2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提高講義：有理數(shù)的運算

有理數(shù)的運算

知識梳理

1.有理數(shù)的四則運算

進行有理數(shù)的運算的時候，主要有如下步驟：①觀察；②定號；③求值.

(1)力口法

定號求值

同號:取與加數(shù)相同的符號絕對值相加

加法

異號:取絕對值較大數(shù)的符號較大的絕對值減去較小的絕對值

⑵減法

全部轉(zhuǎn)化為加法運算.減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù).

⑶乘法

定號求值

同號:取正

乘法絕對值相乘

異號:取負

倒數(shù)：乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù).

(4)除法

部分轉(zhuǎn)化為乘法運算.除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù).

部分簡單可以直接進行除法運算，具體如下：

定號求值

同號:取正

除法絕對值相除

異號:取負

2.有理數(shù)的運算律

(1)加法交換律：(a+b=6+a

(2)加法結(jié)合律:((a+b)+c=a+(b+c)

(3)乘法交換律:ab=ba

(4)乘法結(jié)合律:((ab)c=a(bc)

(5)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac

3.有理數(shù)的乘方運算

負數(shù)的奇次幕為負，偶次幕為正；正數(shù)的任何次幕都為正；注意負數(shù)及分?jǐn)?shù)的幕所添加的括號.

4.有理數(shù)的混合運算

注意運算順序：

⑴先算平方，再算乘除，最后算加減；

(2)同一級運算，從左到右運算；

(3)如果有括號，先做括號內(nèi)的運算，按照小括號、中括號、大括號的順序進行.

5.常用方法與技巧

⑴湊整法；

⑵公式法；

⑶換元法；

(4)裂項法；

(5)改變運算順序.

典型例題

例1

211212

29—1—15—F3—2—14—F0.25

534335

分析在計算有理數(shù)的加減法時，先觀察有沒有相加后為。的數(shù)，若有，先將它們結(jié)合起來相加，然后可以把

相同分母的數(shù)結(jié)合相加；若是帶分?jǐn)?shù)，可以將整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加；若既有分?jǐn)?shù)又有小數(shù)，通常先把小

數(shù)化為分?jǐn)?shù)再計算.

解

原式=(—W+3|—2目+(29|-14|)+(—15[+￡)

=0+(29-14-15)+-^)+(-[+

1

=0+-+0

_1

-5

例2

計算：—2.5+0.75x(-：)x(-+(-1-4)x(一§x|

分析在進行有理數(shù)的乘除運算時，要注意確定結(jié)果的符號：奇數(shù)個負數(shù)相乘，其結(jié)果為負，偶數(shù)個負數(shù)相

乘，其結(jié)果為正.

解

2

原式=_鴻乂X-

Z43

'5417532、

-X-X-X-X-X-X-

、2354753,

1

3

例3

1111

有+而+公+…+1998X2000

分析利用貴=去11人高一嬴)，一般地，當(dāng)n>n1時，急=

1998X2000

解

+-+1

11+--

2V21999

5993001

7996000,

例4

閱讀下列式子的計算過程：

3——2?+-(-3+0.75)X5

解：

原式=3?-22+日一3+引義5…步驟①

3L44J

=31+4+2x5........步驟②

=3|+|.......步驟③

=3—

15

回答下列問題：

(1)步驟①錯在—；

⑵步驟①到步驟②錯在一；

(3)步驟②到步驟③錯在—；

(4)此題的正確結(jié)果是.

分析根據(jù)去括號法則、有理數(shù)的乘方法則和有理數(shù)的運算順序進行解題.

解⑴去括號錯誤；

⑵乘方計算錯誤；

⑶運算順序錯誤；

(4)—4|,

例5

小王上周五在股市以收盤價(收市時的價格)每股25元買進某公司股票1000股,在接下來的一周交易日內(nèi)，小

王記下該股票每日收盤價格相比前一天的漲跌情況如下表(單位：元)：

星期——四五

每股漲跌/元+2-0.5+1.5-1.8+0.8

根據(jù)上表回答問題：

⑴星期二收盤時，該股票每股多少元？

(2)本周內(nèi)該股票收盤時的最高價和最低價分別是多少？

(3)已知買入股票與賣出股票均需支付成交金額的千分之五的交易費.若小王在本周五以收盤價將全部股票賣

出，他的收益情況如何？

分析(1)由題意可知：星期一比上周的星期五漲了2元，星期二比星期一跌了0.5元，則星期二收盤價表示為

25+2-0.5,然后計算；

(2)星期一的股價為25+2=27;星期二為27-0.5=26.5;星期三為26.5+1.5=28:星期四為28-1.8=26.2;星期五為26.2+

0.8=27;則星期三的收盤價為最高價，星期四的收盤價為最低價；

⑶計算上周五以25元買進時的價錢，再計算本周五賣出時的價錢，用賣出時的價錢一買進時的價錢即為小王

的收益.

解⑴星期二收盤價為25+2-0.5=26.5(元/股).

(2)收盤最高價為25+2-0.5+1.5=28(元/股),收盤最低價為25+2-0.5+1.5-1.8=262(元/股).

(3)小王的收益為:27x1OOO(l-5%o)-25x1000(1+5%o)=27000-135-25000-125=1740(元).

所以小王的本次收益為1740元.

雙基訓(xùn)練

1.負實數(shù)a的倒數(shù)是().

11

A.-aB.-C,--D.a

2.下列說法錯誤的是().

A.互為相反數(shù)之和等于0B.互為倒數(shù)之積等于1

C.倒數(shù)等于本身的數(shù)有0,±1D.相反數(shù)是它本身的數(shù)只有0

3.下列結(jié)果運算為負值的是().

C.0x(-2)-J

4.式子Q-^+|)X4X25=(|-^+|)X1OO=50-30+4(中用的運算律是().

A.乘法交換律及乘法結(jié)合律B.乘法交換律及分配律

C.加法結(jié)合律及分配律D.乘法結(jié)合律及分配律

5.下列說法正確的是().

⑴一個數(shù)與它的倒數(shù)之積是1；

⑵一個數(shù)與它的相反數(shù)之商是-1；

(3)兩個數(shù)的商為-1,這兩個數(shù)互為相反數(shù)；

(4)兩個數(shù)的積為1,這兩個數(shù)互為倒數(shù).

A.⑴⑵(3)(4)B.⑴⑵⑶

COX3X4)D.⑵⑶⑷

6.下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的是().

A.-+8I與-(-8)B.+(+5)與+(-5)

C.-42與(-4)2D.-23與(-2)3

7.國家統(tǒng)計局新聞發(fā)言人盛來運于2010年7月15日在國新辦的新聞發(fā)布會上宣布，據(jù)初步測算，上半年國內(nèi)

生產(chǎn)總值是172840億元，比上年同期增長了3.7個百分點.數(shù)據(jù)172840億元用科學(xué)計數(shù)法表示為一億元.

8如圖3-1所示，請按圖中的程序運算：當(dāng)輸入的數(shù)據(jù)為4時，則輸出的數(shù)據(jù)是.

輸入

9.如圖3-2所示，是某種細胞分裂示意圖，這種細胞每過30分鐘便由1個分裂成2個根據(jù)此規(guī)律可得：

(1)這樣的一個細胞經(jīng)過第四個30分鐘后可分裂成一個細胞；

(2)這樣的一個細胞經(jīng)過3小時后可分裂成一個細胞；

(3)這樣的一個細胞經(jīng)過n(n為正整數(shù))小時后可分裂成一個細胞.

10.觀察下列各式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729…你能從中發(fā)現(xiàn)底數(shù)為3的幕的個位

數(shù)有什么規(guī)律嗎?根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答：32。8的個位數(shù)字是—.

11.有一種“二十四點”的游戲，其游戲規(guī)則是這樣的：任取四個1~13之間的自然數(shù)，將這四個數(shù)(每個數(shù)用且

只用一次)進行加減乘除四則運算，使其結(jié)果等于24,例如1,2,3,4,可作如下運算：((1+2+3)X4=24..

(注意上述運算與4x(2+3+1)應(yīng)視作相同方法的運算)現(xiàn)有四個有理數(shù)3,4,-6,10,請運用上述規(guī)則寫出三

種不同方法的運算式，使其結(jié)果等于24,運算式如下:(1)______;(2)_______;(3)_____.

另有四個數(shù)3,-5,7,-13,,可通過運算式⑷使其結(jié)果等于24.

12.計算：

⑴17：-6.25+叼―0.75

⑵針十日一㈠尸―一

F)

⑶G-那-gx(-60)

-ix(

⑸(吟-W+(V)+(-A

(6)-4---xf-1-)—0.75

13把幾個數(shù)用大括號圍起來中間用逗號斷開，如:{1,2,3},{2,7,8,19},我們稱之為集合，其中的數(shù)稱其為集合的元

素.如果一個集合滿足：當(dāng)實數(shù)a是集合的元素時，實數(shù)8—a也必是這個集合的元素，這樣的集合我們稱為好的集

合.

⑴請你判斷集合{1,2},{1,4,7}是不是好的集合；

(2)請你寫出滿足條件的兩個好的集合的例子.

14.結(jié)合具體的數(shù)，通過特例進行歸納后判斷下列說法是否正確.(每題要求舉2個例子).

⑴若a是小于1的正數(shù)，則a大于它的平方；

(2)若a是小于-1的負數(shù)，則a大于它的倒數(shù).

15.數(shù)軸上到原點的距離小于3的整數(shù)的個數(shù)為x,不大于3的正整數(shù)的個數(shù)為y,絕對值等于3的整數(shù)的個數(shù)

為z,求x+y+z的值.

16.一名足球守門員練習(xí)折返跑,從球門線出發(fā)，向前記作正數(shù)，返回記作負數(shù)，他的折返跑記錄如下：+5,3+

10,-8,-6,+12,-10(單位:米).

⑴守門員最后是否回到了球門線的位置？

(2)在練習(xí)過程中，守門員離開球門線最遠距離是多少米？

(3)守門員全部練習(xí)結(jié)束后，他共跑了多少米？

17.某自行車廠一周計劃生產(chǎn)1400輛自行車，平均每天生產(chǎn)200輛.由于各種原因，實際上每天的生產(chǎn)量與計

劃量相比略有出入.其中某周的生產(chǎn)情況見表3-1(增產(chǎn)為正，減產(chǎn)為負):

表3-1

星期——四五7\日

增減+5-2-4+13-10+16-9

(1)根據(jù)表中記錄可知，前三天共生產(chǎn)了一輛自行車；

(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)了一輛自行車；

(3)該廠實行計件工資制，每生產(chǎn)一輛得60元，超額完成則每輛獎15元，少生產(chǎn)一輛則扣15元，那么該廠工

人這一周的工資總額是多少？

18.下面是在博物館里的一段對話.

管理員：先生，這個化石有800002年了.

參觀者：你怎么知道得這么精確？

管理員：兩年前有個考古學(xué)家參觀過這里，他說此化石有80萬年了，現(xiàn)在兩年過去了，所以是800002年.

管理員的推斷對嗎?請你說說理由.

19.閱讀下列材料,解答問題.

飲水問題是關(guān)系到學(xué)生身心健康的重要生活環(huán)節(jié)，東城中學(xué)共有教學(xué)班24個，平均每班有學(xué)生50人，經(jīng)估

算，學(xué)生一年在校時間約為240天（除去各種節(jié)假日），春、夏、秋、冬季各60天.原來，學(xué)生飲水一般都是購純凈

水（其他碳酸飲料或果汁價格更高），純凈水零售價為L5元/瓶，每個學(xué)生春、秋、冬季平均每天買1瓶純凈水，夏

季平均每天要買2瓶純凈水，學(xué)校為了減輕學(xué)生消費負擔(dān)，要求每個班自行購買1臺冷熱飲水機，經(jīng)調(diào)查，購買

一臺功率為500W的冷熱飲水機約為150元，純凈水每桶6元，每班春、秋兩季，平均每1.5天購買4桶，夏季平

均每天購買5桶，冬季平均每天購買1桶，飲水機每天開10小時，當(dāng)?shù)孛裼秒妰r為0.50元/度.

問題：

（1）在未購買飲水機之前，全年平均每個學(xué)生要花費一元錢來購買純凈水飲用；

（2）請計算：在購買飲水機解決學(xué)生飲水問題后，每班全年共要花費多少元？

⑶這項便利學(xué)生的措施實施后，東城中學(xué)一年要為全體學(xué)生共節(jié)約多少元？

20.閱讀下列材料：

為了求1+2+22+23+…+22。11的值，可令

S=1+2+22+23+…+22。11..........①，

貝!12s=2+22+23+…+22。12............②,

式②-①得2S-S=22012-1,即S=22012-1,

所以1+2+22+23+…+22°11=22012,1

仿照以上推理，請計算：1+4+42+43+…+4201】

能力提升

21.如圖3-3所示，是利用短除法求出8,12,18這三個數(shù)的最大公因子的過程利用短除法，還可求出這三個

數(shù)的最小公倍數(shù)為（）,2[8-2-18-9-

A.12B.72

C.216D.432圖3-3

22.已知a,b都是非零數(shù)，則回+丹+怨的值為（）.

abab

A.-1或3B.1C.-1D.±l或±3

23.如果|a+b|=|a|+|b|,那么（）.

A.a,b同號B.a,b為一切有理數(shù)

C.a,b異號D.a,b同號或a,b中至少有一^個為0

24,圖形■/A'c\應(yīng)￡\表示運算a-b+c,圖形表示運算x+n-y-m,則=_（直接寫出答案）.

25.開學(xué)初，小明到某商場購物，發(fā)現(xiàn)商場正在進行購物返券活動，活動規(guī)則如下：購物每滿100元，返購物

券50元，此購物券在本商場通用，且用購物券購買商品不再返券.小明購買了單價分別為60元、80元和120元的

書包、T恤、運動鞋，在使用購物券參與購買的情況下，他的實際花費為一元.

26.計算:

⑴{W+1-9x(+；1)-0.8-5|

9.

(2)(—2>x5+(告xTH(Y)xf|+(T)2°°°

⑶(一￡)+(X+1T

⑷1+(+全+3

27.今年長江某一周內(nèi)的水位變化情況見表3-2,已知這一周前的上周末的水位已達到警戒水位33米(正號表示

水位比前一天上升，負號表示水位比前一天下降).

表3-2

星期——四五六

水位變化/米+0.2+0.8-0.4+0.2+0.3-0.2

(1)本周哪一天長江的水位最高?位于警戒水位之上還是之下？

⑵與上周周末相比，本周周末長江的水位是上升了還是下降了?并通過計算說明理由.

28.杭州市出租車收費標(biāo)準(zhǔn)如下：3千米以內(nèi)(含3千米)收費10元，超過3千米的部分每千米收費2元.超過起

步里程10千米以上的部分加收50%,即每千米3元(不足1千米以1千米計算).

(1)小明有一次乘坐出租車行駛了4.1千米，他應(yīng)付車費多少元？

(2)若小明乘坐出租車行駛14.9千米，問應(yīng)付車費多少元？

(3)小明家距離學(xué)校13.1千米，小明身邊帶了31元錢，則小明從學(xué)校坐出租車到家的錢夠嗎?如果夠，還剩多

少錢?如果不夠，他至少要先走多少千米路?

29.某單位需以“掛號信”或“特快專遞”方式向五所學(xué)校各寄一封信.這五封信的質(zhì)量分別是72g,90g,215g,34

0g,400g根據(jù)這五所學(xué)校的地址及信件的質(zhì)量范圍，在郵局查得相關(guān)郵費標(biāo)準(zhǔn)見表3-3：

表3-3

業(yè)務(wù)種類計費單位資費標(biāo)準(zhǔn)/元掛號費/（元/封）特制信封/（元/個）

首重100g,每重20g0.8

掛號信30.5

續(xù)重101~2000g,每重100g2.00

特快專遞首重1000g內(nèi)5.0031.0

⑴質(zhì)量為90g的信若以“掛號信”方式寄出，郵寄費為多少元?若以“特快專遞”方式寄出呢?

⑵這五封信分別以怎樣的方式寄出最合算?請說明理由.

（3）通過解答上述問題，你有何啟示？

信函資費常識

?掛號信：

首重、續(xù)垂計費方法：

如：信的質(zhì)盤為260g,則其中100g

為“首重”，每20g按0.8元計費（不足

20g按20g計費）;其余160g為“續(xù)重”.

每100g按2元計費.160g超過100g,但不足

200g.按200g計費.

郵寄費（每封）=首重資費+續(xù)重

資費+掛號費+特制信封費

?特快專遞：

如：首垂不超過1000g,則

郵寄費（每封）=首重資費（5元）

+掛號費（3元）+特制信封費（1元）/

30.商場為了促銷，推出兩種促銷方式：

方式①：所有商品打7.5折銷售；

方式②：一次購物滿200元送60元現(xiàn)金.

（1）楊老師要購買標(biāo)價為628元和788元的商品各一件，現(xiàn)有四種購買方案：

方案一：628元和788元的商品均按促銷方式①購買；

方案二：628元的商品按促銷方式①購買，788元的商品按促銷方式②購買；

方案三：628元的商品按促銷方式②購買，788元的商品按促銷方式①購買；

方案四：628元和788元的商品均按促銷方式②購買.

你給楊老師提出的最合理購買方案是.

⑵通過計算表3-4中標(biāo)價在600~800元之間商品的付款金額，你總結(jié)出商品的購買規(guī)律是.

表3-4

商品標(biāo)價/元

628638648768778788

付款金額/元

方式①

方式②

拓展資源

31.計算:

(1)(-+i+-+—)(1+^+-?-+—)-(1+-+P+i+?--+—')

'/12319997\21998/\219997\231998/

________24690________

I'123462-12345x12347

32.先閱讀下列材料，然后解答問題：

從A,B,C三張卡片中選兩張，有三種不同選法，抽象成數(shù)學(xué)問題就是從3個元素中選取2個元素組合，記

作廢=詈=3.一般地，從m個元素中選取n個元素組合，記作：編=邛喑M翳?例如，從7個元素中選5

個元素，共有。=篝籌|=21種不同的選法?

問題：從某學(xué)習(xí)小組10人中選取3人參加活動，不同的選法共有一種.

33.問題你能比較:20022°03與20032。。2這兩個數(shù)的大小嗎？

為了解決這個問題，我們先把它抽象成這樣的問題：寫成它的一般形式，即比較臚+1和(n+1)”的大小(n是自然

數(shù)).然后，我們從分析n=l,n=2,n=3,…這些簡單情形入手，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，才想出結(jié)論.

(1)通過計算，比較下列各組中兩個數(shù)的大小(在空格中填

①口_21;②23_32;③34_43;@4s_54;⑤56_6567_76.

(2)從第(1)題的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想出M+i和(n+1)”的大小關(guān)系.

⑶根據(jù)上面歸納猜想得到的一般結(jié)論，試比較下列兩個數(shù)的大?。?OO22003>2OO32002.

34.已知:

2|x—3|3+F|20072007oos—21_|_】+

|x—11+(x2—2)+3(x4—4)H-----X—2007|+(x22008)QQ8=Q

'%1%2X2X3

—+_--的值.

%3%4X2007X2008

35.若a,b互為相反數(shù),b,c互為倒數(shù)，并且m的立方等于它本身.

(1)試求空手+ac值；

m+2

(2)若a>l,且m<OfS=\2a-3b\-2\b-m\-\b+試求4(2a-S)+2(2a-S)-(2a-S)的值

⑶若m9，試討論:x為有理數(shù)時,|x+mHx-m|是否存在最大值,若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.

第三講

1.B2.C3.D4.D5.C6.D7.1.7284X1058.2.5

9.(1)16;(2)64;(3)2270.1

11.(1)10-4-3x(-6)=24;

(2)4-10x(-6)^3=24;

(3)3x[10+4+(-6)]=24;

(4)[(-5)X(-13)+7]4-3=24.

12.⑴1吟⑵9；⑶-7;(4)一亮;⑸一⑹一

13.⑴集合｛1,2｝不是好的集合，因為8-1=7,而7不是集合｛1,2｝中的數(shù)；

｛L4,7｝是好的集合，因為8-1=7,7是集合｛1,4,7｝中的數(shù),8-4=4,4是集合｛1,4,7｝中的數(shù),8-7=1』是集合｛1,4,7｝中的

數(shù).

(2)答案不唯一.集合｛4｝,｛3,4,5｝,｛2,6｝等都是好的集合.

14.(1)正確.假設(shè)a為0.5,則它的平方是0.25,0.5>0.25假設(shè)a為0.6,則它的平方是0.36,0.6>0.36.所以⑴是正確

的.

(2)錯誤.假設(shè)a是2則它的倒數(shù)為-。.5,-0.5>-2假設(shè)2是-10,則它的倒數(shù)為-0.1,-0.1>-10.所以出的是錯誤的.

15.因為到原點的距離小于3的整數(shù)為0,±1,±2,所以x=5,

因為不大于3的正整數(shù)為1,2,3,所以y=3,

因為絕對值等于3的整數(shù)為3,-3,所以z=2,

所以x+y+z=10.

16.(1)守門員最后回到了球門線的位置;⑵12米;⑶54米.

17.(1)599;(2)26;(3)84675元.

18.管理員的推斷不對，兩年前考古學(xué)家所說的80萬年是近似數(shù)，因此不能直接加2.

19.(1)450;(2)4830元;(3)424080元.

20.設(shè)S=1+4+42+43++42011circZel?!Jll]4S=4+42+43+...+42°設(shè)②，②-①得,3s=42012-1,所以S=

42012_I

3,

21.B22.A23.D24.025.210或200

26.(1)-1;(2)-41.4;(3)-^g;(4).

27.⑴本周水位最高的為周五，周一:+0.2米周二:+0.2+0.8=+1米，

周三:+1-0.4=+0.6米，周四+0.6+0.2=+0.8米，周五:+0.8+0.3=1.1米,故本周五水位高于警戒水位1.1米；

(2)上升了.+0.2+0.8-0.4+0.2+0.3-0.2=0.9米，與上周周末相比，本周周末長江的水位是上升了0.9米.

28.(1)14元;⑵39元;⑶不夠，至少要走1.1千米路.

29.(1)以“掛號信”方式寄出，郵寄費為7.5元；

以“特快專遞”方式寄出，郵寄費為9元.

(2)因為這五封信的質(zhì)量均小于1000克，

所以若以“特快專遞”方式寄出,郵寄費為5+3+1=9元.

由(1)得知，質(zhì)量為90克的信以“掛號信”方式寄出，費用為7.5元小于9元；

因為72克＜90克，所以質(zhì)量為72克的信以掛號信”方式寄出小于9元；

若質(zhì)量為215克的信以掛號信方式寄出，則郵寄費為5x0.8+2x2+3+0.5=11.5元＞9元.

因為400克＞340克＞215克，

所以質(zhì)量為400克，340克的信以“掛號信”方式寄出，費用均超過9元.

因此，將這五封信的前兩封以“掛號信”方式寄出，后三封以“特快專遞”方式寄出最合算.

(3)略，言之有理即可.

30.(1)方案三；

(2)計算結(jié)果見答表3-1.購買規(guī)律：商品標(biāo)價接近600元的按促銷方式②購買,商品標(biāo)價接近800元的按促銷

方式①購買.或商品標(biāo)價大于600元且小于720元按促銷方式②購買，商品標(biāo)價大于720元且小于800元按促