2024年中考數(shù)學壓軸題突破訓練：圓的相關(guān)證明與計算（原卷版+解析）

壓軸熱點考點13圓的相關(guān)證明與計算

壓軸突破——2024年【中考?沖刺】數(shù)學高頻熱點考點好題精編

一、單選題

1.如圖，點P是：。外的一點，出、PC是.。的切線，切點分別為A,C,A2是.。的直徑，連接2C,

PO,尸。交弦AC于點。.下列結(jié)論中不正確的是（）

A.PO//BC

B.PD=2OD

C.若NABC=2/CPO,貝必^4c是等邊三角形

D.若AB4c是等邊三角形，則/ABC=2NCPO

2.如圖，在半徑為1的Q中有三條弦，它們所對的圓心角分別為60。，90°,120。那么以這三條弦長為邊

長的三角形的面積是（）

3.如圖，點A,B是半徑為2的；。上的兩點，且43=2百，則下列說法正確的是（）

A.圓心。到的距離為6

B.在圓上取異于A,8的一點C,貝h.ABC面積的最大值為26

C.以42為邊向上作正方形，與o的公共部分的面積為

D.取AB的中點C,當A3繞點。旋轉(zhuǎn)一周時，點C運動的路線長為打

4.如圖，已知是半圓。的直徑，點C,。將分成相等的三段弧，點M在48的延長線上，連接〃。.對

于下列兩個結(jié)論，判斷正確的是（）

結(jié)論I：若/。阿＞=30。，則V。為半圓。的切線;

結(jié)論II：連接AC,CD,則NACO=130。

A.i和n都對B.i對ii錯C.I錯II對D.I和II都錯

5.如圖，已知A8為。。的弦，C為A8的中點，點。在優(yōu)弧ABC上一點，連接下列式子一定正確的

是（）

A.ZADC^ZBB.ZADC+2ZB=90°

C.2ZADC+ZB=90°D.ZB=30°

6.如圖所示，已知三角形筋E為直角三角形，ZAfiE=90°,BC為。切線，C為切點，DE為0直徑,

C4=C2則ABC和...CDE面積之比為（）

A.1:3B.1:2C.72:2D.(V2-l):l

7.有一直徑為48的圓，且圓上有C、D、E、/四點，其位置如圖所示.若AC=6,AD=8,AE=5,

AF=9,AS=10,則下列弧長關(guān)系何者正確？（）

A.AC+AD=AB>AE+AF=ABB.AC+AD=AB^AE+AF^AB

C.AC+AD^AB>AE+AF=ABD.AC+AD^AB^AE+AF^AB

8.如圖，。。與AABC的三邊分別相切于點D,E,F,連接OE,EF.若AO=6,BE=7,CF=S,則tan

/。跖的值是（）

B

AFC

374

A.-B.2C.-D.-

243

二、填空題

9.如圖，已知：O的半徑為1,A8為直徑，C為:O上一動點，過C作O的切線CP,過A作AM,CP,

垂足為連結(jié)OM,若.AOM為等腰三角形,貝UAM=_____.

B

10.如圖，。的兩條半徑Q4與互相垂直，垂足為點。，點C為上一點，連接AC并延長交。于

CD3

點D若益二'則cos』3c的值為一

A

11.如圖，ZA=90°,。與NA的一邊相切于點P,與另一邊相交于B,C兩點，且AB=1,BC=2,

則扇形BC的面積為

12.如圖，C、。兩點在半圓。的弦上，點E在半圓。上，且「CDE為等邊三角形，已知AC=6,CD=3,

ZAOB=120°,則劣弧AB的長為

13.如圖，AB是「。的直徑，C,。兩點在圓上，連接AD,CD,且BC=CD，Z.CAB=25°,P為ABC

上一動點，在運動過程中，。尸與AC相交于點M,當VCDW為等腰三角形時，NPDC的度數(shù)

14.如圖，在。中，AB是，。的直徑，AB=2區(qū)AD=BC,AD,BC交于點E,點。為BC的中點，點

G為平面內(nèi)一動點，且BGLEG,則AG的最小值為.

A

三、解答題

15.一條盤水管的截面如圖所示，水面寬AB垂直平分半徑0D.

D

⑴求/OD3的度數(shù);

(2)若。。的半徑為6,求弦AB的長.

⑶若連結(jié)AD,請判斷四邊形AOBD的形狀，并給出證明.

16.如圖，。為四邊形A3CD的外接圓，若TW=A￡＞、CB=CD,延長AD至點R連接FC并延長至點

E,恰好使得/8CE+//=90。.

(1)證明：所為的切線

(2)連接80,若。的半徑為4,CF=6,求的長

17.如圖，ABC是一。的內(nèi)接三角形，E在C4的延長線上.給出以下三個條件：①AC是。的直徑,

②EB是。的切線，?ZABE^ZC.

(1)請從上述三個條件中選兩個作為已知，剩下的一個條件作為結(jié)論,組合成一個新的真命題，并給予證明;

⑵在(1)的條件下，若AB=M,求/C的度數(shù).

18.閱讀與思考

學習了圓的相關(guān)知識后，某數(shù)學興趣小組的同學們進行了如下探究活動，請仔細閱讀，并完成相應任務.

割線定理

如圖，A是。外一點，過點A作直線AC,AE分別交(Q于點8,C,D,E,則有=.

證明：如圖，連接BE,DC.

'：ZBCD=ZBED（依據(jù)：①）,ZCAD=ZEAB,

；.NACD:NAEB.

：.ABAC=ADAE.

任務：

(1)上述閱讀材料中①處應填的內(nèi)容是,②處應填的內(nèi)容是.

(2)興趣小組的同學們繼續(xù)思考，當直線AE與圓相切時，是否仍有類似的結(jié)論.請將下列已知、求證補充

完整，并給出證明.

己知：如圖，A是，。外一點，過點A的直線交。。于點2,C,.

19.閱讀下面材料，完成相應的任務：

阿基米德(Arc/i加edes,公元前287-公元前212年，古希臘)是有史以來最偉大的數(shù)學家之一，他與牛頓、

高斯并稱為三大數(shù)學王子：《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對于了解古希臘數(shù)學，研

究古希臘數(shù)學思想以及整個科技史都是十分寶貴的.

其中論述了阿基米德折折弦定理：一個圓中一條由兩長度不同的弦組成的折弦所對的兩段弧的中點在較長

弦上的射影，就是折弦的中點.

(1)定理認識：如圖所示，AB,3C是圓。的兩條弦(折弦)，M是ABC的中點，MDVBC,垂足為。，

求證：.

(2)定理證明：“截長補短”是證明線段和差倍分的常用辦法，下面有三位同學提出了不同的輔助線作法以達

到“截長補短”效果.同學1：在。上截取CE=A5,同學2：過點M作的垂線交的延長線于點E,

同學3：利用平行弦夾等弧的正確結(jié)論(本題可直接使用)過點M作5c的平行弦交。。于點N.請你參

考上述三位同學輔助線作法并用兩種方法完成證明.

20.如圖，已知A8,8是。。的兩條直徑，直徑8平分/ACE,/ACE的一邊CE■與iO和直徑AB分

別交于點E,F,連接BE,MAC=AF.

⑴證明：BE//CD；

⑵若CF=2,求所的長.

壓軸熱點考點13圓的相關(guān)證明與計算

壓軸突破——2024年【中考?沖刺】數(shù)學高頻熱點考點好題精編

一、單選題

1.如圖，點尸是：o外的一點，加、PC是CO的切線，切點分別為A,C,是。的直徑，連接BC,

PO,PO交弦AC于點D.下列結(jié)論中不正確的是()

A.PO//BC

B.PD=2OD

C.若=則ABAC是等邊三角形

D.若AB4c是等邊三角形，則NABC=2/CPO

【答案】B

【分析】連接0C,根據(jù)切線的性質(zhì)，推出△R4。/PCO(HL),進而推出尸OLAC,圓周角定理，得到

BC±AC,判斷A,條件不足,無法得到PD=2OD,判斷B,同角的余角相等,得到ABAC=ZAPO=Z.CPO,

進而推出/APC=60。，再根據(jù)R4=PC,判斷C,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，推出NCPO=30。，

ZABC=60°,判斷D,即可得出結(jié)論.

【詳解】解析：連接OC,

?.?叢,尸(7是一。的切線,

ZR4O=/PCO=90°,

VOA=OC,PO=PO,

：.△B4O絲PCO(HL),

APA^PC,ZAPO=ZCPO,

???PO.LAC.

?；AB是一。的直徑，

.?.BC±AC,

APO//BC.選項A正確；

??,Z&4C+ZPAC=90°,AAPO+APAC=90°,

??.ABAC=ZAPO=ZCPO,

?；ZABC=2ZCPO,

：.ZABC=2ZBAC,

ABCABAC=90°,

：.ABAC=30°,

：.ZAP。=60。,

,:PA=PC,

是等邊三角形，選項C正確；

???△尸AC是等邊三角形，

：.ZAPC=60°=ZPAC,

???ZAPO=ZCPO,

：.NCPO=30。,

?.?ZPAO=90°,

JABAC=30°f

〈AB是。的直徑，

???ZACB=90°,

：.ZABC=90°-30°=60°,

；?ZABC=2/CPO,選項D正確；

條件不足，無法得到PD=2OD,選項B錯誤；

故選B.

【點睛】本題考查圓周角定理，切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握相關(guān)知識點并靈活運用，

是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在半徑為1的,。中有三條弦，它們所對的圓心角分別為60。，90。，120。那么以這三條弦長為邊

長的三角形的面積是（）

\_z.------\-J.--------

22

【答案】D

【分析】連接。4、OB、OC、OD、OE、OF,則AOB、△<%>￡)分別為等邊三角形，等腰直角三角形，

進而可得到48、A8長；再過點。作于點根據(jù)垂徑定理可得EF=2EfZ,ZEOH=ZFOH=60°,

根據(jù)銳角三角形函數(shù)可求出Ef/,進而可得肝；再根據(jù)AS2+CZ)2=E尸可判斷以A3、CD、E/為邊的

三角形為直角三角形，即可求出其面積.

【詳解】解：解：如圖，連接04、OB、OC,OD、OE、O尸，則ZA03=60。，/COD=90。，ZE(9F=120°,

在RtCOD中，CD=>/12+12=V2-

,?OA=OB,

二oAOB是等邊三角形，

AB=OA=1,

過點。作OH_L￡F于點“，則￡F=2EH,ZEOH=ZFOH=60°,

：.FH=OFsm^°=\^—=—,

22

,EF=2FH=y/3,

VI2+(V2)2=(73)2,BPAB2+CD2=EF2,

...以A3、CD、麻為邊的三角形為直角三角形，

,其面積為：lxV2xl=^l.

22

故選：D.

【點睛】本題主要考查垂徑定理和勾股定理的逆定理，解題關(guān)鍵是熟練應用垂徑定理求弦長.

3.如圖，點A,B是半徑為2的＜O上的兩點，且A8=2出，則下列說法正確的是（）

A.圓心。到A5的距離為出

B.在圓上取異于42的一點C,貝hABC面積的最大值為26

C.以A3為邊向上作正方形，與「O的公共部分的面積為+g

D.取AB的中點C,當繞點。旋轉(zhuǎn)一周時，點C運動的路線長為萬

【答案】C

【分析】根據(jù)垂徑定理結(jié)合勾股定理可求出0C，從而可判斷A；當ABC的高最大時三角形面積最大即

高在的垂直平分線上且在48的上方，計算出二ASC的面積可判斷B；根據(jù)

S陰影=S矩形/BCD+S扇形-SDOC可判斷C；點C的運動軌跡是以。為圓心，0c為半徑的圓周，求出周長可

判斷D

【詳解】解：A.如圖1,過點。作OCL鉆于點C,貝IJ有AC=：A3=V^,

由勾股定理得，OC=JAO?一AC?=西-（呵=1,

所以，圓心。到48的距離為1,故選項A說法錯誤；

B.如圖2,當ABC的高最大時三角形面積最大即高在A3的垂直平分線上且在的上方，此時,

CD=OC+OD=2+1=3

c

圖2

ABC的最大面積為!.AB.CD=2退x3=3如，故選項B說法錯誤;

22

C.如圖3,根據(jù)題意可得/ABO=30。，四邊形ABC。是矩形，

圖3

ZOSC=60°

△08C是等邊三角形，

BC=OB=2,ZDOC=120。，

S陰影=S矩形4gCD+S扇形ooc—SDOC=2若x2+120"x2_J_x2道義1=34+±%，故選項C正確;

36023

D.如圖4,點C的運動軌跡是以。為圓心，OC為半徑的圓周，

圖4

周長為：2xlx萬=2萬，所以，選項D錯誤;

故選：C

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周長、扇形面積的計算等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)

鍵

4.如圖，已知AB是半圓。的直徑，點C,D將AB分成相等的三段弧，點M在A8的延長線上，連接V。.對

于下列兩個結(jié)論，判斷正確的是（）

結(jié)論I：若/?！ā?30。，則V。為半圓。的切線；

結(jié)論n：連接AC,CD,則NACO=130。

A.i和n都對B.i對ii錯c.i錯ii對D.i和n都錯

【答案】B

【分析】連接O。，OC,先得出AC=OC=DB，NAOC=NOOB=gxl80o=60。，進而得出/ODM=90。,

MD為半圓。的切線；連接AC,CD,再證明AOC,△OOC是等邊三角形，即可得出NACD=120。.

【詳解】連接OD，OC,

?.?點C,D將AB分成相等的三段弧,

AC=DC=DB，

：.ZAOC=ZDOB=-xl80°=60°,

3

,/ZOMD=30°,

：.ZOOM=90°,

OD是半徑，

二MD為半圓。的切線，故I對，

連接AC,CD,

,/OD,OC是半徑，ZAOC=zcor>=60°,

cAOC,△DOC是等邊三角形，

ZACO=ZDCO=60°,

ZACD=120°,故n錯，

故選：B.

【點睛】本題考查切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，已知A8為。0的弦，。為的中點，點。在優(yōu)弧A5C上一點，連接下列式子一定正確的

A./ADC=NBB.ZADC+2ZB=90°

C.2ZADC+ZB=90°D.ZB=30°

【答案】C

【分析】先利用垂徑定理，由。為的中點得到則NA+NA0090。，然后根據(jù)圓周角定理得

到NAOC=2NAOC,加上于是可判斷。選項一定正確.

【詳解】???C為A5的中點，

JOC1AB,

：.ZA+ZAOC=90°,

?.?ZAOC=2ZADC,

A2ZA￡>C+ZA=90°,

?；OA=OB,

???ZA=ZB,

.\2ZADC+ZB=90°.

故選：C.

【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.也考查了垂徑定理.

6.如圖所示，已知三角形叱為直角三角形，ZABE=90°,為。。切線，。為切點，DE為0直徑，

G4=CD,則一ABC和.CD石面積之比為（）

A

c.V2:2D.(V2-l):l

【答案】B

【分析】根據(jù)圓周角定理，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)進行計算

即可.

【詳解】解：如圖取。石中點連接0C.

：.ZDCE=ZDCA=90°.

???3C與圓。相切.

：.ZBCO=90°.

*.?ZDCA=ZBCO=90°.

：.ZACB=ZDCO.

?：ZABD-^-ZACD=180°.

：.ZA+ZfiZ)C=180°.

又ZBDC+ZCDO=180。.

：.ZA=ZCDO.

VZACB=ZDCO,AC=DC,ZA=ZCDO.

：.AABC=AZ)OC(ASA).

?,=S^DOC?

???點。是。石的中點.

??S&DOC=0.5SACDE?

=0.55ACD￡.

S/\ABC'S&CDE=1：2

故答案是：1:2.

故選：B.

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性質(zhì)，理解切線的性質(zhì)，圓周

角定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的前提.

7.有一直徑為48的圓，且圓上有C、D、E、尸四點，其位置如圖所示.若AC=6,AD=8,AE=5,

AF=9,AB=10,則下列弧長關(guān)系何者正確？（）

A.AC+AD=AB，AE+AF=ABB.AC+AD=AB，AE+AF^AB

C.AC+AD^AB-AE+AF=ABD.AC+ADwAB，AE+AF^AB

【答案】B

【分析】連接BD,BF,先求解AC=&)=6,可得AC=BO，AC+AD=AB，再求解2尸=加，可得

AE豐BF，AE+AF^AB^從而可得答案.

AC=6,

,\AC=BD.

AC=BD^

AC+AD=AB，

AB直徑，AB=10,AF=9,

ZAFB=90°,BF=M,

AE=5f

?,AEwBF，

AE+AFwAB，

所以B符合題意，

故選：B.

【點睛】本題主要考查了圓中弧、弦的關(guān)系和直徑所對的圓周角是直角，熟練掌握相關(guān)定理是解答本題的

關(guān)鍵.

8.如圖，。。與AABC的三邊分別相切于點。，E,F,連接。E,EF.若A￡>=6,BE=1,b=8,則tan

/■DEF的值是（）

【答案】A

【分析】過點B作BM±AC于點M,連接OD、OE、OF、AO,BO、CO,根據(jù)切線長定理先得出AF=A。=6,

CE=CF=8,BD=BE=1,即可得出三角形的三邊長，根據(jù)勾股定理求出AM的長度，根據(jù)面積求出三

角形內(nèi)切圓的半徑，根據(jù)圓周角定理和三角形全等，求出ZAOD=/DEF,即可得出結(jié)果.

【詳解】解：過點3作而W，AC于點連接OD、OE、OF、A。、BO、CO,如圖所示：

B

與AABC的三邊分別相切于點￡>,E,F,

：.OD±AB,OF±AC,OELBC,OD=OE=OF,

AF=AD=6,CE=CF=8,BD=BE=1,

設OD=OE=OF=r,

：.AB=AD+BD=13,AC=AF+FC=14,BC=BE+EC=15,

\'BM±AC,

：.ZBMA=ZBMC=90°,

/.AABM與ACBM為直角三角形，

，根據(jù)勾股定理可得：BM2=AB2-AM2>BM2=BC2-CM2,

即AB2-AM2=BC2-CM-,

13--AM2=152-(14-AM)2,

解得：AM=5,

貝UBM=y/AB2-AM2=12，

/.S..?r=—xl4xl2=84,

,?V—Q_i_Q_i_Q

?°AABC-丁0AAOC丁°bBOC

=—ABxr+—ACxr+—BCxr

222

=1(AB+AC+BC)

xr

1

=-x(13+14+15)xr

2

=21r

???21/=84,解得：r=4,

在Rt^AOD和RtAAOF中，<八八八廠，

[OD=OF

：.RtAAOD^RtAAOF(HL),

/.ZAOD=ZAOF=-/DOF,

2

DF=DF，

/.ZDEF=-ZDOF,

2

:.ZAOD=ZDEFf

，tan/DEF=tan/AOZ)==—=—,故A正確.

OD42

故選：A.

【點睛】本題主要考查了切線長定理，勾股定理，圓周角定理，三角函數(shù)的定義，三角形全等的判定和性

質(zhì)，作出輔助線，求出三角形內(nèi)切圓的半徑，是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

9.如圖，已知(。的半徑為1,A3為直徑，C為：。上一動點，過C作。的切線CP,過A作AMJ_CP,

垂足為連結(jié)OM,若AOW為等腰三角形，則4W=

【答案】1或巨衛(wèi)

2

【分析】連接0C,過。點作OALA"于a,如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OCLCP,則可判斷四邊形oa組

為矩形,所以HM=OC=1,OH=CM,利用AOM為等腰三角形得到AM=AO=1MA—MO,當MA—MO

時，設MO=x,CM=y,貝l|4W=x,AH=x-l,利用勾股定理12+丁=/，(l-x>+y2=l2,然后解方

程組可得到對應的AM的長度.

【詳解】解：連接。C,過。點作于如圖，

CP為。的切線，

OCLCP,

AM±CP,OHLAM,

四邊形OCMW為矩形,

,-.HM=OC=\,OH=CM,

AOM為等腰三角形，

AM=AO=1或MA=MO,

當M4=MO時，設AfO=x,CM=y,貝l|AM=x,AH=x-l,

在RtZkOCM中，i2+y2=x2,①

在RtzVMH中，(l-x)2+y2=l2,②

②—①得x2-2X+1-1-1-X2,

整理得2尤2-21=0,

解得玉=匕且，x2二』(舍去)，

122

...AM的長為1±2叵，

2

綜上所述，AM的長為1或匕走.

2

故答案為：1或S叵.

2

A

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了圓周角定理、折疊的性質(zhì)和

解直角三角形.

10.如圖，O的兩條半徑。4與08互相垂直，垂足為點0,點C為03上一點，連接AC并延長交。于

CD3

點。.若三二一,則cos/Q4c的值為_____.

AC4

【答案】

【分析】根據(jù)延長AO交I。于點E,連接OE,構(gòu)造出直角三角形，再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答

即可.

【詳解】解：延長49交。于點石，連接。石，

E

&

A

AE是直徑，

ZADE=90°,

OALOB,

：.ZAOB=90°,

ZOAC=ZDAE9

/\OAC^/\DAE,

..CD_3

,~AC~4"

設OA=r,AC=4a,CD=3a,

.OA_ACr_4a

??而―瓦，即五一五’

.?」=而，

a

小。心組=—"=巫.

AC4〃4〃4

故答案為：號.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理和相似的判定和性質(zhì),熟練掌握這些性質(zhì)和定理是解答本題的關(guān)鍵.

11.如圖，ZA=90°,二。與2A的一邊相切于點P,與另一邊相交于8,C兩點，且AB=1,BC=2,

則扇形BC的面積為____________

AP

【答案】—/—兀

33

【分析】連接0P,過O點作于點E,作砥，OP于點F,利用垂徑定理的內(nèi)容得出

BE=CE=?BC=1，再證明四邊形。￡班\四邊形Q4B尸是矩形，即有OP=PF+"=2,進而有

OP=OB=OC=2f從而得出△06。是等邊三角形，即NH9C=60。，利用扇形面積公式求出即可.

【詳解】連接0P,過O點作于點E,作5尸，OP于點F,如圖，

?：OELBC,BC=2,

：.BE=CE=-BC=l

2f

???一。與/A的一邊相切于點尸，

AAP1PO,

VOELBC,BFLOP,ZA=90°,

???可得四邊形?！臧郳四邊形R師是矩形，

VAB=l,BC=2,

：.AB=1=PF,BE=OF=1,

???OP=PF+OF=2,

：.OP=OB=OC=2,

???△O5C是等邊三角形，

???ZBOC=60°,

,,S扇形BOC=^^X71XOP2=~7l,

故答案為：■

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定方法以及扇形的面積求法等知識，利

用已知得出OP=Pb+。/=2是解決問題的關(guān)鍵.

12.如圖，C、。兩點在半圓O的弦上，點E在半圓。上，且「.CDE為等邊三角形，已知AC=6,CD=3,

ZAOB=120°,則劣弧AB的長為

o

【分析】先利用圓周角定理求得NAES,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)求得NE4C=N麗,

ZACE=NEDB,利用相似三角形的判定證明ACEyED3得到生=式，進而求得30、AB,過。作

DEBD

OFLAB于憶利用垂徑定理和銳角三角函數(shù)值求得Q4,然后利用弧長公式求解即可.

【詳解】解：連接他、BE,

：ZAOB=120°,OA=OB,

\ZAEB=180°——ZAOB=120°,NOAB=OBA=30。，

2

??CDE1為等邊三角形，CD=3,

\ZCDE=ZCED=ZDCE=60°fCE=DE=CD=3

\ZACE=ZEDB=120°,ZAEC+ZBED=6G°,ZAEC+NE4c=60。,

,?NEAC=NBED,

,?ACEsEDB,

??AB=AC+CD+BD=—

2

過O作于憶則NAFO=90。，AF=

在HAFO中，cos30°=—=—,

OA2

???劣弧A5的長為I2。""7岳,

1803

故答案為：逑^

3

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、相似三角形

的判定與性質(zhì)、解直角三角形、弧長公式等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，利用相似三角形的性

質(zhì)求解線段長是解答的關(guān)鍵.

13.如圖，是。的直徑，C,。兩點在圓上，連接AD,CD,且BC=C。，ZCAB=25°,P為ABC

上一動點，在運動過程中，0P與AC相交于點聞,當va泌為等腰三角形時，NPDC的度數(shù)

【分析】根據(jù)BC=CD，NC4B=25。可得：ZCAD=ZCAB=25°,再由AB是二。的直徑得NC=40。，然后

分三種況討論即可得出答案.

ZCAD=ZCAB=25°,

:.ZDAB=50°,

鈣是：。的直徑，

:.ZADB=9Q°,

:.ZDAB^ZABD=9Q0,

:.ZABD=40°,

AD=AD

：.ZC=ZABD=40°f

當NCDM為等腰三角形時，

①當MD=MC時，ZPDC=ZC=40°,

1?n0_40°

②當CD=CM時，NPDC=---=70°,

③當DA/=OC時，ZPDC=180°-2x40°=100°,

故答案為：40?；?0?；?00。.

【點睛】本題考查了圓周角定理和直徑所對的圓周角等于90。，解題的關(guān)鍵是利用圓周角定理以及直徑所

對的圓周角等于90。，求出/C的度數(shù)，以及掌握利用分類討論的思想來解決問題.

14.如圖，在。中，48是,。的直徑，AB=25AD=BC,AD,8C交于點E,點D為BC的中點，點

G為平面內(nèi)一動點，且3GLEG,則AG的最小值為

【答案】V7-1/-1+V7

【分析】連接AC,以BE為直徑作M,先證明點G在＜，"上，連接AM,當AM于M交于點G時，

AC][

此時AG最短，再求得3E=AE=---------=2,CE=^AE=1,則得到CM=

COS30022

CE+ME=2,由勾股定理得到4加=近，即可得到答案.

【詳解】解：連接AC,以8E為直徑作；M,

?JBGLEG,

:.NBGE=9Q。,

二點G在M上，

連接AM,當AM于M交于點G時，此時AG最短，如圖,

,：AD=BC,

AD=BC，

,?,點。為8C的中點,

?,BD=CD=AC，

：.ZCBD=ZCBA=ZBAD=ACAD,

：.AE=BE,

〈AB為O。的直徑,

???ZACB=90°,

：.ZCAD+ZBAD+ZABC=90°,

：.ZCBD=ZCBA=NBAD=ZCAD=30°,

?，.AC=^AB=gx2百=g,

A(J]

：?BE=AE=---------=2,CE=—AE=1,

cos3002

?：MG=MB=ME=gBE=1,

：.CM=CE+ME=2,

：.AM=《AC。+C"=J(可+*=S，

：.AG=AM-MG=y/j-1,

即AG的最小值為4-1,

故答案為：V7-1

【點睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、解直角三角形等知識，作輔助圓是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

15.一條盤水管的截面如圖所示，水面寬垂直平分半徑。。.

D

⑴求/OD8的度數(shù)；

(2)若。的半徑為6,求弦AB的長.

(3)若連結(jié)AD,請判斷四邊形AQBD的形狀，并給出證明.

［答案］⑴60。

(2)6^

(3)菱形

【分析】(1)結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)，證明O3=OD=Z)3,易知.為等邊三角形，即

可獲得答案;

(2)結(jié)合題意可得OB=OD=6,OC=3,利用勾股定理可解得BC=，然后由垂徑定理可知AB=2BC,

即可獲得答案；

(3)證明。4===即可判斷四邊形AOBO的形狀.

【詳解】(1)解：:AB垂直平分。。，

OB=DB,

由：OB=OD,

OB=OD=DB,

.LG?。為等邊三角形，

NODB=60°；

(2)：O的半徑為6,即O3=OD=6,

又：AB垂直平分OD,

OD±AB,且OC=—OD=—x6=3,

22

?*-BC=ylOB2-OC2=762-32=373-

VODLAB,OD為O半徑，

AC=BC,

：.AB=2BC=6A/3;

(3)四邊形493。為菱形，證明如下:

連接AO,如下圖,

D

AB垂直平分0D,

AOA=DA,OB=DB,

由：OA=OB,

OA=DA=DB=OB,

二四邊形A03D為菱形.

【點睛】本題主要考查了圓的基本概念、垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、垂

徑定理、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

16.如圖，.Q為四邊形ABC。的外接圓，若=CB=CD,延長AD至點孔連接收并延長至點

E,恰好使得/3CE+/F=90。.

（1）證明：斯為（。的切線

（2）連接80,若。的半徑為4,CF=6,求3D的長

【答案】（1）見解析

192

⑵加=后

【分析】（1）連接AC,根據(jù)弧，弦之間的關(guān)系，推出AC為。直徑，ZACB^ZACD,進而得到

ZADC=NCDF=90°,根據(jù)同角的余角相等，得到/3CE=NOC尸，再根據(jù)平角的定義，推出

ZACD+ZDCF^90°,即AC_L￡F,即可得證；

（2）設3。交AC于點垂徑定理得到=，勾股定理求出"的長，等積法求出8,

再用勾股定理和等積法求出DH的長，即可得解.

【詳解】（1）證明：連接AC,

VAB=AD,CB=CD,

,,AB=AD，CB=CD，

AB+CB=CD+AD^ZACB=ZACD,

AB+CB為半圓，

???AC為。。的直徑，

???ZADC=90°,

???NCDF=90。,

AZDCF+ZF=90°,

?；/BCE+/F=90。

：.NBCE=NDCF,

???ABCE+ADCF+ZACB+ZACD=180°,

AZACD+ZDCF=90°f即：OC±￡F；

???oc為。。的半徑，

；.EF為。的切線；

(2)設交AC于點H,

則：BH=DH,AH±BD,

。的半徑為4,

???AC=8,

?.,ZACF=90°,CF=6,

JAF=7AC2+CF2=10，

SACF=-ACCF=-AFCD

ACF22f

???6x8=100

ACD=4.8,

???ZADC=90°,

???AD7AC2-CU=6.4,

SACD=-ACDH=-ADCD,

ACD22

???8?！?4.8x64,

：.DH=—,

25

192

BD=2DH=——.

25

【點睛】本題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理.解題的關(guān)鍵是掌握弧，弦，角之間的關(guān)系，得到

AC是。的直徑.

17.如圖，ABC是。的內(nèi)接三角形，E在C4的延長線上.給出以下三個條件：①AC是。的直徑,

②EB是，。的切線，③ZABE=/C.

（1）請從上述三個條件中選兩個作為已知，剩下的一個條件作為結(jié)論,組合成一個新的真命題，并給予證明；

⑵在（1）的條件下，若=求—C的度數(shù).

【答案】（1）選擇①②作為條件，③作為結(jié)論；選擇①③作為條件，②作為結(jié)論；證明見解析

（2）30°

【分析】（1）選擇①②作為條件，③作為結(jié)論：如圖所示，連接。3,根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理得到

ZABC=ZOBE=90°,則可得NO3C=NABE,再由等邊對等角得到NC=NO3C,由此可得/4BE=/C；

選擇①③作為條件，②作為結(jié)論：如圖所示，連接。8,由圓周角定理得到NOBC+/OA4=90。，由等

邊對等角得到NC=NOBC,由此即可得到ZOBC=ZABE,進一步得到NOBE=90。，則EB是O的切線；

（2）證明NABEM/CMNE,再由/ABE+NC+/E+/ABC=180。進行求解即可.

【詳解】（1）解：選擇①②作為條件，③作為結(jié)論：

如圖所示，連接。3,

??,AC是；。的直徑，EB是。的切線，

ZABC=ZOBE=90°,

：.NOBC=ZABE,

'：OB=OC,

：.NC=NOBC,

：.ZABE=NC；

選擇①③作為條件，②作為結(jié)論：

如圖所示，連接。3,

；AC是eO的直徑，

ZABC^90,

：.ZOBC+ZOBA=90°,

'：OB=OC,

：.NC=NOBC,

ZABE=NC；

/OBC=ZABE,

：.ZABE+AOBA=90°,即ZOBE=90°,

???。5是O的半徑，

JZABE=/E,

又???ZABE=NC,

：.ZABE=ZC=ZE9

ZABE+ZC+ZE+ZABC=180°,

???3ZC+90°=180°,

/.ZC=30°.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，圓周角定理，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知切

線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.

18.閱讀與思考

任務:

(1)上述閱讀材料中①處應填的內(nèi)容是,②處應填的內(nèi)容是.

(2)興趣小組的同學們繼續(xù)思考，當直線AE與圓相切時，是否仍有類似的結(jié)論.請將下列已知、求證補充

完整，并給出證明.

己知：如圖，A是，。外一點，過點A的直線交＜O于點8,C,.

(2)AE與1O相切于點E.ABAC；證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題意得到結(jié)論即可；

(2)如圖，連接BE,CE,證明.ABEACE即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)如圖，連接BE,DC.

?：ZBCD=ZBED(依據(jù)：①、同弧所對的圓周角相等.),ZCAD=ZEAB,

：.NACD:NAEB.

.AD?AC

：.—=@—

AB-AE-------

ABAC=ADAE.

AT

故答案為：同弧所對的圓周角相等；蕓；

AE

(2)已知：如圖，A是外一點，過點A的直線交，。于點8,C,AE與。相切于點E.

證明：如圖，連接BE,CE,連接E。并延長交(。于點。，連接50.

；AE為。的切線,

ZJDE4=90°,

ZDEB+ZAEB=90°,

'：DE為IO的直徑，

/./DBE=90。,

ZDEB+ZBDE=90°,

/./BDE=NAEB,

'：ZBDE=ZBCE,

：.ZAEB=ZBCE.

,?ZA=ZA,

A4ABEAEC,

.ABAE

"AC）

/.AE2^ABAC.

故答案為：4￡與（。相切于點E.ABAC

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，割線定理，熟練掌握割線定理是解題的關(guān)鍵.

19.閱讀下面材料，完成相應的任務：

阿基米德（Arc/i加edes,公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學家之一，他與牛頓、

高斯并稱為三大數(shù)學王子：《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基