2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：正方形存在性問題

正方形存在性問題

一階方法突破練

1.如圖，在正方形網(wǎng)格中有格點(diǎn)A,B,在網(wǎng)格中確定格點(diǎn)C,D，使得以A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是正

方形.

第1題圖

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，力（-弁0）乃（0，1）,平面內(nèi)是否存在點(diǎn)1\4,N，使得以A,B,M,N為頂點(diǎn)的

四邊形為正方形?若存在，求出M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

第2題圖

3.如圖，拋物線y=/-2久-3與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一

點(diǎn)，連接BP,以BP為邊在圖示一側(cè)作正方形BPMN,當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點(diǎn)P的坐

標(biāo).

設(shè)問進(jìn)階練

例如圖，拋物線y=+1分別與X軸、軸交于B,A兩點(diǎn)

OOy

⑴如圖①，連接AB,以AB為邊向上作正方形ABCD,求點(diǎn)C的坐標(biāo)并判斷點(diǎn)C是否在拋物線上?

例題圖①

(2)將拋物線平移，平移后的拋物線的頂點(diǎn)為P,點(diǎn)Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，若以A,B,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是面

積為5的正方形，求平移后的拋物線解析式；

例題圖②

(3)點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)H為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接BM,若點(diǎn)G在拋物線的對稱軸上,是否存在以點(diǎn)B,

M,G,H為頂點(diǎn)且BM為邊的四邊形是正方形?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

例題圖③

綜合強(qiáng)化練

22

1.創(chuàng)新題?探究性試題已知拋物線J:y=x+2kx+k-2的頂點(diǎn)為M.拋物線L2.y=ax+bx+c(a豐0)的頂

點(diǎn)為M'.

感知特例：

⑴當(dāng)k=0k=0時，拋物線.心與拋物線心的部分自變量及其對應(yīng)的函數(shù)值如下表所示：

X-1012

y=x2+2kx+k-2-1-2——2

y=ax2+bx+c(a^0)121

①拋物線L的解析式為拋物線L2的解析式為—；

②補(bǔ)全表格；

形成概念：

我們發(fā)現(xiàn)⑴中的拋物線G上的點(diǎn)和拋物線心上的點(diǎn)關(guān)于直線y=kx對稱，則稱拋物線.U與拋線物b是關(guān)于

k的反射拋物線.

探究問題：

⑵若拋物線.人與拋線物乙2是關(guān)于k的反射拋物線.

①當(dāng)k=1時,NT的坐標(biāo)為;

②在①的基礎(chǔ)上，請求出拋物線.5的解析式，并在如圖的網(wǎng)格中畫出拋物線好的圖象；

③點(diǎn)B是拋物線小上一點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,過點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)C,分別作點(diǎn)B,C

關(guān)于拋物線J的對稱軸對稱的點(diǎn).B',C1連接BC,CC,B'C,當(dāng)四邊形BB'CC為正方形時，求k的值

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=產(chǎn)-2%-3與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線

l\y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A,C.

(1)求直線1的解析式；

(2)在第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)D,使得△4CD是以AC為直角邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)D的

坐標(biāo)；

(3)(拋物線旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的兩點(diǎn))在直線AC左側(cè)有一點(diǎn)M，將拋物線繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180。得到新

拋物線，其中點(diǎn)A,C的對應(yīng)點(diǎn)分別是A',C，,，若以A,C,A]C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，求點(diǎn)

M的坐標(biāo).

備用圖①

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx-2(a中0)與x軸相交于A(1,O),B(5,O)兩點(diǎn)，與y軸

相交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)求ABCD的面積；

(3)(拋物線上的動點(diǎn)+任意一點(diǎn))點(diǎn)M為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，以A,M,I,N為頂點(diǎn)，AI為

對角線作正方形，是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)I恰好落在對稱軸上?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

備用圖②

考向4正方形問題

一階方法突破練

1.解:作正方形ACBD和正方形ABCD'如解圖.

D'

第1題解圖

2.解存在.

如解圖，①當(dāng)AB為正方形的邊時（定線段為邊），當(dāng)M,N在x軸上方時，過點(diǎn)Mi作M1E±y軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)N1

作NiD^x軸于點(diǎn)D.

VNNzDA=NBEMz=ZAOB=90;

NDN：1A+NN〃D=90°

?:NBAO+NNIAD=90°/.NDNIA=NBAO.

同理可得.NM1BE=NBAO,

NDNzA=NM^BE=ZBAO.

又?：NiA=MtB=AB,

NMD=ABM亞=AABO(依托一線三垂直模型構(gòu)造全等三角形).

.A(-V3,0),B(0,l),

N]D=BE=0A=43,AD=MXE=OB=1,

+1)，M(一百-

當(dāng)M,N在x軸下方時，

同理可得M2(l>1-V3),%(1-V3--V3);

②當(dāng)AB為正方形的對角線時，作M3G±X軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)M3作M3F±y軸于點(diǎn)F.

設(shè)AG二x廁0G=y/3—x,

22

vAB=y/OA+OB=2,同①可證得△AGM3BFM3,

M3F=M3G=OG=V3—x,

22

：.AM3=^-AB=五,AM專=AG+M3G,

2

2=/+(竟—%),

第2題解圖

解得與=等舍去)，久2=等，

M3（-等，等），同理可得N3G券，F(xiàn)）,綜上所述，符合條件的M,N的坐標(biāo)為M（-l,V3+1）,N

{-V3-1，百）或M（l-1-V3）,W（1-遍-百）或M（-當(dāng)土與號,NW^）（M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)可互換）.

3.解：1?拋物線的解析式為y=%2-2%-3「B（3,0）,拋物線的對稱軸為直線x=l,

①如解圖①，當(dāng)點(diǎn)M在對稱軸上時，過點(diǎn)P作PE垂直直線x=l于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF±EP交EP的延長線于

點(diǎn)F,

?.zBPM=90°,/.zMPE+zBPF=90°,又,.NPBF+NBPF=90°,，NMPE=NPBF,

?.-BP=MP,zPBF=zMPE,zPFB=zMEP=90o,

APFB^MEP,.-.PF=ME,BF=PE,

設(shè)點(diǎn)P(m,m2-2m-3)(0<m<3),

則PE=m—1,BF=-m2+2m+3,

???m—1=—m2+2m+3,

解得rnr=匕產(chǎn),=上盧舍去),

②如解圖②，當(dāng)點(diǎn)N在對稱軸上時，過點(diǎn)P作PF±x軸于點(diǎn)F,設(shè)對稱軸交x軸于點(diǎn)G,

.NNGB=NPFB=NPBN=90°,

.?.zGNB+zNBG=90°,zPBF+zNBG=90°.

.?.zGNB=zPBF.

?.-BN=PB,.-.APBF^BNG,.-.PF=BG.

B(3,0),對稱軸為直線x=l,

.-.BG=2,/.PF=2.

將y=-2代入.y=x2-2x-3,可得x2-2x-3=—2解得/=1+/,不=1一&(舍去),

.?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1+V2--2).

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

二階設(shè)問進(jìn)階練

例解：⑴y=fx2-^-x+1,

oo

.-.A(0,l),B(2,0).

如解圖①，以AB為邊向上作正方形ABCD,過點(diǎn)C作CH±x軸于點(diǎn)H.

..AB=BC/ABC=90°,

..NABO+NCBH=90°.

又?.NABO+NBAO=90°,

.'.zBAO=zCBH.

?.zAOB=zBHC=90°,例題解圖①

.“ABO學(xué)BCH(AAS).

.-.BH=AO=1,CH=BO=2,

..點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,2);

將C(3,2)代入拋物線解析式驗(yàn)證，滿足點(diǎn)C在拋物線上；

(2)-.OA=l,OB=2,.".AB=V5.

..以A,B,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是面積為5的正方形，，AB為正方形的一條邊.

分AP±AB和BP±AB兩種情況討論：

①當(dāng)AP±AB時，如解圖②，過點(diǎn)Pi作PiN，y軸于點(diǎn)N,

oo

?.zNAP1+zOAB=90,zOAB+zOBA=90,

???NNAP]=ZOBA.

???NANPN=ZBOA.AP!=BA,

.-.△APiN^BAO,

.-，AN=OB=2,P1N=OA=1,.-.P1(1,3).

易得點(diǎn)Pi,P2關(guān)于點(diǎn)A對稱,則P2(-l,-l)；

②當(dāng)BP±AB時，如解圖②，同①可得點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(3,2),點(diǎn)P3關(guān)于點(diǎn)B對稱的點(diǎn)P,的坐標(biāo)為(L-2).

綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(L3)或(-1,-1)或(3,2)或(1,-2),

如解圖③④⑤⑥，過點(diǎn)M作MK,直線%=總于點(diǎn)K,過點(diǎn)B作BZ,直線MK于點(diǎn)Z.

設(shè)M(m^m2—+1)廁K+1)Z0|租2—+1)

①如解圖③④，易得aMKG2△BZM,「.MK=BZ,即m——=-m2——m+1,化簡得25m2—95m+69=0,解得

-1066

19±底

②如解圖⑤⑥，易得aGMK至△MBZ3.MK二BZ,即——m=-m2——m+L化簡得25m2—35m—9=0,解得m

1066

綜上所述，存在滿足題意的點(diǎn)M,其坐標(biāo)為(笑詈，喑)或G等，等)或(等

7-V856+V85A

1010),

三階綜合強(qiáng)化練

1.解：(l)@y=X2—2;y=—x2+2;

②口-2;

(2)①(-1,4)；【解法提不】1,Lf.y—%?+2kx+fc—2=(x+/c)k^+k—2,.頂點(diǎn)..M^—k,—k^+k—2),「.頂

點(diǎn)M'(-k,k2+k+2),-.k=l,/.M'(-l,4).

②?.?拋物線J與拋線物L(fēng)2是關(guān)于y=l的反射拋物線，

，由⑵①得拋物線L2的解析式為y=-0+1產(chǎn)+4,畫出函數(shù)圖象如解圖所示；

③當(dāng)x=l時,y=l+2k+k-2,即B(l,3k-1),

，C(Ll-k),即BC=|2-4k|;

拋物線L的對稱軸為直線%=-y=-fc;

.?.B'(-2k-l,3k-l),.-.BB'=l-2-2kl,

???四邊形BB'C,C是正方形，

..BC=BB',即|-2-2k|=|2-4k|,解得比=2,k2=0.

2.解:⑴直線I的解析式為y=-3x-3;

⑵如解圖①，當(dāng)NDAC=90。時，過點(diǎn)D作DE±x軸于點(diǎn)E,

?.A(-l,0),C(0,-3),/.OA=l,OC=3.

zDAE+zCAO=zDAE+zADE=90°,

.,.zADE=zCAO.

X-.AD=AC,zAOC=zAED=90°,

."ADE當(dāng)CAO,，OA=DE=LOC=AE=3,

.-.OE=2,/.D(2,1);

當(dāng)NACD=90。，此時點(diǎn)D在第四象限不符合題意，

二點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1);

第2題解圖

(3)【思路點(diǎn)撥】構(gòu)造一線三垂直模型，利用三角形全等即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo).

如解圖②，由題意得A)C',過點(diǎn)C作C1F±x軸于點(diǎn)F,

四邊形A'C'AC是正方形，

.-.AC'=AC,zC'AC=zAOC=90o,

,?.zC'AF+zCAO=zCAO+zACO=90°,

..NC'AF=NACO,.,.AAC。%C'AF,

.?.AO=CF=l,AF=CO=3,.'.C'(-4,-l).

??點(diǎn)M是CC的中點(diǎn)

.-.M(-2,-2).

3.解：(1)拋物線的解析式為y=—#+3—2=—|(x—3尸+3D(3，§；

(2)如解圖①，設(shè)拋物線的對稱軸與BC的交點(diǎn)為H.-.B(5,0),C(0,-2),

二直線BC的解析式為y=|x-2,

由⑴得拋物線對稱軸為直線x=3,將x=3代入y=|x—2,得好—

???"GY)，

2r8.412

DH=—I—=—,

555

112

=XX5=6;

SBCD=SDHB+SDHC2T

(3)【思路點(diǎn)撥】由題意作以A,M,I,N為頂點(diǎn)的正方形，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)造全等三角形，得對應(yīng)邊相

等，列方程求解M點(diǎn)坐標(biāo)即可.

存在.

2i12八

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為2+yX—2L

分以下兩種情況：

①如解圖②③，過點(diǎn)M作AM的垂線，交對稱軸于點(diǎn)I,過