專(zhuān)題09 作角平分線（尺規(guī)作圖） 帶解析

2022-2023學(xué)年湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)精選壓軸題培優(yōu)卷專(zhuān)題09作角平分線（尺規(guī)作圖）姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________評(píng)卷人得分一、選擇題(每題2分，共20分)1．(本題2分)（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在中，，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，可以判斷以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可知是的角平分線，，依據(jù)這兩個(gè)條件逐項(xiàng)判斷即可．【規(guī)范解答】解：∵根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可知是的角平分線，，∴，,，在和中，∵，∴，∴，∵是直角三角形，∴，∴，∵，但不一定平分，∴不一定等于，∴不一定等于．故選：D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了尺規(guī)作圖中的作角平分線和過(guò)一點(diǎn)做垂線，熟練掌握角平分線和垂線的尺規(guī)作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．(本題2分)（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┰趦?nèi)找一點(diǎn)P，使P到A、C兩點(diǎn)的距離相等，并且P到的距離等于P到的距離．下列尺規(guī)作圖正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】P到A、C兩點(diǎn)的距離相等，得到在線段的垂直平分線上，P到的距離等于P到的距離，得到在的角平分線上，作出線段的垂直平分線和的角平分線，交點(diǎn)即為點(diǎn)．【規(guī)范解答】解：∵P到A、C兩點(diǎn)的距離相等，∴在線段的垂直平分線上，∵P到的距離等于P到的距離，∴在的角平分線上，如圖：作出線段的垂直平分線和的角平分線，交點(diǎn)即為點(diǎn)；故選D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查角平分線和中垂線的作圖．熟練掌握到線段兩端點(diǎn)相等的點(diǎn)在線段的中垂線上，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上，是解題的關(guān)鍵．3．(本題2分)（2023秋·河北唐山·八年級(jí)唐山市第十二中學(xué)校考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)，分別是圖中所作直線和射線與，的交點(diǎn).根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)求出，再根據(jù)角平分線的定義、垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行求解和判斷即可．【規(guī)范解答】解：∵，∴是等腰三角形，∵，∴，A.根據(jù)尺規(guī)作圖可知，平分，∴，∴，故選項(xiàng)正確，不符合題意；B.根據(jù)圖中尺規(guī)作圖可知，的垂直平分線交于D，∴，故選項(xiàng)正確，不符合題意；C.∵，∴，∴，故選項(xiàng)正確，不符合題意；D.∵，∴故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：D【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了基本作圖，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．(本題2分)（2021春·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)?？计谥校┫铝嘘P(guān)于尺規(guī)作圖的語(yǔ)句錯(cuò)誤的是（

）A．作，使 B．以點(diǎn)O為圓心作弧C．以點(diǎn)A為圓心，線段a的長(zhǎng)為半徑作弧 D．作一條線段，使其等于已知線段a【答案】B【思路點(diǎn)撥】分別利用尺規(guī)作圖的定義，結(jié)合能否畫(huà)出圖形進(jìn)而分析得出即可．【規(guī)范解答】解：A、作一個(gè)角等于已知角的倍數(shù)是常見(jiàn)的尺規(guī)作圖，語(yǔ)句正確，不合題意；B、畫(huà)弧既需要圓心，還需要半徑，缺少半徑長(zhǎng)，這樣的弧可以畫(huà)出無(wú)數(shù)條，語(yǔ)句錯(cuò)誤，符合題意；C、以點(diǎn)A為圓心，線段a的長(zhǎng)為半徑作弧，語(yǔ)句正確，不合題意；D、作一條線段等于已知線段是常見(jiàn)的尺規(guī)作圖，語(yǔ)句正確，不合題意．故選：B．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了尺規(guī)作圖的定義，正確根據(jù)題意判斷能否畫(huà)出固定圖形進(jìn)而判斷是解題關(guān)鍵．5．(本題2分)（2022秋·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）①AD是的平分線；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)作圖的過(guò)程可得AD是的平分線，再逐個(gè)推理判斷即可．【規(guī)范解答】根據(jù)作圖的過(guò)程可知：是的平分線，故①正確；當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有條件，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有條件，故③錯(cuò)誤；沒(méi)有條件能說(shuō)明，故④錯(cuò)誤；故正確的是：①．故選：．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了基本作圖中的作角平分線，能根據(jù)作圖步驟判斷出是作角平分線是解題的關(guān)鍵．6．(本題2分)（2022秋·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，以點(diǎn)A為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)D，連接，再分別以點(diǎn)B，D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線交于點(diǎn)E，連接，則下列結(jié)論：①平分；②是等邊三角形；③垂直平分線段；④是等腰三角形，其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【思路點(diǎn)撥】由作圖可判斷①，由，，可判斷②，證明，，可判斷③，證明，可判斷④，從而可得答案．【規(guī)范解答】解：由作圖可知平分，故①正確，∵，，∴，由作圖可得：，∴是等邊三角形，故②正確，∵平分，∴是的垂直平分線，∴，而，∴，∴，∴，∴，∴，∴垂直平分線段；故③正確，∵，，∴，∴是等腰三角形，故④正確；故選D．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查的是作已知角的角平分線，等腰三角形與等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定，熟練的利用等邊三角形的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．7．(本題2分)（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交、于點(diǎn)和，再分別以、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）①根據(jù)作圖過(guò)程可知，判定的依據(jù)是“”；②是的平分線；③；④點(diǎn)在的中垂線上；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)作圖的過(guò)程可知，，根據(jù)“”判定，從而判定①；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以判定是的角平分線；③利用角平分線的定義可以推知，則由直角三角形的性質(zhì)來(lái)求的度數(shù)；④利用等角對(duì)等邊可以證得的等腰三角形，由線段的垂直平分線的性質(zhì)可以證明點(diǎn)在的中垂線上．【規(guī)范解答】解：①如下圖，連接PM、PN，根據(jù)作圖的過(guò)程可知，，根據(jù)“”判定，故①錯(cuò)誤；②∵，∴,∴是的平分線,故②正確；③在中，，，．又是的平分線，，，即故③正確；④，，點(diǎn)在的中垂線上,故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論是：②③④，共有3個(gè)．故選：C．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及基本作圖，熟練掌握掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．(本題2分)（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖：．按下列步驟作圖：①在射線上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓弧，交射線于點(diǎn)F．連結(jié)；②以點(diǎn)F為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓弧，交弧于點(diǎn)G；③連結(jié)、．作射線．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B．垂直平分C． D．【答案】D【思路點(diǎn)撥】由作法得OC=OF=OG，F(xiàn)G=FC，根據(jù)線段垂直平分線的判定方法可判斷OF垂直平分CG，則可對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷;利用C點(diǎn)與G點(diǎn)關(guān)于OF對(duì)稱(chēng)得到∠FOG=∠FOC=30°，則可對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷;通過(guò)判斷△OCG為等邊三角形可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷;利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OC=2CM，加上CF>CM，F(xiàn)C=FG，則可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【規(guī)范解答】由作法得OC=OF=OG，F(xiàn)G=FC，則OF垂直平分CG，所以B選項(xiàng)的結(jié)論正確；∵C點(diǎn)與G點(diǎn)關(guān)于OF對(duì)稱(chēng)∴∠FOG=∠FOC=30°，∴∠AOG=60°，所以A選項(xiàng)的結(jié)論正確;∴△OCG為等邊三角形，OG=CG，所以C選項(xiàng)的結(jié)論正確;在Rt△OCM中，∵∠COM=30°∴OC=2CM，∵CF>CM，F(xiàn)C=FG，∴OC≠2FG，所以D選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤故選：D.【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查含30度的直角三角形、線段垂直平分線的判定、尺規(guī)作圖、三角形的三邊關(guān)系，等邊三角形，熟練應(yīng)用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)判斷是關(guān)鍵，利用尺規(guī)作圖步驟分析是重點(diǎn)9．(本題2分)（2017秋·新疆烏魯木齊·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB,AC于點(diǎn)M和N,再分別以M,N為圓心,大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D,則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是(

)①AD平分∠BAC；②作圖依據(jù)是S.A．S；③∠ADC=60°；④點(diǎn)D在AB的垂直平分線上A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【規(guī)范解答】①根據(jù)作圖的過(guò)程可以判定AD是∠BAC的∠平分線；②根據(jù)作圖的過(guò)程可以判定出AD的依據(jù)；③利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質(zhì)求∠ADC的度數(shù)；④利用等角對(duì)等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點(diǎn)在AB的中垂線上.解：如圖所示，①根據(jù)作圖的過(guò)程可知，AD是∠BAC的∠平分線；故①正確；②根據(jù)作圖的過(guò)程可知，作出AD的依據(jù)是SSS；故②錯(cuò)誤；③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CBA=60°.又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.故③正確；④∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴點(diǎn)D在AB的中垂線上.故④正確；故選C.“點(diǎn)睛”此題主要考查的是作圖-基本作圖，涉及到角平分線的作法以及垂直平分線的性質(zhì)，熟練根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ADC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.10．(本題2分)（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，畫(huà)射線，交于點(diǎn)D，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路點(diǎn)撥】由作法得BD平分∠ABC，然后利用等腰三角形底角相等計(jì)算即可．【規(guī)范解答】由作法得BD平分∠ABC，∴設(shè)∴∵∴∵∴∵∴，解得∴故選：A【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了等腰三角形底角相等．評(píng)卷人得分二、填空題(共20分)11．(本題2分)（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以頂點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)D，再分別以點(diǎn)C，D為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線交于點(diǎn)F．若，，若的面積為24，則的面積為_(kāi)_________．【答案】54【思路點(diǎn)撥】根據(jù)作圖方法可知為的角平分線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則：，利用的面積為24，求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到的長(zhǎng)度，利用三角形的面積公式，求出的面積，進(jìn)而求出的面積．【規(guī)范解答】解：由作圖方式可知：為的角平分線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：54．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查角平分線的性質(zhì)．熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，是解題的關(guān)鍵．12．(本題2分)（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，是邊上的中線，是外角的平分線，以點(diǎn)D為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H．再分別以點(diǎn)G、H為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在內(nèi)部交于點(diǎn)Q，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)F，則的長(zhǎng)度為_(kāi)______．【答案】【思路點(diǎn)撥】由等腰三角形的性質(zhì)得，，勾股定理求出，是的平分線和作圖證是等腰直角三角形，然后解三角形即可求出的長(zhǎng).【規(guī)范解答】解：，是等腰三角形，是邊上的中線，是邊上的高和的平分線，，，，∴∵是的平分線，由作圖可知是的平分線故答案為：8．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了作圖——基本作圖、等腰三角形的判定、等腰直角三角形、勾股定理；解決本題的關(guān)鍵是掌握畫(huà)一個(gè)角的平分線的方法．13．(本題2分)（2022秋·天津和平·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，以為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交、于點(diǎn)和，再分別以、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的結(jié)論有______．（只填序號(hào)）①是的平分線；②；③點(diǎn)在的垂直平分線上；④若，則點(diǎn)到的距離是1；⑤．【答案】①②③④【思路點(diǎn)撥】根據(jù)作圖過(guò)程可得是的平分線，可以判斷①；根據(jù)中，，，可得，再根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余求出，可以判斷②；根據(jù)，得出，可以判斷③；過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)“直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”可得，可以判斷④；根據(jù)面積公式可以判斷⑤，進(jìn)而可得答案．【規(guī)范解答】解：根據(jù)作圖過(guò)程可知，是的平分線，故①正確；∵在中，，，∴，∴，∵，∴，故②正確；∵，∴，∴點(diǎn)在的垂直平分線上，故③正確；如下圖，過(guò)點(diǎn)作于，∵，∴，即點(diǎn)到的距離是1，故④正確；∵，，∴，∵，∴，又∵，，∴，故⑤錯(cuò)誤．綜上所述，正確的有①②③④．故答案為：①②③④．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了作圖—基本作圖、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)．14．(本題2分)（2022·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，，，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)G，畫(huà)射線，交于點(diǎn)D，點(diǎn)F在邊上，且，連接，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】10【思路點(diǎn)撥】直接利用基本作圖方法結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)而得出，即可得出答案．【規(guī)范解答】解：∵，，，，由作圖方法可得：平分，，在和中，，，的周長(zhǎng)為：．故答案為：．【考點(diǎn)評(píng)析】此題主要考查了基本作圖以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確理解基本作圖方法是解題關(guān)鍵．15．(本題2分)（2020秋·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，三條公路兩兩相交于A、B、C三點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)商品超市，要求這個(gè)超市到三條公路的距離相等，則可供選擇的地方有______處?(陰影部分不能修建超市)【答案】3【思路點(diǎn)撥】因?yàn)橐饺龡l公路的距離相等，所以超市要選擇的位置是內(nèi)角平分線的交點(diǎn)或者是外角平分線的交點(diǎn)，作圖可知答案．【規(guī)范解答】解：如圖所示，的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，外角平分線的交點(diǎn)，陰影部分不能修建超市，不能修建超市，故滿(mǎn)足條件的修建點(diǎn)共有3處，即點(diǎn)；故答案為：3．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了角平分線的判定定理，熟練掌握：到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，是解答此題的關(guān)鍵．16．(本題2分)（2021·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，以為圓心，為半徑作弧，交于點(diǎn)，分別以，為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____；【答案】【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和得到AB=2BC、∠ABC=60°，再根據(jù)角平分線的作法可得∠1=∠2=30°，進(jìn)而得到∠1=∠A=30°，即BF=AF=4,然后再根據(jù)三角形的性質(zhì)求得FC，最后運(yùn)用勾股定理解答即可．【規(guī)范解答】解：∵，，∴AB=2BC,∠ABC=60°∵作圖可知BC平分∠ABC，BC=BD∴∠1=∠2=30°∴∠1=∠A=30°∴BF=AF=4∵，，∴BF=2FC，即FC=2∴BC=∴BD=BC=．．【考點(diǎn)評(píng)析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、角平分的作法、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的靈活應(yīng)用，掌握含30°直角三角形的性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．17．(本題2分)（2022秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖中，，．通過(guò)觀察尺規(guī)作圖的痕跡，可以發(fā)現(xiàn)直線是線段的_________，射線是的_____；并求的度數(shù)為_(kāi)________．【答案】

垂直平分線

角平分線

##25度【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)作圖痕跡判斷即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線求出∠CAD，可得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：通過(guò)觀察尺規(guī)作圖的痕跡，可以發(fā)現(xiàn)直線DF是線段AB的垂直平分線，射線AE是∠DAC的角平分線．∵DF垂直平分線段AB，∴DA=DB，∴∠BAD=∠B=40°，∵∠B=40°，∠C=50°，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=50°，∵AE平分∠CAD，∴∠DAE=∠CAD=25°．故答案為：垂直平分線，角平分線，25°；【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查作圖-基本作圖，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．18．(本題2分)（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，分別以點(diǎn)、為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于點(diǎn)、，作直線交點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交、于點(diǎn)、，再分別以點(diǎn)、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，此時(shí)射線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則________度．【答案】34【思路點(diǎn)撥】由作圖可得MN是線段AB的垂直平分線，BD是∠ABC的平分線，根據(jù)它們的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得解．【規(guī)范解答】由作圖可得，MN是線段AB的垂直平分線，BD是∠ABC的平分線，∴AD=BD，∴∴∵，且，∴，即，∴．故答案為：34．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，作線段垂直平分線和角平分線，熟練掌握角平分線和垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．(本題2分)（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交、于點(diǎn)、；②分別以點(diǎn)、為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】12【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，由題意得AD平分∠CAB，證明Rt△ACD≌Rt△AED，推出AC=AE，勾股定理求出BE，設(shè)AC=x則AB=x+3，根據(jù)勾股定理列得，求出x即可．【規(guī)范解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，由題意得AD平分∠CAB，∵CD⊥AC，∴CD=DE=4，∵∠AED=∠C=90°，AD=AD，CD=DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE，∵BC=9，∴BD=5，∴，設(shè)AC=x則AB=x+3，∵，∴，解得x=12，故答案為：12．【考點(diǎn)評(píng)析】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理求線段長(zhǎng)度，正確掌握角平分線的作圖方法是解題的關(guān)鍵．20．(本題2分)（2022·四川成都·石室中學(xué)校考一模）如圖，ABC的面積是18cm2，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑交弧，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AP于點(diǎn)D，連接BD，則DAB的面積是_____cm2．【答案】9【思路點(diǎn)撥】延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)T．根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)證明CD＝DT，進(jìn)而得到S△ACD＝S△ADT，S△CDB＝S△DBT，可得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：如圖，延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)T．由作圖可知，AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAT，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠DAT+∠ATD＝90°，∴∠ACD＝∠ATD，∴AC＝AT，∴CD＝DT，∴S△ACD＝S△ADT，S△CDB＝S△DBT，∴S△ADB＝S△ABC＝9（cm2）．故答案為：9【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查作圖﹣基本作圖，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)等知識(shí)，熟知相關(guān)定理并證明CD＝DT是解題關(guān)鍵．評(píng)卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，．(1)通過(guò)觀察尺規(guī)作圖的痕跡，可以發(fā)現(xiàn)直線是線段的，射線是的；(2)在（1）所作的圖中，求的度數(shù)．【答案】(1)垂直平分線，角平分線(2)【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)作圖痕跡判斷即可．（2）由垂直平分線的性質(zhì)得，得，進(jìn)一步求出，由角平分線定義可得結(jié)論．【規(guī)范解答】（1）通過(guò)觀察尺規(guī)作圖的痕跡，可以發(fā)現(xiàn)直線是線段的垂直平分線，射線是的角平分線．故答案為：垂直平分線，角平分線．（2）∵垂直平分線段，∴，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查作圖-基本作圖，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．22．(本題6分)（2023秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．(1)實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)注相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．①作的平分線；②連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G；③過(guò)點(diǎn)A作的垂線，垂足為F．(2)猜想與證明：猜想與有怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，．理由見(jiàn)解析【思路點(diǎn)撥】（1）利用基本作圖（作一個(gè)角的平分線和過(guò)一點(diǎn)作直線的垂線）求解；（2）先利用等腰三角形的性質(zhì)得，再利用三角形外角性質(zhì)和角平分線定義可得，則可判斷；接著根據(jù)“”證明得到，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由得到，所以．【規(guī)范解答】（1）如圖所示；（2），．理由如下：∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，即；∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．23．(本題8分)（2023秋·山西朔州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，為邊上的高線，，．(1)尺規(guī)作圖：作出的角平分線，與交于點(diǎn)E．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)角平分線的定義作出圖形即可；（2）由三角形內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，由角平分線可得，再根據(jù)外角的性質(zhì)可求得結(jié)果．【規(guī)范解答】（1）解：如圖，線段即為所求．（2）∵，又∵平分，∴，∴．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查作圖——尺規(guī)作圖，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖．24．(本題8分)（2022秋·江西新余·八年級(jí)統(tǒng)考期末）現(xiàn)要在三角地ABC內(nèi)建一中心醫(yī)院，使醫(yī)院到A、B兩個(gè)居民小區(qū)的距離相等，并且到公路AB和AC的距離也相等，請(qǐng)確定這個(gè)中心醫(yī)院的位置．（請(qǐng)用尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡）【答案】見(jiàn)解析【思路點(diǎn)撥】以點(diǎn)、為圓心，以大于的長(zhǎng)度為半徑，分別在線段兩側(cè)畫(huà)弧，相交于兩點(diǎn)，連接兩交點(diǎn)并延長(zhǎng)，形成直線，然后以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與線段、相交于兩點(diǎn)，再以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)作點(diǎn)的射線，與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)即為這個(gè)中心醫(yī)院的位置．【規(guī)范解答】解：如圖，為這個(gè)中心醫(yī)院的位置．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了尺規(guī)作圖、線段垂直平分線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握利用尺規(guī)作線段的垂直平分線和角的角平分線．25．(本題8分)（2023秋·湖北省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是的正方形網(wǎng)格，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺完成下列作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡．(1)在圖1中作的角平分線；(2)在圖2中過(guò)點(diǎn)作直線，使點(diǎn)，到直線的距離相等，請(qǐng)作出所有滿(mǎn)足條件的直線．【答案】(1)圖見(jiàn)解析(2)圖見(jiàn)解析【思路點(diǎn)撥】（1）連接，，與交于點(diǎn)，作射線即可；（2）取格點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)作直線，或者連接，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，作直線．【規(guī)范解答】（1）解：如圖1，連接、，與交于點(diǎn)，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位，線段和是矩形的兩條對(duì)角線且交于點(diǎn)，，又，，，，，平分，射線即為所作；（2）解：如圖2，符合條件的直線有兩條，分別為直線和直線．直線：連接、、、，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位，，，，，，四邊形是菱形，又，，，在和中，，，，，，四邊形是正方形，，，且，直線即為所作．直線：連接，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，作直線，作，垂足為點(diǎn)，作，垂足為，、是矩形的對(duì)角線，，，，，,,直線即為所作．故符合條件的直線有兩條，分別為直線和直線．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．26．(本題8分)（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在7×5的網(wǎng)格中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn)，如、、都是格點(diǎn)，且，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺在給定網(wǎng)格中畫(huà)出下列圖形，并保留作圖痕跡．（畫(huà)圖過(guò)程用虛線表示，畫(huà)圖結(jié)果用實(shí)線表示）(1)①畫(huà)的角平分線；②畫(huà)的中線；(2)畫(huà)的角平分線；(3)畫(huà)到直線，，的距離相等的格點(diǎn)P，并寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)_____．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)或【思路點(diǎn)撥】（1）①根據(jù)四邊形是正方形，連接，交于點(diǎn)E，則即為所求；②根據(jù)，，判定與的交點(diǎn)D是其中點(diǎn)，連接即為所求．（2）構(gòu)造等腰，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)判定即可．（3）根據(jù)角平分線的交點(diǎn)到各邊的距離相等，畫(huà)圖計(jì)算即可．【規(guī)范解答】（1）解：①如圖，∵四邊形是正方形，∴連接，交于點(diǎn)E，則即為所求；②如圖，設(shè)與的交點(diǎn)是D，∵，，∴，∴與的交點(diǎn)D是其中點(diǎn)，連接，則即為所求．（2）解：如圖，設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為H，∵，，∴，∴等腰，連接，則點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接，則即為所求．（3）解：∵角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，∴和的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)P，如圖所示的；當(dāng)點(diǎn)P在的外部時(shí)，根據(jù)正方形，得到平分，∵在上，∴也是符合題意的，此時(shí)，故答案為：或．【考點(diǎn)評(píng)析】本題考查了網(wǎng)格上作圖，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握網(wǎng)格作圖的基本依據(jù)是解題的關(guān)鍵．27．(本題8分)（2022秋·廣東惠州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）尺規(guī)作圖：如圖，已知，作的平分線，并在上任取一點(diǎn)，分別在、上各取一點(diǎn)，作和，使得．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（i）如圖，在中，是直角，，、分別是、的平分線，和相交于點(diǎn)．請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系；（ii）如圖，在中，如果不是直角，而（i）中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在（i）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）（i）