2025年高考一輪復(fù)習(xí)特訓(xùn)：立體幾何中的截面問(wèn)題（七大題型）（解析版）

特訓(xùn)10立體幾何中的截面問(wèn)題(七大題型)

方法歸納4

用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個(gè)幾何體的截面.此平面與幾何體表面的交集

(交線)叫做截線.

1.作截線與截點(diǎn)的主要根據(jù)：

(1)確定平面的條件.

(2)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于過(guò)此點(diǎn)的一條直線.

(3)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).

(4)線面平行的性質(zhì)定理。

(5)如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和它們相交，那么兩條交線平行.

2.立體幾何圖形中有關(guān)截面的做法：

①若已知兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)，只要連接這兩點(diǎn)，就可以得到截面與多面體的一個(gè)面的截線。

②若面上只有一個(gè)已知點(diǎn)，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二個(gè)確定的點(diǎn)；

③若兩個(gè)已知點(diǎn)分別在相鄰的面上，應(yīng)找出這兩個(gè)相鄰平面的交線與截面的交點(diǎn)。

④面面平行的性質(zhì)定理。

⑤若有一點(diǎn)在面上而不在棱上，則可通過(guò)作輔助平而找出棱上的交點(diǎn)；

若已知點(diǎn)在體內(nèi)，則可通過(guò)輔助平面找出面上的交點(diǎn)，再找出棱上的交點(diǎn).

正方體的基本斜截面:

銳角三角形等腰三角形

(1)(2)

目錄：

?題型01:三棱柱

?題型02:四棱錐

?題型03:棱臺(tái)

?題型04:側(cè)棱垂直于底面

?題型05:正方體、長(zhǎng)方體

?題型06:其他多面體

?題型07:三棱錐

?題型08:折疊問(wèn)題

?題型01:棱柱（含正方體）

1.（2023?遼寧撫順?模擬預(yù)測(cè)）在直四棱柱A8C。-44GA中，底面ABC。為平行四邊形，AB=2亞,

BC=yf5,44,=4,COSNABC=-Y&,過(guò)點(diǎn)8作平面截四棱柱所得截面為正方形，該平面交棱。2于點(diǎn)

10

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】先結(jié)合截面為正方形，借助中位線o'。轉(zhuǎn)化得到PAMnoc的關(guān)系，再利用余弦定理分別求解底

面對(duì)角線AC,3。，然后由垂直關(guān)系及截面正方形，借助長(zhǎng)度相等，利用勾股定理建立尸AQC的方程組，求

解轉(zhuǎn)化即得所求比值.

如圖，設(shè)截面分別交AA|,CG于點(diǎn)P,Q,

連接PQ,BM,設(shè)交點(diǎn)O',連接AC,8。，設(shè)交點(diǎn)

由已知截面為正方形，則。'是PQ的中點(diǎn)，

底面ABC￡＞為平行四邊形，則。是3。，AC的中點(diǎn)，

又PAHBB、,BBJ/CQ,則PA//CQ,

則00'是ABDM的中位線，也是四邊形PACQ的中位線.

設(shè)“=x,CQ=y,

i^MD=2OO'^PA+CQ=x+y,

PB-=BQ2,得V+8=^+5,

化簡(jiǎn)得爐+3=/（*）,且x<y,

由直四棱柱ABCD-481Gq知，AA_L平面ABC。，

又ACu平面ABC。，則AA_LAC

則四邊形PAC。為直角梯形.

由cosNA3C=-巫，得cosZBCr）=巫，

1010

在△）））中，由余弦定理得84=5+8-2x75x2V2x—=9,

10

解得比＞=3,同理可得AC=JF7,

如圖，在直角梯形PACQ中，在C。上取點(diǎn)S,使CS=AP=x,

則QS=y-x.

由尸°得1+2=2+2+

BN?=2,MDBDpsQS2=A（JQS2,

即（尤+y）2+9=（y-xf+17,化簡(jiǎn)得沖=2,

與（*）聯(lián)立，解得x=l,y=2,

所以ME>=3,則。|M=1,

驗(yàn)證知，此時(shí)四邊形為MM。為正方形，滿(mǎn)足題意.

DM\

貝U------二3

7DXM

故選:B.

2.（2023?江西贛州?模擬預(yù)測(cè)）在直四棱柱ABC。-ABGA中，底面A3。是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱的=3,

E是BC的中點(diǎn)，尸是棱CG上的點(diǎn)，且CT=gcG，過(guò)4作平面a,使得平面a〃平面AEF,則平面a截直

四棱柱所得截面圖形的面積為（）

A.-B.叵C.3D.V19

22

【答案】A

【分析】根據(jù)四棱柱的幾何性質(zhì)以及面面平行的判定定理求解.

如圖，取耳,C的中點(diǎn)M,在8月上取一點(diǎn)X,使得用連接AM,HM,AH,如上圖,

則〃斯,4"口"”=〃,4￡門(mén)跖=5，平面A/M,

AE,EFu平面AEF,：.平面AEF11平面^HM；

即過(guò)4點(diǎn)平行于平面A跖的平面截四棱柱ABCD-AgGA的圖形是三角形，

其中=1，AH=EAM=?MH=日

cos/MA1H=sinZM^H=^,S^MH=1sinNMA1H=|,

故選：A.

3.（2024?安徽安慶三模）在正方體ABC。-4瑪G2中，點(diǎn)E,尸分別為棱AB,A。的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)”EG三

點(diǎn)作該正方體的截面，則（）

A.該截面多邊形是四邊形

B.該截面多邊形與棱B片的交點(diǎn)是棱B片的一個(gè)三等分點(diǎn)

C.AC_L平面C]￡F

D.平面AB.//平面GM

【答案】B

【分析】將線段M向兩邊延長(zhǎng)，分別與棱CB的延長(zhǎng)線，棱C。的延長(zhǎng)線交于G,H,連GGG"分別與棱

BPBG1

BB「DDi交于P,Q,可判斷A；利用相似比可得==不=￡,可判斷B；證明AC，平面BC⑷即可判斷

CCqCrCJ

C；通過(guò)證明AC，平面A耳2,可判斷D.

【解析】對(duì)于A,將線段E尸向兩邊延長(zhǎng)，分別與棱CB的延長(zhǎng)線，棱CO的延長(zhǎng)線交于G,H,

連GG，G”分別與棱網(wǎng)交于P,Q,得到截面多邊形C/Ef。是五邊形，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,易知△AEF和ABEG全等且都是等腰直角三角形，所以GB=AA=；2C,

BPBG1BP1>，一”一”

所以方h即言"=點(diǎn)尸是樓881的一個(gè)二等分點(diǎn)，B正確；

CC|CrCJDDyJ

對(duì)于C,因?yàn)?4,平面BCGB|,BC|U平面BCC4,所以A片，

又BCJBC,4瓦口8夕=百，4瓦,3夕<=平面4旦。，所以BG，平面48(,

因?yàn)?Cu平面ABC,所以ACLBG，同理可證Ac，BO,

因?yàn)锽DcBG=B,BD,BCXu平面BCXD,所以4C，平面BQD,

因?yàn)槠矫鍮G。與平面GE尸相交，所以AC與平面GEF不垂直，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,易知BC\"AD\,BD//B,D1,所以4C，AQ,，瓦R,

又A，c4A=A,AQ,BQiu4耳A，所以AC，平面ABXD},

結(jié)合C結(jié)論，所以平面a所與平面4片2不平行，D錯(cuò)誤.

故選：B.

?題型02:棱錐

4.（2024?重慶渝中?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐尸—ABC中，AC=BC=PC=2,且AC_LBC,PC_L平面ABC,過(guò)

點(diǎn)尸作截面分別交AC,BC于點(diǎn)瓦尸，且二面角尸-EF-C的平面角為60。，則所得截面尸砂的面積最小值

為（）

A.-B.-C.-D.1

333

【答案】B

【分析】由二面角的定義可得PGC=60。，從而尸G=隹,CG=2叵，設(shè)CE=a,CF=b,由三角形的面積

33

Q

相等和基本不等式得到,再由三角形的面積公式即可求解.

【解析】過(guò)P作PGLEF,垂足為G,連接CG,則由三垂線定理可得EFLCG,

/PGC即為二面角P—EF—C的平面角，

：.PGC=6Q0,PC=2,所以PG=吏,CG=莊

33

設(shè)CE=a,CF=b,則￡F=5+廿,

在三角形CEF中，ab=2^-y]a2+b2,

3

又用所以必2竽屈=馬空

所以浦2《，a=>=亞時(shí)等號(hào)成立,

33

所以三角形PEF的面積為L(zhǎng)生8、力2+萬(wàn)

233

Q

故截面PE尸面積的最小值為

故選：B.

7T

5.(2024?廣西?模擬預(yù)測(cè))在三棱錐丫一ABC中，平面W1C,^4=1,AB=AC=?，ZVAC=~,

4

點(diǎn)尸為棱AV上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作三棱錐卜-ABC的截面，使截面平行于直線VB和AC,當(dāng)該截面面積取得

最大值時(shí)，CF=()

A710RA/17r75c屈

A.D.C.——D.

3423

【答案】C

【分析】通過(guò)作平行線作出題中的截面，并結(jié)合線面平行以及線面垂直說(shuō)明其為矩形，利用三角形相似表

示出矩形的兩邊長(zhǎng)，并求得其面積表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定截面面積取得最大值時(shí)參數(shù)的值，解直

角三角形即可求得答案.

【解析】根據(jù)題意，在平面皿C內(nèi)，過(guò)點(diǎn)/作EF/AC,交VC于點(diǎn)E；

在平面VBC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作E?！▎?，交BC于點(diǎn)Q；

在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)F作FD〃VB,交A2于點(diǎn)。，連接。。，如圖所示，

因?yàn)镋V〃AC,則△VCAS^VEF,設(shè)其相似比為％,即===左,

VAVC-AC

貝IJEF=?;

又因?yàn)?1=1,AC=亞，cos^VAC=,

2

由余弦定理得，vC=^l+2-2xlxy/2x^=l，則VC2+VA2=AC2,

即VCLVA.

又3V_L平面0IC,VC,3u平面MIC,所以3V_LVC,BV1VA.

又AB=e，則BV=1,BC=y/2.

色、，,,?.AFADFD

因?yàn)镕D〃VB,則n△AFD?△AVB,則一=—=—,

AVABVB

AFVA-VF?,b,、,FDAF?,,

因?yàn)橐?-------=l-k,所以一=—=1-k,^nr1FD=l-k,

VAVAVBVA

同理可得QE=1—左，即QE=FD,

因?yàn)镋Q〃刊8,FD//VB,則EQ〃ED,

故四邊形EFDQ為平行四邊形；而EQu平面EFDQ,Vfiz平面EFDQ,

故VB〃平面EO。，同理AC〃平面￡7d。，

即四邊形瓦切。為截面圖形；

又3V_L平面I44C,EFu平面01C,則3V_LEF,

又FD〃VB,所以FD_LEF.

故平行四邊形EFDQ為矩形，則$矩形跖"。=砂?ED=拒人（1一人）=一垃|左一gJ+，，

所以當(dāng)4=g時(shí)，S矩形有最大值乎，則懷==

在RtATVF中，CF=A/CV2+VF2=^1+J=.

故選：C.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先作平行線作出題中的截面，再證明四邊形￡陽(yáng)。為符合題意的截面圖形，結(jié)合線面

平行以及線面垂直說(shuō)明四邊形ERD。為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長(zhǎng)，并求得其面積表達(dá)式,

利用二次函數(shù)求出最值得解.

6.（2023?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P-ABC中，側(cè)面B1C是等邊三角形，底面A8C是等腰直角三角

形，AB1BC,AC=P3=10,點(diǎn)M,N,E分別是棱B4,PC,AB的中點(diǎn)，過(guò)M,N,E三點(diǎn)的平面a截

三棱錐P-ABC所得截面為。，給出下列結(jié)論：

①截面。的形狀為正方形；

②截面。的面積等于生也；

2

③異面直線必與BC所成角的余弦值為正；

4

④三棱錐P-A5c外接球的表面積等于芋無(wú),

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①④B.②③C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】根據(jù)三棱錐尸-ABC的幾何特征，取BC的中點(diǎn)為產(chǎn)，利用線面垂直的判定定理即可證明截面。的

形狀為正方形，且其面積等于25,即①正確，②錯(cuò)誤；利用平面向量數(shù)量積以及余弦定理可求出異面直線

必與所成角的余弦值為也，可知③正確；利用垂直關(guān)系找出外接球球心位置，計(jì)算出半徑即可得④正

4

確.

【解析】取的中點(diǎn)為尸，連接EF,NF,

因?yàn)辄c(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，所以MN//AC,EF//AC,可得MN//EF；

又MN==AC=5,EF=~PB=5,EPMN=EF；

22

所以四點(diǎn)共面，且四邊形肱VEF為平行四邊形，

取AC的中點(diǎn)為。，連接尸￡),80,如下圖所示：

易知PDLAC,又AABC是等腰直角三角形，且AS1BC,所以AB=3C,可得BDLAC；

又PDcBD=D,平面尸BD,所以AC_L平面PBD；

易知P3u平面尸3。，可得AC_LP3；

又MEUPB,EF//AC,所以

且ME=NF=LPB=5,所以四邊形MVEF為正方形，

2

即截面。的形狀為正方形，所以①正確；

由正方形面積公式可知，四邊形M煙的面積為5x5=25,即②錯(cuò)誤；

^PA=a,PB=b,PC=c,ai^BC=c-b,

所以PA-BC=a-^c—b^=a-c—b-a,

易知2?1=10xl0xcos60。=50，fl-5=10xl0xcosZAPS,

在中，PA=10,PB=10,AB=542,所以cos/AP5=竺廿二色包=空=。，可得

"/2x10x102004

〃?石=10xl0xcosZAPB=75;

50-75__1A/2

所以cos（肉?瓦）=a-c-b-a

10X5A/2_2V2-4

所以異面直線以與BC所成角的余弦值為I即③正確;

4

易知尸。=56,8。=5,尸3=10,所以可得PD_LBD；

又尸D_LAC,且BDcAC=O,BRACu平面ABC,

所以尸。，平面ABC,

又正￡>u平面PAC,所以平面R4CJ_平面ABC；

所以可得外接球球心。在PD上，設(shè)OD=h,半徑為R,

則〃2+5?=（5世一〃『=R2,解得〃=￥，R=竽；

所以三棱錐P-ASC外接球的表面積等于4兀代=—兀，即④正確；

所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③④.

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：關(guān)于球外接幾何體的問(wèn)題，首先根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用線面垂直判定定理等確

定球心位置，再利用半徑相等列出等量關(guān)系即可計(jì)算出半徑的大小.

?題型03:棱臺(tái)

7.（23-24高三上.河北廊坊.期末）如圖所示，正四棱臺(tái)ABC。-44GA中，上底面邊長(zhǎng)為3,下底面邊長(zhǎng)

為6,體積為電1,點(diǎn)E在AD上且滿(mǎn)足OE=2AE,過(guò)點(diǎn)E的平面。與平面RAC平行，且與正四棱臺(tái)各

2

面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為（）

A.7A/2B.8A/2C.3g+4立D.4百+4叵

【答案】D

【分析】首先過(guò)點(diǎn)A作A"，AC于點(diǎn)//,結(jié)合已知得AH=半，由棱臺(tái)體積公式得4夕=券，由勾股

定理得朋=JAH?+4/2=3,再求出A2的長(zhǎng)，最終根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得解.

【解析】如圖所示,

過(guò)點(diǎn)A作A”，AC于點(diǎn)H,因?yàn)?G=3V2,AC=6五,

所以叱手,

,貝IJ四棱臺(tái)的體積為（（32+62+3x6）x4"=竽

則四棱臺(tái)的高為A"

2

解得AtH=孚,所以側(cè)棱長(zhǎng)為M=JAH+AH2=3.

如圖所示:

過(guò)。尸，AD于點(diǎn)尸，人6,4。于點(diǎn)6,連接A，，

6-33

由對(duì)稱(chēng)性可知DF=AG=——二—,GF=AA=3,

22

39

所以A/=6—彳=；,

22

而DD[=AA[=3,

所以DF=R=半，

所以AR=+彳=3g,同理CD]=ADj=3g,

分別在棱DC,DDi上取點(diǎn)N,M,使得DNtNC=DM-.MDt=2.1,

易彳導(dǎo)ME=NM=^AD[=26,EN=々AC=4枝,

所以截面多邊形的周長(zhǎng)為4百+40.

故選：D.

8.（22-23高三下?浙江紹興?開(kāi)學(xué)考試）在正棱臺(tái)ABCD-A4GR中，AB=2A4,9為棱耳G中

點(diǎn).當(dāng)四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，平面AffiD截該四棱臺(tái)的截面面積是（）

A.羊B.372C.乎D.6我

【答案】C

【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的體積公式、結(jié)合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面積公式進(jìn)行求解即

可.

【解析】設(shè)=片=4x,上底面和下底面的中心分別為。|,。，該四棱臺(tái)的高。。=/7,A.HLAC.

在上下底面由勾股定理可知，AQ=17（2X）2+（W=V2x,AO=17（4^）2+（4r）2=2^x-

在梯形4a中，A4=+=3=（2&x-&x『+*0/J=3一2/，

所以該四棱臺(tái)的體積為V=g（16f+歷時(shí)7+41）〃=//介，

所以它=——―（3一2/）V—?廠+/;3-2x；,

當(dāng)且僅當(dāng)爐=3-2尤2,即x=l時(shí)取等號(hào)，止匕時(shí)AB=4,4耳=2,。。=1.

取G2的中點(diǎn)N,連接M0、ND,顯然有MN〃，耳//DB,MNu平面ABCD,

NDu平面A3CD,所以〃平面ABCD,因此平面MBDN就是截面.

顯然MN=gBR=0,8。=40,

在直角梯形GAffiO中，ME=商+（OE-O[M）z==6,,

因此在等腰梯形B￡CB中，MB=/ME?+EB?=J2+4=R，

同理在等腰梯形，G。中，DN=^6,

在等腰梯形MBDN中，設(shè)MF//DN,MG1BD,

貝UMF=",8尸=40—夜=3夜，

所以梯形.如N的面積為走空巴?=乎’

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)基本不等式求出體積最大值，結(jié)合線面平行判定定理判斷截面的形狀是解題的關(guān)

鍵.

9.（22-23高二上?湖北荊州?階段練習(xí)）用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截得的棱臺(tái)上、下底面積

之比為1:4,已知截去的棱錐的頂點(diǎn)到其底面的距離為3,則棱臺(tái)的上、下底面的距離為（）

A.12B.9C.6D.3

【答案】D

【分析】

根據(jù)棱錐的性質(zhì)，用平行于棱錐底面的平面截該棱錐，截面與底面為相似多邊形，面積比為相似比的平方,

以此可得棱錐的高，進(jìn)而得到棱臺(tái)的高.

【解析】：截去小棱錐的高為3,設(shè)大棱錐的高為〃，

根據(jù)截面與底面為相似多邊形，面積比為相似比的平方，

則32：/=1：4,，/?=6,

棱臺(tái)的高是6-3=3,即棱臺(tái)的上、下底面的距離為3.

故選：D.

?題型04:圓柱

10.（2022.河南新鄉(xiāng)?三模）已知一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐的軸截面分別為正方形與正三角形，且正方形與正三

角形的邊長(zhǎng)相等，則該圓柱的體積與圓錐的體積的比值為（）

A.gB.2A/2C.2百D.小

【答案】C

【分析】設(shè)正方形與正三角形的邊長(zhǎng)為2,則可求出圓柱和圓錐的體積，從而可求得答案

【解析】設(shè)正方形與正三角形的邊長(zhǎng)為2,

則圓柱的體積為力X12X2=2;T,

圓錐的體積為*—=與，

所以圓柱的體積與圓錐的體積的比值為2百.

故選：C

11.（23-24高二上?遼寧?階段練習(xí)）如圖，某圓柱的軸截面ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，P,。分別為線段

BC,AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，且座=1，則PQ+PE的最小值為（）

A.3B.述C.述D.-

222

【答案】C

【分析】根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征采用將ABCE沿直線旋轉(zhuǎn)到某個(gè)位置的方法，將線段和轉(zhuǎn)化為一條線段的

長(zhǎng)度問(wèn)題，結(jié)合求解線段長(zhǎng)度即得答案.

【解析】如圖，連接EC,將.BCE沿直線BC旋轉(zhuǎn)到ABCE的位置，

且E在的延長(zhǎng)線上.則PE=P笈，

TT

由于圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，故NBAC=NBC4=-,AE'=AB+BE'^2+1=3,

4

則PQ+PE=PQ+PE'>E'Q,當(dāng)Q,P,E'三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

當(dāng)￡0LAC時(shí)，E'Q最小，最小值為AEsin^=逑，

42

即尸Q+PE的最小值為迷，

2

故選：C

12.（23-24高三上.陜西?階段練習(xí)）已知某圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD,在該圓柱的底面內(nèi)

任取一點(diǎn)E,則當(dāng)四棱錐E-ABCD的體積最大時(shí)，該四棱錐的側(cè)面積為（）

A.I+A/2+75B.1+2返+行

C.1+&+26D.忘+26

【答案】B

【分析】根據(jù)棱錐體積公式以及正方形ABC。的面積為定值確定E點(diǎn)在底面上的位置，求出相關(guān)線段長(zhǎng),

根據(jù)棱錐側(cè)面積公式即可求得答案.

【解析】如圖，設(shè)圓柱的底面圓心為。，E為該底面上一點(diǎn)，底面半徑為1,

C

D

四棱錐體積VE3=；SABCD-d,其中d為￡到AD的距離，

因?yàn)檎叫蜛BCD的面積為定值2x2=4,

所以當(dāng)E為AO的中點(diǎn)時(shí)，連接0E,此時(shí)0E為四棱錐E-ABCD的高，高最大，

此時(shí)四棱錐E-ABCD體積最大，

則AELD瓦OELAD,OE=1,AE=DE=垃,BE=CE=百+（回=后

設(shè)圓柱的另一底面圓心為。「連接。也，則QELBC,且QE=J（卡）2-仔=君,

此時(shí)四棱錐E-ABCD側(cè)面積為SnlADQE+gAaAE+lcLbDE+gBCOiE

=-x2xl+-x2xA/2+-x2xA/2+-x2xA/5=l+2>/2+^,

2222

故選：B

?題型05:圓錐

13.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知軸截面為正三角形的圓錐加71，的高與球。的直徑相等，則圓錐MM'的

體積與球0的體積的比值是.

【答案】|

【分析】設(shè)圓錐W的底面半徑為小球。的半徑為R,由題意可得27?=〃=出廠，結(jié)合體積公式運(yùn)算求解.

【解析】設(shè)圓錐MM'的底面半徑為，，球。的半徑為R,

因?yàn)閳A錐肱0'的軸截面為正三角形，可知圓錐的高九=石廠,

則2尺=/?=0廠，即R=立r,

2

可得圓錐MW'的體積V,=—xnr2xy/3r=nr3,

133

7

故答案為：J.

14.（22-23高二上?上海浦東新?期中）如圖，圓錐。的軸截面是一個(gè)面積為1的等腰直角三角形，C為弧

上的一點(diǎn)，ZCPB=45°,E為線段用上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+OE的最小值為（）

A.y/2B.\j3C.2D.—>/2

【答案】B

【分析】將空間圖形進(jìn)行翻折變化到同一平面，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可求解.

將APBC翻折到平面PAB內(nèi),得到如圖所示平面四邊形OBCP,

因?yàn)橐孛?g"?依=1,所以尸A=P3=0,

所以。尸=。4=03=1,所以/BPO=45°,

又因?yàn)镹CP3=45。，所以翻折后的圖形中NOPC'=90。，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，CE+OE的最小值為OC=\/OP2+PC2=G，

故選:B.

15.（23-24高二上?北京?期中）已知圓錐的底面半徑為26，高為2,S為頂點(diǎn)，A,8為底面圓周上的兩

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是.

①圓錐的體積為阮；

②圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角大小為百萬(wàn)；

③圓錐截面SAB面積的最大值為4石；

④若圓錐的頂點(diǎn)和底面上的所有點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則此球的體積為半兀.

【答案】①②④

【分析】根據(jù)題意求出圓錐的母線長(zhǎng)，體積，側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，軸截面的面積，外接球體積，即可得出

結(jié)論.

【解析】???圓錐的底面半徑『=2/，高為h=2,

圓錐的母線長(zhǎng)SA=SB==J（2^）2+22=4,

,圓錐的體積丫=gTtr-h=|TIX（2石『x2=8兀，①正確；

設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角大小為a,貝!127rx2指=ax4,a=后,②正確；

當(dāng)圓錐截面&4B為圓錐的軸截面時(shí)，此時(shí)SA=SB=4,A8=46，

則cosAASB=M+SB-B?=-L又ZASBe（0,7t）,

2SASB2、7

2兀

NASB=—,

3

TT

則當(dāng)=g時(shí)，圓錐截面SAB面積的最大，

止匕時(shí)S，ASB=；S4S4sinNASB=；x4x4xl=8，故③錯(cuò)誤；

圓錐的頂點(diǎn)和底面上的所有點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，即為圓錐的外接球，

設(shè)圓錐的外接球半徑為R,

由球的性質(zhì)可知我=僅-"+/,即代=（2-R）2+（2石『，

解得R=4,

所以外接球體積丫=馴=刎43=管，④正確

故答案為：①②④.

?題型06:球

16.（2024.江蘇徐州.模擬預(yù)測(cè)）對(duì)球面上的三個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間用大圓劣弧相連接，所得三弧圍成的球

面部分稱(chēng)為“球面三角形”，這三個(gè)弧叫做球面三角形的邊.若半徑為2的球的球面上有一個(gè)各邊長(zhǎng)均為兀的

球面三角形，則該球面三角形的面積為（）

A.2兀B.4TIC.-D.-

42

【答案】A

【分析】確定球面三角形與球表面積的關(guān)系，可求球面三角形的面積.

【解析】設(shè)球面三角形ABC.

因?yàn)榍虻陌霃綖?,所以大圓周長(zhǎng)為4兀，求的表面積為4兀x2?=16兀.

因?yàn)榍蛎嫒切蔚母鬟呴L(zhǎng)均為兀，所以ZAOB=ZAOC=ZBOC=90°.

以。為球心，建立如圖空間直角坐標(biāo)系：

則球面三角形ABC的面積就是球面在第一卦限內(nèi)的部分，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，球面三角形A3C的面積為球面面積

11

的一,為一x4兀x2?=2兀.

88

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：確定/408=/4"=/30。=90。后，關(guān)鍵是弄清楚球面三角形的面積和整個(gè)球的

表面積之間的數(shù)量關(guān)系.

17.（2024?江西宜春.模擬預(yù)測(cè)）在正六棱柱尸-A4GREE中，44,=2AB=2,。為棱441的中點(diǎn),

則以。為球心，2為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長(zhǎng)為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，作圖，分別求出球面與正六棱柱各個(gè)面所交的弧線的長(zhǎng)度之和，可計(jì)算得到答案.

【解析】因?yàn)榍?。的半徑?,所以球。不與側(cè)而耳4及側(cè)面4招4相交,

連接。G，AG，O4，AG.由題得。4=1,AC[=AE[=幣.所以?！?2,

所以球。與側(cè)面3CG與交于點(diǎn)C1,C,與側(cè)面E%&交于點(diǎn)E.

在正六邊形耳中，易得AG，GR,因?yàn)镃G，平面A4GRE田，平面

所以CG，A￡,又GAncG=G，GQ，cc】u平面CD，G,

所以AG，平面CDRG，即。G,平面CDDG，且OG=?,又也匚7聲=1，OH=OCl=OC=2.

所以球。與側(cè)面CDAG的交線為以CQ為直徑的半圓，同理可得球。與側(cè)面EDDR的交線為以EE1為直徑

的半圓.

由題易得ZE^Q=￡,則球。與上底面\BlCiD^Fl及下底面ABCDEF的交線均為:個(gè)半徑為百的圓.

3o

所以球面與該正六棱柱各面的交線總長(zhǎng)為2'"1+2*丁27tx有=2+--TT.

63

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)球。的半徑為2,判斷球。只與側(cè)而CDRG及側(cè)面初?2月，上底面A4GRE出

及下底面ABCDE下相交.

18.（23-24高二上?四川德陽(yáng)?階段練習(xí)）已知正三棱錐A-BCD的外接球是球。，正三棱錐底邊8c=3,

側(cè)棱AB=2近，點(diǎn)E在線段3。上，且5E=JDE,過(guò)點(diǎn)E作球。的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（）

11711「cc1「11?！盷「9?！?/p>

A.——,3TIB.12兀，3兀]C.—->4TID.——4TI

4JL」4」L49

【答案】D

【分析】設(shè)△BCD的中心為。?,球。的半徑為R,在Rt^O。。中，利用勾股定理求出R,余弦定理求出0、E,

再由勾股定理求出0E,過(guò)點(diǎn)E作球。的截面，當(dāng)截面與0E垂直時(shí)，截面的面積最小，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，

截面面積最大.

【解析】如下圖，設(shè)△BCD的中心為。1,球。的半徑為R,

連接。Q,OD,O.E,0E,則

A￡>2Z）2=3

Oir）=3sin^x|=A/3,AOi=7-0I-

在Rt^OO]。中，玄=（6『+（3_R）2,

3

解得R=2,所以H=l,因?yàn)锽E=DE,所以?！?；,

在AZJEO[中，0]E=-xy/3x~xcos~=~~,

所以O(shè)E=JO[E2+OO；=等,過(guò)點(diǎn)E作球。的截面，

當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，

此時(shí)截面的半徑為-OE?=g,則截面面積為兀=?無(wú)，

2⑴4

當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面面積最大，最大面積為4兀.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)E作球。的截面，當(dāng)截面與0E垂直時(shí)，截面的面積最小，當(dāng)

截面過(guò)球心時(shí)，截面面積最大.

?題型07:組合體

19.（21-22高二上?湖南?期中）從一個(gè)底面圓半徑與高均為2的圓柱中挖去一個(gè)正四棱錐（以圓柱的上底

面為正四棱錐底面的外接圓，下底面圓心為頂點(diǎn)）而得到的幾何體如圖所示，今用一個(gè)平行于底面且距底

面為1的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形的面積為（）

A.4萬(wàn)一4B.4萬(wàn)C.4%—2D.2萬(wàn)—2

【答案】C

【分析】先求出截面截圓柱所得的圓面的面積，再求出截面截正四棱錐所得的正方形的面積，從而得出答

案.

【解析】截面圖形應(yīng)為圓面中挖去一個(gè)正方形，且圓的半徑是2,

則截面圓的面積為：4萬(wàn)

設(shè)正四棱錐的底面正方形邊長(zhǎng)為。，貝=16,所以

正四棱錐的底面正方形的面積為（20『=8

由圓錐中截面的性質(zhì)，可得圓面中挖去一個(gè)正方形與正四棱錐的底面正方形相似

設(shè)圓面中挖去一個(gè)正方形的面積為S',正四棱錐的底面正方形為S

所以截面圖形的面積為4萬(wàn)-2.

故選：C.

20.（2022?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）“牟和方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和

諧優(yōu)美的幾何體，它是由兩個(gè)相同的圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共部分形成的幾

何體（如圖1）.如圖2所示的“四腳帳篷”為“牟和方蓋”的上半部分，點(diǎn)。為四邊形的中心，點(diǎn)P為“四

腳帳篷”的“上頂點(diǎn)”，。尸=1用平行于平面ABCD的平面a去截“四腳帳篷”，當(dāng)平面a經(jīng)過(guò)0P的中點(diǎn)時(shí),

截面圖形的面積為.

圖1圖2

【答案】3

【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得截面1的形狀為正方形，利用勾股定理得正方形的邊長(zhǎng)即可求得面積.

【解析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得截面。的形狀為正方形.

取中點(diǎn)E,CD中點(diǎn)尸，可知截面EPb為半圓.

截面a與弧交于點(diǎn)加，與P0交于點(diǎn)N,N為尸。中點(diǎn)，

所以NO=1,MO=PO=1,由勾股定理可得MN=",

22

所以截面正方形的邊長(zhǎng)為無(wú)x2=g,故其面積為（正）2=3.

2

故答案為：3

21.（2021.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）如圖，正八面體尸ABC。。的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E,F,//分別是Bl,PB,BC的

中點(diǎn)，則過(guò)E,F,H三點(diǎn)的平面a截該正八面體所得截面的面積等于.

p

【答案】—

2

【分析】由EF7/AB得跖〃平面A3。，同理切〃平面CDP,進(jìn)而得

到平面?！ㄆ矫鍭3Q〃平面CDP,結(jié)合正八面體的對(duì)稱(chēng)性可知截面是

邊長(zhǎng)為1的正六邊形，求出面積即可.

【解析】F,H分別是9，PB,3C的中點(diǎn)，

EF//AB,又EFU平面AB。，ABu平面

EFII平面A8Q.同理得FHH平面CDP.

又平面A3Q〃平面COP,EFlFH=F,

?*.平面all平面ABQ//平面CDP.

設(shè)平面a與CQ相交于點(diǎn)"，則

故M為CQ的中點(diǎn).同理得平面a也過(guò)D。，的中點(diǎn)，

結(jié)合正八面體的對(duì)稱(chēng)性，得截面是邊長(zhǎng)為1的正六邊形，

其面積S=x1x1xsin60°^x6=-

故答案為：—

2

【點(diǎn)睛】確定多面體截面的關(guān)鍵在于確定截點(diǎn)，有了位于多面體同一表面上的

兩個(gè)截點(diǎn)即可連接成截線，從而求得截面.而截線與截點(diǎn)的主要依據(jù)主要有：

(1)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于過(guò)此點(diǎn)的一條直線.

(2)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).

(3)如果一條直線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過(guò)這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條

直線就和交線平行.

（4）如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和它們相交，那么兩條交線平行.

22.（23-24高三上?云南昆明?階段練習(xí)）正方體ABCD-ABC。的棱長(zhǎng)為2,又是棱2。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含

端點(diǎn)），則MA+MG的最小值為（）

A.4B.2+72C.76+72D.26

【答案】C

【分析】將AAC用繞C用翻折至與ACB?共平面，當(dāng)A,M,Q共線時(shí)，K4+MG最小.

【解析】由正方體的性質(zhì)可得AAC與為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2&，

△C瓦G為等腰直角三角形，其直角邊長(zhǎng)為2,

將下圖中AAC4繞CBi翻折至與AC耳G共平面,

因?yàn)镃4=C4=AB1=20,CC[=B￡=2,所以A,M,G共線時(shí),

MA+MG最小，此時(shí)M為C片中點(diǎn)，則M4+MG最小值為亞+#.

23.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，5-ABC是正三棱錐且側(cè)棱長(zhǎng)為兩側(cè)棱SA,SC的夾角為30。,E,尸

分別是SA,SC上的動(dòng)點(diǎn)，則三角形5跖的周長(zhǎng)的最小值為（）

A.y[2aB.乖1aC.小aD.y/6a

【答案】A

【分析】通過(guò)展開(kāi)平面以及勾股定理求得正確答案.

【解析】把正三棱錐沿S3剪開(kāi)并展開(kāi)，形成三個(gè)全等的等腰三角形：ASBC、△SC4、LSAB，,

則ZB'SA=ZBSC=ZASC=30°,ZBSB'=90°,

連接B8'，交SC于尸，交必于E,

則線段班'就是的最小周長(zhǎng)，又SB=SB=a,

根據(jù)勾股定理，SB2+SB'2=BB'1=2a2，,BB'=也.

故選：A

24.（23-24高三下?全國(guó)?階段練習(xí)）如圖，在三棱錐尸—ASC中，AB=BC=五,BA1,BC,PA=PBPC=2,

點(diǎn)M是棱3C上一動(dòng)點(diǎn)，則PM+M4的取值范圍是（）

A.46+2幣,4B.[2+及,4]

C,嚴(yán)+八,/D,嚴(yán)+舊,2+之

2J[2

【答案】A

【分析】把平面BBC展開(kāi)，判斷出當(dāng)M與C重合時(shí)，PM+MA最大；PM+MA的最小值為AP,利用余弦

定理即可求解.

【解析】如圖所示，把平面P3C展開(kāi)，使A、B、C、尸四點(diǎn)共面.

c

當(dāng)M與3重合時(shí)，PM+MA=2+夜＜4;

當(dāng)M與C重合時(shí),PM+M4=2+2=4最大;

連結(jié)AP交8C于Mj,由兩點(diǎn)之間直線最短可知，當(dāng)M位于Mi時(shí)，PA/+MA最小.

所以cosAABP=cos(g+NCBPj=-sinNCBP=V14

~T~

由余弦定理得：AP=yjAB2+BP2-2AB-BP-cosZABP

=^V22+22-2XV2X2X^-^^|

=、6+2"

所以PAf+M4的取值范圍為76+277,4

故選：A.

25.（2024?福建漳州?一模）如圖，石磨是用于把米、麥、豆等糧食加工成粉、漿的一種機(jī)械，通常由兩個(gè)

圓石做成.磨是平面的兩層，兩層的接合處都有紋理，糧食從上方的孔進(jìn)入兩層中間，沿著紋理向外運(yùn)移,

在滾動(dòng)過(guò)兩層面時(shí)被磨碎，形成粉末.如果一個(gè)石磨近似看作兩個(gè)完全相同的圓柱體拼合而成，每個(gè)圓柱

體的底面圓的直徑是高的2倍，若石磨的側(cè)面積為64兀，則圓柱底面圓的半徑為（）

A.4B.2C.8D.6

【答案】A

【分析】設(shè)圓柱底面圓的半徑為則圓柱的高為小結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式運(yùn)算求解.

【解析】設(shè)圓柱底面圓的半徑為r>0,則圓柱的高為乙

則石磨的側(cè)面積為2x2wxr=647t,解得廠=4.

故選：A.

26.（21-22高二下.湖南株洲?階段練習(xí)）《九章算術(shù)》卷第五《商功》中描述幾何體“陽(yáng)馬”為“底面為矩形,

一側(cè)棱垂真于底面的四棱錐”.現(xiàn)有陽(yáng)馬S-ABCD,平面ABC。，AB=l,AD=3,SA=^,BC上有

一點(diǎn)E,使截面S/組的周長(zhǎng)最短，則SE與CD所成角的余弦值等于（）

S

【答案】D

【分析】通過(guò)底面展開(kāi)轉(zhuǎn)化為平面圖形，容易找到最小值點(diǎn)E,然后利用平移法作出異面直線所成的角,

即可得解；

【解析】解：將平面ABCD沿BC折至A'BCD',

使SBC與A3CD'共面，

連接SD交3C于E,連接ED,此時(shí)VSDE周長(zhǎng)最短,

作EF//CD交AD于F,

則NS￡F（或其補(bǔ)角）即為所求角，

在Rt^SAB中，SB=JSA2+A3：=2，

■SBBEp12BE—

‘由訝=正‘即n丁方‘可rZB侍3E=2'

.,.在RtzJSBE中，SE={SB,+BE2=2夜，

EF1V2

?二在Rt^SFE中,cos/SEF==—7==,

SE2^2