOBO為菱形。

高頻考點：

如圖3，根據(jù)“在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等”，可知：AC=AD,從而得到AC=AD（作

等弦是這類題型常見的輔助線），根據(jù)等腰三角形性質，有三線合一，關聯(lián)垂徑定理、勾股定理，一般會考

查到“方程思想工

模型快練

1.如圖,AB是0O的直徑.BC是。O的弦,先將BC沿BC翻折交AB于點D.再將BD沿AB翻折交BC于點

E.若BE=DE,設/ABC=a,貝!Ja所在的范圍是（）

A.21.9°<a<22.3°8.22.3°<a<22.7°

C.22,7°<a<23.1°0.23.1°<a<23.5°

A

阿基米德折弦定理

知識提煉

AB、BC是圓0的兩條弦,M是弧ABC的中點，MD1BC于D,則AB+BD=CD

模型快練

1.試證明阿基米德折弦定理和推論一、二

2.已知,△ABC內接于。O,AC為。O的直徑，點D為優(yōu)弧BC的中點.

⑴如圖1,連接OD,求證:AB\\OD-,

⑵如圖2,過點D作,DE14C,垂足為E.若.AE=3,BC=8,求。0的半徑.

3.如圖，。。是△力的外接圓,AC為直徑，弦BD=BA,BE1DC交DC的延長線于點E.

⑴求證:N1=乙BCE;

⑵求證:BE是。。的切線；

(3)若EC=1,CD=3,求cos乙DBA.

D

定弦張角最大模型

知識提煉

如圖，A為定長線段BD上的定點，C在過D點且與BD垂直的直線上運動，試通過作圖的方法找出.

【核心解讀】米勒角問題，最終都可以轉化為“切割線問題”，當切割互垂的時候，可以用勾股定理、垂徑

定理求解；推廣到一般情形，切割線的夾角不是90。時，用“切割線定理”（子母形相似）比較簡單。

模型快練

1.已知,C在x軸正半軸上運動,A（0,2）,B（4,6）,當乙4cB最大時，求C點坐標。

內心圖（任意角+直角）

圖解模型

【基本結論】MB=MC=MI

左圖：等腰圖基本結論（中位線、雙勾）；對角互補（任意角）

右圖：對角互補(雙直角)

模型快練

1.如圖，OO的直徑AB_1_弦CD于點E,F是弧AD的中點,CF交AB于點I,連接BD,AC,AD.

(1)求證:BI=BD-,

⑵若01=1,0E=2,求。0的半徑.

切線長定理

圖解模型

基本結論&方法：

切線長定理：PA=PB、AAPO=乙BPO、、PO垂直平分AB

雙等腰=射影定理、面積法

點I為AP4B的內心

模型快練

L如圖,四邊形ABCD,乙4DC=90°,AB=6,AD=8,,00切AB、CD于B、C兩點，切AD于點E,求BC的

長

B

三角形內切圓半徑

知識提煉

1.直徑三角形內切圓半徑（拓展到旁切圓半徑）

基本結論&方法：

左圖（內心）r=a+b~C-,r=

右圖（旁心）r=手;r=

2.任意三角形內切圓半徑

a+b+c

模型快練

《教書九章》是我國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a,b,c求面積的公

式S=J；|c2a2-仔*節(jié)若三角形的三邊%4。分別為7,6,3,則這個三角形內切圓的半徑是（）

VsnVs「Viop.Vio

正多邊形和圓的計算

知識提煉

名稱公式說明

中心角a=360°a為中心角，n為邊數(shù)

R2=r2+

邊心距、邊長、半徑間的關系式Rn為半徑,rn為邊心距,an為邊長

a2

周長公式Pn=n.anPn為正多邊形周長，an為邊長

面積公式sn=Prr,Pn為正多邊形的周長，rn為邊心距

模型快練

1.如圖，正五邊形ABCDE和正三角形AMN都是。O的內接多邊形，則乙BOM=.

2.如圖為一個邊長相等的正方形EFGH和正六邊形ABCDEF組成的平面模具.已知A,E兩點的距離為2遍,現(xiàn)

用一個圓形紙片覆蓋這個模具，則該紙片的最小面積為.

3.如圖,已知AB是。O的直徑,AB=26，點C,D,H是。O上的點,四邊形CDEF和EGHI都是正方形,其中點

G,E,F在AB上,則正方形EGHI的邊長為

弧長和扇形面積

知識提煉

弧長的計算

弧長公式：：鬻

loU

扇形面積的計算

扇形面積公式：S淺=喏="/?

球3602

弓形面積的計算

圖1圖2

如圖

如圖2,S可逆=S圓腳^+S40B

圓錐的計算

基本概念：連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線，連接圓錐頂點與底面圓心的線段叫

做圓錐的高.

圓錐的側面積和全面積

側面積公式：s側=nlr

全面積公式：S.=nlr+nr2

全

展開圖扇形圓心角度數(shù)="耍+4在9?360。，即:ri=>360。

圓錐側1

模型快練

1.一個圓錐的底面半徑r=10,高h=20，則這個圓錐的側面積是（）

X.100V3TTB.200V3TTC.100V57T0.200V5TT

2.如圖，用半徑為3cm,圓心角為120。的扇形圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐的高為（）

A.2正B.V2C.V10D.|

3.如圖,半徑為10的扇形AOB中，乙4。8=90°,C為AB上一點,CD1OA,CE1。5垂足分別為D,E.若

乙CDE=36。,則圖中陰影部分的面積為（）

A.10兀B.9KC.8KD.6兀

4.如圖,?O的半徑為2,AB,CD是互相垂直的兩條直徑，點P是。O上任意一點（P與A,B,C,D不重合）,經(jīng)過

P作PM1AB于點M,PNXCD于點N,點Q是MN的中點當點P沿著圓周轉過45。時，點Q走過的路徑長

為（）

A.-B.-C.-D.-

4263

B

等腰三角形內接于圓

圖解模型

條件：△4BC內接于。O,AB=AC

結論：

1.垂徑.中位線A0_LBC;CG=BG;/0AC=/0AB;0G〃BC、0G=1B'C

2.角平分.全等.NME4=NBE4（可以反推等腰AB=4C）;AAMC=AANB;

3.雙勾股CG2=OC2-OG2=AC2-AG2

4.相似△B'CP△△04P（X形）;△B'CPA4PB（蝶形）;APAOAPB力（子母）；

5.角相等NCOG=NCAB=NCBB（常用于三角函數(shù)導角）

模型快練

1.如圖PA、PB分別與。。相切于A、B兩點AC是OO的直任"=4P,連接0P交AB于點D,連接

PC交。。于點E,連接DE了田女耍.1-

⑴求證:AABC^APDA;

（2）求承勺值；//

DE//\

B

2.如圖,在四邊形ABCD中,AD\\BC,AD1CD,AC=AB,QO為AABC的外接圓

⑴如圖1,求證:AD是。0的切線

⑵如圖2,CD交。0于點E,過點A作.AG1BE,垂足為F,交BC于點G

①求證:AG=BG

①若4。=2,CD=3,求FG的長

3.如圖,△ABC內接于。O,AB=AC,,BD為。0直徑,連接A0,CD.

⑴求證:A0\\CD;

(2)若=8,48=4小.求