易錯(cuò)模型02 相似模型（十大易錯(cuò)分析+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）

易錯(cuò)模型02相似模型易錯(cuò)集合易錯(cuò)模型一：A字型相似模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】①如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，DE//BC，則△ADE∽△ABC，ADAB②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?ADAC【易錯(cuò)點(diǎn)】善于尋找A字型的相似；舉一反三【例1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，P為?ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)，△PEF，△PDC，△PAB的面積分別為S，S1，S2．若S=3，則S1

A．24 B．12 C．6 D．10練習(xí)1．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，連接CD，AE交于點(diǎn)F，若練習(xí)2．（2023秋·上海長(zhǎng)寧·九年級(jí)上海市第三女子初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交邊BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作CA的平行線(xiàn)，交邊AB于點(diǎn)E．(1)求線(xiàn)段DE的長(zhǎng)；(2)取線(xiàn)段AD的中點(diǎn)M，連接BM，交線(xiàn)段DE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)線(xiàn)段BM交邊AC于點(diǎn)G，求EFDF練習(xí)3．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）王華同學(xué)在晚上由路燈AC走向路燈BD，當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部，當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部．已知王華同學(xué)的身高是1.6m，兩個(gè)路燈的高度都是9.6m．(1)求兩個(gè)路燈之間的距離；(2)當(dāng)王華同學(xué)走到路燈BD處時(shí)，他在路燈AC下的影子長(zhǎng)是多少？易錯(cuò)題通關(guān)1．直線(xiàn)l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點(diǎn)A，B，C恰好分別落在三條直線(xiàn)上，AC與直線(xiàn)l2交于點(diǎn)D，則線(xiàn)段BD的長(zhǎng)度為A．253 B．203 C．2542．如圖已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC邊上的高是3，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是．3．如圖，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB為直徑的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．連接BC，PB：PC＝1：2．（1）求證：PE是⊙O的切線(xiàn)；（2）已知⊙O的半徑為52，求AP4．如圖，△ABC中，中線(xiàn)AD，交于點(diǎn)F，EG//BC交AD于點(diǎn)G（1）求AGGF（2）如果BD=43，，請(qǐng)找出與△BDA易錯(cuò)模型二：8字型相似模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?ABCD②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?ABCD③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．舉一反三【例1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，，連接BE交AC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則BGGF的值為（）A． B．12 C． D．34練習(xí)1．（2021秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，且CE=2BE，點(diǎn)F為對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，且BF=2DF，連接AE交BD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AE于點(diǎn)，若HG=2cm，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為cm．練習(xí)2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）正方形ABCD中，AB=2，點(diǎn)E是對(duì)角線(xiàn)BD上的一動(dòng)點(diǎn)，∠DAE=αα≠45°.將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線(xiàn)交射線(xiàn)DC于點(diǎn)G(1)當(dāng)0°<α<45°時(shí)，求的度數(shù)(用含α的式子表示)；(2)點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試探究的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值.若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若BF=FG，求α的值．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，CD與AE交于點(diǎn)O，則OD的長(zhǎng)是(

)

A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.42．如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，CF交BE于點(diǎn)G，若BE=8，則GE=．3．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，連接AE，若AE的延長(zhǎng)線(xiàn)和BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F．（1）求證：BC=CF；（2）連接AC和相交于點(diǎn)為G，若△GEC的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積．4．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線(xiàn)AC上，AC=12，過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)分別交AD，BC于點(diǎn)M，N．（1）當(dāng)MN⊥BC時(shí)，MN的長(zhǎng)為_(kāi)_______，________；（2）已知．①若MN=9，求此時(shí)AM的長(zhǎng)；②當(dāng)E，F(xiàn)為AC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形的邊上時(shí)，是否存在滿(mǎn)足PE+EF=9的情況？如果存在，請(qǐng)通過(guò)分析指出這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；如果不存在，說(shuō)明理由．易錯(cuò)模型三：AX型相似模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過(guò)線(xiàn)段比進(jìn)行轉(zhuǎn)化.舉一反三【例1】（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（）A．12 B． C． D．34練習(xí)1、（2022·河北石家莊·九年級(jí)期末）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°（如圖）．以線(xiàn)段AB為邊向外作等邊三角形，點(diǎn)E是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交線(xiàn)段AD于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形BCFD為平行四邊形；（2）連接CD，交AB于點(diǎn)M．①若AB=6，求BM的長(zhǎng)；②作，垂足為N，求證：1BC+練習(xí)2、（2022·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級(jí)期中）已知，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在直線(xiàn)AD上截取AF=2FD，連接EF，EF交AC于G，則AGAC=練習(xí)3、（2022·湖南株洲·九年級(jí)期末）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線(xiàn)段AD為其內(nèi)角角平分線(xiàn)，過(guò)D點(diǎn)的直線(xiàn)B1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于B1．（1）請(qǐng)你探究：ACAB=CD（2）請(qǐng)你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線(xiàn)段AD為其內(nèi)角角平分線(xiàn)，請(qǐng)問(wèn)ACAB（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝323，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，試求DF易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，，連接BE交AC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則BGGF的值為（）A． B．12 C． D．342．如圖，在矩形ABCD中，E,F分別為邊AB，AD的中點(diǎn)，與，ED分別交于點(diǎn)M，N．已知AB=4，BC=6，則MN的長(zhǎng)為．3．△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，且有AF=CF，過(guò)F點(diǎn)作于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）求證：AE=（3）若FH=3，求4．如圖，E為平行四邊形ABCD的邊CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接．交AC于O，交AD于F．求證：BO易錯(cuò)模型四：母子型相似模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)∠AED=∠B時(shí)，△ABC∽△AED，則有AEAB=AD如圖所示，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，為其常見(jiàn)的一個(gè)變形，即子母型．當(dāng)∠ACD=∠B時(shí)，△ABC∽△ACD，則有ACAB舉一反三【例1】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在等邊△OAB中，AB=6，點(diǎn)D是以O(shè)為圓心，半徑為3的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，C為BD上一點(diǎn)，DC=2CB，連接AC，則線(xiàn)段AC的最大值與最小值之積為（

）A．27 B．26 C．25 D．24練習(xí)1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且，若AC=3，AD=1，則DB的長(zhǎng)為．練習(xí)2．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿(mǎn)足∠1=∠2，則稱(chēng)點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“(1)如圖①，若點(diǎn)D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，AC=22，AB=4，試判斷點(diǎn)D是不是△ABC的“理想點(diǎn)(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，求CD易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，在等邊△OAB中，AB=6，點(diǎn)D是以O(shè)為圓心，半徑為3的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，C為BD上一點(diǎn)，DC=2CB，連接AC，則線(xiàn)段AC的最大值與最小值之積為（

）A．27 B．26 C．25 D．242．如圖，在ΔABC中，AB=AC=4，BC=43，點(diǎn)D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C除外），將線(xiàn)段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連接CE，則ΔCDE3．已知四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E．（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，求證：ED?EA=EC?EB；（2）如圖2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面積為6，求四邊形ABCD的面積．4．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上，且，AE和交于點(diǎn)G．

（1）如圖，求證：①AE=BF②AE（2）連接并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)，①若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)（如圖），求BH的長(zhǎng)．

②若點(diǎn)E在BC邊上滑動(dòng)（不與點(diǎn)B,C重合），當(dāng)取得最小值時(shí)，求的長(zhǎng)．易錯(cuò)模型五：三角形內(nèi)接矩形相似模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來(lái)的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，GF舉一反三【例1】（2022秋·山東日照·九年級(jí)日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)E在AC上，EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥BC，已知△AFE的面積為a，△EGC的面積為b，則矩形BFEG的面積為（）A．a(chǎn)+b B．a(chǎn)b C． D．2ab練習(xí)1．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·九年級(jí)校考期中）如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．

（1）若四邊形DEFG為△ABC的內(nèi)接正方形，則正方形DEFG的邊長(zhǎng)DE為；（2）若四邊形DEFG為△ABC的內(nèi)接矩形，當(dāng)這個(gè)矩形面積最大時(shí)，則矩形DEFG的邊長(zhǎng)DE為．練習(xí)2．（2022秋·湖北宜昌·九年級(jí)校考期中）如圖，在△ABC中，BC=20，高AD=10．矩形的一邊QP在BC邊上，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．

(1)若矩形為正方形，求該正方形的邊長(zhǎng)．(2)設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形的面積最大？并求其最大值．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點(diǎn)P處與地面的距離為1.6米，車(chē)頭FACD近似看成一個(gè)矩形，且滿(mǎn)足3FD=2FA，若盲區(qū)的長(zhǎng)度是6米，則車(chē)寬FA的長(zhǎng)度為（）米．A．117 B．127 C．1372．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE⊥DE，點(diǎn)F為AE延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，滿(mǎn)足EF=AE，連接DF交BC于點(diǎn)G，若AB=6，BE=3，則GC=．3．如圖，矩形EFGD的邊EF在△ABC的BC邊上，頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上、已知AB=AC=5，BC=6，設(shè)BE=x，(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；(2)連接EG，當(dāng)△GEC為等腰三角形時(shí)，求y4．在銳角△ABC中，，矩形MPQN的兩個(gè)頂點(diǎn)M，N分別在AB,AC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)P,Q均在BC上，高AD交MN于點(diǎn)E，設(shè)MN的長(zhǎng)為x，矩形MPQN的面積為y．(1)求AD的長(zhǎng)，并用含x的式子表示線(xiàn)段AE的長(zhǎng)；(2)請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)試求y的最大值．易錯(cuò)模型六：射影定理相似模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】①如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見(jiàn)的結(jié)論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、長(zhǎng)方形中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)射影定理模型，如圖，在Rt△ABE和內(nèi)均有射影定理模型．（2）如圖，在圓中也會(huì)出現(xiàn)射影定理模型．舉一反三【例1】】（2022秋?青羊區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點(diǎn)，分別以ED、EC為折痕將兩個(gè)角(∠A、∠B)向內(nèi)折起，點(diǎn)A、B恰好落在CD邊的點(diǎn)F處，若AD＝3，BC＝5，則EF的長(zhǎng)是（）A.eq\r(15) B．2eq\r(15) C.eq\r(17) D．2eq\r(17)練習(xí)1、（2022秋?杜爾伯特縣期末）如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點(diǎn)，則圖中與△ABC相似的三角形有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)練習(xí)2、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且ADAC＝AC（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．練習(xí)3、（2022秋?汝州市校級(jí)月考）△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，且有AF=CF，過(guò)F點(diǎn)作FH⊥AC于點(diǎn)（1）求證：；（2）求證：AE=（3）若FH=3，求易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，給出下面三個(gè)條件：①∠②∠③AD添加上述條件中的一個(gè)，即可證明△ABC是直角三角形的條件序號(hào)是（

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．如圖，△ABC是直角三角形，AD⊥BC，且AD=6，BD=4，則DC=．3．材料閱讀：直角三角形射影定理又稱(chēng)“歐幾里德定理”．定理的內(nèi)容是：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)：每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．這一定理可以描述如下：如圖，在Rt△ABC中，滿(mǎn)足條件：∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的高，則有如下結(jié)論成立：①CD2=AD?DB

②BC

(1)自主探究：請(qǐng)證明結(jié)論③A己知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD(2)直接運(yùn)用：運(yùn)用射影定理解決下面的問(wèn)題：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊上的高，若AC=6,BD=9，求4．如圖，D是△ABC邊AB上點(diǎn)，已知∠BCD=∠A，，BD=4．

(1)求邊BC的長(zhǎng)；(2)如果△ACD∽△CBD（點(diǎn)A、C、D對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、B、D），求∠ACB易錯(cuò)模型七：旋轉(zhuǎn)相似模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.②如圖所示，△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，CE的延長(zhǎng)線(xiàn)與AD相交于點(diǎn)P，則△ABD∽△CBE，且相似比為1:2，AD與CE的夾角為45總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、另一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形相似．③如圖所示，Rt△AOB∽R(shí)t△COD，則△AOC∽△BOD，AC⊥BD，且AD舉一反三【例1】】（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心將矩形ABCD旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的矩形記為AEFG，如圖所示．CD所在直線(xiàn)與AE、GF交于點(diǎn)H、I，CH＝IH．則線(xiàn)段HI的長(zhǎng)度為（）A．32 B．22 C．5 D．5練習(xí)1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=1，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△AB'C'，連接BB'，交

練習(xí)2．（2022秋·江西吉安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．通過(guò)活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)．讓我們一起動(dòng)手來(lái)折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂(lè)趣．折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，AD都落在對(duì)角線(xiàn)AC上，展開(kāi)得折痕AM，AN，連接MN，如圖

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，如圖剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線(xiàn)BD剪開(kāi)，如圖4．(1)______°，寫(xiě)出圖中兩個(gè)等腰三角形：______（不需要添加字母）；(2)線(xiàn)段BE，EF，(3)連接正方形對(duì)角線(xiàn)BD，若圖2中的∠EAF的邊AE，AF分別交對(duì)角線(xiàn)BD于點(diǎn)G、點(diǎn)H．如圖3，求練習(xí)3．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)l∥BC，過(guò)點(diǎn)B，C分別作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)

操作探究：（1）如圖2，若直線(xiàn)l從圖1狀態(tài)開(kāi)始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α0<α<45°，請(qǐng)?zhí)骄烤€(xiàn)段BE（2）如圖3，若直線(xiàn)l從圖1狀態(tài)開(kāi)始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α45°<α<90°，與線(xiàn)段BC相交于點(diǎn)G，請(qǐng)?jiān)偬骄烤€(xiàn)段BE嘗試應(yīng)用：（3）在圖3中，延長(zhǎng)線(xiàn)段交線(xiàn)段AC于點(diǎn)F，若CD=6，DE=2，求S△BFC易錯(cuò)題通關(guān)1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中線(xiàn)，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD對(duì)折，使點(diǎn)C落在C′的位置，C′D交AB于點(diǎn)Q，則的值為（）A．2 B． C．22 D．32．已知正方形DEFG的頂點(diǎn)F在正方形ABCD的一邊AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連結(jié)AG，CE交于點(diǎn)H，若，DE=2，則CH的長(zhǎng)為.3．如圖1，分別是△ABC的內(nèi)角的平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD，交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）如圖2，如果AE=AB，且BD:DE=2:3，求cos∠（3）如果∠ABC是銳角，且△ABC與△ADE相似，求∠ABC的度數(shù)，并直接寫(xiě)出SΔ4．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線(xiàn)上，連接AF并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求CFBE（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的邊長(zhǎng)．易錯(cuò)模型八：k字型相似模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線(xiàn)三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見(jiàn)的一線(xiàn)三等角圖形舉一反三【例1】（2022·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形內(nèi)放一個(gè)Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角頂點(diǎn)D在半徑OB上，OD＝2DB，點(diǎn)E在半徑OA上，點(diǎn)F在弧AB上．則半徑OA的長(zhǎng)為（

）A．85 B．285 C． D．練習(xí)1．（2023春·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，若BD:DE=2:3，則CF=．練習(xí)2．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，∠ABC=α，將邊AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線(xiàn)段CE，在射線(xiàn)BC上取點(diǎn)D，使得∠CDE=α．請(qǐng)求出線(xiàn)段BC與DE的數(shù)量關(guān)系；（2）類(lèi)比探究：如圖2，若α=90°，作∠ACE=90°，且CE=12AC，其他條件不變，則線(xiàn)段BC與DE（3）拓展延伸：如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=2，把線(xiàn)段CE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段EF，連接，直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)．

易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，在反比例函數(shù)y=3x的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)A，連接AO并延長(zhǎng)交圖象的另一支于點(diǎn)B，在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿(mǎn)足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y=kx的圖象上運(yùn)動(dòng)，若ACAOA．－6 B．－12 C．－18 D．－242．已知△ABC是等邊三角形，AB=6，點(diǎn)D，E，F(xiàn)點(diǎn)分別在邊AB,BC,AC上，BD:BE=2:3，DE同時(shí)平分∠BEF和∠BDF，則BD的長(zhǎng)為．3．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，EF⊥ΒΕ交CD于點(diǎn)F．（1）求證：ΔABE（2）連結(jié)，若ΔABE～ΔEBF，試確定點(diǎn)E的位置并說(shuō)明理由．4．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接（1）證明：△BDA（2）若∠B=45°,BC=2，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此時(shí)易錯(cuò)模型九：折疊相似模型易錯(cuò)陷阱涉及翻折問(wèn)題，以矩形對(duì)稱(chēng)最常見(jiàn)，變化形式多樣。無(wú)論如何變化，解題工具無(wú)非全等、相似、勾股以及三角函數(shù)，從條件出發(fā)，找到每種對(duì)稱(chēng)下隱藏的結(jié)論，往往是解題關(guān)鍵。本專(zhuān)題以各類(lèi)幾個(gè)圖形（三角形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓等）為背景進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。【知識(shí)儲(chǔ)備】翻折和折疊問(wèn)題其實(shí)質(zhì)就是對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，翻折圖形的性質(zhì)就是翻折前后圖形是全等的，對(duì)應(yīng)的邊和角都是相等的。以這個(gè)性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合三角形、四邊形、圓的性質(zhì)，三角形相似，勾股定理設(shè)方程思想來(lái)考查。解決翻折題型的策略：1）利用翻折的性質(zhì)：①翻折前后兩個(gè)圖形全等；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分；2）結(jié)合相關(guān)圖形的性質(zhì)(三角形，四邊形等)；3）運(yùn)用勾股定理或者三角形相似建立方程。舉一反三【例1】（2021秋·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將長(zhǎng)方形紙片分別沿AB，AC折疊，點(diǎn)D，E恰好重合于點(diǎn)M．記△COM面積為S1，△AOB面積為，且DEBC=75，則

A．1:2 B．5:7 C．3:7 D．2:5練習(xí)1．（2023·河南信陽(yáng)·?？既＃┤鐖D，正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)P為射線(xiàn)AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接BP，把△ABP沿BP折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'剛好落在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上時(shí)，AP的長(zhǎng)為練習(xí)2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD沿直線(xiàn)EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A，D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，折痕分別與邊AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BM．

(1)求證：；(2)若DP=1，求的長(zhǎng)．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，將正方形沿直線(xiàn)AN折疊，點(diǎn)B落在對(duì)角線(xiàn)上的點(diǎn)M處，折痕AN交BD于點(diǎn)E，則的長(zhǎng)為（

）A．2-2 B．22-2 C． D2．如圖，在菱形紙片ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，將紙片沿CE折疊，點(diǎn)B落在B'處，CB'⊥AD，垂足為F．若CF=4cm，F(xiàn)3．如圖1，矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．(1)求證：(2)如圖2，擦去折痕AO、線(xiàn)段OP，連接BP．動(dòng)點(diǎn)M在線(xiàn)段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BN=PM，連接MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．探究：當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段EF與線(xiàn)段PB有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．4．問(wèn)題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線(xiàn)的一個(gè)結(jié)論．如圖①，已知AD是△ABC的角平分線(xiàn)，可證ABAC=BDCD．小慧的證明思路是：如圖②，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，CE交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)（1）請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖②證明：ABAC應(yīng)用拓展：（2）如圖③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是邊BC上一點(diǎn)，連接AD，將△ACD沿AD所在直線(xiàn)折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．若AC=1，AB=2，求

易錯(cuò)模型十：動(dòng)態(tài)相似模型易錯(cuò)陷阱動(dòng)態(tài)相似問(wèn)題，主要在于要學(xué)會(huì)根據(jù)點(diǎn)的位置進(jìn)行分類(lèi)討論；動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題都可以當(dāng)作定點(diǎn)來(lái)考慮，即動(dòng)點(diǎn)定點(diǎn)化，對(duì)動(dòng)點(diǎn)進(jìn)行逐點(diǎn)運(yùn)動(dòng)分析；舉一反三【例1】（2022春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是在以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則12PB+PC的最小值等于（A．4 B．32 C． D．15練習(xí)1．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，ABBC=25．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，沿邊BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，連接MN．動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的速度為v1，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為v2，且v1<v2．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，M，N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形MA

練習(xí)2．（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，正方形BEFG與正方形ABCD的頂B重合，、BG分別在BC、BA邊上，連接DF，則有：①DFAG=②直線(xiàn)DF與直線(xiàn)AG所夾的銳角等于______度；（2）理解運(yùn)用將圖1中的正方形BEFG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接DF、AG，①如圖2，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖3，若D、F、G三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，且過(guò)AB邊的中點(diǎn)O，BE=4，直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng)等于______；（3）拓展延伸如圖4，點(diǎn)P是正方形ABCD的AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），連接PC，沿PC將△PBC翻折到△PEC位置，連接DE并延長(zhǎng)，與CP的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，連接，若AB=4PB，則DE

易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，在?ABCD中，∠A=90°，E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BE交CD邊交于點(diǎn)F、連接，當(dāng)AB=6，BC=8，則的最小值是（

）A．9 B．253 C．10 D．2．如圖，等邊△ABC中，AB=6，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為射線(xiàn)BA上一動(dòng)點(diǎn)，將射線(xiàn)DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°交AC于點(diǎn)F，若AE=3，則AF=．3．如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AB=4cm，AC=3cm，點(diǎn)D沿AB從A向B運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/秒，同時(shí)，點(diǎn)E沿BC從B向C運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/秒．動(dòng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)終止．連接(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=秒時(shí)，△BDE與△ABC(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)CD⊥DE時(shí)，t為何值？請(qǐng)說(shuō)明理由．4．已知：矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)M在BC邊上（不與點(diǎn)B、C重合），MN⊥AM交CD于點(diǎn)N，連接(1)如圖1，若DM平分∠ADC，求證：BM=CN；(2)如圖2，若AB=2,BC=3，動(dòng)點(diǎn)M在移動(dòng)過(guò)程中，設(shè)BM的長(zhǎng)為x,CN的長(zhǎng)為y，①則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_____；②線(xiàn)段CN的最大值為_(kāi)_____．

易錯(cuò)模型02相似模型易錯(cuò)集合易錯(cuò)模型一：A字型相似模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】①如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，DE//BC，則△ADE∽△ABC，ADAB②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?ADAC【易錯(cuò)點(diǎn)】善于尋找A字型的相似；舉一反三【例1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，P為?ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)，△PEF，△PDC，△PAB的面積分別為S，S1，S2．若S=3，則S1

A．24 B．12 C．6 D．10【答案】B【分析】過(guò)P作平行于DC，由DC與AB平行，得到平行于AB，可得出四邊形與ABQP都為平行四邊形，進(jìn)而確定出△PDC與△PCQ面積相等，△PQB與△ABP面積相等，再由EF為△BPC的中位線(xiàn)，利用中位線(xiàn)定理得到EF為BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF與△PBC相似，相似比為1：2，面積之比為1：4，求出△PBC的面積，而△PBC面積＝△CPQ面積+△PBQ面積，即為△PDC面積+△PAB【詳解】解：過(guò)P作PQ∥DC交BC于點(diǎn)Q，由DC∥AB，得到PQ∥

∴四邊形與四邊形APQB都為平行四邊形，∴，，∴，，∵EF為△PCB∴EF∥BC，EF=1∴△PEF∽△PBC，且相似比為1∴S△PEF：S∴S△故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，連接CD，AE交于點(diǎn)F，若【答案】2【分析】過(guò)D作DH垂直AC于H點(diǎn)，過(guò)D作DG∥AE交BC于G點(diǎn)，先利用解直角三角形求出CD的長(zhǎng)，其次利用△CDG∽△CBD，求出的長(zhǎng)，得出BG的長(zhǎng)，最后利用△BDG∽△BAE，【詳解】解：如圖：過(guò)D作DH垂直AC于H點(diǎn)，過(guò)D作DG∥AE交BC于G點(diǎn)，∵在Rt△ABC中，∴AB=A又∵BD=2AD，∴AD=22∴在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2，∴CH=6-在中，CD=CH∵DG∥AE∴∠CFE=∠CDG=45∴，

又∵∠DCG=∴△CDG∴CDCB∴CD即20=6CG，∴103，∴BG=BC-CG=6又∵DG∥∴△BDG又∵BD＝∴BDBA又，∴BE=BG×∴CE=6-故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做出輔助線(xiàn)，利用相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出答案．練習(xí)2．（2023秋·上海長(zhǎng)寧·九年級(jí)上海市第三女子初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交邊BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作CA的平行線(xiàn)，交邊AB于點(diǎn)E．(1)求線(xiàn)段DE的長(zhǎng)；(2)取線(xiàn)段AD的中點(diǎn)M，連接BM，交線(xiàn)段DE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)線(xiàn)段BM交邊AC于點(diǎn)G，求EFDF【答案】(1)4(2)【分析】（1）根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，列出比例式求解即可；（2）根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，列出比例式求解即可．【詳解】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝23在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝63∴BD＝BC－CD＝43∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）解：如圖．∵點(diǎn)M是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴DFAG＝DM∴DF＝AG．∵DE∥CA，∴EFAG＝BFBG，BFBG∴EFAG＝BD∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴EFDF【點(diǎn)睛】考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，注意線(xiàn)段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．練習(xí)3．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）王華同學(xué)在晚上由路燈AC走向路燈BD，當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部，當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部．已知王華同學(xué)的身高是1.6m，兩個(gè)路燈的高度都是9.6m．(1)求兩個(gè)路燈之間的距離；(2)當(dāng)王華同學(xué)走到路燈BD處時(shí)，他在路燈AC下的影子長(zhǎng)是多少？【答案】(1)18m(2)3.6m【分析】（1）如圖1，先證明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP＝16AB，即得BQ＝16AB，則16AB+12+16AB＝AB，解得AB＝（2）如圖2，他在路燈AC下的影子為BN，證明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性質(zhì)得BNBN+18=1.6【詳解】（1）如圖1，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，APAB=PM∴AP＝16AB∵QB=AP，∴BQ＝16AB而AP+PQ+BQ＝AB，∴16AB+12+16AB＝∴AB＝18．答：兩路燈的距離為18m；（2）如圖2，他在路燈AC下的影子為BN，∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，∴，即BNBN+18=1.69.6，解得BN答：當(dāng)他走到路燈BD時(shí)，他在路燈AC下的影長(zhǎng)是3.6m．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，要求學(xué)生能根據(jù)題意畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等的原理解決求線(xiàn)段長(zhǎng)的問(wèn)題等，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．易錯(cuò)題通關(guān)1．直線(xiàn)l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點(diǎn)A，B，C恰好分別落在三條直線(xiàn)上，AC與直線(xiàn)l2交于點(diǎn)D，則線(xiàn)段BD的長(zhǎng)度為A．253 B．203 C．254【答案】C【分析】分別過(guò)點(diǎn)A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先證明△BCE≌△ACF，再證明△CDG∽△CAF，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，分別過(guò)點(diǎn)A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC．∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF．在△BCE與△ACF中，∵∠EBC=∠ACF，BC=AC，∠BCE=∠CAF，∴△BCE≌△CAF（ASA）．∴CF=BE=3，CE=AF=4．在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，∴AC=A∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF．∴DGAF=CD在Rt△BCD中，∵CD=154，BC∴BD=B故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，列出比例式是關(guān)鍵．2．如圖已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC邊上的高是3，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是．【答案】12【分析】過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，由△ABC的BC邊上的高是3可得AM=3，由正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可得AGAB【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，∵△ABC的BC邊上的高是3，∴AM=3，∵四邊形DEFG是正方形，∴GD=FG,GF∥BC,GD∥AM，∴△AGF∽△ABC，△BGD∽△BAM，∴AGAB=GF∴AGAB∴GF=127故答案為：127【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定為解題關(guān)鍵．3．如圖，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB為直徑的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．連接BC，PB：PC＝1：2．（1）求證：PE是⊙O的切線(xiàn)；（2）已知⊙O的半徑為52，求AP【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）20【分析】（1）連接OC，由AC平分∠EAP，得到∠DAC＝∠OAC，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAO＝∠ACO，等量代換得到∠DAC＝∠ACO，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠E＝∠OCP＝90°，于是得到結(jié)論；（2）設(shè)PB＝x，PC＝2x，根據(jù)勾股定理得到PC，PB=53，求得AP【詳解】解：（1）連接OC，∵AC平分∠EAP，∴∠DAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCP＝90°，∵OC是圓O的半徑∴PE是⊙O的切線(xiàn)；（2）∵PB：PC＝1：2，∴設(shè)PB＝x，PC＝2x，∵OC2+PC2＝OP2，即（52）2+（2x）2＝（52+x∴x=5∴PC，PB=53∴AP=20【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的判定，勾股定理，熟記切線(xiàn)的判定是解題的關(guān)鍵．4．如圖，△ABC中，中線(xiàn)AD，交于點(diǎn)F，EG//BC交AD于點(diǎn)G（1）求AGGF（2）如果BD=43，，請(qǐng)找出與△BDA【答案】（1）3；（2）△BDA【分析】（1）先證明△AGE∽△ADC，再證明△GEF∽△DBF，得到DF=2GF，則問(wèn)題可解；（2）根據(jù)題意分別證明△BDA∽△FDB，△BDA【詳解】解：（1）是BC的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，∴BD=CD，AE=CE，∵GE∴△∴AG∴AG=GD，2GE=CD=BD，∵GE∴△∴GE∴DF=2GF∴AG=DG=3GF∴AG（2）當(dāng)BD=43，時(shí)，由（1）可得GF=12DF=2，AG=DG=3GF=6GE=1∵BDDF=∴AD又∵∠BDG=∴△∵GEGF=∴AD∵GE∴∠∴△【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解答關(guān)鍵是根據(jù)題意選擇適當(dāng)方法證明三角形相似．易錯(cuò)模型二：8字型相似模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?ABCD②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?ABCD③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．舉一反三【例1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，，連接BE交AC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則BGGF的值為（）A． B．12 C． D．34【答案】A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，則可判斷△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和AE＝2ED即可得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴BGGF＝∵△ABE∽△DFE，∴AEDE＝，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴ABCF＝2∴BGGF＝2故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解題．練習(xí)1．（2021秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，且CE=2BE，點(diǎn)F為對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，且BF=2DF，連接AE交BD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AE于點(diǎn)，若HG=2cm，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為cm．【答案】12【分析】如圖，過(guò)F作FI⊥BC于I點(diǎn)，連接FE和FA，得到△BIF～△BCD，設(shè)BE=EI=IC=acm，CE=FI=2acm，AB=3acm，求出FE，AH，AG，證明【詳解】如圖，過(guò)F作FI⊥BC于I點(diǎn)，連接FE和∵FI⊥BC，四邊形ABCD為正方形，∴FI//CD∴△∵BF=2DF∴BI∴I為BC∵CE=2BE為BC的三等分點(diǎn)，∴BE=EI=IC∴設(shè)BE=EI=IC=acm，∴AB=BC=3acm∵△BFI∴BI=FI=2acm∴FE=∴H為AE∵AE=∴AH=HE=1∵四邊形ABCD為正方形，∴BE//AD∴△∴GEAG故答案為：1210【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，是填空題壓軸題，考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是CE=2BE，BF=2DF的利用以及這些性質(zhì)的熟記．練習(xí)2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）正方形ABCD中，AB=2，點(diǎn)E是對(duì)角線(xiàn)BD上的一動(dòng)點(diǎn)，∠DAE=αα≠45°.將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線(xiàn)交射線(xiàn)DC于點(diǎn)G(1)當(dāng)0°<α<45°時(shí)，求的度數(shù)(用含α的式子表示)；(2)點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試探究的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值.若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若BF=FG，求α的值．【答案】(1)∠(2)DGDE(3)30【分析】1根據(jù)翻變換的性質(zhì)可以得到∠ADE=∠AFE=45°，∠DAE=∠EAF，加上對(duì)頂角相等得到的∠AOB=∠EOF，從而得到△AOB～△EOF（AA），進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊成比例，再根據(jù)比例的性質(zhì)得到AOBO2如圖2中，連接EG，．證明△DEG是等腰直角三角形，可得結(jié)論；3證明△EFG【詳解】（1）如圖1中，設(shè)交BD于點(diǎn)O．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90∴∠由翻折變換的性質(zhì)可知，∠ADE=∴∠∵∠∴△∴AO∴AO∴AO，∴△AOE~∴∠（2）DGDE理由：如圖2中，連接EG，．∵四邊形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠ADE=∵DE=DE∴△∴∠∵∠∴∠同法可證，∠CEG=∵∠，∴∠BEG=∵∠∴∠，∴DG（3）如圖2中，當(dāng)BF=FG時(shí)，，∴EF=FB=FG∵DE=EF=EG∴EF=EG=FG，，∴α=【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，CD與AE交于點(diǎn)O，則OD的長(zhǎng)是(

)

A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.4【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形中斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半，求得CD的長(zhǎng)，根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)，得到DE∥AC，求得△AOC∽EOD，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)求出OD和OC的關(guān)系，進(jìn)而得出OD和CD的關(guān)系，然后即可求解．【詳解】解：∵△ABC為直角三角形，D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，∴CD=12∵D和E點(diǎn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，DE=∴△AOC∽△EOD，ODOC∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線(xiàn)性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握中位線(xiàn)的性質(zhì)，能夠利用平行線(xiàn)判定兩三角形相似．2．如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，CF交BE于點(diǎn)G，若BE=8，則GE=．【答案】2【分析】延長(zhǎng)CF、BA交于M，根據(jù)已知條件得出EF＝AF，CE＝12DC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC∥AB，DC＝AB，根據(jù)全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根據(jù)相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG【詳解】解：延長(zhǎng)CF、BA交于M，∵E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，∴EF＝AF，CE＝12DC∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝12AB，∠ECF＝∠M在△CEF和△MAF中∠EFC=∠∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝12AB∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴CEBM=∵BE＝8，∴GE8-解得：GE＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．3．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，連接AE，若AE的延長(zhǎng)線(xiàn)和BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F．（1）求證：BC=CF；（2）連接AC和相交于點(diǎn)為G，若△GEC的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）24．【分析】（1）根據(jù)E是邊DC的中點(diǎn)，可以得到DE=CE，再根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到∠ADE＝∠ECF，再根據(jù)∠AED=（2）先證明△CEG～△ABG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出S△ABG=8，AGGC=ABCE=【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，∴∠ADE∵點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，∴DE=CE，在△ADE和△ECF∠ADE=∴△ADE∴AD=CF，∴BC=CF；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，∴，AB=2EC，∴∠GEC=∠ABG，∠GCE=∴△CEG∵△GEC的面積為2∴S△ABGS△CEG∵△∴AGGC=∴S△∴S△∴S?【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．4．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線(xiàn)AC上，AC=12，過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)分別交AD，BC于點(diǎn)M，N．（1）當(dāng)MN⊥BC時(shí)，MN的長(zhǎng)為_(kāi)_______，________；（2）已知．①若MN=9，求此時(shí)AM的長(zhǎng)；②當(dāng)E，F(xiàn)為AC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形的邊上時(shí)，是否存在滿(mǎn)足PE+EF=9的情況？如果存在，請(qǐng)通過(guò)分析指出這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；如果不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）62；△CEN；（2）①；②存在，有8【分析】解：（1）由四邊形ABCD為正方形，得到△ACD為等腰直角三角形，在Rt△ACD中由勾股定理求得CD的長(zhǎng)，由MN=CD，可以求出MN的長(zhǎng)，由AD∥BC得到△AEM∽△CEN.（2）①過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)G．由AM∥CN，得到△AEM∽△CEN．得到對(duì)應(yīng)邊成比例，由勾股定理求出GM的長(zhǎng)，再由AM=AG+GM可求出．②畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn)F作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接FM交BC于點(diǎn)N，連接EM，根據(jù)點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，計(jì)算出PE+PF的最小值，與PE+PF=9比較．得出BC上存在兩個(gè)點(diǎn)，同理在線(xiàn)段AB，AD，CD上都存在兩個(gè)點(diǎn)使PE+PF=9．【詳解】解：（1）62，∵四邊形ABCD為正方形∴△ACD為等腰直角三角形，則，在Rt△ACD中有AD=AC，AD2+DC2=AC2，∵AC=12，解得：AD=CD=62，又∵M(jìn)N⊥BC，CD⊥BC∴MN∥CD，且MN=CD，即MN=DC=62，又∵AD∥BC∴△AEM∽△CEN.（2）①如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AD于點(diǎn)∵AM//CN，∴△AEM∴EMEN∵AC=12，MN=9，∴AE=4，ME=3．∵∠EAG=45∴AG=GE=22∴GM=M∴AM=AG+GM=22②存在，這樣的點(diǎn)有8個(gè)．如圖，過(guò)點(diǎn)F作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接FM交BC于點(diǎn)N，連接EM，∵點(diǎn)E，F(xiàn)將對(duì)角線(xiàn)AC三等分，且AC=12，∴EC=8，F(xiàn)C=4．∵點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，∴CF=CM=4，∠ACB=∴∠ACM=90∴EM=E則在線(xiàn)段BC上存在點(diǎn)N到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小為45∴在線(xiàn)段BC上，點(diǎn)N的左右兩邊各有一個(gè)點(diǎn)P使PE+PF=9．同理在線(xiàn)段AB，AD，CD上都存在兩個(gè)點(diǎn)使PE+PF=9．即共有8個(gè)點(diǎn)P滿(mǎn)足PE+PF=9．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)、線(xiàn)段和的最值問(wèn)題等，體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象核心素養(yǎng).易錯(cuò)模型三：AX型相似模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過(guò)線(xiàn)段比進(jìn)行轉(zhuǎn)化.舉一反三【例1】（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，若AF＝2FD，則的值為（）A．12 B． C． D．34【答案】C【詳解】解：由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴BEEG故選：C．練習(xí)1、（2022·河北石家莊·九年級(jí)期末）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°（如圖）．以線(xiàn)段AB為邊向外作等邊三角形，點(diǎn)E是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交線(xiàn)段AD于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形BCFD為平行四邊形；（2）連接CD，交AB于點(diǎn)M．①若AB=6，求BM的長(zhǎng)；②作，垂足為N，求證：1BC+【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②證明見(jiàn)解析．【詳解】（1）∵△ABD∴AD=AB=BD，∠在Rt△ABC中，∠∴∠∵點(diǎn)E是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)∴CE=BE=AE=∴△BCE∴∠CEB=∠CBE=∠ABC=60°，BC=CE∴∠∴CF∵∴BC∴四邊形BCFD為平行四邊形；（2）①如圖，連接CD，交AB于點(diǎn)M∵BC∴△∴BM∵BC=CE=12∴BM∵AB=BM+AM=6∴BM=1②如圖，作，垂足為N∵∠ACB=90°，∠CAD=∠∴BC∴△AMN～△ABC，△∴MNBC=∴MN∴1BC練習(xí)2、（2022·河南·鶴壁市淇濱中學(xué)九年級(jí)期中）已知，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在直線(xiàn)AD上截取AF=2FD，連接EF，EF交AC于G，則AGAC=【答案】25；27【詳解】解：（1）點(diǎn)F在線(xiàn)段AD上時(shí)，設(shè)EF與CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=12AE∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+12AE=52∴AG：CG=2：5，∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）點(diǎn)F在線(xiàn)段AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè)EF與CD交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF，∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=12AE∵AB//CD，∴AG：CG=AE：CH∵AB=CD=2AE，∴CH=CD-DH=2AE-12AE=32∴AG：CG=2：3，∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5．故答案為：２５或２練習(xí)3、（2022·湖南株洲·九年級(jí)期末）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線(xiàn)段AD為其內(nèi)角角平分線(xiàn)，過(guò)D點(diǎn)的直線(xiàn)B1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于B1．（1）請(qǐng)你探究：ACAB=CD（2）請(qǐng)你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線(xiàn)段AD為其內(nèi)角角平分線(xiàn)，請(qǐng)問(wèn)ACAB（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝323，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，試求DF【答案】（1）成立，理由見(jiàn)解析；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）5【詳解】解：（1）∵等邊△ABC中，線(xiàn)段AD為其內(nèi)角角平分線(xiàn)，∴AC=AB,CD=DB,∴因?yàn)锽1C1⊥AC于C1交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于B1，∴∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，∴AD＝B1D，C1AC1綜上：這兩個(gè)等式都成立；（2）可以判斷結(jié)論仍然成立，證明如下：如圖所示，△ABC為任意三角形，過(guò)B點(diǎn)作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E點(diǎn)，線(xiàn)段AD為其內(nèi)角角平分線(xiàn)∴∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD∴BE＝AB，ACBE又∵BE＝AB．∴ACAB即對(duì)任意三角形結(jié)論仍然成立；（3）如圖（2）所示，因?yàn)镽t△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC=32∴∵AD為△ABC的內(nèi)角角平分線(xiàn)，∴CDDB∵DE∥AC，∴CD∴BE∵DE∥AC，∴△DEF∽△ACF，ΔBDE∴DEAC=∴易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，，連接BE交AC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則BGGF的值為（）A． B．12 C． D．34【答案】A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，則可判斷△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和AE＝2ED即可得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴BGGF＝∵△ABE∽△DFE，∴AEDE＝，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴ABCF＝2∴BGGF＝2故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解題．2．如圖，在矩形ABCD中，E,F分別為邊AB，AD的中點(diǎn)，與，ED分別交于點(diǎn)M，N．已知AB=4，BC=6，則MN的長(zhǎng)為．【答案】4【分析】過(guò)點(diǎn)E作EH∥AD，交點(diǎn)BF于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，證明△BEG∽△BAF，求出EG的長(zhǎng)，再證明△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，得出2NG=NF，4MG=MB，再求出BG=GF=12BF=52，從而求出NG和MG，可得MN【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EH∥AD，交點(diǎn)BF于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，由題意可知：EH∥BC，∴△BEG∽△BAF，∴BEAB∵AB=4，BC=6，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，∴BE=2，AF=3，∴24∴EG=32∵EH∥BC，∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，∴EGDF=NG∴323=即NGNF=1∴2NG=NF，4MG=MB，∵E為AB中點(diǎn)，EH∥BC，∴G為BF中點(diǎn)，∴BG=GF=12BF=1∴NG=13GF=56，MG=1∴MN=NG+MG=43故答案為：43【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線(xiàn)EH，得到相似三角形.3．△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，且有AF=CF，過(guò)F點(diǎn)作于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）求證：AE=（3）若FH=3，求【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）4．【分析】（1）先根據(jù)垂直的定義可得∠ADE=∠CDB=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠DAE=（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得ADCD=DEDB=（3）先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得DEFH=AEAF，從而可得DE,BD的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性質(zhì)可求出CD【詳解】證明：（1）∵BD∴∠∵AF=CF，在△ADE和△CDB中，∠ADE=∴△（2）∵點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，∴DE=BE=由（1）已證：△ADE∴AD設(shè)AD=a(a>0)，則CD=2a，AC=AD+CD=3a，∵FH∴AH=CH=∴DH=AH又∵BD∴AE即AE=2EF；（3）由（2）已證：AE=2EF，∴AE=∵BD∴△∴DEFH=解得DE=2∴BD=2DE=∵∠∴∠∴∠在△ABD和△BCD中，∠ADB=∴△∴AD由（2）可知，設(shè)AD=b(b>0)，則CD=2b，∴b解得b=263∴CD=2b=則在Rt△BCD中，【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．如圖，E為平行四邊形ABCD的邊CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接．交AC于O，交AD于F．求證：BO【答案】見(jiàn)解析．【分析】根據(jù)AD∥BC，得△AOF∽△COB，由AB∥DC，得△AOB∽△COE，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)變成比例即可．【詳解】證明：∵AB∥DC，∴△AOB∽△COE∴OE∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB∴OB∴OEOB=OB【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)與判定，找到兩組對(duì)應(yīng)邊的比例相等是解決本題的關(guān)鍵．易錯(cuò)模型四：母子型相似模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)∠AED=∠B時(shí)，△ABC∽△AED，則有AEAB=AD如圖所示，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，為其常見(jiàn)的一個(gè)變形，即子母型．當(dāng)∠ACD=∠B時(shí)，△ABC∽△ACD，則有ACAB舉一反三【例1】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在等邊△OAB中，AB=6，點(diǎn)D是以O(shè)為圓心，半徑為3的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，C為BD上一點(diǎn)，DC=2CB，連接AC，則線(xiàn)段AC的最大值與最小值之積為（

）A．27 B．26 C．25 D．24【答案】A【分析】過(guò)A作AH⊥OB于，在BO上截取，連結(jié)CM，OD；先證明△BCM∽△BDO，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)和已知條件得到；再根據(jù)圖形得到AM-CM≤AC≤AM+CM，即當(dāng)且僅當(dāng)A，M，C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AC取得最大值為最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可．【詳解】解：如圖：過(guò)A作AH⊥OB于，在BO上截取，連結(jié)CM，OD，∵△OAB是等邊三角形，AB=6，AH⊥∴OH=BH=3，HM=BH-∴AH=AB2∵BM=2，OB=6，∴BM∵DC=2CB∴BC∴BM∴CM∴△∴CM∵OD=3∴CM=1∵∴當(dāng)且僅當(dāng)A，M，C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AC取得最大值為最小值，∴AC的最大值為27+1，AC的最小值為∴AC的最大值與最小值之積為27故答案為A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)并靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．練習(xí)1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，且，若AC=3，AD=1，則DB的長(zhǎng)為．【答案】2【分析】由∠ACD=∠ABC、∠A=∠A，即可得出△ABC∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出ADAC=ACAB，代入AC、AD的值可求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)BD=【詳解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴ADAC∵AC=3，AD=1，∴13∴AB=3，∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿(mǎn)足∠1=∠2，則稱(chēng)點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“(1)如圖①，若點(diǎn)D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，AC=22，AB=4，試判斷點(diǎn)D是不是△ABC的“理想點(diǎn)(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，求CD【答案】(1)D為△ABC的理想點(diǎn),(2)125或【分析】（1）由已知可得ACAD=ABAC，從而ΔACD∽ΔABC，∠ACD=∠B，可證點(diǎn)D是ΔABC的（2）由D是ΔABC的“理想點(diǎn)”，分三種情況：當(dāng)D在AB上時(shí)，CD是AB邊上的高，根據(jù)面積法可求CD長(zhǎng)度；當(dāng)D在AC上時(shí)，，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求CD長(zhǎng)度；D不可能在BC上．（1）解：點(diǎn)D是ΔABC的“理想點(diǎn)”是AB中點(diǎn)，AB=4，∴AD=BD=2，AD?∵AC=2，∴AACAD=，∴Δ∴∠∴點(diǎn)D是ΔABC的“理想點(diǎn)”（2）①D在AB上時(shí)，如圖：是ΔABC的“理想點(diǎn)”，∴∠ACD=∠B或∠BCD=當(dāng)∠ACD=∵∠∴∠∴∠CDB=90°，即CD是AB邊上的高，當(dāng)∠BCD=∠A時(shí)，同理可證，即CD是AB邊上的高，在中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，，，∴CD=②，BC=3，有∠B>∠∴“理想點(diǎn)”D不可能在BC邊上，③D在AC邊上時(shí)，如圖：是ΔABC的“理想點(diǎn)”，∴∠又∠C=，CDBC=BCAC∴CD=綜上所述，點(diǎn)D是ΔABC的“理想點(diǎn)”，CD的長(zhǎng)為125或9【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解“理想點(diǎn)”的定義．易錯(cuò)題通關(guān)1．如圖，在等邊△OAB中，AB=6，點(diǎn)D是以O(shè)為圓心，半徑為3的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，C為BD上一點(diǎn)，DC=2CB，連接AC，則線(xiàn)段AC的最大值與最小值之積為（

）A．27 B．26 C．25 D．24【答案】A【分析】過(guò)A作AH⊥OB于，在BO上截取，連結(jié)CM，OD；先證明△BCM∽△BDO，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)和已知條件得到；再根據(jù)圖形得到AM-CM≤AC≤AM+CM，即當(dāng)且僅當(dāng)A，M，C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AC取得最大值為最小值；然后求得最大值和最小值并相乘即可．【詳解】解：如圖：過(guò)A作AH⊥OB于，在BO上截取，連結(jié)CM，OD，∵△OAB是等邊三角形，AB=6，AH⊥∴OH=BH=3，HM=BH-∴AH=AB2∵BM=2，OB=6，∴BM∵DC=2CB∴BC∴BM∴CM∴△∴CM∵OD=3∴CM=1∵∴當(dāng)且僅當(dāng)A，M，C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AC取得最大值為最小值，∴AC的最大值為27+1，AC的最小值為∴AC的最大值與最小值之積為27故答案為A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)并靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．2．如圖，在ΔABC中，AB=AC=4，BC=43，點(diǎn)D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C除外），將線(xiàn)段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連接CE，則ΔCDE【答案】9【分析】設(shè)CD=x，過(guò)A作AZ⊥BC與Z，過(guò)B作BN⊥AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，過(guò)E作EM⊥CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，由△AZC～△BNC得到AZAC=BNBC，再利用勾股定理求出【詳解】設(shè)CD=x，過(guò)A作AZ⊥BC與Z，過(guò)B作BN⊥AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，過(guò)E作EM⊥CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于∵AB=AC，∴ZC=1∵AC=4，∴AZ=4又∵∠BNC=∴△AZC∴AZAC∴24=BN根據(jù)勾股定理得AN=A∴，根據(jù)題意可得∠BDE=90即可得到∠NBD=∵線(xiàn)段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至∴△MED∴ME=DN=CN-CD=6-∴S△∴面積最大時(shí)，x=-此時(shí)S最大【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的靈活應(yīng)用，做出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．3．已知四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E．（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，求證：ED?EA=EC?EB；（2）如圖2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面積為6，求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）75-【分析】（1）證明△EAB∽△ECD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H.在Rt△CDG中利用已知條件求得DG、OG的長(zhǎng)，再根據(jù)△CDE的面積為6，可求得DE的長(zhǎng)，在△ABH中求得BH、AH的長(zhǎng)，利用（1）△EAB∽△ECD，可求得EH的長(zhǎng)，由S四邊形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH，即可求得四邊形ABCD的面積．【詳解】解：（1）證明：∵∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°，∴∠ABE＝∠CDE.又∵∠AEB＝∠CED，∴△EAB∽△ECD，∴EBED∴EDEA（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∵CD＝5，cos∠ADC＝35∴DG＝3，CG＝4.∵S△CED＝6，∴ED＝3，∴EG＝6.∵AB＝12，∠ABC＝120°，則∠BAH＝30°，∴BH＝6，AH＝63由（1）得△ECG∽△EAH，∴EGEH∴EH＝93∴S四邊形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH＝12×63【點(diǎn)睛】本題考查的主要是解直角三角形知識(shí)和三角形相似問(wèn)題，解直角三角形可以為我們提供三角形中邊的條件和角的條件，利用三角形相似可以建立方程，表達(dá)出變量之間的關(guān)系；這種類(lèi)型的題目給出的條件中有三角函數(shù)和邊長(zhǎng)，在解題時(shí)就應(yīng)該利用三角函數(shù)和已知的邊長(zhǎng)求出另外的邊長(zhǎng)，繼而進(jìn)行解題；三角函數(shù)的計(jì)算要在直角三角形中進(jìn)行，因此借助輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形就是解決這種類(lèi)型題目的關(guān)鍵．4．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上，且，AE和交于點(diǎn)G．

（1）如圖，求證：①AE=BF②AE（2）連接并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)，①若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)（如圖），求BH的長(zhǎng)．

②若點(diǎn)E在BC邊上滑動(dòng)（不與點(diǎn)B,C重合），當(dāng)取得最小值時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；（2）①43；②【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，由SAS證明△ABE≌△BCF，即可得出結(jié)論；②由①得：△ABE≌△BCF，得出∠BAE=∠CBF，證出∠AGB=90°，即可得出結(jié)論；（2）①由直角三角形的性質(zhì)得出CF=BE=12BC=2，由勾股定理得出BF=25，由（1）得：AE⊥BF，則∠BGE=∠ABE=90°，證明△BEG∽△AEB，得出GEBG=BEAB=12，設(shè)GE=x，則BG=2x，在Rt△BEG②由（1）得：∠AGB=90°，得出點(diǎn)G在以AB為直徑的圓上，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，當(dāng)C、G、M在同一直線(xiàn)上時(shí)，CG為最小值，求出GM=12AB=BM=2，由平行線(xiàn)得出CFCG=BMGM=1，證出CF=CG=BE，設(shè)CF=CG=BE=a，則CM=a+2，在【詳解】（1）證明：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，在△ABE和△BCF中，AB＝∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE=BF；②由①得：△ABE≌△BCF，∴∠BAE=∠CBF，∵∠CBF+∠ABF=90°，∴∠BAE+∠ABF=90°，∴∠AGB=90°，∴AE⊥BF；（2）解：①如圖2所示：

∵E為BC的中點(diǎn)，∴CF=BE=12BC=2∴BF=22由（1）得：AE⊥BF，∴∠BGE=∠ABE=90°，∵∠BEG=∠AEB，∴△BEG∽△AEB，∴GEBG設(shè)GE=x，則BG=2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2=22，解得：x=25∴BG=2×255=∵AB∥CD，∴BHCF=BG解得：BH=43②由（1）得：∠AGB=90°，∴點(diǎn)G在以AB為直徑的圓上，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，由圖形可知：當(dāng)C、G、M在同一直線(xiàn)上時(shí)，CG為最小值，如圖3所示：

∵AE⊥BF，∴∠AGB=90°，∴GM=12AB=BM=2∵AB∥CD，∴CFCG=∴CF=CG，∵CF=BE，∴CF=CG=BE，設(shè)CF=CG=BE=a，則CM=a+2，在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42=（a+2）2，解得：a=25-2，即當(dāng)CG取得最小值時(shí)，BE的長(zhǎng)為25-2．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形全等和三角形相似是解題關(guān)鍵．易錯(cuò)模型五：三角形內(nèi)接矩形相似模型易錯(cuò)陷阱【模型解讀】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來(lái)的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，GF舉一反三【例1】（2022秋·山東日照·九年級(jí)日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)E在AC上，EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥BC，已知△AFE的面積為a，△EGC的面積為b，則矩形BFEG的面積為（）A．a(chǎn)+b B．a(chǎn)b C． D．2ab【答案】D【分析】先證明四邊形BFEG是矩形，得到EF∥CG，BF∥EG，進(jìn)而證明△AEF∽△ECG，得到EF?EG=AF?CG，再根據(jù)三角形面積公式得到【詳解】解：∵∠B=90°，EF⊥AB，EG⊥∴四邊形BFEG是矩形，∴EF∥∴∠A=∴△AEF∴AFEG∴EF?∵△AFE的面積為a，△EGC的面積為b∴12∴EF=2a∴EF?∴EF?∴EF?故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，三角形面積，證明△AEF∽△ECG，得到EF?練習(xí)1．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·九年級(jí)校考期中）如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．

（1）若四邊形DEFG為△ABC的內(nèi)接正方形，則正方形DEFG的邊長(zhǎng)DE為；（2）若四邊形DEFG為△ABC的內(nèi)接矩形，當(dāng)這個(gè)矩形面積最大時(shí)，則矩形DEFG的邊長(zhǎng)DE為．【答案】6037【分析】（1）根據(jù)GF∥AB，判定△CGF∽△（