數(shù)學(xué)-湖南省長沙市雅禮實驗中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期收心檢測數(shù)學(xué)（原卷+解析）

第1頁/共28頁2024年上學(xué)期雅禮實驗中學(xué)高二年級收心檢測數(shù)學(xué)科目試題卷1.拋物線的焦點坐標(biāo)為()B.D.2.若{an}是等差數(shù)列，Sn表示{an}的前n項和，a3+a8>0,A.S4B.S5C.S6D.S73.將編號為1，2，3，4，5的小球放入編號為1，2，3，4，5的小盒中，每個小盒放一個小球．則恰有2個小球與所在盒子編號相同的概率為()A.B.C.D.4.已知向量=(3,3),=(x,-2)，則“x<2”是“與的夾角為鈍角”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件B.C.第2頁/共28頁7.在等比數(shù)列{an}中，a1+ax=82，a3ax-2=81，且前x項和Sx=121，則此數(shù)列的項數(shù)x等于A.4B.5C.6D.兩點，線段AB的中垂線交x軸于點D.若AB≥·3DF，則雙曲線的離心率取值范圍是()B.9.設(shè)z1,z2,z3為復(fù)數(shù)，下列命題正確的是()A.z1.z2=z1.z222B.z1=z122C.若z12-z2為純虛數(shù)A.若使f(x1)-f(x2)=2成立的x1-x2min=π,則①=2B.若f(x)的圖像向左平移個單位長度后得到的圖像關(guān)于y軸對稱，則①min=1C.若f(x)在[0,2π]上恰有6個極值點，則①的取值范圍為D.存在①,使得f在上單調(diào)遞減11.已知函數(shù)f(x)=(ex+a)x，g(x)=(x+a)lnx，則下列說法正確的是()第3頁/共28頁A.若函數(shù)y=f(x)存在兩個極值，則實數(shù)a的取值范圍為B.當(dāng)a=1時，函數(shù)y=g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增C.當(dāng)a=1時，若存在x≥1，使不等式f(mx)≥f((x2+x)lnx)成立，則實數(shù)m的最小值為0.lnt的最小值為2213.第19屆亞運會在杭州舉行，為了弘揚(yáng)“奉獻(xiàn)，友愛，互助，進(jìn)步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個場館A,B,C開展志愿服務(wù)工作.若要求每個場館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場館A時，場館B僅有2名志愿者的情況有種.14.已知橢圓為C的左、右焦點，P為C上的一個動點（異于左右頂點設(shè)△F1PF2的外接圓面積為S1，內(nèi)切圓面積為S2，則S1+2S2的最小值為.15.已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+a(a∈R).（1）若函數(shù)f(x)在x=1處的切線與直線2x-y+1=0垂直，求實數(shù)a的值.（2）若函數(shù)f(x)存在兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍.（1）求數(shù)列{an}的通項公式設(shè)bn=求數(shù)列{bn}的前n項和Sn17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，AD丄DC，PA=PD=PB，BC=DC=AD=2，E為AD的中點，且PE=4．記PE的中點為N，若M在線段BC上（異于B、第4頁/共28頁（1）若點M是BC中點，證明：MN//面PAB；（2）若直線MN與平面PAB所成角的正弦值為求線段BM的長.18.如圖，D為圓O：x2+y2=1上一動點，過點D分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，連接BAWA并延長至點W，使得WA（1）求曲線C的方程；（2）若過點K(-2,0)的兩條直線l1，l2分別交曲線C于M，N兩點，且l1丄l2，求證：直線MN過定點；（3）若曲線C交y軸正半軸于點S，直線x=x0與曲線C交于不同的兩點G，H，直線SH，SG分別交x軸于P，Q兩點．請?zhí)骄浚簓軸上是否存在點R，使得上ORP+上ORQ=若存在，求出點R坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.19.若函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義，且對于任意不同的x1,x2∈[a,b]，都有f(x1)-f(x2)<kx1-x2,則稱f(x)為[a,b]上的“k類函數(shù)”.若f+x，判斷f是否為[1,2]上的“3類函數(shù)”；若f-xlnx為上的“2類函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若f(x)為[1,2]上的“2類函數(shù)”，且f(1)=f(2)，證明：x1，x2∈[1,2]，f(x1)-f(x2)<1.第5頁/共28頁2024年上學(xué)期雅禮實驗中學(xué)高二年級收心檢測數(shù)學(xué)科目試題卷1.拋物線的焦點坐標(biāo)為()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到焦點坐標(biāo).可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=2y，:其焦點坐標(biāo)為故選：D.2.若{an}是等差數(shù)列，Sn表示{an}的前n項和，a3+a8>0,S9<0，則{Sn}中最小的項是()A.S4B.S5C.S6D.S7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式可得a5<0，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷處a6的符號，即可得出答案.所以公差d=a6-a5>0，第6頁/共28頁所以當(dāng)n=5時，Sn取得最小值，{Sn}中最小的項是S5.故選：B.3.將編號為1，2，3，4，5的小球放入編號為1，2，3，4，5的小盒中，每個小盒放一個小球．則恰有2個小球與所在盒子編號相同的概率為()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出任意放球共有A=120種方法，再求出恰有一個小球與所在盒子編號相同的方法總數(shù)，最后利用古典概型的概率公式求解.【詳解】由題得任意放球共有A=120種方法，如果有2個小球與所在的盒子的編號相同，第一步：先從5個小球里選2個編號與所在的盒子相同，有C=10種選法；第二步：不妨設(shè)選的是1、2號球，則再對后面的3，4，5進(jìn)行排列，且3個小球的編號與盒子的編號都不所以有2個小球與所在的盒子的編號相同，共有10×2=20種方法.由古典概型的概率公式得恰有2個小球與所在盒子編號相同的概率為，故選:BA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】條件的定義判斷..第7頁/共28頁所以由與的夾角為鈍角可得3x-6<0解得x<2，且x≠-2.因此，當(dāng)x<2時，與的夾角不一定為鈍角，則充分性不成立；當(dāng)與的夾角為鈍角時，x<2，且x≠-2，即x<2成立，則必要性成立.綜上所述，“x<2”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定△ABC的形狀，再利用投影向量的意義求解作答所以△ABC為等腰三角形，且AB=AC，所以△ABC為等邊三角形，第8頁/共28頁故選：B.【答案】A【解析】臨界條件，兩條過半圓的兩個端點，兩條是半圓的切線，求出其斜率后可得結(jié)論.【詳解】直線y=m(x-1)+2過定點P(1,2)，可化為：x2+y2=4，(y≥0)，畫出直線與曲線圖象如圖所示：數(shù)形結(jié)合可得直線l在l1，l2，l3，l4處產(chǎn)生臨界條件，設(shè)直線l1，l2，l3，l4的斜率分別為k1則k2=0，=-2，設(shè)直線l4的方程為y-2=k4(x-1)，圓心(0,0)到直線l4的距離為=2，解得k4=0或-，第9頁/共28頁故選：A.7.在等比數(shù)列{an}中，a1+ax=82，a3ax-2=81，且前x項和Sx=121，則此數(shù)列的項數(shù)x等于()A.4B.5C.6D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)已知條件求出a1、ax的值，可利用公式求出q的值，再利用等比數(shù)列的通項公式可求得x的值.【詳解】由已知條件可得x=81，解得1或設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：已知a1、an、Sn求等比數(shù)列{an}的基本量，利用公式計算較為方便，但需要注意分q=1和q≠1兩種情況討論.第10頁/共28頁 兩點，線段AB的中垂線交x軸于點D.若AB≥·3DF，則雙曲線的離心率取值范圍是()B.D【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意利用韋達(dá)定理求AB以及線段AB的中垂線的方程，進(jìn)而可求點D和DF，結(jié)合AB≥·3DF運算求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為F(c,0),A(x1,y1),B(x2,y2)，則直線l:y=k(x-c)，聯(lián)立方程，消去y得：x2+2a2k2cx-a2則可得b2-a2k2≠0,Δ>0,x1+x2=-,x1x2=--，設(shè)線段AB的中點，則x0=,y0=k，且k≠0，線段AB的中垂線的斜率為-，則線段AB的中垂線所在直線方程為(k2c3)即D|(-b2-a2k2,0,，則(k2c3) k2c3=-b2-a2k2-c=b2c1+k2)b2-a2k2第11頁/共28頁由題意可得：AB≥DF，即注意到雙曲線的離心率e>1，∴雙曲線的離心率取值范圍是.故選：A.【點睛】方法定睛：雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值（或范圍）.A.9.設(shè)z1,z2,z3為復(fù)數(shù)，下列命題正確的是()A.z.z=1z1.2z2B.z1B.z1=z1C.若z12-z2為純虛數(shù)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模計算，錯誤命題取特值舉出反例即可.2∴z1.z2=z1.z2,故A正確；第12頁/共28頁2:z1-z2=0為實數(shù)，故C錯誤； ，:z2=z3，222222:z2=z3，:z1z2=z1z3，:iz1z2i=iz1z3i，又z1≠0，:=，故D正確故選：AD.A.若使f(x1)-f(x2)=2成立的x1-x2min=π,則①=2B.若f(x)的圖像向左平移個單位長度后得到的圖像關(guān)于y軸對稱，則①min=1C.若f(x)在[0,2π]上恰有6個極值點，則①的取值范圍為【答案】BC【解析】【分析】利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】對于A，若f(x1)-f(x2)=2，則x1-x2min==×=π,對于B，將f(x)的圖像向左平移個單位長度后得到第13頁/共28頁若f(x)在[0,2π]上恰有6個極值點，因為，所以f在上不可能單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：BC.x11.已知函數(shù)f(x)=(e+a)x，g(x)xA.若函數(shù)y=f(x)存在兩個極值，則實數(shù)a的取值范圍為C.當(dāng)a=1時，若存在x≥1，使不等式f(mx)≥f((x2+x)lnx)成立，則實數(shù)m的最小值為0【答案】BC【解析】【分析】對A選項：由極值點的性質(zhì)結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可得；對B選項：結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可得；對C選項：結(jié)合f(x)單調(diào)性，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)x≥1時，有m≥(x+1)lnx成立，求出(x+1)lnx最小值即可得；對D選項：采用同構(gòu)法可確定x2=ex1，再將多變量化為單變量后結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可得.若函數(shù)y=f(x)存在兩個極值，則函數(shù)f,(x)必有兩個變號零點，第14頁/共28頁故h(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增，在(-2,+∞)上單調(diào)遞減，故當(dāng)，函數(shù)f,有兩個變號零點，即若函數(shù)y=f(x)存在兩個極值，則實數(shù)a的取值范圍為(|(0,),，故A錯誤；故B正確；(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,+∞)上單調(diào)遞增，故f,(x)≥f,(-2)=-e-2+1=1->0，故f(x)在R上單調(diào)遞增，則存在x≥1，使不等式f(mx)≥f((x2+x)lnx)成立，第15頁/共28頁對D選項：當(dāng)a=1時，由B、C可知，f(x)、g(x)均為定義域上的增函數(shù)，，x2ex1+12ex1+12ex1+1故p(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)故n(x)無最小值，即x1(x2+1).lnt無最小值，故D錯誤.故選：BC.【點睛】思路點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的綜合應(yīng)用問題，其中D選項中涉及到多變量問題的求解，求解此類問題的基本思路是根據(jù)已知中的等量關(guān)系，將多變量轉(zhuǎn)化為單變量的問題，從而將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題的求解.x-12x-12【解析】第16頁/共28頁【分析】解出集合后再求交集即可.13.第19屆亞運會在杭州舉行，為了弘揚(yáng)“奉獻(xiàn)，友愛，互助，進(jìn)步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個場館A,B,C開展志愿服務(wù)工作.若要求每個場館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場館A時，場館B僅有2名志愿者的情況有種.【答案】42【解析】【分析】分甲去場館B和場館C討論即可.【詳解】甲不去場館A，分兩種情況討論，情形一，甲去場館B，場館B有兩名志愿者共有CCA=24種；情形二，甲去場館C，場館B場館C均有兩人共有CC=12種，場館B場館A均有兩人共有C=6種，所以甲不去場館A時，場館B僅有2名志愿者的情況共有24+12+6=42.故答案為：42.14.已知橢圓,F2為C的左、右焦點，P為C上的一個動點（異于左右頂點設(shè)△F1PF2的外接圓面積為S1，內(nèi)切圓面積為S2，則S1+2S2的最小值為.【答案】2π【解析】【分析】當(dāng)P為短軸端點時，上F1PF2=θ最大，進(jìn)而求出θ的范圍，由正弦定理得外接圓的半徑再利用余弦定理和三角形面積公式化簡得到△F1PF2的面積S=3tan由三角形內(nèi)切圓的半徑公式可得△F2=π利用基本不等式求出最值即第17頁/共28頁可.=θ,當(dāng)P為短軸端點時，θ最大，此時△F1PF2為等邊三角形，所以0<θ≤,整理可得，所以,第18頁/共28頁【點睛】結(jié)論點睛：本題主要考查橢圓焦點三角形的面積以及內(nèi)切圓和外接圓的半徑問題，常用以下結(jié)論：(1)橢圓焦點三角形的周長l=2a+2c；(2)橢圓焦點三角形的面積S=b2tan；(3)三角形外接圓的半徑公式=2R；(4)三角形內(nèi)切圓的半徑公式：r=(其中S為三角形面積，l為周長)15.已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+a(a∈R).（1）若函數(shù)f(x)在x=1處的切線與直線2x-y+1=0垂直，求實數(shù)a的值.（2）若函數(shù)f(x)存在兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)a的取值范圍；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f,(x)=lnx+1-2ax，函數(shù)有兩個極值點，轉(zhuǎn)化為f,(x)=0有兩個零點，設(shè)g(x)=f,(x)=lnx+1-2ax，則g,(x)=-2a，討論a≤0和a>0兩種情況下函數(shù)的單調(diào)性，分析函數(shù)的零點，求參數(shù)a的取值范圍.f,(1)=1-2a，（2）f,(x)=lnx+1-2ax，由題設(shè)可知f,(x)=0有兩個不同的零點，且f,(x)在零點的附近f,(x)的符號發(fā)生變化.令=lnx+1-2ax，則g,-2a，第19頁/共28頁若a≤0，則g,(x)>0，則g(x)為(0,+∞)上為增函數(shù)，g(x)在(0,+∞)上至多有一個零點.1當(dāng)a>0時，若0<x<2a，則g,(x)>0，故g(x)在|(0,2a,1又且g<0，故g在(|(0,),上存在一個零點；下證當(dāng)t>2時，總有2lnt<t.令=2lnt-t，則h, 故當(dāng)x>4時，有g(shù)(x)<x+1-2ax，故<0，故在上，存在實數(shù)x，使得g(x)<0，由零點存在定理及g(x)的單調(diào)性可知可得在上存在一個零點.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是(|(0,),.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，重點考查邏輯推理能力，分類討論的思想，函數(shù)與方程思想，屬于中檔題型.第20頁/共28頁（1）求數(shù)列{an}的通項公式.（2）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn【答案】（1）an=2n-1【解析】兩式相減即可求解.代入an=2n-1可得bn=n-1，運用錯位相減法即可求解.【小問1詳解】依題意，所以an=2n-1，1也適合上式，綜上，an=2n-1.【小問2詳解】所以第21頁/共28頁兩式相減，整理得：·所以.17.如圖，在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，AD丄DC，PA=PD=PB，BC=DC=AD=2，E為AD的中點，且PE=4．記PE的中點為N，若M在線段BC上（異于B、（1）若點M是BC中點，證明：MN//面PAB；（2）若直線MN與平面PAB所成角的正弦值為求線段BM的長.【答案】（1）證明見解析【解析】再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；EA、EB所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可得出關(guān)于a的等式，結(jié)合0<a<2可求得a的值，即可得解.【小問1詳解】證明：取線段PA的中點G，連接NG、BG，因為AD//BC，BC=AD，E為AD的中點，則BC//AE且BC=AE，因為M為BC的中點，則BM//AE且BM=，第22頁/共28頁因為N、G分別為PE、PA的中點，所以，NG/E且NG=.所以，BM//NG且BM=NG，所以，四邊形BGNM為平行四邊形，則MN//BG，因為MN丈平面PAB，BG平面PAB，所以，MN//平面PAB.【小問2詳解】解：連接BE，因為AD//BC，BC=AD，E為AD的中點，則BC//DE且BC=DE=AE，所以，四邊形BCDE為平行四邊形，所以，BE//CD，且BE=CD，因為AD=AE，則AE=BE，因為PA=PD，E為AD的中點，則PE丄AD，又因為AD∩BE=E，AD、BE平面ABCD，所以，PE丄平面ABCD，以點E為坐標(biāo)原點，EA、EB所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，)，則M(a,2,0)，(x,y,z)，2,2)，若直線MN與平面PAB所成角的正弦值為，第23頁/共28頁18.如圖，D為圓O：x2+y2=1上一動點，過點D分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，連接BAWA并延長至點W，使得WA（1）求曲線C的方程；（2）若過點K(一2,0)的兩條直線l1，l2分別交曲線C于M，N兩點，且l1丄l2，求證：直線MN過定點；（3）若曲線C交y軸正半軸于點S，直線x=x0與曲線C交于不同的兩點G，H，直線SH，SG分別交x軸于P，Q兩點．請?zhí)骄浚簓軸上是否存在點R，使得上ORP+上ORQ=若存在，求出點R坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)W(x,y)，求得D點并代入x2+y2=1，化簡求得曲線C