2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提高講義：二次根式

二次根式

知識(shí)梳理

L二次根式

式子VH(a>0)叫作二次根式.

2.最簡(jiǎn)二次根式

最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿足下列條件：

⑴被開方數(shù)中不含開方開得盡的因數(shù)或因式；

(2)被開方數(shù)中不含分母；

⑶分母中不含根式.

3.同類二次根式

二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類二次根式.

4.二次根式的性質(zhì)

2

(l)(Va)=a(a>0)

(a(a)0)

(2)Va2=|a|=?;0(a=0)

1-a(a<0)

5.二次根式的運(yùn)算

(1)因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號(hào)

外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號(hào)外面，反之也可以將根

號(hào)外面的正因式平方后移到根號(hào)里面.

(2)二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式再合并同類二次根式.

(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，將被開方數(shù)相乘(除),所得的積(商)仍作積(商)的被開方數(shù)并將運(yùn)

算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式.

Vab--Vb(a>0'b>0)

Jl=^(b-0，a)0)

⑷有理數(shù)的加法交換律及結(jié)合律、乘法交換律及結(jié)合律、乘法對(duì)加法的分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適

用于二次根式的運(yùn)算.

典型例題

例1

已知尾=篝目X為偶數(shù)，求(1+久)耳笆的值.

x-6Vx-67xz-l

分析各個(gè)被開方數(shù)均要求NO,且分母M，得到X的范圍是6<XS9又因?yàn)閄為偶數(shù)，則x=8.

解因?yàn)?-x>0,x-6>0

所以6<x<9

又因?yàn)閤為偶數(shù)

所以x=8

所以原式=Jo14)(久+1)=6

例2

當(dāng)x>2,化簡(jiǎn)-2)2-7(1-2x)2

解因?yàn)閤>2

所以原式=|x-2/1-2x|=x-2+1-2x=-1-x

例3

⑴已知y=V2^+而=1+5,求2的值.

(2)若+Vb^l=。，求。2004+/。。4的值.

分析(l)2-x和x-2要同時(shí)滿足K)的條件，只可能為x=2;

(2)若兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加得零，則這兩個(gè)數(shù)分別為零.

解⑴因?yàn)?-x>0,x-2>0

所以x=2廁y=5

所以由4

y5

(2)因?yàn)閂aTT+=0

所以a=-l,b=l

所以a2004+b2004=0

例4

如圖10-1所示，某公園的入口處原設(shè)有3級(jí)臺(tái)階，每級(jí)臺(tái)階高為20厘米，寬為30厘米，但這3級(jí)臺(tái)階給殘

疾人帶來(lái)了諸多的不便，為此，園林工作人員擬將臺(tái)階改成斜坡，原臺(tái)階的起點(diǎn)為A,斜坡的起點(diǎn)為C,且擬定

斜坡的比為1：8,求AC與BC的長(zhǎng).(精確到0.1厘米)

分析如圖10-2所示,所有臺(tái)階高度和為BD的長(zhǎng)，所有臺(tái)階寬度和為AD的長(zhǎng)，即BD=60厘米，AD=60厘

米.然后根據(jù)坡度比解答即可.

解由題可知BD=60厘米,AD=60厘米.

因?yàn)閠anZ_BC4=—=-

CD8

所以DC=480厘米，

所以AC=DC-AD=480-60=420（厘米）.

答:AC的長(zhǎng)度是420厘米.

雙基訓(xùn)練

1.下列式子一定是二次根式的是（）.

A.yJ—x—2B.y[xC.y/x2+2D.ylx2—2

2.若J（3—6）2=3—6,貝!!（）.

A.b>3B.b<3C.b>3D.b<3

3.若廝:I有意義，則m能取的最小整數(shù)值是（）.

A.m=0B.m=lC.m=2D.m=3

4.若x<0,則上足的結(jié)果是（）.

X

A.OB.-2C.O或-2D.2

5.下列二次根式中屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）.

X,V14B.V48C.D.V4a+4

6.如果y[x-Vx-6=-6）,那么（）.

A.x>0B.x>6C.0<x<6D.x為一切實(shí)數(shù)

7.小明的作業(yè)本上有以下四題：

circle1"6a3=4a2;

circle2y[SaxVlOcz=5V2a;

circle3a-=a2--=y/a;

circle4y[3a—yfla=\[a.

做錯(cuò)的題是（）.

A.①B.②C.③D.@

8.化簡(jiǎn)白的結(jié)果為().

\56

A.—B.30V330C.—D.30VT1

3030

9.二次根式￡有意義的條件是__.

V%—3

10.若m<0,則\m\+Vn?+.

11.—1成立的條件是

12.比較大小:2V3_V13.

13.y/2xy?,V12?V27=.

14.計(jì)算aj|+夙一券=一

15.若x=b-3,則g+63+5的值為.

16.求使下列各式有意義的字母的取值范圍：

(3)Vm2+4

17.化簡(jiǎn):

(1)7(-144)x(-169)(2)-|V225

(3)-|V1024x5(4)V18m2n

18.計(jì)算:

(5)475+V45-V8+4V2(6)6-2

19.若代數(shù)式富有意義，則x的取值范圍是什么?

20.若x,y是實(shí)數(shù)，且"77=1+^^+之,求署的值.

能力提升

21.a>0時(shí)比較V^,J(-a)2,一笳的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是().

A.Va2=J(一(￡)2>—Va^B.>^/(―a)2>—4c?

C.Va^<J(—a)2<—Va2D.—Va^>Va^=J(—a)2

22.若最簡(jiǎn)二次根式后口與的被開方數(shù)相同,則a的值為().

34

A.a=——B.a=-C.a=lD,a=-l

43

23化簡(jiǎn)倔-魚(聲+2)得().

A.-2B.>/2-2C.2O,4V2-2

24.把(a-1)R[中根號(hào)外的(a-1)移入根號(hào)內(nèi)，得().

47a—1B.7\—aC.-y]CL—1D.-V1—ct

25.已知4x2+y2—4%—6y+10=0,求f|xV9x+y2信)—(x2—5x乎勺值

26.先化簡(jiǎn)，再求值.

27.若近痂是一個(gè)整數(shù)，則整數(shù)n的最小值是.

28.已知V11-1的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b,試求(VH+a)(b+1)的值.

29.化7a3-4a2b+4ab2?2b)為最簡(jiǎn)二次根式.

30.把下列根式化為最簡(jiǎn)根式：

⑴誓2〉1).

(2)島產(chǎn)+4：*比①也a+2b>0).

拓展資源

31.已知%2—3%+1=0,求lx2+妥—2的值.

32.比較V15-舊與V14-舊的大小.

33.若a+}=4(0<a<1),求Va-3的值.

X+蕓磊+昌次的值?

34.當(dāng)x=l-a時(shí)，求

x2+a2-xy/x2+a2

35.如圖10-3所示.正方形ABFG與正方形BCDE的面積和為7,AD2-CG2=3,求AC與FE的長(zhǎng)度比.

圖10-3

1.C2.D3.B4.D5.A6.B7.D8.C9.x>0Hx#910.-mll.x>l12.<13.4yV%,1814.3〃15.1

16.(l)x>g；⑵a<擊;(3)m為任何實(shí)數(shù);(4)x<0

17.(1)156;(2)—5;(3)—16V5;(4)3|m|V2n

18.(1)羨;(2)*3)-45V3;(4)35)7V5+2V2;((6