2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營第2節(jié)-空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

第七單元第2節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2023屆1《高考特訓(xùn)營》·數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.借助長方體，直觀認(rèn)識空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系.2.了解四個(gè)基本事實(shí)和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題1.平面基本事實(shí)的應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象直觀想象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算2.空間兩條直線位置關(guān)系的判斷3.異面直線所成的角0102知識特訓(xùn)能力特訓(xùn)01知識特訓(xùn)知識必記拓展鏈接對點(diǎn)訓(xùn)練1．平面的基本性質(zhì)(1)基本事實(shí)

基本事實(shí)1基本事實(shí)2基本事實(shí)3文字語言如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線符號語言A∈l，B∈l，A∈α，B∈α?l?αA，B，C不共線?A，B，C確定平面αP∈α，P∈β?α∩β＝l，P∈l

[注意]

三點(diǎn)不一定能確定一個(gè)平面．當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，過這三點(diǎn)的平面有無數(shù)個(gè)，所以必須是不在一條直線上的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面．(2)基本事實(shí)1的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．

[探究]

分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線嗎？提示：不一定，因?yàn)楫惷嬷本€不同在任何一個(gè)平面內(nèi)．分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線可能平行或相交或異面．

銳角(或直角)

相等或互補(bǔ)3．空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．[注意]

直線l和平面α相交、直線l和平面α平行統(tǒng)稱為直線l在平面α外，記作l?α.[探究]

平面外的一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則直線與平面的位置關(guān)系如何？提示：平行或相交．1．[知識拓展]定理與概念中的易混點(diǎn)(1)空間中兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．(2)異面直線的判定：經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線．(3)兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角．2．[知識拓展]唯一性定理的應(yīng)用辨析(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直；(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．【例】(多選題)下列命題正確的是(

)A．過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直B．過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線平行C．過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知平面平行D．過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直解析：由結(jié)論可得A、C正確．3．[學(xué)以致用]幾何體中交線的作法【例】已知正方體ABCD-A1B1C1D1，在圖甲中，E，F(xiàn)分別是D1C1，B1B的中點(diǎn)，請畫出圖甲、圖乙中有陰影的平面與平面ABCD的交線．解答：在圖甲中，過點(diǎn)E作EN平行于BB1交CD于點(diǎn)N，連接NB，并延長交EF的延長線于點(diǎn)M，連接AM，則AM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線．在圖乙中，延長DC，過點(diǎn)C1，作C1M∥A1B交DC的延長線于點(diǎn)M，連接BM，則BM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線．1．[易錯(cuò)診斷]若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是________．答案：b與α相交或b?α或b∥α【易錯(cuò)點(diǎn)撥】判斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí)，忽視“直線在平面內(nèi)”致誤．2.[教材改編]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成角的大小為________．答案：60°解析：連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1∥EF，故∠D1B1C即為所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C為等邊三角形，∴∠D1B1C＝60°.3．[模擬演練](多選題)(2021·山東濰坊高三模擬)已知平面α∩平面β＝直線l，點(diǎn)A，C∈平面α，點(diǎn)B，D∈平面β，且A，B，C，D?l，點(diǎn)M，N分別是線段AB，CD的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是(

)A．當(dāng)CD＝2AB時(shí)，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此時(shí)直線AC與l不可能相交C．當(dāng)直線AB，CD相交，且AC∥l時(shí)，BD可與l相交D．當(dāng)直線AB，CD異面時(shí)，MN可能與l平行ACD解析：A選項(xiàng)，當(dāng)CD＝2AB時(shí)，若A，B，C，D四點(diǎn)共面且AC∥BD時(shí)，則M，N兩點(diǎn)能重合，可知A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若M，N重合，則AC∥BD，則AC∥平面β，故AC∥l，此時(shí)直線AC與直線l不可能相交，可知B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)AB與CD相交，且AC∥l時(shí)，直線BD與l平行，可知C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)AB與CD是異面直線時(shí)，MN不可能與l平行，可知D錯(cuò)誤．故選ACD.4．[真題體驗(yàn)](2020·浙江卷)已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線l，m，n.“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若m，n，l在同一平面內(nèi)，可能有m，n，l兩兩平行，所以m，n，l可能沒有公共點(diǎn)，所以不能推出m，n，l兩兩相交．由m，n，l兩兩相交且m，n，l不經(jīng)過同一點(diǎn)，可設(shè)l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A?n，所以點(diǎn)A和直線n確定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m?α，所以m，n，l在同一平面內(nèi)．故選B.B02能力特訓(xùn)特訓(xùn)點(diǎn)1特訓(xùn)點(diǎn)2特訓(xùn)點(diǎn)3典例1如圖所示，已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P，Q，R三點(diǎn)共線．特訓(xùn)點(diǎn)1共點(diǎn)、共線、共面問題【師生共研類】解：(1)∵EF是△D1B1C1的中位線，∴EF∥B1D1.在正方體AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD確定一個(gè)平面，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．(2)在正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1為α，平面BDEF為β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，則Q是α與β的公共點(diǎn)，同理，P是α與β的公共點(diǎn)，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C，∴R∈α，且R∈β，則R∈PQ，故P，Q，R三點(diǎn)共線．共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)．(2)證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．(3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．解：(1)∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD.∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC，∴P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三點(diǎn)共線．[題組·沖關(guān)]1．(2019·全國Ⅲ卷)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則(

)A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線特訓(xùn)點(diǎn)2空間兩條直線位置關(guān)系的判斷【自主沖關(guān)類】B解析：(1)如圖，取CD的中點(diǎn)F，DF的中點(diǎn)G，連接EF，F(xiàn)N，MG，GB，BD，BE.∵點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，∴點(diǎn)N在BD上，且為BD的中點(diǎn)．∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥FN.

2．(多選題)在空間四邊形ABCD中，下列說法正確的是(

)A．直線AB與CD異面B．對角線AC與BD相交C．四條邊不能都相等D．四條邊的中點(diǎn)組成一個(gè)平行四邊形解析：由定義知A正確；B錯(cuò)誤，若對角線AC與BD相交，則A，B，C，D四點(diǎn)共面；C錯(cuò)誤，可將一個(gè)菱形沿一條對角線折起一個(gè)角度，就成為四邊相等的空間四邊形；D正確，由平行四邊形的判定定理可證明．故選AD.AD3．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________．(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上)答案：③④解析：因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDD1C1外，點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點(diǎn)M，所以AM與CC1是異面直線，故①錯(cuò)；取DD1的中點(diǎn)E，連接AE(圖略)，則BN∥AE，但AE與AM相交，故②錯(cuò)；因?yàn)锽1與BN都在平面BCC1B1內(nèi)，M在平面BCC1B1外，BN不