專題06 平行四邊形的判定和性質 帶解析

2022-2023學年人教版八年級數學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題06平行四邊形的判定和性質一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?南海區(qū)校級月考）如圖，點E、F是平行四邊形ABCD對角線上兩點，在條件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AFB＝∠CED中，添加一個條件，使四邊形DEBF是平行四邊形，可添加的條件是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，∴∠DAE＝∠BCF，∠DCF＝∠BAE，①DE＝BF時，不能證明△ADE≌△CBF，不能證明四邊形DEBF是平行四邊形；②∠ADE＝∠CBF時，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形；③AF＝CE時，AE＝CF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四邊形DEBF是平行四邊形；④當∠AFB＝∠CED時，則∠AEB＝∠CFD，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∵∠AEB＝∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF，∴四邊形DEBF是平行四邊形；故選：D．2．（2分）（2022春?杭州期中）如圖，在?ABCD中，點E、F分別在CD、BC的延長線上，AE∥BD，EF⊥BF，CF＝，EF＝3，則AB的長是（）A． B．1 C． D．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝CD．∵AE∥BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形．∴AB＝DE＝CD，∴AB＝CE∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°．∴CE＝＝＝2，∴AB＝CE＝，故選：D．3．（2分）（2022?寧波模擬）如圖，O是?ABCD對角線AC上一點，過O作EF∥AD交AB于點E，交CD于點F，GH∥AB交AD于點G，交BC于點H，連結GE，GF，HE，HF，若已知下列圖形的面積，不能求出?ABCD面積的是（）A．四邊形EHFG B．△AEG和△CHF C．四邊形EBHO和四邊形GOFD D．△AEO和四邊形GOFD解：A、在?ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥AD，GH∥AB，∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，∴四邊形AEOG，BEOH，CFOH，DFOG都是平行四邊形，∴S△EOG＝S?AEOG，S△EOH＝S?BEOH，S△FOH＝S?OHCF，S△FOG＝S?OGDF，∴四邊形EHFG的面積＝×?ABCD的面積，∴已知四邊形EHFG的面積，可求出?ABCD的面積，故A不符合題意；B、∵S△ABC﹣S△AEO﹣S△CHO＝S△ACD﹣S△AOG﹣S△CFO，∴S?BEOH＝S?GOFD，∵＝，∴S?BEOH＝S?OGDF＝＝2，∴已知△AEG和△CHF的面積，可求出?ABCD的面積，故B不符合題意；C、已知四邊形EBHO和四邊形GOFD的面積，不能求出?ABCD面積，故C符合題意；D、∵＝，∴＝，∴S?OHCF＝S2?OGDF?，∴已知△AEO和四邊形GOFD的面積，能求出?ABCD面積；故D不符合題意；故選：C．4．（2分）（2022春?淇濱區(qū)校級期末）如圖，等邊三角形ABC是一塊周長為12的草坪，點P是草坪內的任意一點，過點P有三條小路PD，PE，PF，且滿足PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC，則三條小路的總長度為（）A．12 B．8 C．4 D．3解：延長FP交AB于點G，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵PF∥BC，∴∠AFG＝∠C＝60°，∠AGF＝∠B＝60°，∵PD∥AC，∴∠PDB＝∠A＝60°，∠DPG＝∠AFG＝60°，∴∠PDG＝∠DGP＝∠DPG＝60°，∴△DGP是等邊三角形，∴DP＝PG，∴PD+PF＝PG+PF＝FG，∵∠A＝∠AFG＝∠AGF＝60°，∴△AFG是等邊三角形，∴FG＝AG，∵FG∥BC，PE∥AB，∴四邊形BGPE是平行四邊形，∴PE＝BG，∴PD+PF+PE＝AG+BG＝AB＝4，故選：C．5．（2分）（2022春?寧都縣期末）在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝80°，則∠C的度數為（）A．10° B．40° C．80° D．100°解：如圖，∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠C＝180°﹣80°＝100°，故選：D．6．（2分）（2022春?成華區(qū)期末）如圖，?ABCD中，AD＞AB，∠ABC為銳角．要在對角線BD上找點N，M，使四邊形ANCM為平行四邊形，在如圖所示的甲、乙、丙三種方案中，正確的方案有（）A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙解：方案甲中，連接AC，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，O為BD的中點，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BN＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，∴四邊形ANCM為平行四邊形，故方案甲正確；方案乙中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN⊥BD，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（AAS），∴AN＝CM，又∵AN∥CM，∴四邊形ANCM為平行四邊形，故方案乙正確；方案丙中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，∴∠BAN＝∠DCM，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（ASA），∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，∴∠ANM＝∠CMN，∴AN∥CM，∴四邊形ANCM為平行四邊形，故方案丙正確；故選：A．7．（2分）（2017春?南開區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F是對角線AC上的兩點，給出下列五個條件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四邊形DEBF是平行四邊形的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：④可以判斷四邊形DEBF是平行四邊形．理由：在OA上取一點E′，使得OE′＝OF，連接DE′，BE′．∵OD＝OB，OF＝OE′，∴四邊形DE′BF是平行四邊形，∴∠DFB＝∠DE′B，∵∠DEB＝∠DFB，∴∠DEB＝∠DE′B，∴點E與點E′重合，∴四邊形DEBF是平行四邊形．⑤可以判斷四邊形DEBF是平行四邊形．理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OD＝OB，OA＝OC，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四邊形DEBF是平行四邊形，故選：C．8．（2分）（2022春?南京期末）如圖，為了體驗四邊形的不穩(wěn)定性，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，然后向右拉動框架，給出如下的判斷：①四邊形ABCD為平行四邊形；②對角線BD的長度不變；③四邊形ABCD的面積不變；④四邊形ABCD的周長不變，其中所有正確的結論是（）A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④解：∵兩組對邊的長度分別相等，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故①正確，∵向右扭動框架，∴BD的長度變大，故②錯誤，∵平行四邊形ABCD的底不變，高變小了，∴平行四邊形ABCD的面積變小，故③錯誤，∵平行四邊形ABCD的四條邊不變，∴四邊形ABCD的周長不變，故④正確．故所有正確的結論是①④．故選：B．9．（2分）（2022春?臨沭縣期中）如圖1，平行四邊形ABCD中，AD＞AB，∠ABC為銳角．要在對角線BD上找點N、M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現有圖2中的甲、乙兩種方案，則正確的方案是（）A．甲是 B．乙是 C．甲、乙都是 D．甲、乙都不是解：方案甲，連接AC，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，O為BD的中點，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BN＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，∴四邊形ANCM為平行四邊形，故方案甲正確；方案乙，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN⊥BD，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（AAS），∴AN＝CM，又∵AN∥CM，∴四邊形ANCM為平行四邊形，故方案乙正確；故選：C．10．（2分）（2022春?富陽區(qū)校級期中）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，BD＝2AD，E，F，G分別是OC，OD，AB的中點，下列結論正確的是（）①EG⊥AB；②EF＝EG；③四邊形BEFG為平行四邊形；④AC垂直平分線段FG．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④解：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵BD＝2AD，∴OB＝BC，∵E是OC的中點，∴BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵G是AB的中點，∴GE＝GB＝GA＝AB，當AE＝BE或∠BAC＝45°時，EG⊥AB，∴沒有足夠的條件證明①選項，故①選項不符合題意；∵E、F分別是OC、OD的中點，∴EF∥CD，且EF＝CD，∵AB＝CD，∴EF＝EG，故②選項符合題意；∵GE＝GB＝AB，又∵EF＝EG，EF∥CD，∴EF＝GB，EF∥GB，∴四邊形BEFG為平行四邊形，故③選項符合題意；∵GE＝AG，∴∠GAE＝∠GEA，∵EF∥CD，∴∠AEF＝∠ACD，∵AB∥CD，∴∠GAE＝∠ACD，∴∠GEA＝∠AEF，∵EF＝EG，∴△EFG是等腰三角形，∴AC垂直平分線段FG，故④選項符合題意；綜上，正確的選項有：②③④，故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022春?河北區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF與GH交于點O，則圖中平行四邊形的個數是9．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵AD∥EF，CD∥GH，∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴圖中平行四邊形有：?ABCD，?ABHG，?CDGH，?BCFE，?ADFE，?AGOE，?BEOH，?OFCH，?OGDF共9個．即共有9個平行四邊形．故答案為：9．12．（2分）（2022春?撫州期末）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝5cm，AD＝9cm．點P在AD邊上以1cm/s的速度從點A向點D運動，點Q在BC邊上以4cm/s的速度從點C出發(fā)，在CB間往返運動，兩個點同時出發(fā)，當點P到達點D時，P、Q同時停止運動，設運動時間為t（s）且t＞0，當以P，D，Q，B為頂點的四邊形是平行四邊形時，則t的所有可能值為3.6或6或7.2．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝9cm，AD∥BC，∴當DP＝BQ時，以點P、D、Q、B為頂點組成平行四邊形，①點Q的運動路線是C﹣B，則9﹣4t＝9﹣t，解得：t＝0，不符合題意；②點Q的運動路線是C﹣B﹣C，則4t﹣9＝9﹣t，解得：t＝3.6；③點Q的運動路線是C﹣B﹣C﹣B，則9﹣（4t﹣2×9）＝9﹣t，解得：t＝6；④點Q的運動路線是C﹣B﹣C﹣B﹣C，則4t﹣3×9＝9﹣t，解得：t＝7.2；綜上所述，t＝3.6或6或7.2時，以P、D、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形，故答案為：3.6或6或7.2．13．（2分）（2022春?宛城區(qū)期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＞AD，∠ABC為銳角，點O是對角線BD的中點．某數學學習小組要在BD上找兩點E、F，使四邊形AECF為平行四邊形，現總結出如下甲、乙、丙三種方案，其中所有正確的方案是甲、乙、丙．甲：分別取DO、BO的中點E、F乙：作AE、CF分別平分∠DAB、∠BCD丙：分別作AE、CF垂直BD于點E、F解：方案甲，連接AC，如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，O為BD的中點，∴OB＝OD，OA＝OC，∵E、F分別為DO、BO的中點，∴OE＝DE，OF＝BF，∴OE＝OF，∴四邊形AECF為平行四邊形，故方案甲正確；方案乙，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠BCD，AD＝CB，AD∥CB，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠DAE＝∠BCF，在△DAE和△BCF中，，∴△DAE≌△BCF（ASA），∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，故方案乙正確；方案丙，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AED＝∠CFB＝90°，在△DAE和△BCF中，，∴△DAE≌△BCF（AAS），∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，故方案丙正確；故答案為：甲、乙、丙．14．（2分）（2022春?青羊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC邊上的點，BE＝CD且BE⊥CD，若∠A＝30°，BD＝1，CE＝2，M，N分別為DE，BC的中點，則線段MN的長＝．解：解法一：如圖，取BE中點G，連接GM，GN，過點M作MH⊥NG于H，∵M是DE的中點，G是BE的中點，∴MG是△EDB的中位線，∴MG＝BD＝，MG∥BD，∴∠ABE＝∠MGE，同理得：GN是△BEC的中位線，∴GN＝CE＝，GN∥CE，∴∠EGN＝∠AEB，∵∠A＝30°，∴∠AEB+∠ABE＝150°，∴∠EGN+∠EGM＝150°，∴∠MGH＝30°，∴MH＝MG＝，GH＝，∴HN＝+＝，在Rt△MNH中，由勾股定理得：MN＝＝＝；解法二：如圖，連接DN并延長至F，使NF＝DN，連接CF，BF，EF，過點F作FH⊥AC，交AC的延長線于H，∵N是BC的中點，∵BN＝CN，∴四邊形BDCF是平行四邊形，∴CF＝BD＝1，CF∥BD，∴∠HCF＝∠A＝30°，∴FH＝CF＝，CH＝，∵CE＝2，∴EH＝CE+CH＝2+＝，由勾股定理得：EF＝＝＝，△DEF中，M是DE的中點，N是DF的中點，∴MN是△DEF的中位線，∴MN＝EF＝．故答案為：．15．（2分）（2022春?丹陽市期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，BC＝15，點D、E分別AB、BC的中點，點F在CA的延長線上，且∠FDA＝∠BAE，則四邊形AFDE的周長為24．解：∵∵點D、E分別AB、BC的中點，∴DE∥AC，AE＝CE＝BE，DE＝AC＝4.5，∵∠FDA＝∠BAE，∴AE∥DF，∴四邊形AFDE是平行四邊形，∴四邊形AFDE的周長＝2ED+2AE＝9+15＝24，故答案為：24．16．（2分）（2022春?越秀區(qū)期中）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC，斜邊AB為邊向外作等邊△ACD和△ABE，F為AB的中點，連接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，則以下4個結論：①AC⊥DF；②四邊形BCDF為平行四邊形；③DA+DF＝BE；④S△ACD：S四邊形BCDE＝1：7，其中正確的是①②④．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，∵△ACD是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAC，∴CD∥AB，∵F為AB的中點，∴BF＝AB，∴BF∥AB，CD＝BF，∴四邊形BCDF為平行四邊形，故②正確；∵四邊形BCDF為平行四邊形，∴DF∥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥DF，故①正確；∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB，∴DA+DF＞BE，故③錯誤；設AC＝x，則CD＝AC＝x，AB＝2x，如圖，過A作AG⊥CD于G，則CG＝DG＝CD＝x，∴AG＝＝＝x，∴S△ACD＝CD?AG＝xx＝x2，同理S△ABE＝x2，∵BC＝＝＝x，∴S△ACB＝AC?BC＝x?x＝x2，∴＝＝，故④正確；故答案為：①②④．17．（2分）（2022春?南京期末）如圖，在?ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，點P在AD邊上以每秒1cm的速度從點A向點D運動．點Q在BC邊上以每秒4cm的速度從點C出發(fā)，在CB之間往返運動．兩個點同時出發(fā)，當點P到達點D時停止（同時點Q也停止運動），設運動時間為t秒．當5＜t＜10時，運動時間t＝秒或8秒時，以P、D、Q、B為頂點的四邊形是平行四邊形．解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形，則PD＝BQ．當5＜t≤時，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；當＜t≤10時，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8．綜上所述：當運動時間為秒或8秒時，以P、D、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形．故答案為：秒或8秒．18．（2分）（2021春?朝陽期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為（9，0），點C的坐標為（3，3），四邊形OABC是平行四邊形，點D、E份別在邊OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．動點P、Q在平行四邊形OABC的一組鄰邊上，以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，其面積為或或．解：如圖，過點C作CH⊥OA于點H，∵A的坐標為（9，0），∴OA＝9，∵OD＝OA，∴OD＝3，∵點C的坐標為（3，3），∴OH＝3，CH＝3，∴D，H重合，∵CE＝4．∴BE＝BC﹣CE＝OA﹣CE＝9﹣4＝5，AD＝OA﹣AD＝9﹣3＝6，動點P、Q在平行四邊形OABC的一組鄰邊上，以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，則可分以下情況：①點P在OC上，點Q在BC上，如圖，當點P與點O重合，∴S平行四邊形PDEQ＝PD?CH＝3×3＝9；當DE是對角線時，如圖，∴S平行四邊形PDQE＝PD?CD＝3×3＝9；②點Q在OC上，點P在OA上，如圖，點C與Q重合，∴S平行四邊形QDPE＝PD?CD＝4×3＝12；③點Q在OC上，點P在AB上，如圖，點P與B重合，∴S平行四邊形DQPE＝PE?CD＝5×3＝15；綜上所述：平行四邊形面積為或或．故答案為：或或．19．（2分）（2018?武漢模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點M，點F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，點E是BC的中點，若點P以1cm/秒的速度從點A出發(fā)，沿AD向點F運動；點Q同時以2cm/秒的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動．點P運動到F點時停止運動，點Q也同時停止運動．當點P運動3或5秒時，以點P、Q、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠FBM＝∠CBM，∴∠FBD＝∠FDB，∴FB＝FD＝12cm，∵AF＝6cm，∴AD＝18cm，∵點E是BC的中點，∴CE＝BC＝AD＝9cm，要使點P、Q、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則PF＝EQ即可，設當點P運動t秒時，點P、Q、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，根據題意得：6﹣t＝9﹣2t或6﹣t＝2t﹣9，解得：t＝3或t＝5．故答案為：3或5．20．（2分）（2021春?珠海校級期中）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F是AE的中點，CF交BE于點G，若BE＝3，則GE＝．解：取BE的中點H，連接FH、CH，如圖：∵F是AE的中點，H是BE的中點，∴FH是△ABE的中位線，∴FH∥AB，FH＝AB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∵E是CD的中點，∴EC＝CD，∴FH∥EC，FH＝EC，∴四邊形FHCE是平行四邊形，∴GE＝GH＝EH．∵BE＝3，H是BE的中點，∴EH＝，∴GE＝．故答案為：．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2020春?林芝市期末）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為AB、CD的中點，求證四邊形AECF是平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵E、F分別為AB、CD的中點，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．22．（6分）（2022春?溫州校級月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜邊AB上的一點，作DE⊥BC，垂足為E，延長DE到F，連結CF，使∠A＝∠F．（1）求證：四邊形ADFC是平行四邊形．（2）連接CD，若CD平分∠ADE，CF＝10，CD＝12，求四邊形ADFC的面積．（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥BC，延長DE到F，∴AC∥DF，∴∠A＝∠BDF，∵∠A＝∠F，∴∠BDF＝∠F，∴CF∥AB，又∵AC∥DF，∴四邊形ADFC是平行四邊形；（2）解：∵CD平分∠ADE，∴∠ADC＝∠FDC，在△ADC和△FDC中，，∴△ADC≌△FDC（AAS），∴AD＝DF，由（1）得：四邊形ADFC是平行四邊形，∴S四邊形ADFC＝2S△CDF，AD＝CF＝DF＝10，設EF＝x，則DE＝10﹣x，在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2＝CD2﹣DE2，在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2＝CF2﹣EF2，∴122﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，解得：x＝，∴CE＝＝＝，∴S四邊形ADFC＝2S△CDF＝2×DF?CE＝2××10×＝96．23．（6分）（2022春?南湖區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，BD是它的一條對角線，過A、C兩點分別作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足．（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形．（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四邊形AFCE的面積．（1）證明：如圖，連接AC交BD于點O，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA＝OC，OD＝OB，AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（AAS），∴DE＝BF，∴OD﹣DE＝OB﹣BF，∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四邊形AFCE是平行四邊形；（2）解：∵四邊形AECF是平行四邊形，∴AE＝CF＝12cm，∵AD＝BC＝13cm，∵AE⊥BD，CF⊥BD，AB＝20cm，∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm，∴EF＝BE﹣BF＝11cm，∵S四邊形AFCE＝AE?EF＝11×12＝132cm2，∴四邊形AFCE的面積為132cm2．24．（8分）（2022春?錦江區(qū)校級期中）如圖，在等邊△ABC中，D、E兩點分別在邊BC、AC上，BD＝CE，以AD為邊作等邊△ADF，連接EF，CF．（1）求證：△CEF為等邊三角形；（2）求證：四邊形BDFE為平行四邊形；（3）若AE＝2，EF＝4，求四邊形BDFE的面積．（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，∵△ADF是等邊三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°，∴∠BAC＝∠DAF＝∠ACB＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠ABD＝60°，BD＝CF，∵BD＝CE，∴CF＝CE，∴△CEF是等邊三角形；（2）證明：由（1）可知，△CEF是等邊三角形，∴∠CEF＝60°，EF＝CE，∴∠CEF＝∠ACB＝60°，∴EF∥BD，∵BD＝CE，∴EF＝BD，∴四邊形BDFE是平行四邊形；（3）解：如圖，過E作EG⊥BC于G，則∠EGC＝90°，由（2）可知，CE＝EF＝4，∴AC＝AE+CE＝2+4＝6，∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC＝6，∠ACB＝60°，∴∠CEG＝90°﹣∠ACB＝30°，∴CG＝CE＝2，∴EG＝＝＝2，∵四邊形BDFE為平行四邊形，∴BD＝EF＝4，∴S平行四邊形BDFE＝BD?EG＝4×2＝8．25．（8分）（2022春?寶安區(qū)期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E，F，延長DE、BF，分別交AB于點H，交BC于點G，若AD∥BC，AE＝CF．（1）求證：四邊形ABCD為平行四邊形；（2）若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的長．（1）證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED＝∠CFB＝90°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，在△DAE和△BCF中，，∴△DAE≌△BCF（ASA），∴AD＝CB，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠DAH＝∠BCG，AB∥CD，∴∠CGB＝∠GBA，∵∠DAH＝∠GBA，∴∠CGB＝∠BCG，∴BG＝BC，在Rt△CFB中，∵BF＝BG﹣FG＝BC﹣2，CF＝4，∴BC2＝BF2+CF2，∴BC2＝（BC﹣2）2+42，∴BC＝5．∴AD＝BC＝5．26．（8分）（2022春?海淀區(qū)期末）在等邊△ABC中，D，E，F分別是邊AB，BC，CA上的動點，滿足DE＝EF，且∠DEF＝60°．作點E關于AC的對稱點G，連接CG，DG．（1）當點D，E，F在如圖1所示的位置時，請在圖1中補全圖形，并證明四邊形DBCG是平行四邊形；（2）當AD＜BD，AB＝DE時，求∠BDE的度數．解：（1）如圖1，即為補全的圖形，證明：在等邊△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵點E，點G關于AC對稱，∴∠ACG＝∠ACB＝60°，CE＝CG，∴∠A＝∠ACG，∴AB∥CG，即BD∥CG，∵∠DEF＝60°，∠BED+∠CEF+∠DEF＝180°，∴∠BED+∠CEF＝120°，在△BDE中，∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°，∴∠BDE＝∠CEF，在△BDE與△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（AAS），∴CE＝BD，∴CG＝CE＝BD，∵BD∥CG，∴四邊形DBCG是平行四邊形；（2）∵四邊形DBCG是平行四邊形，∴BC＝DG，∠DGC＝∠B＝60°，∵BC＝AB，AB＝DE，∴DG＝DE，∵DE＝EF，∠DEF＝60°，∴△DEF是等邊三角形，∴DE＝DF，∵點