專題03 勾股定理與折疊問題 帶解析

2022-2023學年湘教版八年級數學下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題03勾股定理與折疊問題姓名：___________班級：___________考號：___________評卷人得分一、選擇題(每題2分，共20分)1．(本題2分)（2022秋·陜西西安·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，，點D是上一動點，連接，將沿折疊，點C落在點E處，連接交于點F，當是直角三角形時，的長為（

）A．3 B．5 C．3或6 D．2或5【答案】C【思路點撥】分三種情況：①在中，由勾股定理可求得，由翻折的性質可知：，，則，在中，依據勾股定理列方程求解即可；②當時，由翻折的性質可知：，，然后證明是等腰直角三角形，從而求得；③當時，說明此情況不存在．【規(guī)范解答】解：分三種情況：①當時，則，此時點與點重合，如圖1所示，在中，，由翻折的性質可知；，，則，設，則．在中，，即．解得：．．②當時，如圖2所示：．由翻折的性質可知：，，．∴，∴是等腰直角三角形，，③若時，如圖，∵，則，∴之間的距離為，∴而，所以矛盾，故不存的情形，綜上，的長為3或6．故選：C．【考點評析】本題主要考查的是翻折的性質、勾股定理、正方形的判定，根據題意畫出符合題意的圖形是解題的關鍵．2．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）在中，，，．現將按如圖那樣折疊，使點落在上的點處，折痕為，則的長為（

）A．3 B．4 C．6 D．【答案】A【思路點撥】首先利用勾股定理求出，進一步可得，設，則，，在中，由勾股定理得，，列出解方程求解即可得出答案．【規(guī)范解答】解：在中，由勾股定理得，，∵將沿折疊，點與點重合，∴，，∴設，則，，在中，由勾股定理得，，即解得，∴，故選：A．【考點評析】本題主要考查了翻折變換，勾股定理等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．3．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，中，，，，點D在上，將沿折疊，點A落在點處，與相交于點E，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】首先利用勾股定理求出，然后確定取最大值時最小，然后利用垂線段最短解決問題．【規(guī)范解答】∵中，，，，∴，∵，，∴當最小時，最大，當時最小，而，∴的最小值為，∴的最大值為．故選：C．【考點評析】本題考查了翻折變換，靈活運用勾股定理及翻折不變性是解題關鍵．4．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，把長方形紙片折疊，使其對角頂點C與A重合．若長方形的長為8，寬為4，則折痕的長度為（）A．5 B． C． D．【答案】C【思路點撥】過F點作于H．設，則．在中，利用勾股定理可列出關于x的等式，解出x為5，即可求出，．又易證，從而可求，最后再次利用勾股定理即可求出的長．【規(guī)范解答】解：如圖，過F點作于H，由折疊的性質可知，．設，則，在中，，∴，解得：，∴，．∵，∴，又∵，∴，∴，∴．∵，∴．故選C．【考點評析】本題考查折疊的性質，勾股定理，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質．正確作出輔助線構造直角三角形是解題關鍵．5．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，在四邊形中，，，與關于直線軸對稱，，，點與點對應，交于點，則線段的長為（）A．5 B． C．4 D．【答案】B【思路點撥】設，根據平行線性質和軸對稱性質得到，再根據勾股定理得到關于線段、、的方程，解方程即可解決問題．【規(guī)范解答】解：設，則，∵，∴；∵與關于直線軸對稱，∴，∴，∴；由勾股定理得：，即，解得：，∴，故選：B．【考點評析】本題主要考查了軸對稱的性質，平行線的性質，勾股定理等知識點，根據勾股定理列出方程是解題的關鍵是．6．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，在等腰中，，，點和分別是和上兩點，連接，將沿折疊，得到，點恰好落在的中點處，與交于點，則折痕的長度為（）A． B． C． D．【答案】C【思路點撥】在Rt中，求出，設，則，在中，由勾股定理得，求得，在中，求出，過點怍于點，則，設，則，在Rt中，，可求，在Rt中，，可求，則．【規(guī)范解答】解∶由折疊可知，，等腰Rt中，，，是的中點，，在Rt中，，，設，則，在中，，，，在Rt中，，過點作于點，，，設，則，在Rt中，，在Rt中，，，，，故選∶C．【考點評析】本題考查了勾股定理與折疊問題，等腰三角形的性質，掌握勾股定理是解題的關鍵．7．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，在紙片中，，折疊紙片，使點落在的中點處，折痕為，則的面積為（

）A． B．10 C．11 D．【答案】A【思路點撥】過點D作AB的垂線，垂足為G，過D作CF的垂線，垂足為H，過A作BC的垂線，垂足為N，分別求出△DEA和△DFC的面積，利用S△DEF＝×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）可得結果．【規(guī)范解答】解：過點D作AB的垂線，垂足為G，∵∠BAC＝120°，∴∠GAC＝60°，∠GDA＝30°，∴AG＝，DG＝，設AE＝x，則BE＝12－x＝DE，在Rt△DGE中，，即，解得：x＝，∴S△ADE＝DG×AE＝＝，過D作CF的垂線，垂足為H，過A作BC的垂線，垂足為N，∵，∴AN＝AB＝6，BN＝，∴BC＝，設DF＝y，則CF＝，DH＝，CH＝，則有，即，解得：，則S△DFC＝，∴S△DEF＝×（S△ABC－S△DEA－S△DFC）＝＝＝故選A．【考點評析】此題主要考查了翻折變換以及勾股定理、等腰三角形的性質等知識，正確得出AE、BF的長是解題關鍵．8．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，矩形中，，，點為射線上的一個動點，將沿折疊得到，連接，當為直角三角形時，的長為（

）A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1【答案】C【思路點撥】分兩種情況：①當E點在線段DC上時，②當E點在線段DC的延長線上時，利用全等三角形的判定和性質進行解答即可．【規(guī)范解答】解：分兩種情況討論：①當E點在線段DC上時，如圖所示：∵△AD'E≌△ADE，∴∠AD'E=∠D=90°，∵∠AD'B=90°，∴∠AD'B+∠AD'E=180°，∴B、D'、E三點共線，∵△ABE的面積=BE×AD'=AB×AD，AD'=AD，∴BE=AB=5，∵BD'==4，∴DE=D'E=5-4=1；②當E點在線段DC的延長線上，且ED″經過點B時，滿足條件，如圖所示：∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，∴∠CBE=∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，，∴△ABD″≌△BEC（ASA），∴BE=AB=5，∵BD''==4，∴DE=D″E=BD''+BE=4+5=9；綜上所知，DE的長為1或9，故選C．【考點評析】本題考查了翻折的性質，三角形全等的判定與性質，勾股定理，掌握翻折的性質，分類探討的思想方法是解決問題的關鍵，有一定難度．9．(本題2分)（2022秋·江蘇·八年級期中）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點，連結AD，把△ACD沿AD翻折，得到△AD，D與AB交于點E，連結B，若BD＝B＝2，AD＝3，則點D到A的距離(

)A． B． C． D．【答案】B【思路點撥】連接，交于點，過點作于點，由翻折知，，垂直平分，證為等邊三角形，利用解直角三角形求出，，，在中，利用勾股定理求出的長，在中利用面積法求出的長．【規(guī)范解答】解：如圖，連接，交于點，過點作于點，，是邊上的中點，，由翻折知，，垂直平分，，，，，為等邊三角形，，，，在△中，，，，，，在中，，，，故選：．【考點評析】本題考查了軸對稱的性質，解直角三角形，勾股定理等，解題關鍵是會通過面積法求線段的長度．10．(本題2分)（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在中，cm，cm，點D、E分別在AC、BC上，現將沿DE翻折，使點C落在點處，連接，則長度的最小值（

）A．不存在 B．等于1cmC．等于2cm D．等于2.5cm【答案】C【思路點撥】當C′落在AB上，點B與E重合時，AC'長度的值最小，根據勾股定理得到AB=5cm，由折疊的性質知，BC′=BC=3cm，于是得到結論．【規(guī)范解答】解：當C′落在AB上，點B與E重合時，AC'長度的值最小，∵∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，由折疊的性質知，BC′=BC=3cm，∴AC′=AB-BC′=2cm．故選：C．【考點評析】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．評卷人得分二、填空題(共20分)11．(本題2分)（2023秋·浙江寧波·八年級校聯考期末）如圖，將三角形紙片沿折疊，使點C落在邊上的點E處．若，，，則的值是_________．【答案】8【思路點撥】由折疊的性質可得，由，可得，可求的值．【規(guī)范解答】解：∵將三角形紙片沿折疊，使點C落在邊上的點E處，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：8．【考點評析】本題考查了翻折變換，勾股定理，熟練運用折疊的性質是本題的關鍵．12．(本題2分)（2023秋·浙江寧波·八年級校聯考期末）如圖，中，，點P在直線上運動，連接，將沿直線折疊，點O的對應點記為．當點在直線上時，的長為________________．【答案】或【思路點撥】分類討論點落在線段上，點落在延長線上，結合圖形，根據翻折的性質求解．【規(guī)范解答】解：如圖，點落在線段上，∵，∴為等腰直角三角形，，∴，由折疊可得，∴，如圖，點落在延長線上，由翻折可得，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，故答案為：或【考點評析】本題考查圖形的折疊問題，勾股定理，解題關鍵是通過分類討論，結合圖形求解．13．(本題2分)（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學?？奸_學考試）如圖，在中，為邊上的中線，已知，，．將沿著翻折得到，連接，，則的面積為______．【答案】6.72####【思路點撥】延長交于點H．由折疊可知垂直平分線段，，，利用勾股定理解和可求出，進而求出；再證是直角三角形，利用勾股定理求出，最后利用三角形面積公式即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖，延長交于點H．，為邊上的中線，．沿著翻折得到，，，垂直平分線段，在中，，在中，，，解得，，，，，，又，，是直角三角形，，，，，點A到的距離等于的長，，故答案為：6.72．【考點評析】本題考查折疊的性質，勾股定理，直角三角形的判定，平行線間的距離，等腰三角形的性質，三角形面積公式等，有一定難度，解題的關鍵是能夠綜合運用上述知識．14．(本題2分)（2023秋·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，在長方形紙片中，，，點M為上一點，將沿翻至，交于點G，交于點F，且，則的長度是____________．【答案】【思路點撥】先證明，再根據勾股定理設未知數列方程求解．【規(guī)范解答】解：設，則，由題意得：，，，，（AAS），，，在中，，即：，解得：．故答案為：．【考點評析】本題考查了翻折變換和矩形的性質，勾股定理，根據條件列出方程是解題的關鍵．15．(本題2分)（2022秋·浙江寧波·八年級校聯考期末）如圖，在中，，，將邊沿著翻折，使點B落在上的點D處，再將邊沿著翻折，使得C落在延長線上的點處，兩條折痕與斜邊分別交于E，F．以下四個結論①；②；③；④．正確的是_____．【答案】①③④【思路點撥】根據將邊沿著翻折，使點B落在上的點D處，再將邊沿著翻折，使得C落在延長線上的點處，可得，，即得，可判斷①正確，由，，得，，即知是等邊三角形，，設，則，，而，有，即得，可判斷②錯誤，又可判斷③正確，根據，，得，可判斷④正確．【規(guī)范解答】解：∵將邊沿著翻折，使點B落在上的點D處，再將邊沿著翻折，使得C落在延長線上的點處，∴，，∴，故①正確，∵，，∴，，∴是等邊三角形，，設，則，，∴，∵，，∴，∴，∴，而，∴，故②錯誤，∵，，∴，故③正確，∵，，∴，∴，∴，故④正確，∴正確的有①③④，故答案為：①③④．【考點評析】本題考查圖形的折疊，勾股定理，熟練掌握折疊的性質，熟練應用含30°角的直角三角形三邊的關系是解題的關鍵．16．(本題2分)（2022秋·山西晉中·八年級統考期末）如圖，在長方形中，，點為邊上的一個動點，把沿折疊，若點的對應點剛好落在邊的垂直平分線上，則的長為____________．【答案】##【思路點撥】根據垂直平分線的性質可得，，，再由折疊的性質，可知，，在中，由勾股定理可得，進而可得；設，則，在中，由勾股定理可得，然后代入求解即可獲得答案．【規(guī)范解答】解：∵四邊形為矩形，，是邊的垂直平分線，∴，，，∴四邊形為矩形，，根據折疊的性質，可知，，∴在中，，∴，設，則，∴在中，可有，即，解得，∴的長為．故答案為：．【考點評析】本題主要考查了垂直平分線的性質、勾股定理與折疊問題等知識，熟練掌握折疊的性質以及勾股定理是解題關鍵．17．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，矩形中，，，點為上一個動點，把沿折疊，當點的對應點落在的角平分線上時，的長為______．【答案】或【思路點撥】連接，過作，交于點，于點，作交于點，先利用勾股定理求出，再分兩種情況利用勾股定理求出．【規(guī)范解答】解：如圖，連接，過作，交于點，于點，作交于點點的對應點落在的角平分線上，，設，則，，又折疊圖形可得，，解得或，即或．在中，設，當時，，，，，解得，即，當時，，，，，解得，即．故答案為：或．【考點評析】本題主要考查了折疊問題，解題的關鍵是明確掌握折疊以后有哪些線段是對應相等的．18．(本題2分)（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學?？茧A段練習）如圖，在中，，D是邊的中點，連接，將沿翻折，得到，連接，則的面積是__________．【答案】42【思路點撥】連接，過點B作于點M，過點B作于點E，用等面積法求出，再用勾股定理求出和的長度，證明，，最后根據即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖，連接，過點B作于點M，過點B作于點N，∵，∴，∵，∴，即，解得：，在中，，∴，∵D是邊的中點，∴，∵沿翻折，得到，∴，∴，∴，在中，，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵是的垂直平分線，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴．故答案為：42．【考點評析】本題主要考查了折疊問題，勾股定理，全等三角形的性質和判定，解題的關鍵是利用等面積法求出三角形的高，正確畫出輔助線，構造全等三角形．19．(本題2分)（2022秋·重慶·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，點D為上一點，連接，將沿翻折，得到，連接．若，，則____________．【答案】【思路點撥】根據折疊的性質得到，可得，根據等邊三角形的判定和性質得，根據，，得，設，則，根據含得直角三角形的性質和勾股定理列方程求解即可．【規(guī)范解答】解：如圖，過點A作交得延長線于點H，∵將沿翻折，得到，∴，∴，∵，∴，∴時等邊三角形，∴，∴，∵，，∴，即，∴，∵，∴，設，則，∵，∴，在中，由勾股定理得，，∴，解得（舍去），∴，∴，在中，由勾股定理得，，∴，∴，故答案為：．【考點評析】本題考查了折疊的性質、全等三角形的性質、等邊三角形的判定和性質、一元二次方程的應用、含得直角三角形的性質和勾股定理，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．20．(本題2分)（2023春·八年級課時練習）如圖，長方形中，，，點E為射線上一動點(不與D重合)，將沿AE折疊得到，連接，若為直角三角形，則________【答案】或##或【思路點撥】分兩種情況討論：①當點E在線段CD上時，三點共線，根據可求得，再由勾股定理可得，進而可計算，在中，由勾股定理計算的值；②當點E在射線CD上時，設，則，，由勾股定理可解得，進而可計算，在中，由勾股定理計算的值即可．【規(guī)范解答】解：根據題意，四邊形ABCD為長方形，，，將沿AE折疊得到，則，，，①如圖1，當點E在線段CD上時，∵，∴三點共線，∵，∴，∵，∴；∴在中，；②如圖2，當點E在射線CD上時，∵，，，∴，設，則，∴，∵，即，解得，∴，∴在中，．綜上所述，AE的值為或．故答案為：或．【考點評析】本題主要考查了折疊的性質以及勾股定理等知識，運用分類討論的思想分析問題是解題關鍵．評卷人得分三、解答題(共60分)21．(本題6分)（2023秋·福建三明·八年級統考期末）如圖，在中，，點E，F在邊上，將邊沿翻折，使點A落在上的D點處，再將邊沿翻折，使點B落在的延長線上的點處．(1)求的度數；(2)若，，求線段的長；(3)在（2）的條件下，求的面積．【答案】(1)(2)(3)【思路點撥】（1）由折疊可得，，，再根據，即可得出；（2）在中，根據勾股定理可得；（3）設，則，根據勾股定理可得，即，求得，即可得出．【規(guī)范解答】（1）由折疊可得，，，又∵，∴，∴，即；（2）由折疊可得，，，∵，∴，∴，∴，∴在中，；（3）結合（2），設，則，∵在中，，在中，，∴，即，解得∴．【考點評析】本題主要考查折疊的性質及勾股定理的應用，掌握折疊的性質及勾股定理是解題的關鍵．22．(本題6分)（2020秋·江蘇常州·八年級常州市清潭中學?？计谥校╅L方形具有四個內角均為直角，并且兩組對邊分別相等的特征，如圖，把一張長方形紙片折疊，使點C與點A重合，折痕為EF．(1)判斷和是否全等？并說明理由(2)若，求的長．【答案】(1)．理由見詳解(2)10【思路點撥】（1）由矩形的性質可以得出，由等式的性質可以得出就可以得出．（2）設，即，則，利用勾股定理即可求解；【規(guī)范解答】（1）．理由如下：∵∴．∵，∴，∴，∴．在和中，∴．（2）由（1）得∴設，即，則在中即解得，即．【考點評析】本題考查了矩形的性質的運用，勾股定理的運用，直角三角形性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時運用軸對稱的性質求解是關鍵．23．(本題8分)（2023春·八年級課時練習）如圖，折疊矩形紙片的，使點落在對角線上的點處，得折痕，若，，求折痕的長（結果保留根號）．【答案】折痕的長【思路點撥】在中，，，由勾股定理得到，由折疊性質得到，從而得到，設，則，在中，利用勾股定理得到，解得，在中，利用勾股定理得到，從而得到答案．【規(guī)范解答】解：由題意可知，在中，，，則由勾股定理得到，折疊矩形紙片的，使點落在對角線上的點處，，，設，則，在中，利用勾股定理得到，解得，，在中，利用勾股定理得到，折痕的長．【考點評析】本題考查利用勾股定理求線段長，涉及折疊的性質、解方程等知識，熟練掌握折疊的性質及勾股定理的運用是解決問題的關鍵．24．(本題8分)（2022·全國·八年級專題練習）如圖，長方形中，，，點E為射線上一動點(不與D重合)，將沿AE折疊得到，連接，若為直角三角形，求．【答案】或【思路點撥】分為兩種情況，一種是點在線段上，另一種是點在的延長線上，利用勾股定理分別求解即可．【規(guī)范解答】解：①如圖1，當點在線段上時，，，，三點共線，由折疊可知：，，，，，在中，由勾股定理，得；②如圖2，當點在的延長線上時，，，，，設，則，，，，解得，，在中，由勾股定理，得；綜上，的值為或．【考點評析】本題考查折疊的性質，勾股定理，解題的關鍵是正確進行分類討論．25．(本題8分)（2022秋·江蘇蘇州·八年級蘇州高新區(qū)第二中學校考階段練習）操作與實踐：已知長方形紙片中，，．操作一：如圖①，任意畫一條線段，將紙片沿折疊，使點B落到點的位置，與交于點G．試說明重疊部分為等腰三角形；操作二：如圖②，將紙片沿對角線折疊，使點B落到點的位置，與交于點H．求的面積．【答案】操作一：見解析；操作二：【思路點撥】操作一：由翻折的性質可知，由長方形的性質和平行線的性質可知，從而得到，由等角對等邊可得；操作二：首先表示出，然后在中利用勾股定理構建方程求出即可解決問題．【規(guī)范解答】操作一：由折疊的性質可知，∵在長方形中，∴，∴，∴，∴為等腰三角形；操作二：在長方形中，，同操作一可得，則，在中，，∴，解得：，∴．【考點評析】本題考查了折疊的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定以及勾股定理的應用等知識，利用勾股定理構建出方程是解題的關鍵．26．(本題8分)（2023春·全國·八年級專題練習）在長方形中，，，．(1)如圖1，為邊上一點，將沿直線翻折至的位置，其中點是點的對稱點，當點落在邊上時，請你直接寫出的長為．(2)如圖2，點是邊上一動點，過點作交邊于點，將沿直線翻折得，連接，當是以為腰的等腰三角形時，求的長；(3)如圖3，點是射線上的一個動點，將沿翻折，其中點的對稱點為，當，，三點在同一直線上時，請直接寫出的長．【答案】(1)3(2)或(3)2或8【思路點撥】（1）根據折疊的性質可得，再由勾股定理，即可求解；（2）分兩種情況討論：當時，過點作于點．先證明，可得，從而得到，可求出，當時，設，則，根據，求出x，即可求解；（3）分兩種情況討論：當點在線段上時，當點在的延長線上時，即可求解．【規(guī)范解答】（1）解：四邊形是長方形，，由翻折變換的性質可知，，，故答案為：3；（2）解：如圖，當時，過點作于點．，，，，，，，，，，，，，，，；如圖，當時，設，則，∵，∴，，．綜上所述，的長為或；（3）解：如圖，當點在線段上時，四邊形是長方形，，，，，，，，．如圖，當點在的延長線上時，同法可證，，，，．綜上所述，滿足條件的的長為2或8．【考點評析】本題主要考查了勾股定理，圖形的折疊問題，全等三角形的判定和性質，熟練掌握勾股定理，圖形的折疊的性質，全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．27．(本題8分)（2023春·八年級課時練習）在中，點是上一點，將沿翻折后得到，邊交線段于點．(1)如圖1，當，時．和有怎樣的位置關系，為什么？若，，求線段的長．(2)如圖2，若，折疊后要使和，這兩個三角形其中一個是直角三角形而另一個是等腰三角形．求此時的度數．【答案】(1)，見解析；(2)的值為【思路點撥】（1）由折疊可知，，由平行可知，，根據三角形內角和得到，再由，利用等量代換可求，即可求解；設，則，在Rt中，，解得：，設，由折疊可知，，則，在Rt中，，解得：，即可求解；（2）設，則，當時，；當時，當時，，不符合題意，舍去；當時，，；當時，，；當時此時，，不成立；當時，此時不成立；當時，此時不成立；當時，當時，此時不成立；當時，；當時，此時不成立．【規(guī)范解答】（1）解：，理由如下：由折疊可知，，，，，，，，，，；設，則，由折疊可知，，在Rt中，，，解得：，，設，由折疊可知，，則，在Rt中，，，解得：，即；（2）解：，設，則，由折疊可知，，當時，是直角三角形則是等腰三角形，，；當時，是直角三角形，則是等腰三角形，，，當時，，此時，不符合題意，舍去；當時，，此時，所以；當時，，此時，所以；當時此時，，不成立；當時，是直角三角形，此時不能是等腰三角形，否則與邊沒有交點；當時，是直角三角形，則是等腰三角形，所以，所以；此時，與題意不符合，不成立；當時，是直角三角形，則是等腰三角形，所以，所以，當時，，此時，不成立；當時，，此時，所以；當時，，此時，不成立．綜上所述，的值為．【考點評析】本題考查三角形的綜合應用，熟練掌握圖形旋轉的性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，分類討論是解題的關鍵．28．(本題8分)（2022秋·江蘇·八年級期中）在長方形ABCD中，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8．（1）P為BC上一點，將△ABP沿直線AP翻折至△AEP的位置（點B落在點E處）．①如圖1，當點E落在邊CD上時，直接寫出此時DE＝_______．②如圖2，PE與CD相交于點F，AE與CD相交于點G，且FC＝FE，求BP的長．（2）如圖