2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提高講義：等腰三角形

等腰三角形

知識梳理

1.等腰三角形的概念

有兩邊相等的三角形叫作等腰三角形.三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形.等邊三角形是一類特殊的等腰三

角形.

2.等腰三角形的性質(zhì)

⑴在同一個三角形中，等邊對等角.

(2)等腰三角形三線合一.

3.等腰三角形的判定定理

如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.(即在同一個三角形中，等角對等邊.)

4.等邊三角形的判定定理

(1)三個角都相等的三角形是等邊三角形.

(2)有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

典型例題

例1

如圖3-1所示，已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點QA=OB=OC,4BC=^ADC=70。,則^DAO+NDC。的大小是(

).

470°8.110°

C.140°D.150°

圖3-1

分析因為OA=OB=OC,所以NABO=NBAO,/CBO=NBCO,/BAO+NBCO=/ABO+/CBO=/ABC=70。.所

以.44。+4DCO=360°-70°-70°-70°=150°.

解D

例2

如圖3-2所示，已知AD=BC,AC=BD,求證:△EAB是等腰三角形.分析要判斷△EAB是等腰三角形，則需得證NC

AB=/DBA.解因為AD=BC,AC=BD,AB=BA

DC

所以△ADB^ABCA(SSS)

所以/DBA=/CAB

所以AE=BE^^AEAB是等腰三角形圖3-2

例3

如圖3-3所示，已知△ABC為等邊三角形，點D,E分別在BC,AC邊上，且AE=CD,AD與BE相交于點F.

(1)求證:△ABE^ACAD;

⑵求/BFD的度數(shù)./

分析利用等邊三角形的隱含條件：三邊相等，三角相等./\\

解(1)因為AE=CD,AB=CA,/BAE=NACD=60。BDc

所以△ABE0ACAD(SAS)圖3-3

(2)因為△ABE^ACAD

所以/ABE=NCAD

所以/AFE=18O°-(ZCAD+ZAEF)=180°-(ZABE+ZAEF)=ZBAC=60°

所以/BFD=60。

例4

如圖3-4所示，在邊長為4的正三角形ABC中,ADLBC于點D,以AD為一邊向右作正三角形ADE.

(1)求^ABC的面積S;4

(2)判斷AC,DE的位置關(guān)系,并給出證明.

分析利用等邊三角形三線合一的性質(zhì)./\/>￡

解(1)S=4x2V3xi=4V3/

2BDC

(2)ACXDE圖3-4

因為在正三角形ABC中,AD_LBC

所以/BAD=/CAD=30。

又因為△ADE是正三角形

所以Z.EAF=60°-"AD=30°

所以NEAF=NCAD

所以ACXDE

雙基訓(xùn)練

1.等腰三角形的周長為26厘米，一邊長為6厘米，那么腰長為（）.

A.6厘米B.10厘米C.6厘米或10厘米D.14厘米

2.已知△ABC,AB=AC,ZB=65°,ZC的度數(shù)是（）.

A.50°B.65°C.70°D.75°

3.等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是（）.

A.過頂點的直線B.底邊的垂線

C.頂角的平分線所在的直線D,腰上的高所在的直線

4.如圖3-5所示,△ABC是等邊三角形,D,E,F為各邊中點，則圖中共有（）正三角形.

A.2個B.3個

C.4個D.5個

5.AABC中,/A:NB:/C=1:2:3,則BC:AB等于（）.

A.2:lB.l:2C.l:3D.2:3

6.等腰三角形的兩個—相等（簡寫成“—”）.

7.已知△ABC,AB=AC,ZA=80°,ZB的度數(shù)是.

8.等腰三角形的兩個內(nèi)角的比是1：2,則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)是一.

9.等腰三角形的腰長是6,底邊長5,則周長為—.

10.等邊三角形的周長為6厘米，則它的邊長為.

11.等邊三角形的兩條高線相交所成鈍角的度數(shù)是.

12.在△ABC+,ZA=ZB=ZCJ!]AABC是__三角形.

13.AABC+,ZACB=90°,ZB=60°,BC=3厘米，則AB=.

14.如圖3-6所示,AB=AD,AD〃BC,求證:BD平分/ABC.

圖3-6

15.如圖3-7所示，在△ABC中,AB=AC,D,E分別在AC,AB邊上，且BC=BD,AD=DE=EB,求NA的度數(shù).

16.如圖3-8所示,△ABC是等邊三角形，點D在邊BC上,DE〃AC,ABDE是等邊三角形嗎?試說明理由.

A

E,

BDC

圖3-8

17.如圖3-9所示，在△ABC中,AB=AD=DC,/BAD=26。,求/B和/C的度數(shù).

圖3-9

18.如圖3-10所示,AC和BD交于點O.HAB〃DC,OC=OD,求證:OA=OB.

19.已知(如圖3-11所示)P,Q是4ABC邊BC上的兩點，且BP=PQ=QC=AP=AQ,求/BAC的度數(shù).

圖3-11

20.如圖3-12所示,AD〃BC,BD平分/ABC,求證:AB=AD.

圖3-12

能力提升

21.如圖3-13所示，在RtAABC中,AB=AC,AD_LBC.垂足為D.E,F分別是CD,AD上的點，且CE=AF.如果/AED

=62。,那么/DBF=().

A.62°B.38°

C.28°D.26°

22.一個等腰三角形的一個外角等于110。，則這個三角形的三個角應(yīng)該為.

23.等腰三角形的兩邊長分別為7和3,則這個等腰三角形的周長為.圖3-13

24.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30。，它的頂角為.

25.如果等腰三角形的周長為25,一腰上的中線把三角形分成兩個三角形，其周長之差是2,則這個等腰三角

形的底邊長為—.

26.如圖3-14所示，在△ABC中*AB=AC,點D在AC上，且BD=BC=AD,^<AABC中各角的度數(shù).

圖3-14

27.已知:如圖3-15所示,△ABC中,/人?8=90。人口=8口,/人=30。,求證2BDC是等邊三角形.

28.如圖3-16所示，乙4=&B,CE\\DA?CE交AB于E,求證:(CE=CB.

圖3-16

29.如圖3-17所示,AB=AC,^A=40。,,AB的垂直平分線MN交AC于點D,求NDBC的度數(shù).

30.如圖3-18所示,D,E分別是AB,AC的中點,CD,AB于D?BE14C于E,求證:AC=AB.

c

D

圖3-18

拓展資源

31.上午8時，一條船從海島A出發(fā)，以20海里/時的速度向北航行,11時到達海島B處，從A,B望燈塔C,測

得乙NAC=40。,NNBC=80。,如圖3-19所示，求從海島B到燈塔C的距離.

N

圖3-19

32.正三角形給人以“穩(wěn)如泰山”的感覺，它具有獨特的對稱性，請你按要求將圖3-20中的正三角形進行分割.

(1)分割后得到的四個等腰三角形面積相等；

(2)分割成四個全等的等邊三角形；

(3)分割成兩對全等的直角三角形.

圖3-20

33如圖3-21所示，請在由邊長為1的小正三角形組成的虛線網(wǎng)格中，畫出：

(1)一個所有頂點均在格點上的等腰三角形；

(2)一個所有頂點均在格點上，且三條邊為無理數(shù)的等腰三角形.

圖3-21

34.請你仔細觀察圖3-22中等邊三角形圖形的變化規(guī)律，寫出你所發(fā)現(xiàn)的關(guān)于等邊三角形內(nèi)一點到三邊距離的

數(shù)學(xué)事實.

圖3-22

35.小明利用兩塊等邊三角形紙板（（△48c與△DEF）進行拼圖，如圖3-23所示，經(jīng)過探索后，小明說.AD=

BE=CF,,你同意他的說法嗎?說出你的理由.

圖3-23

l.B2.B3.C4.D5.B6.底角，等邊對等角7.50。

8.36?；?0。9.1710.2厘米11.120。12,等邊13.6厘米

14.證明:因為AB=AD（已知）

所以NABD=NADB（等邊對等角）

因為AD〃:BC（已知）所以NADB=NCBD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

所以NABD=NCBD（等量代換）

所以BD平分/ABC.（角平分線定義）

15.45°

16.ABDE是等邊三角形.理由如下：

因為△ABC是等邊三角形

所以/A=NB=/C=60。

因為DE〃AC,

所以ZBED=ZA=60°,ZBDE=ZC=60°

所以/B=/BED=/BDE

所以△BDE是等邊三角形

17.ZB=77°,ZC=38.5°

18證明:因為OC=OD

所以/ODC=NOCD

又因為AB〃DC

所以NODC=NOBA,/OCD=/OAB

所以NOBA=NOAB

所以O(shè)A=OB

19.ZBAC=120°

20.因為AD〃BC

所以NADB=NDBC

又因為BD平分/ABC

所以NDBC=/ABD

所以NADB=NABD

所以AB=AD

21.C22.55°,55°,70°或70°,70°,40°23.17