滬教版九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型通關(guān)講解練第03講三角形一邊的平行線(原卷版+解析)

第03講三角形一邊的平行線【知識(shí)梳理】1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖，已知，直線，且與、所在直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，那么．2、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上，，那么．3、三角形的重心定義：三角形三條中線交于一點(diǎn)，三條中線交點(diǎn)叫三角形的重心．性質(zhì)：三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍．4、三角形一邊的平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．5、三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形的兩邊的延長(zhǎng)線（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．如圖，在中，直線與、所在直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，如果那么//．6、平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖，直線////，直線與直線被直線、、所截，那么．BBCDEFG7、平行線等分線段定理兩條直線被三條平行的直線所截，如果一條直線上截得的線段相等，那么另一條直線上截得的線段也相等．【考點(diǎn)剖析】一．三角形的重心（共13小題）1．（2023?青浦區(qū)一模）三角形的重心是（）A．三角形三條角平分線的交點(diǎn) B．三角形三條中線的交點(diǎn) C．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三角形三條高的交點(diǎn)2．（2023?奉賢區(qū)一模）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，G是重心．如果AD＝6，那么線段DG的長(zhǎng)是．3．（2022秋?楊浦區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)G是△ABC的重心，如果AG＝4，那么BC的長(zhǎng)為．4．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足為E，如果CB＝10，則線段GE的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．5．（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，那么S△BCG：S△ABC等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：56．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，G是△ABC的重心，延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)E，P、Q分別是△BCE和△BCD的重心，BC長(zhǎng)為6，則PQ的長(zhǎng)為．7．（2022秋?徐匯區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，以AC為邊在△ABC外作等邊△ACD，設(shè)點(diǎn)E、F分別是△ABC和△ACD的重心，則兩重心E與F之間的距離是．8．（2022秋?黃浦區(qū)月考）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，那么S△ABG：S△ABC＝．9．（2023?金山區(qū)一模）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1為△ABC的重心，E為線段AB上任意一動(dòng)點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE（點(diǎn)D在直線BC的上方），G2為Rt△CDE的重心，設(shè)G1、G2兩點(diǎn)的距離為d，那么在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中d的取值范圍是．10．（2023?松江區(qū)一模）已知△ABC，P是邊BC上一點(diǎn)，△PAB、△PAC的重心分別為G1、G2，那么的值為．11．（2022秋?徐匯區(qū)期中）已知點(diǎn)G是等腰直角三角形ABC的重心，AC＝BC＝6，那么AG的長(zhǎng)為．12．（2018?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）G為重心，DE過(guò)重心，S△ABC＝1，求S△ADE的最值，并證明結(jié)論．13．（2019秋?嘉定區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作EF∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，且EF+BC＝7.2cm，求BC的長(zhǎng)．二．平行線分線段成比例（共19小題）14．（2022秋?徐匯區(qū)期末）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，要使DE∥AC，那么BE必須等于．15．（2022秋?閔行區(qū)期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1、l2于點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、D、F，如果AC：CE＝3：1，BF＝10，那么DF等于（）A． B． C． D．16．（2023?寶山區(qū)一模）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，如果AD：BD＝1：3，那么下列條件中能判斷DE∥BC的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．17．（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）如果點(diǎn)H、G分別在△DEF中的邊DE和DF上，那么不能判定HG∥EF的比例式是（）A．DH：EH＝DG：GF B．HG：EF＝DH：DE C．EH：DE＝GF：DF D．DE：DF＝DH：DG18．（2023?徐匯區(qū)一模）如圖，a∥b∥c，若，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．19．（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，AC：AE＝3：5，那么下列結(jié)論正確的是（）A．BD：DF＝2：3 B．AB：CD＝2：3 C．CD：EF＝3：5 D．DF：BF＝2：520．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)一模）如圖，AD∥BE∥CF，已知AB＝5，DE＝6，AC＝15，那么EF的長(zhǎng)等于．21．（2023?松江區(qū)一模）如圖，已知直線AD∥BE∥CF，如果＝，DE＝3，那么線段EF的長(zhǎng)是．22．（2022秋?松江區(qū)月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，且DE∥BC，AD＝3，AB＝4，AC＝6，求EC．23．（2022秋?松江區(qū)月考）如圖，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．（1）求EC的值；（2）求證：AD?AG＝AF?AB．24．（2023?崇明區(qū)一模）四邊形ABCD中，點(diǎn)F在邊AD上，BF的延長(zhǎng)線交CD的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，下列式子中能判斷AD∥BC的式子是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝25．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝24，那么BC的長(zhǎng)等于（）A．4 B． C． D．826．（2022秋?浦東新區(qū)期末）如圖，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正確的是（）A． B． C． D．27．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知直線l1、l2、l3分別交直線l4于點(diǎn)A、B、C，交直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝3，DF＝12，則DE＝．28．（2022?寶山區(qū)二模）已知：如圖，點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．（1）如果AB＝2AC，求證：四邊形ADFE是菱形；（2）如果AB＝AC，且BC＝1，聯(lián)結(jié)DE，求DE的長(zhǎng)．29．（2021秋?楊浦區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)D為△ABC中內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別為線段AB、AC、AD上一點(diǎn)，且EG∥BD，GF∥DC．（1）求證：EF∥BC；（2）當(dāng)，求的值．30．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長(zhǎng)．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長(zhǎng)．31．（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的長(zhǎng)；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的長(zhǎng)．32．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、F、D分別是∠O兩邊上的點(diǎn)，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于點(diǎn)M，CD、EF交于點(diǎn)N．（1）求證：AF∥CD；（2）若OA：AC：CE＝3：2：4，AM＝1，求線段DN的長(zhǎng)．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·上?！ば？家荒＃┤鐖D，已知，，，那么的長(zhǎng)等于（

）A．4 B． C． D．82．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)?？计谥校┰谥?，、分別在的邊、上，下列條件中不能判定的是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）在中，點(diǎn)E、D、F分別在邊AB、BC、AC上，聯(lián)結(jié)DE、DF，如果，，，那么的值是（

）A． B． C． D．4．（2021秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)D、點(diǎn)F在的邊上，點(diǎn)E在邊上，，且，要使得，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是（

）A． B． C． D．5．（2023·上海浦東新·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)、分別在、上，以下能推得的條件是（

）A． B．C． D．6．（2022秋·上海崇明·九年級(jí)?？计谥校┰谥校c(diǎn)D、E分別在邊、上，如果，，那么由下列條件能夠判定的是（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2022秋·上海嘉定·九年級(jí)校考期中）在中，點(diǎn)、分別在線段、的延長(zhǎng)線上，平行于，，，，那么___________．8．（2022春·上海普陀·九年級(jí)校考期中）如圖，中，E是邊的中點(diǎn)，交對(duì)角線于點(diǎn)F，那么的值為_(kāi)___．9．（2022秋·上海黃浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，、相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在、上，，如果，，，，那么___________．10．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，四邊形ABCD中，，如果，則的長(zhǎng)是________．11．（2022秋·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，點(diǎn)、分別在直線、上，如果，，，，那么________．12．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，點(diǎn)分別在邊上，，，當(dāng)______時(shí)，．13．（2022秋·上海長(zhǎng)寧·九年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)D、F在線段上，點(diǎn)E、G在線段上，，，如果，那么的長(zhǎng)為_(kāi)_______．14．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知為角平分線，，如果，，那么______．15．（2017秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？计谥校┤鐖D，直線，直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．16．（2022秋·上海青浦·九年級(jí)校考期中）如圖，在梯形中，，對(duì)角線相較于點(diǎn)O，已知的面積為2，的面積為4，那么_____________．17．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)校考期中）如圖，四邊形中，，如果，，，則的長(zhǎng)是__________．18．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）如圖，已知，，，那么的長(zhǎng)等于______．三、解答題19．（2019秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)、在上，點(diǎn)在邊上，且，．求證：．20．（2021秋·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的長(zhǎng)；（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的長(zhǎng)．21．（2022秋·上海寶山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的方法，在至今仍有借鑒意義．(1)如圖1已知小明的身高是1.6米，他在路燈AB下的影子長(zhǎng)為2米，此時(shí)小明距路燈燈桿的底部3米，求燈桿AB的高度；(2)如圖2現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測(cè)得其影長(zhǎng)CH為1米，再將木桿沿著B(niǎo)C方向移動(dòng)1.8米至DE的位置，此時(shí)測(cè)得其影長(zhǎng)DF為3米，求燈桿AB的高度．22．（2022秋·上海嘉定·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，，．(1)求證：；(2)求．23．（2022秋·上海楊浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)D、E分別在的邊、上，．如果，．求．24．（2022秋·上海松江·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，且，AD＝3，AB＝4，AC＝6，求EC．25．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知直線，直線和被、、所截．若，，．(1)求、的長(zhǎng)；(2)如果，，求的長(zhǎng)．26．（2022秋·上海徐匯·九年級(jí)校考期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)B到直線的距離；(2)將正方形沿直線翻折后，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，連接交正方形的一邊于點(diǎn)F，如果，求的長(zhǎng)．第03講三角形一邊的平行線【知識(shí)梳理】1、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖，已知，直線，且與、所在直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，那么．2、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上，，那么．3、三角形的重心定義：三角形三條中線交于一點(diǎn)，三條中線交點(diǎn)叫三角形的重心．性質(zhì)：三角形重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍．4、三角形一邊的平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．5、三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形的兩邊的延長(zhǎng)線（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．如圖，在中，直線與、所在直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，如果那么//．6、平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖，直線////，直線與直線被直線、、所截，那么．BBCDEFG7、平行線等分線段定理兩條直線被三條平行的直線所截，如果一條直線上截得的線段相等，那么另一條直線上截得的線段也相等．【考點(diǎn)剖析】一．三角形的重心（共13小題）1．（2023?青浦區(qū)一模）三角形的重心是（）A．三角形三條角平分線的交點(diǎn) B．三角形三條中線的交點(diǎn) C．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) D．三角形三條高的交點(diǎn)【分析】根據(jù)三角形的重心概念作出回答，結(jié)合選項(xiàng)得出結(jié)果．【解答】解：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)；三角形的內(nèi)心是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)．2．（2023?奉賢區(qū)一模）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，G是重心．如果AD＝6，那么線段DG的長(zhǎng)是2．【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)三角形的重心到一頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，直接求得結(jié)果．【解答】解：∵三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是其到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍，∴DG＝AG＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心，熟知心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?楊浦區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)G是△ABC的重心，如果AG＝4，那么BC的長(zhǎng)為12．【分析】延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)D，根據(jù)重心的性質(zhì)可知點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，且AG＝2DG＝4，則AD＝6，再根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)D．∵點(diǎn)G是△ABC的重心，AG＝4，∴點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，且AG＝2DG＝4，∴DG＝2，∴AD＝AG+DG＝6，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊的中線，∴BC＝2AD＝12．故答案為12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形重心的定義及性質(zhì)，三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．同時(shí)考查了直角三角形的性質(zhì)．4．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足為E，如果CB＝10，則線段GE的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【分析】因?yàn)辄c(diǎn)G是△ABC的重心，根據(jù)三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)以及重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比是2：1，可知點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，，根據(jù)GE⊥AC，可得∠AEG＝90°，進(jìn)而證得△AEG∽△ACD，從而得到，代入數(shù)值即可求解．【解答】解：如圖，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D．∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，，∵CB＝10，∴，∵GE⊥AC，∴∠AEG＝90°，∵∠C＝90°，∴∠AEG＝∠C＝90°，∵∠EAG＝∠CAD（公共角），∴△AEG∽△ACD，∴，∵，∴，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的重心的定義及其性質(zhì)，熟練運(yùn)用三角形重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，那么S△BCG：S△ABC等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5【分析】連接AG延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，由G是重心可得D是BC的中點(diǎn)，所以S△ABD＝S△ACD，S△BG＝S△CDG，又由重心定理可AG＝2GD，則2S△BGD＝S△ABG，進(jìn)而得到3S△BDG＝S△ABC，即可求解．【解答】解：連接AG延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，∵G是△ABC的重心，∴D是BC的中點(diǎn)，∴S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG，∵AG＝2GD，∴2S△BDG＝S△ABG，∴3S△BGD＝S△ABD，∴3S△BDG＝S△ABC，∴S△BDG：S△ABC＝1：3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的重心，熟練掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面積的特點(diǎn)求解是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，G是△ABC的重心，延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)E，P、Q分別是△BCE和△BCD的重心，BC長(zhǎng)為6，則PQ的長(zhǎng)為1．【分析】連接DE，由G是△ABC的重心，可證DE是△ABC的中位線，從而可求出DE的長(zhǎng)．延長(zhǎng)EP交BC于F點(diǎn)，連接DF，利用三角形重心的定義和性質(zhì)得到EP＝2PF，DQ＝2QF，再證明△FPQ∽△FED得到即可．【解答】解：連接DE，延長(zhǎng)EP交BC于F點(diǎn)，連接DF，如圖，∵G是△ABC的重心，∴D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴．∵P點(diǎn)是△BCE的重心，∴F點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，EP＝2PF，∵Q點(diǎn)是△BCD的重心，∴點(diǎn)Q在中線DF上，DQ＝2QF，∵∠PFQ＝∠EFD，，∴△FPQ∽△FED，∴，∴，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心，三角形的中位線，相似三角形的判定與性質(zhì)．三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．7．（2022秋?徐匯區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，以AC為邊在△ABC外作等邊△ACD，設(shè)點(diǎn)E、F分別是△ABC和△ACD的重心，則兩重心E與F之間的距離是．【分析】取AC中點(diǎn)O，連接OB、OD、BD、EF．根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AC＝2BC＝2，利用勾股定理得出AB＝，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出CD＝AD＝AC＝2，∠CAD＝60°，那么∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，利用勾股定理求出BD＝．然后證明△EOF∽△BOD，得出EF＝BD＝．【解答】解：如圖，取AC中點(diǎn)O，連接OB、OD、BD、EF．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AC＝2BC＝2，AB＝＝＝，∵△ACD是等邊三角形，∴CD＝AD＝AC＝2，∴∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，∴BD＝＝＝．∵點(diǎn)E、F分別是△ABC和△ACD的重心，∴＝＝，又∠EOF＝∠BOD，∴△EOF∽△BOD，∴＝＝＝，∴EF＝BD＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形重心的定義與性質(zhì)，掌握重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?黃浦區(qū)月考）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，那么S△ABG：S△ABC＝1：3．【分析】三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1，由此即可計(jì)算．【解答】解：延長(zhǎng)AG交BC于D，∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴BD＝CD，AG：DG＝2：1，∴AG：AD＝2：3，∴S△ABG：S△ABD＝2：3，∵S△ABD：S△ABC＝1：2，∴S△ABG：S△ABC＝1：3．故答案為：1：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的重心，關(guān)鍵是掌握三角形重心的性質(zhì)．9．（2023?金山區(qū)一模）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1為△ABC的重心，E為線段AB上任意一動(dòng)點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE（點(diǎn)D在直線BC的上方），G2為Rt△CDE的重心，設(shè)G1、G2兩點(diǎn)的距離為d，那么在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中d的取值范圍是0≤d≤．【分析】分別求出d的最小值和最大值，即可得到d的取值范圍．【解答】解：當(dāng)E與B重合時(shí)，G1與G2重合，此時(shí)d最小為0，當(dāng)E與A重合時(shí)，G1G2最大，連接并延長(zhǎng)AG1交BC于H，連接并延長(zhǎng)DG2交AC于K，連接HK，過(guò)G2作G2T⊥AH于T，如圖：∵G1為等腰直角三角形ABC的重心，∴H為BC中點(diǎn)，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴△ABH和△ACH是等腰直角三角形，∴BH＝CH＝AH＝＝3，∵AG1＝2G1H，∴AG1＝2，G1H＝，∵G2是為等腰Rt△CDE的重心，∴K為AC中點(diǎn)，∴∠AKD＝∠CKD＝90°，∠AKH＝∠CKH＝90°，∴∠AKD+∠AKH＝180°，∴D，K，H共線，∵AK＝CK＝DK＝AC＝AB＝3＝HK，∴G2K＝DK＝1，G2D＝DK﹣G2K＝2，∴G2H＝G2K+HK＝4，∵TG2∥ED，∴＝＝＝＝，即＝＝，∴TG2＝2，TH＝2，∴TG1＝TH﹣G1H＝，∴G1G2＝＝，∴G1G2最大值為，∴G1G2的范圍是0≤G1G2≤，故答案為：0≤d≤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的重心，涉及等腰直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握三角形重心的性質(zhì)．10．（2023?松江區(qū)一模）已知△ABC，P是邊BC上一點(diǎn)，△PAB、△PAC的重心分別為G1、G2，那么的值為．【分析】由重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1，得到△AG1G2∽△ADE，推出△AG1G2的面積：△ADE的面積＝4：9，而△ADE的面積＝×△ABC的面積，即可解決問(wèn)題．【解答】解：延長(zhǎng)AG1交PB于D，延長(zhǎng)AG2交PC于E，∵△PAB、△PAC的重心分別為G1、G2，∴AG1：AD＝AG2：AE＝2：3，D是PB中點(diǎn)，E是PC中點(diǎn)，∵∠G1AG2＝∠DAE，∴△AG1G2∽△ADE，∴△AG1G2的面積：△ADE的面積＝4：9，∵D是PB中點(diǎn)，E是PC中點(diǎn)，∴△ADE的面積＝×△ABC的面積，∴的值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的重心，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形重心的性質(zhì)．11．（2022秋?徐匯區(qū)期中）已知點(diǎn)G是等腰直角三角形ABC的重心，AC＝BC＝6，那么AG的長(zhǎng)為2．【分析】根據(jù)三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍解答即可．【解答】解：∵G是等腰直角△ABC的重心，AC＝BC＝6，∴CD＝BC＝3，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AG＝×＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心，熟記三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍是解題的關(guān)鍵．12．（2018?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）G為重心，DE過(guò)重心，S△ABC＝1，求S△ADE的最值，并證明結(jié)論．【分析】設(shè)AD＝mAB，AE＝nAC，由G為△ABC重心得＝3，再由當(dāng)＝＝時(shí)，有最大值，則mn有最小值，而無(wú)論D、E任何移動(dòng)，mn，即可求出S△ADE的最值．【解答】解：S△ADE的最大值為，最小值為．證明：假設(shè)△ABC面積為S1，△ADE面積為S2，設(shè)AD＝mAB，AE＝nAC，∵G為△ABC重心，∴＝3，∴S2＝AD?AE?sinA＝mAB?nAC?sinA＝mnS1，當(dāng)＝＝時(shí)，有最大值，則mn有最小值，而無(wú)論D、E任何移動(dòng)，mn，∴S1≤S2≤S1，∴S△ADE的最大值為，最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)G為△ABC重心得到＝3．13．（2019秋?嘉定區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作EF∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，且EF+BC＝7.2cm，求BC的長(zhǎng)．【分析】如果連接AG并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)P，由三角形的重心的性質(zhì)可知AG＝2GP，則AG：AP＝2：3．又EF∥BC，根據(jù)相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，從而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3，結(jié)合EF+BC＝7.2cm來(lái)求BC的長(zhǎng)度．【解答】解：如圖，連接AG并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)P．∵G為△ABC的重心，∴AG＝2GP，∴AG：AP＝2：3，∵EF過(guò)點(diǎn)G且EF∥BC，∴△AGF∽△APC，∴AF：AC＝AG：AP＝2：3．又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝．又EF+BC＝7.2cm，∴BC＝4.32cm．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)．三角形三邊的中線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的重心．重心到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍．平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得三角形與原三角形相似．相似三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．二．平行線分線段成比例（共19小題）14．（2022秋?徐匯區(qū)期末）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，要使DE∥AC，那么BE必須等于6．【分析】此題主要考查了平行線分線段成比例定理的逆定理，根據(jù)題意得出要使DE∥AC，必須即可得出BE的長(zhǎng)．【解答】解：∵在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB和BC上，AD＝2，DB＝3，BC＝10，∴要使DE∥AC，∴，∴，解得：BE＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線分線段成比例定理的逆定理，根據(jù)題意得出要使DE∥AC，必須是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．15．（2022秋?閔行區(qū)期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1、l2于點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、D、F，如果AC：CE＝3：1，BF＝10，那么DF等于（）A． B． C． D．【分析】由AB∥CD∥EF，可得出＝，代入AC＝3CE，BF＝10，即可求出DF的長(zhǎng)．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴DF＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵．16．（2023?寶山區(qū)一模）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，如果AD：BD＝1：3，那么下列條件中能判斷DE∥BC的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．【分析】如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵AD：BD＝1：3，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴DE∥BC，故A選項(xiàng)能夠判斷DE∥BC；而C，B，D選項(xiàng)不能判斷DE∥BC．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由平行線分線段成比例來(lái)判定兩條直線是平行線的問(wèn)題，能夠熟練掌握并運(yùn)用．17．（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）如果點(diǎn)H、G分別在△DEF中的邊DE和DF上，那么不能判定HG∥EF的比例式是（）A．DH：EH＝DG：GF B．HG：EF＝DH：DE C．EH：DE＝GF：DF D．DE：DF＝DH：DG【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．【解答】解：A、當(dāng)DH：EH＝DG：GF，即＝時(shí)，HG∥EF，本選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)HG：EF＝DH：DE，不能判定HG∥EF，本選項(xiàng)符合題意；C、當(dāng)EH：DE＝GF：DF，即＝時(shí)，HG∥EF，本選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)DE：DF＝DH：DG，即＝時(shí)，HG∥EF，本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．（2023?徐匯區(qū)一模）如圖，a∥b∥c，若，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【分析】已知a∥b∥c，根據(jù)平行線分線段成比例定理，對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【解答】解：由，得＝＝，故A不符合題意；∵a∥b∥c，∴＝＝，故B不符合題意；根據(jù)已知條件得不出＝，故C符合題意；由＝，得＝＝，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．19．（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，AC：AE＝3：5，那么下列結(jié)論正確的是（）A．BD：DF＝2：3 B．AB：CD＝2：3 C．CD：EF＝3：5 D．DF：BF＝2：5【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BD：DF＝AC：CE＝3：2，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；AB：CD的值無(wú)法確定，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；CD：EF的值無(wú)法確定，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；DF：BF＝CE：AE＝2：5，D選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．20．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)一模）如圖，AD∥BE∥CF，已知AB＝5，DE＝6，AC＝15，那么EF的長(zhǎng)等于12．【分析】由AD∥BE∥CF，可得＝，即＝，可解得DF＝18，從而EF＝DF﹣DE＝12．【解答】解：如圖：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝5，DE＝6，AC＝15，∴＝，解得DF＝18，∴EF＝DF﹣DE＝18﹣6＝12，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理，列出比列式．21．（2023?松江區(qū)一模）如圖，已知直線AD∥BE∥CF，如果＝，DE＝3，那么線段EF的長(zhǎng)是．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵DE＝3，∴＝，∴EF＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對(duì)應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?松江區(qū)月考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，且DE∥BC，AD＝3，AB＝4，AC＝6，求EC．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得：AE＝，∴EC＝AC﹣AE＝6﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋?松江區(qū)月考）如圖，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB＝1：3，AE＝3．（1）求EC的值；（2）求證：AD?AG＝AF?AB．【分析】（1）由平行可得＝，可求得AC，且EC＝AC﹣AE，可求得EC；（2）由平行可知＝＝，可得出結(jié)論．【解答】（1）解：∵DE∥BC，∴＝，又＝，AE＝3，∴＝，解得AC＝9，∴EC＝AC﹣AE＝9﹣3＝6；（2）證明：∵DE∥BC，EF∥CG，∴＝＝，∴AD?AG＝AF?AB．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，掌握平行線分線段所得線段對(duì)應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵．24．（2023?崇明區(qū)一模）四邊形ABCD中，點(diǎn)F在邊AD上，BF的延長(zhǎng)線交CD的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，下列式子中能判斷AD∥BC的式子是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的條件和圖形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定，可以判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．【解答】解：當(dāng)時(shí)，無(wú)法判斷AD∥BC，故選項(xiàng)A不符合題意；當(dāng)＝時(shí)，∠AFB＝∠DFE，則△AFB∽△DFE，故∠ABF＝∠DEF，AB∥CD，但無(wú)法判斷AD∥BC，故選項(xiàng)B不符合題意；當(dāng)時(shí)，無(wú)法判斷AD∥BC，故選項(xiàng)C不符合題意；當(dāng)時(shí)，∠FED＝∠BEC，則△FED∽△BEC，故∠EFD＝∠EBC，可以判斷判斷AD∥BC，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例、平行線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．25．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝24，那么BC的長(zhǎng)等于（）A．4 B． C． D．8【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得到，即可求出BC．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵BE＝24，∴，解得：．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例；熟練掌握三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例是本題的關(guān)鍵．26．（2022秋?浦東新區(qū)期末）如圖，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理逐個(gè)判定即可．【解答】解：A．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故本選項(xiàng)符合題意；B．∵DF∥AC，∴＝，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵DE∥BC，∴＝，∴＝，即＝，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵DE∥BC，DF∥AC，∴，，∴＝，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理和比例的性質(zhì)，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．27．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知直線l1、l2、l3分別交直線l4于點(diǎn)A、B、C，交直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝3，DF＝12，則DE＝8．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，即可進(jìn)行解答．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，∵DF＝12，∴DE+DE＝12，解得：DE＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．掌握平行線分線段成比例是解題關(guān)鍵．28．（2022?寶山區(qū)二模）已知：如圖，點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．（1）如果AB＝2AC，求證：四邊形ADFE是菱形；（2）如果AB＝AC，且BC＝1，聯(lián)結(jié)DE，求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)菱形的判定方法解答即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】（1）證明：∵BD＝2AD，AE＝2EC，∴＝，∵DF∥AC，∴＝，∴＝，∴EF∥AB，又∵DF∥AC，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∵AB＝2AC，AE＝AC，∴AE＝AB，∴AD＝AE，∵四邊形ADFE是平行四邊形，∴四邊形ADFE是菱形；（2）如圖，在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，＝＝＝，＝＝＝，∴△ADE∽△ACB，∵BC＝1，∴DE＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的判定和相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些判定定理和性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．29．（2021秋?楊浦區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)D為△ABC中內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別為線段AB、AC、AD上一點(diǎn)，且EG∥BD，GF∥DC．（1）求證：EF∥BC；（2）當(dāng)，求的值．【分析】（1）先根據(jù)相似比的性質(zhì)得出＝，＝，故可得出＝，由此即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)EF∥BC得出∠AEF＝∠ABC，再由DG∥BD得出∠AEG＝∠ABD，故可得出∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，故可得出△EGF∽△BDC根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵EG∥BD，∴＝，∵GF∥DC，∴＝，∴＝，∴EF∥BC；（2）解：∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∵EG∥BD，∴∠AEG＝∠ABD，∴∠AEF﹣∠AEG＝∠ABC﹣∠AED，即∠GEF＝∠DBC，同理可得，∠GEF＝∠DBC，∴△EGF∽△BDC，∵，∴＝＝，∴＝（）2＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．30．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長(zhǎng)．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長(zhǎng)．【分析】（1）由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出DE的長(zhǎng)；（2）由平行線分線段成比例定理得出比例式，求出BC的長(zhǎng)，即可得出AC的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴＝＝，∴DE＝EF＝6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴＝，∴BC＝AB＝×6＝9，∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行線分線段成比例定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．31．（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的長(zhǎng)；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理求解；（2）過(guò)點(diǎn)A作AK∥DF交BE于點(diǎn)J，交CF于點(diǎn)K，則AD＝JE＝FK＝40cm．求出BJ，可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴＝，∴DE＝（cm），∴DF＝DE+EF＝4+＝（cm）．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AK∥DF交BE于點(diǎn)J，交CF于點(diǎn)K，則AD＝JE＝FK＝40cm．∴CK＝CF﹣FK＝40cm，∵BJ∥CK，∴＝，∴＝，∴BJ＝15cm，∴BE＝BJ+JE＝15+40＝55cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．32．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、F、D分別是∠O兩邊上的點(diǎn)，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于點(diǎn)M，CD、EF交于點(diǎn)N．（1）求證：AF∥CD；（2）若OA：AC：CE＝3：2：4，AM＝1，求線段DN的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理，由AB∥DE得到OA?OD＝OE?OB，由BC∥EF得到OC?OF＝OE?OB，所以O(shè)A?OD＝OC?OF，即＝，于是可判斷AF∥CD；（2）先利用BC∥EF得到＝＝，則可設(shè)OB＝5x，BF＝4x，再由AF∥CD得到＝＝，＝＝，所以FD＝6x，接著由FN∥BC得到＝＝，于是可設(shè)DN＝3a，則CN＝2a，然后證明四邊形MFNC為平行四邊形得到MF＝CN＝2a，最后利用＝得到＝，求出a從而得到DN的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AB∥DE，∴＝，即OA?OD＝OE?OB，∵BC∥EF，∴＝，即OC?OF＝OE?OB，∴OA?OD＝OC?OF，即＝，∴AF∥CD；（2）解：∵OA：AC：CE＝3：2：4，∴OC：CE＝5：4，∵BC∥EF，∴＝＝，設(shè)OB＝5x，則BF＝4x，∵AF∥CD，∴＝＝，＝＝∴FD＝OF＝×9x＝6x，∵FN∥BC，∴＝＝＝，設(shè)DN＝3a，則CN＝2a，∵FN∥CM，MF∥CN，∴四邊形MFNC為平行四邊形，∴MF＝CN＝2a，∵＝，即＝，解得a＝1，∴DN＝3a＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·上?！ば？家荒＃┤鐖D，已知，，，那么的長(zhǎng)等于（

）A．4 B． C． D．8【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得到，即可求出．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，解得：．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例；熟練掌握三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例是本題的關(guān)鍵．2．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)?？计谥校┰谥校?、分別在的邊、上，下列條件中不能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，不能判定，故A符合題意；B、∵，∴，故B不符合題意；C、∵，∴，故C不符合題意；D、∵，∴，故D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，平行線的判定，如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．3．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）在中，點(diǎn)E、D、F分別在邊AB、BC、AC上，聯(lián)結(jié)DE、DF，如果，，，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題目的已知條件畫(huà)出圖形，然后利用平行線分線段成比例解答即可．【詳解】如圖：∵DE∥AC，AE：EB=3：2，∴∴∵，∴故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例這個(gè)基本事實(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋·上海·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)D、點(diǎn)F在的邊上，點(diǎn)E在邊上，，且，要使得，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得，則可以推出當(dāng)，即時(shí)，．【詳解】解：，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故A選項(xiàng)符合題意；B，C，D選項(xiàng)均不能得出．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是掌握“如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊”．5．（2023·上海浦東新·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)、分別在、上，以下能推得的條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】平行于三角形一邊的直線截其他兩邊或延長(zhǎng)線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．【詳解】解：設(shè)，那么，選項(xiàng)A、B、D、不符合平行線分段成比例定理．如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線分線段成比例，解答此題的關(guān)鍵的是明確哪些對(duì)應(yīng)線段成比例．學(xué)生初學(xué)，容易出錯(cuò)．6．（2022秋·上海崇明·九年級(jí)校考期中）在中，點(diǎn)D、E分別在邊、上，如果，，那么由下列條件能夠判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】當(dāng)或時(shí),,當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，即或.所以B選項(xiàng)是正確的，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2022秋·上海嘉定·九年級(jí)?？计谥校┰谥校c(diǎn)、分別在線段、的延長(zhǎng)線上，平行于，，，，那么___________．【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段陳比例定理求解即可．【詳解】∵∴∵，，，∴∴故答案為：8．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段陳比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段陳比例定理．8．（2022春·上海普陀·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，E是邊的中點(diǎn)，交對(duì)角線于點(diǎn)F，那么的值為_(kāi)___．【答案】/0.2【分析】證明，推出，設(shè)，則，，求出四邊形的面積，可得結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵E是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，∴，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．9．（2022秋·上海黃浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，、相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在、上，，如果，，，，那么___________．【答案】10【分析】利用平行線分線段成比例定理得到，，求得，即可解決問(wèn)題.【詳解】解：∵，，，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．10．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，四邊形ABCD中，，如果，則的長(zhǎng)是________．【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得出，求出，即可得出答案．【詳解】∵，∴，∵，∴，解得：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例，正確得出比例線段是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，點(diǎn)、分別在直線、上，如果，，，，那么________．【答案】4【分析】根據(jù)平行線分線段陳比例定理求解即可．【詳解】解：作如下圖：∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段陳比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段陳比例定理．12．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，點(diǎn)分別在邊上，，，當(dāng)______時(shí)，．【答案】6【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判定即可．【詳解】解：∵，，∴當(dāng)時(shí)，．∴，∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由平行線分線段成比例來(lái)判定兩條直線是平行線的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是能夠熟練掌握并運(yùn)用平行線分線段成比例定理．13．（2022秋·上海長(zhǎng)寧·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)D、F在線段上，點(diǎn)E、G在線段上，，，如果，那么的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】12【分析】根據(jù)，，得到，得到即，代入計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以．故答案為?2．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知為角平分線，，如果，，那么______．【答案】【分析】由可得，再根據(jù)題干條件，即可求解．【詳解】解：∵，，又，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．15．（2017秋·上?！ぞ拍昙?jí)校考期中）如圖，直線，直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例列出比例式解答即可．【詳解】∵，∴，∵，則∴，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·上海青浦·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在梯形中，，對(duì)角線相較于點(diǎn)O，已知的面積為2，的面積為4，那么_____________．【答案】【分析】根據(jù)的面積為2，的面積為4，得出，根據(jù)，得出即可．【詳解】解：∵的面積為2，的面積為4，∴，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)同高的兩個(gè)三角形的面積之比等于兩個(gè)三角形的底之比求出．17．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)校考期中）如圖，四邊形中，，如果，，，則的長(zhǎng)是__________．【答案】//【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得出，求出，即可得出答案．【詳解】∵，∴，∵，∴，解得：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例，正確得出比例線段是解題的關(guān)鍵．18．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）如圖，已知，，，那么的長(zhǎng)等于______．【答案】12【分析】根據(jù)平行線分線段對(duì)應(yīng)成比例，列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，即：，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例，是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2019秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)、在上，點(diǎn)在邊上，且，．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】通過(guò)相似三角形的性質(zhì)求得，即可得證．【詳解】證明：∵，∴∴，又∵，∴，∴∵∠A=∠A∴∴∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線