2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題：面積定值問題（學(xué)生版+解析）

專題04面積定值問題

一、知識導(dǎo)航

二、典例精析

如圖，拋物線y=-d+2x+3與無軸交于A、B兩點(diǎn)、(點(diǎn)A在點(diǎn)8左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,拋物

線在線段2C上方部分取一點(diǎn)P,連接尸8、PC,若△P2C面積為3,求點(diǎn)P坐標(biāo).

思路1：鉛垂法列方程解.

根據(jù)8、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線BC解析式：y=-x+3,

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為^m,—m2+2〃z+3),

過點(diǎn)P作PQy_x軸交于點(diǎn)。，

則點(diǎn)Q坐標(biāo)為(m,-m+3),

PQ=加？+2m+3)—(一〃？+3)|=|—m2+3m|,

2

SPBC=—x3x|—m+3詞=3,

分類討論去絕對值解方程即可得相的值.

思路2:構(gòu)造等積變形

同底等高三角形面積相等.

取8C作水平寬可知水平寬為3,根據(jù)△PBC面積為3,

可知鉛垂高為2,

在y軸上取點(diǎn)。使得CQ=2,過點(diǎn)。作BC的平行線,

交點(diǎn)即為滿足條件的P點(diǎn).

當(dāng)點(diǎn)。坐標(biāo)為(0,5)時，解析式為：y=-x+5,

耳夫五方:—廠+2x+3=—x+5,解即可.

當(dāng)點(diǎn)。坐標(biāo)為(0,1)時，解析式為：y=-x+\,

聯(lián)立方程：-X2+2X+3=-X+1,解之即可.

在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=尤+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)3,拋物線y-ax2+bx+c(。＜0)經(jīng)過

點(diǎn)A、B.

(1)求a、6滿足的關(guān)系式及c的值.

(2)如圖，當(dāng)。=-1時，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使的面積為1?若存在，請求出符合條件的所

有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】

(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,2),

代入解析式可得：c=2,4a-2b+2=0

(2)考慮A、8水平距離為2,△B48的面積為1,故對應(yīng)的鉛垂高為1.

當(dāng)。二-1時，可得b=-l,拋物線解析式為y=-N-x+2.

取點(diǎn)C(0,3)作A5的平行線，其解析式為：產(chǎn)X+3,

聯(lián)立方程-%2_1+2=%+3,解得X=-1,故點(diǎn)《坐標(biāo)為(-1,2)

取點(diǎn)。(0,1)作A3的平行線，其解析式為：y=x+l,

聯(lián)立方程-12-%+2=%+1,解得X]=—1+,%2=—1—.

三、中考真題演練

1.(2023?浙江湖州?中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=Y-4x+c的圖象與y軸的

交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5),圖象的頂點(diǎn)為矩形ABCD的頂點(diǎn)。與原點(diǎn)。重合，頂點(diǎn)A,C分別在x軸，y軸上,

(2)如圖2,將矩形ABC。沿?zé)o軸正方向平移f個單位(0</<3)得到對應(yīng)的矩形AB'C'D.已知邊C'。'，A!B'

分別與函數(shù)y=--4x+c的圖象交于點(diǎn)P,Q,連接尸2,過點(diǎn)尸作PGLAF于點(diǎn)G.

請畫出該函數(shù)圖象的另一部分.觀察圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì);

⑵點(diǎn)P是函數(shù)、=-2|城+4kl圖象上的一動點(diǎn)，點(diǎn)4（2,0）,點(diǎn)8（-2,0）,當(dāng)/皿=3時，請直接寫出所有

滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

4.（2023?遼寧盤錦?中考真題）如圖，拋物線>=加+法+3與x軸交于點(diǎn)A（-l,0）,*3,0）,與，軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式.

（3）如圖2,點(diǎn)E是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接AE交V軸于點(diǎn)D,AE的延寬線交拋物線于點(diǎn)P,點(diǎn)b在線段CO

上，且CV=OD,連接E4FE,BE,BP,若名人氏=，求面積.

5.（2023?湖南?中考真題）如圖，二次函數(shù)y=x2+6x+c的圖象與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與V軸交于C點(diǎn),

其中8（1，。），。（0,3）.

⑴求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使得&MC=SAABC?若存在，請求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由；

6.（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與探究

如圖，拋物線，=-/+法+。上的點(diǎn)A,C坐標(biāo)分別為（0,2）,（4,0）,拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)/

為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且OM=2,連接AC,CM.

(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)P是拋物線位于第一象限圖象上的動點(diǎn)，連接AP,CP,當(dāng)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

7.(2023?四川瀘州?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤0Y中，已知拋物線、=依2+2》+。與坐標(biāo)軸分另(!

相交于點(diǎn)A,B,C(0,6)三點(diǎn)，其對稱軸為x=2.

⑴求該拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸是該拋物線上位于第一象限的一個動點(diǎn)，直線AF分別與,軸，直線BC交于點(diǎn)E.

①當(dāng)CD=CE時，求CD的寬；

②若CAD,CDE,的面積分別為S，邑，邑，且滿足S|+S3=2S2,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

專題04面積定值問題

一、知識導(dǎo)航

二、典例精析

如圖，拋物線y=—x2+2x+3與無軸交于A、8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)2左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,拋物

線在線段8c上方部分取一點(diǎn)P,連接PB、PC,若△P8C面積為3,求點(diǎn)P坐標(biāo).

思路1:鉛垂法列方程解.

根據(jù)8、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線BC解析式：y=-x+3,

設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為［tn,-nT+2m+3）,

過點(diǎn)P作PQLx軸交8C于點(diǎn)。,

則點(diǎn)Q坐標(biāo)為（機(jī)，-5+3）,

PQ=|（一〃，+2m+3）—〃z+3）|=>+3/?|,

2

SPBC=萬x3x|—m+3m|=3,

分類討論去絕對值解方程即可得〃2的值.

思路2:構(gòu)造等積變形

同底等高三角形面積相等.

取8c作水平寬可知水平寬為3,根據(jù)△P8C面積為3,

可知鉛垂高為2,

在y軸上取點(diǎn)Q使得CQ=2,過點(diǎn)Q作BC的平行線，

交點(diǎn)即為滿足條件的尸點(diǎn).

X

當(dāng)點(diǎn)。坐標(biāo)為(0,5)時，解析式為：y=-x+5,

聯(lián)立方程：-尤2+2x+3=-x+5,解之即可.

當(dāng)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0,1)時，P。解析式為：y=-x+l,

聯(lián)立方程：-x1+2x+3=-x+i,解之即可.

在平面直甭坐標(biāo)系中，直線y=尤+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)3,拋物線y=辦？+bx+c(a<0)經(jīng)過

點(diǎn)A、B.

(1)求a、6滿足的關(guān)系式及c的值.

(2)如圖，當(dāng)。=-1時，在拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使的面積為1?若存在，請求出符合條件的所

有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

A

/。|\

【分析】

(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)8坐標(biāo)為(0,2),

代入解析式可得：c=2,4a-2b+2=0

(2)考慮A、5水平距離為2,△B48的面積為1,故對應(yīng)的鉛垂高為1.

當(dāng)〃二-1時，可得b=-l,拋物線解析式為y=R_x+2.

取點(diǎn)C(0,3)作A5的平行線，其解析式為：y=x+3,

聯(lián)立方程-N-X+2=X+3,解得X=-1,故點(diǎn)《坐標(biāo)為(-1,2)

取點(diǎn)。(0,1)作A8的平行線，其解析式為：y=x+l,

聯(lián)立方程-承-x+2=%+1,解得玉=-1+^2,x?——1—\/2.

三、中考真題演練

1.(2023?浙江湖州?中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系X?！抵校魏瘮?shù)y=V-4x+c的圖象與y軸的

交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5),圖象的頂點(diǎn)為矩形ABCD的頂點(diǎn)。與原點(diǎn)。重合，頂點(diǎn)A,C分別在x軸，y軸上,

(2)如圖2,將矩形A3CD沿尤軸正方向平移f個單位(0<r<3)得到對應(yīng)的矩形A'B'C'D.已知邊。力，A'B'

分別與函數(shù)y=/-4x+c的圖象交于點(diǎn)P,Q,連接P。，過點(diǎn)尸作PGLAB'于點(diǎn)G.

①當(dāng)7=2時，求QG的寬；

②當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)。不重合時，是否存在這樣的右使得△戶口的面積為1?若存在，求出此時f的值；若不存

在，請說明理由.

【分析】（1）把（0,5）代入拋物線的解析式即可求出c,把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①先判斷當(dāng)/=2時，￡>0,A的坐標(biāo)分別是（2,0）,（3,0）,再求出x=3,x=2時點(diǎn)。的縱坐標(biāo)與點(diǎn)尸

的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求解；

②先求出0G=2,易得P,。的坐標(biāo)分別是一期+5）,然后分點(diǎn)G在點(diǎn)。的上方與點(diǎn)

G在點(diǎn)。的下方兩種情況，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可.

【詳解】（1）???二次函數(shù)y=f-4x+c的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,5）,

??c=5,

??y=~4x+5=（x-2y+1,

；?頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2,1）.

（2）①在x軸上，8的坐標(biāo)為（1,5）,

；?點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,0）.

當(dāng)/=2時，A的坐標(biāo)分別是（2,0）,（3,0）.

當(dāng)x=3時，>=（3-2『+1=2,即點(diǎn)。的縱坐標(biāo)是2,

當(dāng)x=2時，y=（2-2j+l=l,即點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)是1.

?；PGlArBr,

?'?點(diǎn)G的縱坐標(biāo)是1,

/.QG=2-1=1.

②存在.理由如下：

：△PGQ的面積為1,PG=1,

QG=2.

根據(jù)題意，得P,Q的坐標(biāo)分別是（，,r-4「+5）,?+“-2f+2）.

如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)。的上方時，。6=/一十+5-92-27+2）=3-2/=2,

=22—3=2,

此時r=g（在0<r<3的范圍內(nèi)）.

?一1十5

??/或7.

22

2.（2023?四川甘孜?中考真題）已知拋物線y=d+6x+c與無軸相交于A（-l,0）,B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)

C（0,-3）.

（2*為第一象限拋物線上一點(diǎn)，.P3C的面積與,ABC的面積相等，求直線AP的解析式;

【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解;

（2）5"g=5%比得到叱〃5。，即可求解;

l-b+c=0,

【詳解】（1）由題意，得

c=-3.

b=—2,

（2）由（1）得拋物線的解析式為y=x2-2x-3.

令＞=0,貝！1%2-2犬一3=0,得無i=T，尤2=3.

???8點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）.

S&PBC=^AABC，

：.AP//BC.

：8（3,0）,C（0,-3）,

直線3c的解析式為y=x-3.

,?AP//BC,

...可設(shè)直線AP的解析式為y=x+m.

A（T,0）在直線AP上，

??0=-1+171.

m=1.

，直線AP的解析式為y=x+i.

3.（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題）探究函數(shù)y=-2討+4國的圖象和性質(zhì)，探究過程如下:

⑵點(diǎn)P是函數(shù)y=-2|x「+4忖圖象上的一動點(diǎn)，點(diǎn)A（2,0）,點(diǎn)3（-2,0）,當(dāng)/皿=3時，請直接寫出所有

滿足條件的點(diǎn)歹的坐標(biāo)；

【分析】（1）把尤=-1代入解析式，求出〃，的值即可，描點(diǎn)，連線畫出函數(shù)圖形，根據(jù)圖形寫出一條性質(zhì)即

可；

（2）利用ZMB=B><4X屏|=3,進(jìn)行求解即可.

【詳解】⑴解：當(dāng)x=-l時，y=-2x卜/+4卜1卜-2+4=2,

m=2,

根據(jù)題干中的表格數(shù)據(jù)，描點(diǎn)，連線，得到函數(shù)圖象，如下:

由圖象可知：圖象關(guān)于y軸對稱；

故答案為：4.

⑵解：：點(diǎn)A（2,0）,點(diǎn)B（-2,0）,

，AB=4,

SAFAB=-x4x|yF|=3,

l^l=|>

力=±1^

當(dāng)力=|時：-2|X|2+4|X|=|,

XX

解得：玉=~-^2=~~^3=萬，%4

??.4±日或尸D

當(dāng)力=_［時：_2國2+4國=_：

解得：芯=+1,x2=一^~一\,

1222

綜上：“土T，一口或或尸］±|目；

4.（2023?遼寧盤錦?中考真題）如圖，拋物線y=o?+bx+3與無軸交于點(diǎn)A（-l,0）,以3,0）,與V軸交于點(diǎn)C.

。

\l

圖I

(1)求拋物線的解析式.

(3)如圖2,點(diǎn)E是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接AE交V軸于點(diǎn)O,AE的延寬線交拋物線于點(diǎn)P,點(diǎn)P在線段CO

上，且CF=OD,連接叢FE,BE,BP,若5人在=%4跖，求R4B面積.

【詳解】(1)解：拋物線y=&+fcv+3與x軸交于點(diǎn)A(-1,O),8(3,0),

0+3=0

.?19〃+3。+3=0'

a=-1

解得:

b=2

，拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3；

(3)解：設(shè)點(diǎn)尸卜機(jī)-4+2機(jī)+3),直線A尸的解析式為＞=區(qū)+"

A(-l,0),

\-k+b=G

km+b=-m2+2m+3

k=-(7?1-3)

解得：，

b=-(m-3)，

直線AP的解析式為y=-(m-3)x-(w-3),

當(dāng)x=0時，3;=-(m-3)=3-m,

/.(0,3-m),

/.OD=3-m,

CF=OD=3—相，

在拋物線y=—尤2+2%+3中，當(dāng)犬=0時，y=3,

.?.C（0,3）,

OC=3,

/.DF=OC-OD-CF=3-（3-m）-（3-m）=2m-3,

設(shè)點(diǎn)￡的坐標(biāo)為（?！莹D3"—（m—3），

A（-1,O）,5（3,0）,

:.AB=4,

■^/\AFE=^AABE，

:.^DF\xA-xE^=^AByE,

；x（2加一3）x（，+l）=/x4x[-（加一3），一（加一3）],

解得：m=1,

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（|，￡|,

。

sPAB^1~A…Bxyp^~1x4,x7~=7~-

5.（2023?湖南?中考真題）如圖，二次函數(shù)y=d+6x+c的圖象與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與V軸交于C點(diǎn),

其中3（1,0）,C（0,3）.

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使得S“AC=SAABC?若存在，請求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由；

【詳解】(1)解：將點(diǎn)3(1,0),C(0,3)代入y=>+6x+c,得

fl+Z?+c=O

[c=3

[b=-4

解得：,

[c=3

???拋物線解析式為y=f-4x+3；

（2）Vy=x2-4x+3=（X-2）2-1,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）,

當(dāng)y=0時，x2-4x+3=0

解得：尤i=l,%=3

A（3,0）,則。4=3

VC（0,3）,則OC=3

AOC是等腰直角三角形，

??V—V

?°APAC-

/.P到AC的距離等于B到AC的距離，

???4（3,0）,C（0,3）,設(shè)直線AC的解析式為了=履+3

3左+3=0

解得：k=-l

直線AC的解析式為>=-尤+3,

如圖所示，過點(diǎn)8作AC的平行線，交拋物線于點(diǎn)尸,

設(shè)BP的解析式為y=-x+d,將點(diǎn)3（1,0）代入得,

-l+d=0

解得：d=l

/.直線BP的解析式為y=f+1,

(y=-X+l

[y=x2-4,r+3

二或元=2

解得:

y=oy=-i

P（2,-l）,

?/PA=^（3-2）2+12=J2,PB=,J（2-1）2+12=y[2,AB=3-l=2

P^+PB1=AB1

AB尸是等腰直角三角形，且/APB=90。，

如圖所示，延寬R4至。，使得?。?24,過點(diǎn)。作AC的平行線DE,交x軸于點(diǎn)E,則D4=R4,則符

合題意的點(diǎn)尸在直線OE上，

「△APB是等腰直角三角形，DE//AC,ACYPD

：.ZDAE=ZBAP=45°PD±DE

VADE是等腰直角三角形，

AE=^AD=-fiAP=2

：.E（5,0）

設(shè)直線DE的解析式為V=-x+e

?**-5+e=0

解得：e=5

直線DE的解析式為y=-x+5

y=-x+5

聯(lián)立

y=x2-4x+3

3-A/173+717

x=---------x=----------

2

解得：或，

7+V177-V17

-V=-

.「3—?dú)v7+g卜/3+而7一口

綜上所述，取-1）或尸^^,心,尸］”,。）；

6.（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與探究

如圖，拋物線》=-爐+云+。上的點(diǎn)A,C坐標(biāo)分別為（0,2）,（4,0）,拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)M

（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線的解析式;

（2）點(diǎn)P是拋物線位于第一象限圖象上的動點(diǎn)，連接AP,CP,當(dāng)％MC=SMCM時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸且加=2可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（0,-2）,利用待定系數(shù)法可得拋物線

7

的解析式為y=-Y+5x+2；

（2）過點(diǎn)尸作依軸于點(diǎn)R交線段AC于點(diǎn)E,用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y=-：x+2,

設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為P（0<P<4）,則尸［p,-p2+：p+2）,+,故尸E=-p2+4p（0<p<4）,先

求得S^CM=8,從而得至l］S&Ac=；PE-OC=-2p2+8p=8,解出p的值，從而得出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

【詳解】（1）解：：點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸且31=2,

將4（0,2）,C（4,0）代入了一+匕尤+,,得

c=2

-16+4b+c=0

b=一

解得2

c=2

7

拋物線的解析式為y=~x2+~x+2

（2）解：過點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)F,交線段AC于點(diǎn)E,

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m（k中0）,

將4(0,2),。(4,0)代入廣紅+利，得

「0L1

\m=2k=——

八，解得2,

\4k+m=0。

i\m=2

直線AC的解析式為〉=-;x+2

設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為M°<0<4)

則尸[p,-p2+(p+2],E[p,_gp+2),

PE=_p2+gp+2-+=_p2+4p(0<p<4)

2

SAACM=8,SAPAC=1PE.OC=-2p+8p=8,解得P1=p?=2,

???P(2,5)

7.（2023?四川瀘州?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤中，已知拋物線y=2+2%+。與坐標(biāo)軸分另1J

相交于點(diǎn)A,B,C（o,6）三點(diǎn)，其對稱軸為x=2.

⑴求該拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是該拋物線上位于第一象限的一個動點(diǎn)，直線"分別與y軸，直線BC交于點(diǎn)o,E.

①當(dāng)CD=CE時，求8的寬；

②若CAD,CDE,△CEF的面積分別為H，色，S3,且滿足耳+S3=2SZ,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】⑴丁=-豆/+2工+6

⑵①8-2虎；②尸（4,6）

【分析】（1）根據(jù)拋物線對稱軸為尤=2,可得一或9=2,求得。=一：1，再將C（0,6）代入拋物線，根據(jù)待定系

數(shù)法求得c,即可解答；

（2）①求出點(diǎn)3,點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得到直線BC的解析式為y=r+6,設(shè)CD=a,則￡>（0,6-。），求得

AD的解析式，列方程求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，最后根據(jù)CD=CE列方程，即可求出8的寬；

②過E『分別作A3的垂線段，交A3于點(diǎn)G,”，過點(diǎn)。作