專項03 構造一元二次方程解題_第1頁
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專項03構造一元二次方程解題類型一借助根的定義構造一元二次方程1.【一題多變·構造一元二次方程，求整式的值】若a、b是互不相等的兩個實數(shù)，且分別滿足a2-a-1=0，b2-b-1=0，求a+b+2ab的值.[變式·構造一元二次方程，求分式的值]若a、b為互不相等的兩個實數(shù)，且a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，求11+a2類型二借助根與系數(shù)的關系構造一元二次方程2.解方程：5+x+4?類型三借助求根公式構造一元二次方程3.若x=2+12，求類型四借助等式構造一元二次方程4.若a，b，c為實數(shù)，且a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，求證：a=b=c.5.已知ba-ca=1，求證：b

專項03構造一元二次方程解題答案全解全析1.解析∵a、b是互不相等的兩個實數(shù)，且分別滿足a2-a-1=0，b2-b-1=0，∴a、b可看成方程x2-x-1=0的兩個根，∴a+b=1，ab=-1，∴a+b+2ab=1+2×(-1)=-1.[變式]解析∵a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，∴a2+1=3a，b2+1=3b，∵a、b為互不相等的兩個實數(shù)，且a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，∴a、b可看成一元二次方程x2-3x+1=0的兩個實數(shù)根，∴a+b=3，ab=1，∴11+a2+11+b2=13a2.解析設a=5+x，b=4?x，則a+b=3，a2+b2=5+x+4-x=9，又a2+b2=(a+b)2-2ab，所以9-2ab=9，所以ab=0，易知a≠b，于是a，b可看成一元二次方程y2-3y=0互不相等的兩個根，解得y1=0，y2=3.所以5+x=0,4?x所以原方程的根為x1=-5，x2=4.3解析將x=2+12看成是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根，可令a=1，b=-1，由b2-4ac=2，得c=-14，所以x=2+12是方程x2-x-14=0的一個根，所以x2=x+14，所以16x3+4x+116x5=x3+14x+14.證明由已知等式可構造關于c的一元二次方程c2-(a+b)c+(a2+b2-ab)=0，∵實數(shù)c滿足方程，即方程有解，∴[-(a+b)]2-4(a2+b2-ab)=-3(a-b)2≥0.∵a，b為實數(shù)，∴(a-b)2≥0，∴-3(a-b)2≤0，∴-3(a-b)2=0，∴a=b.同理可證b=c，∴a=b=c.5.證明∵ba-ca=1∴x=-1滿足一元二次方程

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