2024-2025學年高考數(shù)學考點第二章不等式基本不等式及其應用理

基本不等式及其應用1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．2．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3．算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)設a>0，b>0，則a，b的算術平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．4．利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)假如積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡記：積定和最小)(2)假如和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)概念方法微思索1．若兩個正數(shù)的和為定值，則這兩個正數(shù)的積肯定有最大值嗎？提示不肯定．若這兩個正數(shù)能相等，則這兩個數(shù)的積肯定有最大值；若這兩個正數(shù)不相等，則這兩個正數(shù)的積無最大值．2．函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2嗎？提示不是．因為函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)的定義域是{x|x≠0}，當x<0時，y<0，所以函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)無最小值．1．（2024?上海）下列等式恒成立的是A． B． C． D．【答案】B【解析】．明顯當，時，不等式不成立，故錯誤；．，，，故正確；．明顯當，時，不等式不成立，故錯誤；．明顯當，時，不等式不成立，故錯誤．故選B．2．（2024?海南）已知，，且，則A． B． C． D．【答案】ABD【解析】①已知，，且，所以，則，故正確．②利用分析法：要證，只需證明即可，即，由于，，且，所以：，，故正確．③，故錯誤．④由于，，且，利用分析法：要證成立，只需對關系式進行平方，整理得，即，故，當且僅當時，等號成立．故正確．故選ABD．3．（2024?天津）已知，，且，則的最小值為_________．【答案】4【解析】，，且，則，當且僅當，即，或，取等號，故答案為：4．4．（2024?江蘇）已知，則的最小值是_________．【答案】【解析】方法一、由，可得，由，可得，，則，當且僅當，，可得的最小值為；方法二、，故，當且僅當，即，時取得等號，可得的最小值為．故答案為：．5．（2024?上海）若，，且，則的最大值為_________．【答案】【解析】，；故答案為：．6．（2024?天津）設，，，則的最小值為_________．【答案】【解析】，，，則；，，，由基本不等式有：，，，故：；（當且僅當時，即：，時，等號成立），故的最小值為；故答案為：．7．（2024?天津）設，，，則的最小值為_________．【答案】【解析】，，，則；由基本不等式有：；當且僅當時，即：，時，即：或時；等號成立，故的最小值為；故答案為：．8．（2024?上海）已知實數(shù)、、、滿意：，，，則的最大值為_________．【答案】【解析】設，，，，，，，，由，，，可得，兩點在圓上，且，即有，即三角形為等邊三角形，，的幾何意義為點，兩點到直線的距離與之和，要求之和的最大值，明顯，在第三象限，所在直線與直線平行，可設，，由圓心到直線的距離，可得，解得，即有兩平行線的距離為，即的最大值為，故答案為：．9．（2024?天津）已知，，且，則的最小值為_________．【答案】【解析】，，且，可得：，則，當且僅當．即時取等號．函數(shù)的最小值為：．故答案為：．1．（2024?衡陽三模）已知，，，則的最小值為A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，，，（當且僅當即，時取等號），故則的最小值為，故選B．2．（2024?道里區(qū)校級四模）若正實數(shù)，滿意，則的最小值為A． B． C．4 D．8【答案】A【解析】正實數(shù)，滿意，解可得，，當且僅當時取等號，則的最小值為．故選A．3．（2024?道里區(qū)校級四模）若實數(shù)，滿意，則的最小值為A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，當且僅當時取等號，解可得，．故選B．4．（2024?衡陽三模）已知，，，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】已知，，，，當且僅當，即，時，取號，故選B．5．（2024?貴陽模擬）已知，均為正數(shù)，函數(shù)的圖象過點，則的最小值為A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】由題意可得，即，，，則，當且僅當且即時取等號，故選D．6．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）若，，且，則的最小值為A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】，，且，，可得．當且僅當時取等號．，當且僅當時取等號．則的最小值為4，故選C．7．（2024?遼寧三模）若，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】由基本不等式可得，若，有，即，依據(jù)指數(shù)函數(shù)是單調遞增函數(shù)可得，，故的取值范圍是，，故選A．8．（2024?潮州二模）若直線過圓的圓心，則的最小值是A．16 B．10 C． D．【答案】A【解析】由題意可得圓的圓心，故即，，則，當且僅當且即，時取等號．故選A．9．（2024?石家莊模擬），是兩個互不相等的正數(shù)，則下列三個代數(shù)式中，最大的一個是①，②，③A．必定是① B．必定是② C．必定是③ D．不能確定【答案】D【解析】因為，，所以①，（當且僅當時，取等號），②，（當且僅當時，取等號），③，（當且僅當時，取等號），綜上可知，①②，③②，但①和③不能確定大?。蔬xD．10．（2024?葫蘆島模擬）若圓關于直線對稱，則的最小值為A．4 B． C．9 D．【答案】C【解析】由題意可知，圓心在直線，則，又因為，，所以，當且僅當且即，時取等號，此時取得最小值9．故選C．11．（2024?韶關二模）已知，，且，則的最小值是A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】依據(jù)題意，若，，且，則，當且僅當時，等號成立，故的最小值是9；故選C．12．（2024?諸暨市模擬）已知，則的最小值是A．2 B． C． D．【答案】C【解析】，，且，，，則；當且僅當即時取，則的最小值是，故選C．13．（2024?湘潭四模）直線過函數(shù)圖象的對稱中心，則的最小值為A．9 B．4 C．8 D．10【答案】A【解析】函數(shù)圖象的對稱中心為，所以，，當且僅當時等號成立；故選A．14．（2024?重慶模擬）已知，，，則的取值范圍是A． B．， C． D．【答案】C【解析】，，，，當且僅當，即，時等號成立，故選C．15．（2024?濱海新區(qū)模擬）已知正實數(shù)，滿意，則的最小值為A．13 B．11 C．10 D．9【答案】C【解析】由，，當且僅當，時取等號．的最小值為故選C．16．（2024?河東區(qū)一模）已知實數(shù)、，，則的最大值為A． B． C． D．6【答案】A【解析】由于，所以，故：，（當且僅當時，等號成立）．故選A．17．（2024?遼陽二模）已知，，，則的最小值為A．20 B．24 C．25 D．28【答案】C【解析】因為，，，所以，則，當且僅當時，等號成立．故選C．18．（2024?大連一模）已知，，，則的最小值為A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】，，當且僅當時等號成立，的最小值為4．故選D．19．（2024?浙江模擬）對于，當非零實數(shù)，滿意，且使最大時，的最小值為A． B． C． D．2【答案】C【解析】，，由柯西不