專題09 三角形中位線定理 帶解析

2022-2023學年蘇科版八年級數(shù)學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題09三角形中位線定理一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?雨花區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD中，R、P分別是BC、CD上的點，E、F分別是AP、RP的中點，當點P在CB上從C向D移動而點R不動時，那么下列結(jié)論成立的是（）A．線段EF的長逐漸增大 B．線段EF的長逐漸減小 C．線段EF的長不變 D．線段EF的長與點P的位置有關(guān)解：如圖，連接AR，∵E、F分別是AP、RP的中點，∴EF是△APR的中位線，∴EF＝AR，∵點R不動，∴AR大小不變，∴線段EF的長不變，故選：C．2．（2分）（2022秋?二道區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝13，BD平分∠ABC交AC于點D，點F在BC上，且BF＝5，連接AF，E為AF的中點，連接DE，則DE的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6解：∵BC＝13，BF＝5，∴FC＝BC﹣BF＝13﹣5＝8，∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位線，∴DE＝FC＝×8＝4．故選：B．3．（2分）（2022春?橫縣期中）如圖，△ABC中，M是BC的中點，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，若AC＝9，DM＝2，則AB等于（）A．4 B．5 C．6 D．8解：如圖，延長BD與AC相交于點F，∵M為BC中點，∴DM是△BCF的中位線，∴DM＝CF＝2．∴CF＝4．∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴AF＝AB，BD＝DF，∵AC＝9，∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝9﹣AB＝4，∴AB＝5．故選：B．4．（2分）（2022春?新城區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，若DE是△ABC的中位線，延長DE，交△ABC的外角∠ACM的平分線于點F，則線段DF的長為（）A．4 B． C． D．5解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝5，∵DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC＝1.5，DE∥BC，EC＝AC＝2.5，∴∠EFC＝∠FCM，∵CF是∠ACM的平分線，∴∠ECF＝∠FCM，∴∠EFC＝∠ECF，∴EF＝EC＝2.5，∴DF＝DE+EF＝1.5+2.5＝4，故選：A．5．（2分）（2022春?樂陵市期末）數(shù)學課上，大家一起研究三角形中位線定理的證明，小麗和小亮在學習思考后各自嘗試作了一種輔助線，如圖1，2．其中輔助線作法能夠用來證明三角形中位線定理的是（）圖1為小麗的輔助線作法：延長DE到F，使EF＝DE，連接DC、AF、FC．圖2為小亮的輔助線作法：過點E作GE∥AB，過點A作AF∥BC，GE與AF交于點F．A．小麗和小亮的輔助線作法都可以 B．小麗和小亮的輔助線作法都不可以 C．小麗的輔助線作法可以，小亮的不可以 D．小亮的輔助線作法可以，小麗的不可以解：小麗的作法：∵AE＝EC，DE＝EF，∴四邊形ADCF為平行四邊形，∴CF＝AD，CF∥AD，∵AD＝DB，∴DB＝CF，∴四邊形DBCF為平行四邊形，∴DE＝BC，DE∥BC，能夠用來證明三角形中位線定理；小亮的作法：∵GE∥AB，AF∥BC，∴四邊形ABGF為平行四邊形，∴AB＝FG，AF＝BG，∵DB＝AB，EG＝FG，∴BD＝EG，∴四邊形DBGE為平行四邊形，∴DE＝BG，DE∥BG，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠CGE，在△AEF和△CEG中，，∴△AEF≌△CEG（AAS），∴AF＝GC，∴BG＝GC，∴DE＝BC，能夠用來證明三角形中位線定理，故選：A．6．（2分）（2022春?通川區(qū)期末）如圖，在△ABC中，M是BC邊的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，若AB＝8，MN＝2，則AC的長為（）A．8 B．10 C．12 D．14解：如圖，延長BN交AC于點D，∵AN平分∠BAC，∴∠BAN＝∠DAN，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°，在△ANB與△AND中，，∴△ANB≌△AND（ASA），∴AB＝AD＝8，BN＝DN，又∵M是BC邊的中點，∴MN是△BCD的中位線，∴MN＝CD，∵MN＝2，∴CD＝4，∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，故選：C．7．（2分）（2022春?禪城區(qū)期末）已知：△ABC中，D、E、F分別是邊BC、CA、AB的中點，則四邊形AFDE的周長等于（）A．AB+AC B．BA+BC C．CA+CB D．△ABC的周長解：如圖1，∵D、E、F分別是邊BC、CA、AB的中點，∴DF＝AC，DE＝AB，AF＝AB，AE＝AC，∴四邊形AFDE的周長為AF+DF+CE+AE＝AB+AC+AB+AC＝AB+AC，故選：A．8．（2分）（2022春?青山區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，點D，E分別是邊AB，AC的中點，延長BC到點F，使CF＝BC，若EF＝4，則DE的長為（）A．4 B． C．2 D．解：如圖，連接DC，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，點D是邊AB的中點，∴DC＝AB，BC＝AB，∴BC＝DC，∵點D，E分別是邊AB，AC的中點，∴DE∥CF，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴DC＝EF＝4，∴BC＝4，∴DE＝×4＝2．故選：C．9．（2分）（2021春?金壇區(qū)期中）如圖，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，點E、F分別是邊AD、BC的中點，連接EF，則EF的長是（）A． B．5 C． D．10解：如圖，取AB的中點G，連接EG、FG，∵E、F分別是邊AD、CB的中點，∴EG∥BD且EG＝BD＝×8＝4，F(xiàn)G∥AC且FG＝AC＝×6＝3，∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF＝＝＝5．故選：B．10．（2分）（2022春?高唐縣期末）如圖，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，則AC的值為（）A．6 B． C．7 D．8解：如圖，延長BD，交AC于F，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，在△ABD和△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（ASA），∴BD＝DF，AF＝AB＝4，∵BE＝CE，∴CF＝2DE＝3，∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，故答案為：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2020春?凱里市期末）如圖，CD是△ABC的中線，點E、F分別是AC、DC的中點，若，則AB＝6．解：∵點E、F分別是AC、DC的中點，∴EF是△ACD的中位線，∴AD＝2EF＝3，∵CD是△ABC的中線，∴AB＝2AD＝6，故答案為：6．12．（2分）（2022春?南崗區(qū)校級期中）如圖，△ABE中，∠B＝60°，D為AB上一點，C為BE延長線上一點，連接CD、AE，取AE中點F，取CD中點G，連接FG，若AD＝8，CE＝10，則FG＝．解：連接AC，取AC中點M，連接MF、MG，作GN⊥MF于N．∵G為CD的中點，∴MG∥AD，MF∥BC，MF＝，MG＝＝＝4，∵∠B＝60°，∴∠FMG＝60°，∴∠MGN＝30°，∴MN＝＝＝2，NG＝＝2，∴NF＝MF﹣MN＝5﹣2＝3，∴FG＝＝＝．13．（2分）（2022春?興城市期末）如圖，△ABC中，D、F分別是AC、BC的中點，E在DF上，且BE⊥CE，若AB＝8，BC＝6，則DE＝1．解：∵D、F分別是AC、BC的中點，∴DF是△ABC的中位線，∴DF＝AB＝×8＝4，∵BE⊥CE，∴∠BEC＝90°，在Rt△BEC中，∠BEC＝90°，F(xiàn)是BC的中點，∴EF＝BC＝3，∴DE＝DF﹣EF＝4﹣3＝1，故答案為：1．14．（2分）（2022?華鎣市模擬）如圖，在邊長為a的等邊△ABC中，分別取△ABC三邊的中點A1，B1，C1，得△A1B1C1；再分別取△A1B1C1三邊的中點A2，B2，C2，得△A2B2C2；這樣依次下去…，經(jīng)過第2022次操作后得△A2022B2022C2022，則△A2022B2022C2022的面積為a2．解：∵點A1、B1分別是CA、CB的中點，∴點A1B1是△ABC的中位線，∴A1B1＝AB＝a，同理可得：A2B2＝A1B1＝a，……則A2022B2022＝a，∴S＝（a）2＝a2，故答案為：a2．15．（2分）（2022春?府谷縣期末）如圖，在?ABCD中，點E、F分別為AD、DC的中點，過點C作CM⊥AB交AB延長線于M，連接EF，若CD＝4，BM＝2，CM＝6，則EF的長為3．解：連接AC，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD＝4，∴AM＝AB+BM＝4+2＝6，∴AC＝＝＝6，∵點E、F分別為AD、DC的中點，∴EF是△ADC的中位線，∴EF＝AC＝3，故答案為：3．16．（2分）（2022春?寶應(yīng)縣期末）如圖，四邊形ABCD中，AB＝CD＝6，且AB與CD不平行，P、M、N分別是AD、BD、AC的中點，設(shè)△PMN的面積為S，則S的范圍是0＜S≤4.5．解：作ME⊥PN，如圖所示，∵P，M，N分別是AD，BD，AC中點，∴PM＝AB＝3，PN＝CD＝3，∴S△PMN＝PN?ME＝1.5ME，∵AB與CD不平行，∴M，N不能重合，∴ME＞0．∵ME≤MP＝3．∴0＜S△≤4.5．故答案是：0＜S≤4.5．17．（2分）（2022春?黃陵縣期末）如圖，點D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點，AH是△ABC的高，如果HF＝5，則ED的長為5．解：∵AH是△ABC的高，∴∠AHC＝90°，∵∠AHC＝90°，F(xiàn)是邊AC的中點，∴AC＝2HF＝10，∵D、E分別是△ABC各邊的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AC＝5．故答案為：5．18．（2分）（2022春?漣水縣期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，點N是BC邊上一點，點M為AB邊上的動點，點D、E分別為CN、MN的中點，則DE的最小值是．解：如圖，連接CM，∵點D、E分別為CN，MN的中點，∴DE＝CM．當CM⊥AB時，CM的值最小，此時DE的值也最小．由勾股定理得：AB＝＝＝13．∵S△ABC＝?AB?CM＝?AC?BC，∴CM＝．∴DE＝CM＝．故答案是：．19．（2分）（2021秋?北碚區(qū)校級期末）已知在△ABC中，AC＝6cm，點D、E分別是AC、BC的中點，連接DE，在DE上有一點F，EF＝1cm，連接AF，CF，若AF⊥CF，則AB＝8cm．解：在Rt△AFC中，點D是AC的中點，AC＝6cm，∴DF＝AC＝×6＝3（cm），∵EF＝1cm，∴DE＝DF+EF＝3+1＝4（cm），∵點D，E分別是AC，BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴AB＝2DE＝2×4＝8（cm），故答案為：8cm．20．（2分）（2022?上蔡縣模擬）若將三個如圖1所示的直角三角形拼成如圖2所示的圖形，在圖2中標記字母，并連接AE，CD，G，H分別為AE，CD的中點，連接GH，如圖3所示．若AC＝2，則GH的長為．解：根據(jù)題意可知：Rt△ABC≌Rt△DEB≌Rt△FCE，∴BC＝BC＝CE，∴△BCE是等邊三角形，∴∠BCE＝60°，如圖，取CE的中點Q，連接GQ，HQ，過點G作GN⊥HQ于點N，∵G，H分別為AE，CD的中點，∴GQ∥AC，GQ＝AC＝2＝1，∴∠GQC+∠ACQ＝180°，∴∠GQC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵△ADF是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴AB＝DE＝2AC＝4，∵H是CD中點，Q是CE中點，∴HQ∥DE，HQ＝DE＝4＝2，∴∠HQC＝∠CEF＝90°，∴∠GQH＝90°﹣30°＝60°，∵GN⊥HQ，GQ＝1，∴NQ＝GQ＝，∴GN＝，∴NH＝HQ﹣NQ＝2﹣＝，∴GH＝＝＝．故答案為：．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022春?寧都縣期末）如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對角線，E、F分別為AD、BC的中點，G、H分別為BD、AC的中點．請你判斷EF與GH的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：EF與GH互相平分，理由如下：連接EG、GF、FH、EH，∵E、F分別為AD、BC的中點，G、H分別為BD、AC的中點，∴EG是△ADB的中位線，F(xiàn)H是△ACB的中位線，∴EG＝AB，EG∥AB，F(xiàn)H＝AB，F(xiàn)H∥AB，∴EG＝FH，EG∥FH，∴四邊形EGFH為平行四邊形，∴EF與GH互相平分．22．（6分）（2022春?海淀區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，在邊AC上截取AD＝AB，連接BD，過點A作AE⊥BD于點E，F(xiàn)是邊BC的中點，連接EF．若AB＝5，BC＝12，求EF的長度．解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，則AC＝＝＝13，∵AD＝AB＝5，∴DC＝AC﹣AD＝13﹣5＝8，∵AD＝AB，AE⊥BD，∴BE＝ED，∵BF＝FC，∴EF＝DC＝4．23．（7分）（2021秋?桓臺縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的長；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求證：AB2+CD2＝4EF2．（1）解：如圖，取BD的中點P，連接EP、FP．∵E，F(xiàn)分別是AD、BC的中點，AB＝6，CD＝8，∴PE∥AB，且PE＝AB＝3，PF∥CD且PF＝CD＝4．又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5，即EF＝5；（2）證明：如圖，取BD的中點P，連接EP、FP．∵E，F(xiàn)分別是AD、BC的中點，∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD且PF＝CD．∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，∴∠BDC＝90°+∠ABD，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，∴AB2+CD2＝4EF2．24．（8分）（2022春?西城區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點E，點F是BC的中點．（1）如圖1，BE的延長線與AC邊相交于點D，求證：EF＝（AC﹣AB）；（2）如圖2，寫出線段AB、AC、EF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（1）證明：如圖1中，∵AE⊥BE，∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AD，∵AE⊥BE，∴BE＝DE，∵BF＝FC，∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．（2）結(jié)論：EF＝（AB﹣AC），理由：如圖2中，延長AC交BE的延長線于點P．∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，∵∠BAE＝∠PAE，∴∠ABE＝∠APE，∴AB＝AP，∵AE⊥BD，∴BE＝PE，∵BF＝FC，∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．25．（8分）（2022春?撫遠市期末）如圖，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，E為BC中點．求DE的長．解：如圖，延長BD與AC相交于點F，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴∠DAB＝∠DAF，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF，∴△ADB≌△ADF，∴AF＝AB，BD＝DF，∵AB＝6，AC＝10，∴CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB＝10﹣6＝4，∵E為BC中點，∴DE是△BCF的中位線，∴DE＝CF＝×4＝2．26．（8分）（2022春?西峰區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．（1）求證：AF＝DC；（2）若AB＝AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．（1）證明：∵E是AD的中點，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE．在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF＝DB．∵AD是BC邊上的中線，∴DC＝DB，∴AF＝DC；（2）解：四邊形ADCF是矩形．證明：連接DF，由（1）得AF＝DB，AF∥DB，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AB＝DF，∵AB＝AC，∴AC＝DF，由（1）得AF＝DC，AF∥DC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∴四邊形ADCF是矩