2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：新情景、新定義下的數(shù)列問題（七大題型）（學(xué)生版+解析）

拔高點(diǎn)突破01新情景、新定義下的數(shù)列問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................3

題型一：牛頓數(shù)列問題............................................................3

題型二：高考真題下的數(shù)列新定義..................................................4

題型三：數(shù)列定義新概念..........................................................6

題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算..........................................................7

題型五：數(shù)列定義新情景..........................................................9

題型六：差分?jǐn)?shù)列、對(duì)稱數(shù)列.....................................................10

題型七：非典型新定義數(shù)列.......................................................11

03過關(guān)測(cè)試....................................................................13

方法技巧旦

1、“新定義型”數(shù)列題考查了學(xué)生閱讀和理解能力，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新事物接受能力和加以

簡(jiǎn)單運(yùn)用的能力，考查了學(xué)生探究精神.要求解題者通過觀察、閱讀、歸納、探索進(jìn)行遷移，即讀懂和理

解新定義，獲取有用的新信息，然后運(yùn)用這些有效的信息進(jìn)一步推理，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力

和探索能力(多想少算甚至不算).因此，“新定義型”數(shù)列在高考中常有體現(xiàn)，是一種用知識(shí)歸類、套路總

結(jié)、強(qiáng)化訓(xùn)練等傳統(tǒng)教學(xué)方法卻難以解決高考中不斷出現(xiàn)的新穎試題.

2、解答與數(shù)列有關(guān)的新定義問題的策略：

(1)通過給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義，或約定的一種新運(yùn)算，或給出的由幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)的新問

題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題設(shè)所提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移,

達(dá)到靈活解題的目的.

(2)遇到新定義問題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點(diǎn)，搞清新定義的本質(zhì)，按新定義的

要求“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問題得以順利解決.

(3)類比“熟悉數(shù)列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數(shù)列，向“熟悉數(shù)列”的性質(zhì)靠攏.

題型歸贏總結(jié)

題型一：牛頓數(shù)列問題

【典例1-1](2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè))牛頓選代法又稱牛頓一拉夫遜方法，它是牛頓在17世

紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)集上近似求解方程根的一種方法.具體步驟如下圖示：設(shè)r是函數(shù)了=/(x)的一個(gè)零點(diǎn),

任意選?。プ鳛閞的初始近似值，在點(diǎn)(%,/(%))作曲線了=/(無)的切線4,設(shè)與4軸x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為看,

并稱不為r的1次近似值；在點(diǎn)(占,〃網(wǎng)))作曲線y=f(x)的切線加設(shè)與4軸x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為巧，稱巧

為，?的2次近似值.一般地，在點(diǎn)(x?,/(x?))(?eN)作曲線y=/(x)的切線1詞,記/?+1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

為K，并稱x用為：?的”+1次近似直設(shè)/'(x)=x3+x-3(x20)的零點(diǎn)為八取%=0,則廠的1次近似值

為—；若匕為r的力次近似值，設(shè)%=安力，〃eN*,數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積為人若任意〃eN*,

+3

北>2恒成立，則整數(shù)2的最大值為

【典例1-2】記R上的可導(dǎo)函數(shù)/卜)的導(dǎo)函數(shù)為尸⑺，滿足怎「斗6N*)的數(shù)列｛xj稱為函

數(shù);'(x)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列｛%｝為函數(shù)/(x)=--x的牛頓數(shù)列，且數(shù)列｛%｝滿足

=2,a,=ln—,x?>1.

x“-l

(1)證明數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列并求。“；

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為，，若不等式(-1)--tS?-\4<S^對(duì)任意的〃eN*恒成立，求t的取值范圍.

【變式1-1】英國(guó)物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣

〃x,)

泛，若數(shù)列｛%｝滿足則稱數(shù)列｛%｝為牛頓數(shù)列，如果/d-x-2,數(shù)列｛七｝為牛

頓數(shù)列，設(shè)a“=ln」^且％=1,%>2,數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,貝1］邑。22=()

怎一,

A.22022-1B.22022-2C.D.

【變式1-2】科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”，其定義是：對(duì)于函數(shù)

“X")

「(X),若數(shù)列｛%｝滿足X.M則稱數(shù)列"“｝為牛頓數(shù)列，若函數(shù)/(x)=f,數(shù)列"“｝為牛頓

小)'

數(shù)列且再=2,%=log2xw,則%的值是()

A.8B.2C.-6D.-4

題型二：高考真題下的數(shù)列新定義

【典例2-1】(2024?北京?高考真題)已知集合

〃=｛億/,左,刈卜€(wěn)｛1,2｝,/€｛3,4｝,左€｛5,6｝,雁｛7,8｝,且7+/+左+叩為偶數(shù)｝.給定數(shù)列/：%,%，…,如，和序

列…&其中3嗎)eM?=l,2,…,s),對(duì)數(shù)列A進(jìn)行如下變換：將A的第％,九人,“項(xiàng)均

加1,其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作((⑷；將4(/)的第%,上，后2,叫項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作

砧⑷;……;以此類推，得到［…也⑷，簡(jiǎn)記為。⑷.

⑴給定數(shù)列41,3,2,4,6,3,1,9和序列。:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),寫出。(N)；

(2)是否存在序列O,使得。(/)為%+2,%+6,%+4,。4+2,。5+8,&+2,。7+4,。8+4,若存在，寫出一個(gè)符

合條件的。；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)若數(shù)列A的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且%+%+%+%為偶數(shù)，求證：“存在序列。，使得。(4)的各項(xiàng)都相等”

的充要條件為“%+%=。3+%=。5+。6=%+%

【典例2-2］(2024?全國(guó)?高考真題)設(shè)加為正整數(shù),數(shù)列％，&，…,&"+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中

刪去兩項(xiàng)%和a.(i<j)后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列

%，。2,…，。4"+2是0>7)-可分?jǐn)?shù)列.

(1)寫出所有的億/),14，</46,使數(shù)列4,02,…,必是億))-可分?jǐn)?shù)列；

⑵當(dāng)〃亞3時(shí)，證明：數(shù)列4,電,…，。.+2是(2,13)-可分?jǐn)?shù)列；

⑶從1,2,...,4機(jī)+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和/?</),記數(shù)列%，電，…,~+2是億/)-可分?jǐn)?shù)列的概率為乙，證

明：2>(.

O

【變式2-1](2023?北京?高考真題)已知數(shù)列｛%｝,｛〃｝的項(xiàng)數(shù)均為加(加>2),且

%也e｛1,2,…,加｝,｛叫,也｝的前〃項(xiàng)和分別為紇,并規(guī)定4=綜=0.對(duì)于左e｛0,1,2,…，加｝,定義

〃=max8q44，ie｛0,L2「、加｝｝,其中，maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).

⑴若%=2,出=1，的=3,4=1也=3也=3,求％，小%,々的值；

(2)若626],且2。<5]+K,/=1,2,…,優(yōu)-1,,求心；

(3)證明：存在R,g,SJe｛0,l,2,…,加｝,滿足。>g,s>/,使得4?+』=4+及.

【變式2-2](2022.北京?高考真題)已知。:％,七，…,g為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)〃?，若對(duì)任意的

〃e｛l,2,…,加｝,在。中存在a”%,%,…嗎+式上0),使得%+*+\+2+…+%+廣〃，則稱。為加一連續(xù)

可表數(shù)列.

⑴判斷。：2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；

(2)若。：4嗎，…S為8-連續(xù)可表數(shù)列,求證:左的最小值為4；

(3)若。：％,4,…S為20-連續(xù)可表數(shù)列,且為+出+…+對(duì)<20,求證:k>1.

【變式2-3](2021?北京?高考真題)設(shè)p為實(shí)數(shù).若無窮數(shù)列｛%｝滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱｛%｝為況.

數(shù)列：

①q+?20,且％+P=0;

②明=1,2,…)；

@am+n&{am+a?+p,am+an+p+l},(加,"=1,2,…).

(1)如果數(shù)列｛4｝的前4項(xiàng)為2,-2,-2,-1,那么｛%｝是否可能為況2數(shù)列？說明理由；

(2)若數(shù)列｛4｝是況。數(shù)列，求。5；

(3)設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為E,.是否存在況.數(shù)列｛%｝,使得S“'品，恒成立？如果存在，求出所有的p；

如果不存在，說明理由.

題型三：數(shù)列定義新概念

【典例3-1】(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))定義：任取數(shù)列｛。,｝中相鄰的兩項(xiàng)，若這兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值為1,

則稱數(shù)列｛%｝具有“性質(zhì)1”.已知項(xiàng)數(shù)為〃的數(shù)列｛?！埃乃许?xiàng)的和為且數(shù)列｛%｝具有“性質(zhì)1”.

(1)若"=4,且％=0,%=T,寫出所有可能的的值；

(2)若％=2024,〃=2023,證明：“?023=2"是"%>一(左=1,2,…,2022)”的充要條件；

⑶若為=0,”W2,%=0,證明：〃=4加或〃=4%+1(機(jī)eN*).

【典例3-2】對(duì)任意正整數(shù)〃，定義〃的豐度指數(shù)/(〃)=電口，其中$(〃)為"的所有正因數(shù)的和.

n

⑴求/⑻的值：

(2)若％=/(2"),求數(shù)列｛加〃｝的前〃項(xiàng)和1

(3)對(duì)互不相等的質(zhì)數(shù)。,加,〃，證明：/(0%〃)=/僅3)/(加)/附，并求/(2024)的值.

【變式3-1](2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于數(shù)列｛%｝,定義=%+「%(〃eN*),滿足

%=a2=1,A(Aa?)=m(meR),記/(私〃)=%%+電/+…+。產(chǎn)"，稱/(辦〃)為由數(shù)列｛4,｝生成的“加一函

(1)試寫出“2-函數(shù)”/(2,〃)，并求"2,3)的值;

⑵若“1-函數(shù)求〃的最大值；

(3)記函數(shù)50)=%+2,+—+內(nèi)〃，其導(dǎo)函數(shù)為S'(x),證明：“加一函數(shù)”

2an

=(m)———S(叫+(m+lRm.

22；=i

【變式3-2](2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè))定義：在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形

成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”，例如：數(shù)列1,2,3經(jīng)過第一次“和擴(kuò)充”后得到

數(shù)列1,3,2,5,3；第二次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列14,3,5,2,7,5,8,3.設(shè)數(shù)列。，4c經(jīng)過”次“和擴(kuò)充”后得到的數(shù)列

的項(xiàng)數(shù)為耳,，所有項(xiàng)的和為5“.

(1)若a=2,6=3,c=4,求￡,$2；

(2)求不等式月22024的解集；

(3)是否存在數(shù)列a,6,c(a,瓦ceR),使得數(shù)列阻｝為等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由.

題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算

【典例4-1](2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))記集合S=｛｛4｝|無窮數(shù)列｛%｝中存在有限項(xiàng)不為零，〃eN*｝,

對(duì)任意｛qJeS,設(shè)0(｛%｝)=%+電工+…+。/1+…,xeR.定義運(yùn)算區(qū):若｛%｝,也JeS,貝l]

｛%｝到“｝eS,且9(｛a“｝必也｝)=0(｛%｝)—(也｝).

⑴設(shè)｛%｝?也｝=｛?"｝，用％,電，%，4也也表示4；

⑵若｛/｝，也｝，匕｝小，證明：(｛?！盁熞玻?到%｝=｛氏通他｝到加｝)：

(?+1)2+1<<k1丫。3f<<

(3)若數(shù)列｛%｝滿足%=+數(shù)列也J滿足"=⑸，14〃V500,設(shè)

0,?>100|0,〃>500

｛%｝?｛"｝=｛""｝，證明：^200<1.

【典例4-2】(2024?浙江杭州?三模)卷積運(yùn)算在圖象處理、人工智能、通信系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)

用.一般地，對(duì)無窮數(shù)列{叫，{〃},定義無窮數(shù)列也+修(〃€此)，記作{%}*{，}={，"},稱為

左=1

{%}與{"}的卷積.卷積運(yùn)算有如圖所示的直觀含義，即{c“}中的項(xiàng)依次為所列數(shù)陣從左上角開始各條對(duì)

角線上元素的和，易知有交換律{叫*也}=也}*{叫.

⑴若。"=",。=2",{%}*{4}={c”},求G，c2,c3,c4；

(2)對(duì)z*N+，定義4{%}如下：①當(dāng)i=l時(shí)，[{%}={%}；②當(dāng)時(shí)，4{%}為滿足通項(xiàng)

>.的數(shù)列⑷，即將包}的每一項(xiàng)向后平移一項(xiàng)，前一項(xiàng)都取為0.試找到數(shù)列僧,

使得代卜{?〃}=[{%};

(3)若%=〃,{%}*{4}={c"},證明：當(dāng)〃23時(shí)，bn=C?-2C?_1+C?_2.

【變式4-1](2024?山東青島?一模)記集合5={{。"}|無窮數(shù)列{%}中存在有限項(xiàng)不為零，〃eN*},對(duì)

任意{%}eS,設(shè)變換/({%})=%+?》+?一+%/1+…，尤eR.定義運(yùn)算B：若m}，也}eS,貝!]

{叫到“}eS,/({%2也})=/({。力./({?}).

⑴若{%}區(qū)也,}={叫j,用％,%,生,%,4也,a也表示加一

⑵證明：(m}⑤抄“})到%}=m}例低}⑤K})；

5+1)2+1/1丫眸"

⑶右a“=jw(w+l)，,{4}={%}到，}，證明：d200<-.

0，?>100限〃>500一

【變式4-2］任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上

述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1-4-231.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱

“角谷猜想”）.如取正整數(shù)=6,根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6-3-10-5-16-＞8-4-2-1,共需經(jīng)過

8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列｛4｝滿足：（m

繪當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)

為正整數(shù)），。用=2'"'當(dāng)m=3時(shí)，％+2+6+…+4。=（）

3a“+1,當(dāng)/為奇數(shù)時(shí)

A.170B.168C.130D.172

題型五：數(shù)列定義新情景

【典例5-1］（多選題）（2024?山東青島?三模）若有窮整數(shù)數(shù)列4：%,%（讓3）滿足：

e｛T，2｝（i=l,2,…，〃一1）,且%=%=0,則稱具有性質(zhì)T.則（）

A.存在具有性質(zhì)7的4

B.存在具有性質(zhì)T的4

C.若4o具有性質(zhì)T,則％,電,L,。9中至少有兩項(xiàng)相同

D.存在正整數(shù)左，使得對(duì)任意具有性質(zhì)T的4,有為，t中任意兩項(xiàng)均不相同

【典例5-2］（2024?河南?二模）已知無窮數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1,各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合

N=,eN*|4“＜太＜%+1,〃eN*｝,若對(duì)于集合A中的元素?zé)o，數(shù)列｛%｝中存在不相同的項(xiàng)%…，氣，使

得氣+瞋+…+%=左，則稱數(shù)列｛叫具有性質(zhì)N團(tuán),記集合8=｛用數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)N㈤｝.

/、f2M-1,77＜4,、/\

（1）若數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=〃+6；＞4，判斷數(shù)列｛%｝是否具有性質(zhì)"優(yōu)），若具有，寫出集合A與

集合8；

（2）已知數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)N（k）且集合A中的最小元素為，.集合B中的最小元素為s,當(dāng)此3時(shí)，證明：

t=s.

【變式5-1］（2024?北京東城?二模）已知4：。/2，一-當(dāng)（〃23）為有窮整數(shù)數(shù)列，若4滿足：

e｛p,q｝（i=l,2,…,,其中乙是兩個(gè)給定的不同非零整數(shù)，且為=*=0,則稱4具有性質(zhì)

T.

(1)若p=-l,q=2,那么是否存在具有性質(zhì)7的4?若存在，寫出一個(gè)這樣的應(yīng)；若不存在，請(qǐng)說明理

由；

⑵若P=T,q=2,且4o具有性質(zhì)T，求證：％,為，L,%中必有兩項(xiàng)相同；

(3)若。+4=1,求證：存在正整數(shù)左，使得對(duì)任意具有性質(zhì)T的4,都有色,出，…嗎t(yī)中任意兩項(xiàng)均不相同.

【變式5-2］(2024?北京朝陽?一模)若有窮自然數(shù)數(shù)列A：…,%(〃22)滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱

A為紇數(shù)列：

①為上max｛q+ai，a2+a"2,…，久-1+%｝(左=2,3,…,〃)，其中，11?1*｛再,_￥2廣、尤1!｝表示尤1#2/一,5,這s個(gè)數(shù)

中最大的數(shù)；

②0斤4min｛q+/-2,…，+%｝+1(左=2,3,…，其中，minH，/,…,xj表示再?gòu)V?,,這s個(gè)

數(shù)中最小的數(shù).

(1)判斷A：2,4,6,7,10是否為區(qū)數(shù)列，說明理由；

(2)右A：%,。2,…,“6是線數(shù)列，且,。2,。3成等比數(shù)列，求。6；

(3)證明：對(duì)任意紇數(shù)列A：6，出,…,％(后2),存在實(shí)數(shù)人使得4=陷］住=1,2,①］表示不超

過x的最大整數(shù))

題型六：差分?jǐn)?shù)列、對(duì)稱數(shù)列

【典例6-1】(多選題)如果項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列｛叫滿足4=%+申=1,2…川，則稱其為“對(duì)稱數(shù)列”，設(shè)也｝

是項(xiàng)數(shù)為24-l(AeN*)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中4,bk+l,…，砥7是首項(xiàng)為50,公差為-4的等差數(shù)列，則

()

A.若左=12,則々=10B.若左=14,則也｝所有項(xiàng)的和為622

C.當(dāng)左=13時(shí)，也｝所有項(xiàng)的和最大D.｛，｝所有項(xiàng)的和不可能為。

【典例6-2］若項(xiàng)數(shù)為〃的數(shù)列｛叫滿足：％=%_,?=1,2,3,…，刈我們稱其為〃項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”.例如：

數(shù)列122,1為4項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”；數(shù)列123,2,1為5項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”.設(shè)數(shù)列k｝為2后+1項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，

其中卬C2…4H是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列｛&｝的最大項(xiàng)等于8,記數(shù)列｛&｝的前2左+1項(xiàng)和為星I，若

=32,貝I」后=___.

【變式6-1]（2024?四川南充?三模）對(duì)于數(shù)列｛%｝,規(guī)定為數(shù)列｛%｝的一階差分，其中

HGN

A??=a?+1-??（T規(guī)定為數(shù)列｛%｝的左階差分，其中eN*）.若

,="（1）（2〃-1）,則相一（）

6

A.7B.9C.11D.13

【變式6-2]（2024?四川南充?三模）對(duì)于數(shù)列｛%｝,規(guī)定為數(shù)列｛%｝的一階差分，其中

kk

A??=??+1-a?（?eN*）,規(guī)定Na,為數(shù)列上｝的階左差分，其中Aa?=A-'an+l-（〃eN*）.若

a=〃（"T）（2"T）,則△&=（）

〃6

A.7B.9C.11D.13

題型七：非典型新定義數(shù)列

"11"12…a\n

da?..a

【典例7-1]（2024?黑龍江?模擬預(yù)測(cè)）已知“行〃列（〃22）的數(shù)表4=::..:"中，滿足：

\"〃1an2…ann>

°產(chǎn)｛0,1｝,（，,/=1,2,-一,"）.若數(shù)表人滿足當(dāng)%=0時(shí)，總有5>“+￡%*,則稱此數(shù)表A為典型數(shù)表,

i=l

此時(shí)記工=￡￡凡.

1=1j=l

,、fooi0

’1on

⑴若數(shù)表河=001，N=：：；：,請(qǐng)直接寫出M,N是否是典型數(shù)表；

、01”

'711100）

⑵當(dāng)"=8時(shí)，是否存在典型數(shù)表/使得$8=31,若存在，請(qǐng)寫出一個(gè)數(shù)表出若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若數(shù)表N為典型數(shù)表，求A的最小值（直接寫出結(jié)果，不需要證明）.

/

石［x12

【典例7-2]（2024?遼寧葫蘆島?二模）設(shè)數(shù)陣X。=其中xn,x12,x21,x22e{1,2,3,4,5,6}.設(shè)

X22

B=｛ni,n2,---,nk｝c｛1,2,3,4,5,6｝,其中％,左eN*且左V6.定義變換為“對(duì)于數(shù)陣的每一列,

若其中有/或T，則將這一列中所有數(shù)均保持不變；若其中沒有「且沒有T,則這一列中每個(gè)數(shù)都乘以-1”

?=勺-％),河5(4)表示“將士經(jīng)過其多變換得到'，再將X]經(jīng)過跖7?變換得到工，…，以此

類推，最后將A-1經(jīng)過變換得到%.記數(shù)陣七中四個(gè)數(shù)的和為〃(X。).

⑴若5=｛2,5｝,寫出X。經(jīng)過此變換后得到的數(shù)陣并求，(X。)的值；

⑵若8=%,〃2，%｝，求〃(X。)的所有可能取值的和；

(3)對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣X。，證明：,(X。)的所有可能取值的和不大于一8.

【變式7-1】己知無窮數(shù)列｛%｝,給出以下定義：對(duì)于任意的〃eN*,都有?！?%+222%+「則稱數(shù)列｛%｝

為“T數(shù)列”；特別地，對(duì)于任意的“eN*,都有氏+?！?2>2°用，則稱數(shù)列｛4｝為“嚴(yán)格T數(shù)列”.

⑴已知數(shù)列｛叫，也｝的前〃項(xiàng)和分別為4,紇,且％=2〃-1,—試判斷數(shù)列｛4｝，數(shù)列｛紇｝

是否為“T數(shù)列”，并說明理由；

(2)證明：數(shù)列｛%｝為“T數(shù)列”的充要條件是“對(duì)于任意的左，m,?eN\當(dāng)人<能<"時(shí)，有

n

[n-m)ak+(m-k)an>(n-k)am-

(3)已知數(shù)列也｝為“嚴(yán)格T數(shù)列”，且對(duì)任意的〃cN*,?eZ,(=-8,如=-8.求數(shù)列出｝的最小項(xiàng)的

最大值.

【變式7-2](2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝是斐波那契數(shù)列，其數(shù)值為：

1,1,2,3,5,8,13,21,34…….這一數(shù)列以如下遞推的方法定義：%=1，%=1，。厘=+。"("eN*).數(shù)列也｝

對(duì)于確定的正整數(shù)左，若存在正整數(shù)〃使得4+“=4+6,成立，則稱數(shù)列也,｝為“左階可分拆數(shù)列”.

(1)已知數(shù)列｛g｝滿足g=Ma,(〃eN*,meR).判斷是否對(duì)V/weR,總存在確定的正整數(shù)左，使得數(shù)列｛qj

為“左階可分拆數(shù)列”，并說明理由.

(2)設(shè)數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S,=3"-a20),

(i)若數(shù)列｛服｝為“1階可分拆數(shù)列”，求出符合條件的實(shí)數(shù)。的值;

（ii）在⑴問的前提下，若數(shù)列｛力｝滿足，（，〃eN*，其前〃項(xiàng)和為&證明：當(dāng)〃eN*且“23時(shí),

Tn<af+q；+a；+........+Q；—+1成乂.

0

;寸羊涮住

,八J\

1.（2024?浙江紹興?三模）設(shè)ow%2c…<%9<%oo<1，已知。.+1230,（14〃499）,若

max｛%+「%｝2機(jī)恒成立，則冽的取值范圍為（）

A.m<—B.m<—

93

24

C.m<—D.m<—

39

2.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝不是常數(shù)列，前"項(xiàng)和為S”，且為>0.若對(duì)任意正整數(shù)〃，存

在正整數(shù)加，使得寓則稱｛%｝是“可控?cái)?shù)列”.現(xiàn)給出兩個(gè)命題：①存在等差數(shù)列｛4｝是“可控?cái)?shù)

列”；②存在等比數(shù)列｛%｝是“可控?cái)?shù)列”.則下列判斷正確的是（）

A.①與②均為真命題B.①與②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

3.數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若數(shù)列｛%｝與函數(shù)/（尤）滿足：①/（x）的定義域?yàn)镽;②數(shù)列｛%｝與函數(shù)

/（X）均單調(diào)增；③存在正整數(shù)〃，使$“=/（%）成立，則稱數(shù)列｛與｝與函數(shù)f（x）具有“單調(diào)偶遇關(guān)系，，.給

出下列兩個(gè)命題：（）

①與數(shù)列｛2〃+1｝具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有有限個(gè)；

②與數(shù)列｛2"｝具有"單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無數(shù)個(gè).

A.①②都是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①②都是假命題

4.（多選題）（2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測(cè)）在股票市場(chǎng)中，股票的價(jià)格是有界的，投資者通常會(huì)通過價(jià)

格的變化來確保自己的風(fēng)險(xiǎn)，這種變化的價(jià)格類似于我們數(shù)學(xué)中的數(shù)列，定義如果存在正數(shù)使得對(duì)一

切正整數(shù)“，都有㈤則稱｛%｝為有界數(shù)列，數(shù)列收斂指數(shù)列有極限，我們把極限存在（不含無窮

大）的數(shù)列稱為收斂數(shù)列，如數(shù)列?！?）,顯然對(duì)一切正整數(shù)〃都有而:的極限為0,即數(shù)列｛0“｝

既有界也收斂.如數(shù)列〃=（-1）”，顯然對(duì)一切正整數(shù)”都有同VI,但不存在極限，即數(shù)列也｝有界但不收

斂.下列數(shù)列是有界數(shù)列但不收斂的數(shù)列有（）

A.an=sinlrm+—1B.〃及=cos]〃兀+萬J

.「叫

_c々an-\sin〃兀+一

C.=2,<72=3,an—D.I2）

an-2an=

n

Q—a

5.（多選題）（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列｛%｝中，若對(duì)V“eN*,都有用_角=4（9為常數(shù)）,

an+\~an

則稱數(shù)列｛%｝為“等差比數(shù)列”，q為公差比，設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和是S“，則下列說法一定正確的是（）

A.等差數(shù)列｛。“｝是等差比數(shù)列

B.若等比數(shù)列｛?！埃堑炔畋葦?shù)列，則該數(shù)列的公比與公差比相同

C.若數(shù)列｛S,J是等差比數(shù)列，則數(shù)列｛凡+J是等比數(shù)列

D.若數(shù)列｛?！ǎ堑缺葦?shù)列，則數(shù)列｛S,｝等差比數(shù)列

6.（多選題）（2024?山東煙臺(tái)?一模）給定數(shù)列｛%｝,定義差分運(yùn)算：

A。,,=%+/%△%N".若數(shù)列｛%｝滿足%=/+〃，數(shù)列｛"｝的首項(xiàng)為1,且

M,=,+2）.2"T,〃eN*,貝U（）

A.存在M>Q,使得Aa?<M恒成立

B.存在M>0,使得A2a恒成立

C.對(duì)任意Af>0,總存在〃eN*，使得

D.對(duì)任意M>0,總存在〃eN*,使得卓

7.（多選題）（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）“角谷猜想”是指一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1,如果是

偶數(shù)就除以2,這樣經(jīng)過若干次這兩種運(yùn)算，最終必進(jìn)入循環(huán)圖If4-2-1.對(duì)任意正整數(shù)%,按照上述

規(guī)則實(shí)施第〃次運(yùn)算的結(jié)果為?！埃ā╡N）,（）

A.當(dāng)旬=7時(shí)，則a”=5

B.當(dāng)%=16時(shí)，數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減

C.若%=1，且%[=1,2,3,4）均不為1,則為=5

D.當(dāng)％=10時(shí)，從。,?=1,2,3,4,5,6）中任取兩個(gè)數(shù)至少一個(gè)為奇數(shù)的概率為1

8.（2024?高三?河北保定?期中）英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓

〃x“)

數(shù)歹廣在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列｛%｝滿足X用則稱數(shù)列｛%｝為牛頓數(shù)列?如果函數(shù)

f'g'

x+2

f（x）=x2-4,數(shù)列｛%｝為牛頓數(shù)列，設(shè)4=ln-=,且為=1,兌>2.則出以

X”一2

9.（2024?江西九江?模擬預(yù)測(cè)）著名科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”,

3

它在航空航天中應(yīng)用廣泛.其定義是：對(duì)于函數(shù)/（》），若數(shù)列｛%｝滿足x用,則稱數(shù)列列“｝為牛

小")

頓數(shù)列，若函數(shù)/（幻=/,an=log2xn,且4=1,則歿=.

10.給定函數(shù)/（x）,若數(shù)列｛七｝滿足x用則稱數(shù)列｛%｝為函數(shù)/（X）的牛頓數(shù)歹!J.已知｛%｝

小〃）'

為/（尤）=%2-4的牛頓數(shù)列，且4=ln&i|,q=l,x”>2（〃eM）,數(shù)列｛%｝的前,項(xiàng)和為S”.則

Xn

11.將正整數(shù)”分解為兩個(gè)正整數(shù)左、左2的積，即"=左『履，當(dāng)左、心兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱其

為最優(yōu)分解.如20=1x20=2x10=4x5,其中4x5即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)仁、&是〃的最優(yōu)分解時(shí)，定義

f（n）=\kt-k2\,則數(shù)列｛/（5"）｝的前2024項(xiàng)的和為.

a

1。12"13…\n

d2]22a23,,.a2n

12.（2024?高三?甘肅蘭州?開學(xué)考試）已知數(shù)表/（〃,"）=a3la32“33.?,3n

aa

"2n3…nn,

42/

魚…%。12。13,,5、

，22

。23…%。21。22。23,.02〃

B(n,n)=“3…其中與，%?/訓(xùn)分別

41,C(72,H)=。31。32。33,

b

n2CC?Q

也ha,n2n3,nn/

表示/（〃,〃），8（%〃），C（〃,〃）中第i行第/列的數(shù).若％=%及+岫瓦/+…+a加b可,則稱C（〃,〃）是

‘！_2_、

/（%〃），8（〃,〃）的生成數(shù)表.若數(shù)表/（2,2）=（：5（2,2）=:20,且C（2,2）是

（43）26

J5>

4（2,2）,3（2,2）的生成數(shù)表，則C（2,2）=_.

13.%,出，...％（）是一個(gè)1,2,3,…，10的排列，要求a—和q+i一定有一個(gè)大于q（i-2,3,---,9）,則

滿足的排列的總數(shù)為—.

14.（2024?北京通州?三模）若數(shù)列也｝、仁｝均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)〃,都存在正整數(shù)利,

使得粼e[g,c“+J,則稱數(shù)列四｝為數(shù)列｛c.｝的“M數(shù)列”.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S*,則下列結(jié)論中正

確的是.

①存在等差數(shù)列0｝,使得｛%｝是⑸｝的數(shù)列”

②存在等比數(shù)列｛??｝,使得｛凡｝是?｝的數(shù)列”

③存在等差數(shù)列｛%｝,使得岱“｝是｛??｝的數(shù)列”

④存在等比數(shù)列｛%｝,使得｛SJ是｛%｝的數(shù)列”

15.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于有窮數(shù)列｛%｝,從數(shù)列｛%｝中選取第1項(xiàng)、第％項(xiàng)、L、第或項(xiàng)

（?<???<）順次排列構(gòu)成數(shù)列低｝,其中14加,則稱新數(shù)列出｝為｛叫的一個(gè)子列，稱

也｝各項(xiàng)之和為｛%｝的一個(gè)子列和.規(guī)定：數(shù)列｛叫的任意一項(xiàng)都是｛叫的子列.則數(shù)列1,2,4,8,16,32的

所有子列和的和為.

16.（2024?高三?山東日照?期中）任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就

將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈這就是數(shù)學(xué)史上著

名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如取正整數(shù)6,根據(jù)上述運(yùn)算法則得出

6—3—10—5—16T8-4T2->1,共需要8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”）.“冰雹猜想”可表示為數(shù)列

左(左

—,a?=2eN+).問：當(dāng)加時(shí)，試確定使得需

｛0“｝滿足：％=加Gw為正整數(shù)），a'.〃+1—2"’”=17%=1

3an+1,4〃=2左+1(kGN)

要步“雹程”；若&=1,則冽所有可能的取值所構(gòu)成的集合為.

17.（2024?高三?北京朝陽?期末）中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中開方運(yùn)算暗含著迭代法，清代數(shù)學(xué)家夏鸞翔在其著

作《少?gòu)V繾鑿》中用迭代法給出一個(gè)“開平方捷術(shù)”，用符號(hào)表示為：已知正實(shí)數(shù)N,取一正數(shù)％作為J而

過,〃為奇數(shù)

%

的第一個(gè)近似值，定義％M則…，…是亞的一列近似值.當(dāng)N=10,q=3時(shí),

〃為偶數(shù)

給出下列四個(gè)結(jié)論：①尺>10;②%%>10；③加22,出"_1<出用；④V〃22,㈤.其中

所有正確結(jié)論的序號(hào)是—.

18.（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列｛%｝,稱｛△%｝為數(shù)列｛%｝的一階差分?jǐn)?shù)列，其中

M=。用—“（〃?N*）.對(duì)正整數(shù)Mg2）,稱｛△,“｝為數(shù)列何｝的左階差分?jǐn)?shù)列，其中

N%=公01%）=八1%-小一%已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為=1,且角-。"-2"｝為｛%｝的二階差分?jǐn)?shù)列.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

1?

⑵設(shè)"2_"+2）,｛xJ為數(shù)列｛4｝的一階差分?jǐn)?shù)列，對(duì)v〃eN*,是否都有成立？并說明理

2z=i

由；（其中C：為組合數(shù)）

，、tXn+f—X"1

⑶對(duì)于(2)中的數(shù)列｛%｝‘令"」+',其中5<f<2.證明：

221=1

19.(2024?貴州?三模)差分密碼分析(DifferentialCryptanalysis)是一種密碼分析方法，旨在通過觀察

密碼算法在不同輸入差分下產(chǎn)生的輸出差分，來推斷出密碼算法的密鑰信息.對(duì)于數(shù)列｛0"｝(〃?N*),規(guī)定

｛A。,｝為數(shù)列｛4｝的一階差分?jǐn)?shù)列，其中Aa"=a,+「。,；規(guī)定為｛4｝的二階差分?jǐn)?shù)列，其中

A\=人闞.如果｛叫的一階差分?jǐn)?shù)列滿足幽,|豐甌|("jeN\zVj),則稱｛叫是“絕對(duì)差異數(shù)列”;

如果｛%｝的二階差分?jǐn)?shù)列滿足則稱｛%｝是“累差不變數(shù)列”.

(1)設(shè)數(shù)列4:1,3,7,9,13,15,判斷數(shù)列A是否為“絕對(duì)差異數(shù)列”或“累差不變數(shù)列”，請(qǐng)說明理由；

⑵設(shè)數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式。"=2/+〃(〃eN*),分別判斷｛A4｝,｛A?%｝是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由；

(3)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列匕｝為“累差不變數(shù)列”，其前〃項(xiàng)和為%且對(duì)V〃eN*,都有t>2，=A2q.|,

k=\

對(duì)滿足〃+加=2左(〃7w”)的任意正整數(shù)%見k都有C"產(chǎn)g,且不等式Sn+sm>0恒成立，求實(shí)數(shù)，的最大

值.

20.(2024?安徽黃山?一模)隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛.差分和差分方程

是描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用.對(duì)于數(shù)列｛%｝,規(guī)定｛A%｝為數(shù)列｛%｝的一階差分

數(shù)列，其中(〃eN*),規(guī)定｛/%｝為數(shù)列｛叫的二階差分?jǐn)?shù)列，其中

⑴數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為a”=/(〃eN*),試判斷數(shù)列格凡｝,｛耳“｝是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由？

(2)數(shù)列｛log/J是以1為公差的等差數(shù)列，且。>2,對(duì)于任意的〃eN*,都存在meN*,使得

求?的值；

(3)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛g｝的前"項(xiàng)和為S"，且｛△&｝為常數(shù)列，對(duì)滿足加+"=2乙%*〃的任意正整數(shù)

見%/都有金wc“，且不等式。+S">-S,恒成立,求實(shí)數(shù)2的最大值.

拔高點(diǎn)突破01新情景、新定義下的數(shù)列問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................3

題型一：牛頓數(shù)列問題............................................................3

題型二：高考真題下的數(shù)列新定義..................................................4

題型三：數(shù)列定義新概念..........................................................6

題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算..........................................................7

題型五：數(shù)列定義新情景..........................................................9

題型六：差分?jǐn)?shù)列'對(duì)稱數(shù)列.....................................................10

題型七：非典型新定義數(shù)列.......................................................11

03過關(guān)測(cè)試....................................................................13