2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.2.2空間中的平行關(guān)系第2課時(shí)平面與平面平行學(xué)案新人教B版必修2

PAGEPAGE1第2課時(shí)平面與平面平行1．了解空間中兩個(gè)平面的位置關(guān)系．2．理解面面平行的定義．3．駕馭面面平行的判定定理、性質(zhì)定理．1．空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示表示法公共點(diǎn)(直線)個(gè)數(shù)兩平面平行α∥β無(wú)兩平面相交斜交α∩β＝a有一條公共直線垂直α⊥βα∩β＝a有一條公共直線2．平面與平面平行的判定定理判定定理推論文字語(yǔ)言假如一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行假如一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?β,b?β,a∩b＝P,a∥α,b∥α))?β∥αeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?β，b?β，a∩b＝P,a′?α，b′?α，a′∩b′＝P′,a∥a′，b∥b′))?β∥α3．平面與平面平行的性質(zhì)性質(zhì)定理可表述如下：文字語(yǔ)言假如兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行符號(hào)語(yǔ)言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,))?a∥b圖形語(yǔ)言1．若α∥β，a?α，b?β，下列幾種說(shuō)法中正確的是()①a∥b；②a與β內(nèi)多數(shù)條直線平行；③a與β內(nèi)的任何一條直線都不垂直；④a∥β．A．①② B．②④C．②③ D．①③④答案：B2．已知三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是棱PA，PB，PC的中點(diǎn)．求證：平面DEF∥平面ABC．證明：如圖所示，在△PAB中，因?yàn)镈，E分別是PA，PB的中點(diǎn)，所以DE∥AB．又知AB?平面ABC，因此DE∥平面ABC．同理，EF∥平面ABC．又因?yàn)镈E∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC．3．平行于同一個(gè)平面的兩條直線是否也肯定平行？解：不肯定．平行、相交、異面都有可能．平面與平面平行的判定正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是CC1、AA1的中點(diǎn)，求證：平面BDE∥平面B1D1F．【證明】設(shè)G是BB1的中點(diǎn)，連接CG、DF、FG．因?yàn)镕Geq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))AB，ABeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DC，所以FGeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DC．所以四邊形FGCD是平行四邊形，則DFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))CG．由題設(shè)可得EB1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))CG，則DFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))EB1．所以四邊形DFB1E是平行四邊形．所以B1F∥ED，因?yàn)锽1F?平面BDE，ED?平面BDE，所以B1F∥平面BDE．又因?yàn)锽1D1∥BD，B1D1?平面BDE，BD?平面BDE，所以B1D1∥平面BDE．因?yàn)锽1D1∩B1F＝B1，所以平面BDE∥平面B1D1F．eq\a\vs4\al()證明面面平行的方法(1)要證明兩平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個(gè)平面．(2)判定兩個(gè)平面平行與判定線面平行一樣，應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個(gè)面內(nèi)找到兩條與另一個(gè)平面平行的相交直線，若找不到再作協(xié)助線．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F、G是側(cè)面對(duì)角線上的點(diǎn)，且BE＝CF＝AG．求證：平面EFG∥平面ABC．證明：作EP⊥BB1于P，連接PF．在正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面ABB1A1中，易知A1B1⊥BB1．又EP⊥BB1，所以EP∥A1B1∥AB．所以eq\f(BE,BA1)＝eq\f(BP,BB1)，EP∥平面ABC．又因?yàn)锽E＝CF，BA1＝CB1，所以eq\f(CF,CB1)＝eq\f(BP,BB1)，所以PF∥BC，則PF∥平面ABC．因?yàn)镋P∩PF＝P，所以平面PEF∥平面ABC．因?yàn)镋F?平面PEF，所以EF∥平面ABC．同理，GF∥平面ABC．因?yàn)镋F∩GF＝F，所以平面EFG∥平面ABC．面面平行的性質(zhì)已知點(diǎn)S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC，SG為△SAB上的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點(diǎn)，試推斷SG與平面DEF的位置關(guān)系，并賜予證明．【解】SG∥平面DEF，證明方法如下：法一：連接CG交DE于點(diǎn)H，連接FH，因?yàn)镈E是△ABC的中位線，所以DE∥AB．在△ACG中，D是AC的中點(diǎn)，且DH∥AG，所以H為CG的中點(diǎn)．所以FH是△SCG的中位線，所以FH∥SG．又SG?平面DEF，F(xiàn)H?平面DEF，所以SG∥平面DEF．法二：因?yàn)镋F為△SBC的中位線，所以EF∥SB．因?yàn)镋F?平面SAB，SB?平面SAB，所以EF∥平面SAB．同理DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，所以平面SAB∥平面DEF．又因?yàn)镾G?平面SAB，所以SG∥平面DEF．eq\a\vs4\al()兩平面平行問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為線面平行，而線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行，所以要留意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．兩平面平行的性質(zhì)定理是證明空間兩直線平行的重要依據(jù)，故應(yīng)切實(shí)駕馭好．如圖所示，在底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？并證明你的結(jié)論．解：當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF∥平面AEC，證明如下：取PE的中點(diǎn)M，連接FM，則FM∥CE， ①由EM＝eq\f(1,2)PE＝ED，知E是MD的中點(diǎn)，連接BM，BD，設(shè)BD∩AC＝O，則O為BD的中點(diǎn)，連接OE，則BM∥OE， ②由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF?平面BFM，所以BF∥平面AEC．面面平行的判定與性質(zhì)的綜合問(wèn)題如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM＝DN．求證：MN∥平面AA1B1B．【證明】如圖，作MP∥BB1交BC于點(diǎn)P，連接NP，因?yàn)镸P∥BB1，所以eq\f(CM,MB1)＝eq\f(CP,PB)．因?yàn)锽D＝B1C，DN＝CM，所以B1M＝BN，所以eq\f(CM,MB1)＝eq\f(DN,NB)，所以eq\f(CP,PB)＝eq\f(DN,NB)，所以NP∥CD∥AB．因?yàn)镹P?平面AA1B1B，AB?平面AA1B1B，所以NP∥平面AA1B1B．因?yàn)镸P∥BB1，MP?平面AA1B1B，BB1?平面AA1B1B．所以MP∥平面AA1B1B．又因?yàn)镸P?平面MNP，NP?平面MNP，MP∩NP＝P，所以平面MNP∥平面AA1B1B．因?yàn)镸N?平面MNP，所以MN∥平面AA1B1B．eq\a\vs4\al()要證面面平行需先在一個(gè)平面內(nèi)找出兩條相交直線，證這兩條直線分別與另一平面平行，再依據(jù)面面平行的判定定理得出結(jié)論．如圖，平面α∥平面β，△ABC與△A′B′C′分別在α、β內(nèi)，線段AA′、BB′、CC′相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O在α、β之間，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，求△A′B′C′的面積．解：依據(jù)題意有S△ABC＝eq\f(\r(3),2)．因?yàn)锳A′、BB′相交．所以直線AA′、BB′確定一個(gè)平面ABA′B′，因?yàn)槠矫姒痢纹矫姒?，所以AB∥A′B′，易得△ABO∽△A′B′O， ①△ABC∽△A′B′C′， ②由①得eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(OA,OA′)＝eq\f(3,2)，由②得eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,A′B′)))eq\s\up12(2)＝(eq\f(3,2))2，所以S△A′B′C′＝eq\f(2\r(3),9)．1．平面與平面平行的判定方法(1)定義法：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)；(2)判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面；(3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β；(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ．2．利用面面平行的性質(zhì)定理證明線線平行的基本步驟(1)先找兩個(gè)平面，使這兩個(gè)平面分別經(jīng)過(guò)這兩條直線中的一條；(2)判定這兩個(gè)平面平行；(3)再找一個(gè)平面，使這兩條直線都在這個(gè)平面上；(4)由定理得出結(jié)論．3．對(duì)“線線平行”“線面平行”“面面平行”之間的關(guān)系相識(shí)．三者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖所示從線線平行、線面平行、面面平行之間的關(guān)系可以看出證明立體幾何問(wèn)題所用的核心思想是轉(zhuǎn)化思想．面面平行的判定定理中有五個(gè)條件，也是缺一不行．若沒(méi)有兩“相交”直線這個(gè)條件，不肯定有面面平行，也可能相交．1．設(shè)直線l?平面α，則過(guò)l作平面β，使β∥α，這樣的β()A．只能作一個(gè) B．至多可作一個(gè)C．不存在 D．至少可作一個(gè)解析：選B．當(dāng)l與平面α相交時(shí)，平面β不存在，當(dāng)l∥α?xí)r，可作一個(gè)平面．2．下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是()A．平行于同始終線的兩個(gè)平面平行B．平行于同一平面的兩個(gè)平面平行C．一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，交線平行D．一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)相交解析：選A．平行于同始終線的兩個(gè)平面有可能相交，如正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD與A1ABB1都與C1D1平行，但平面ABCD與A1ABB1相交．3．平面α∥平面β，直線a?α，則直線a和平面β的位置關(guān)系是．答案：a∥β4．過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的三頂點(diǎn)A1、C1、B的平面與底面ABCD所在平面的交線為l，則l與A1C1的位置關(guān)系是．解析：因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，所以l∥A1C1(面面平行的性質(zhì)定理)．答案：平行[學(xué)生用書P95(單獨(dú)成冊(cè))])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．若三條直線，a，b，c滿意a∥b∥c，且a?α，b?β，c?β，則兩個(gè)平面α、β的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定答案：C2．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)過(guò)B的全部直線中()A．不肯定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在多數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線答案：A3．已知m、n是不重合的直線，α，β是不重合的平面，有下列命題，其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()①若m?α，n∥α，則m∥n；②若m∥α，m∥β，則α∥β；③若α∩β＝n，m∥n，則m∥α，m∥β．A．0 B．1C．2 D．3解析：選A．①不正確，n∥α，過(guò)n作平面β與α相交，n與其交線平行，m?α，m不肯定與其交線平行；②不正確，設(shè)α∩β＝l，m∥l，也可有m∥α，且m∥β；③不正確，有m?α或m?β的可能．4．平面α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等且不為零，則α與β的位置關(guān)系為()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．可能重合解析：選C．若三點(diǎn)分布于平面β的同側(cè)，則α與β平行，若三點(diǎn)分布于平面β的兩側(cè)，則α與β相交．5．在正方體EFGH-E1F1G1H1中，下列四對(duì)截面彼此平行的一對(duì)是()A．平面E1FG1與平面EGH1B．平面FHG1與平面F1H1GC．平面F1H1H與平面FHE1D．平面E1HG1與平面EH1G解析：選A．如圖，因?yàn)镋G∥E1G1，EG?平面E1FG1，E1G1?平面E1FG1，所以EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可證H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，所以平面E1FG1∥平面EGH1．6．已知平面α∥β∥γ，兩條直線l，m分別與平面α，β，γ相交于點(diǎn)A，B，C和D，E，F(xiàn)，已知AB＝6，eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，則AC＝．解析：因?yàn)棣痢桅隆桅?，所以eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)．由eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，得eq\f(DE,EF)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,3)．而AB＝6，所以BC＝9，所以AC＝AB＋BC＝15．答案：157．已知a，b表示兩條不同直線，α，β，γ表示三個(gè)不重合的平面，給出下列命題：①若α⊥β，β⊥γ，則α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，則α∥β；③若a?α，a∥β，α∩β＝b，則a∥b．其中，正確命題的序號(hào)是．解析：①錯(cuò)誤，α與γ也可能相交；②正確，依題意，由a，b確定的平面γ，滿意γ∥α，γ∥β，故α∥β；③正確，由線面平行的基本性質(zhì)可知．答案：②③8．如圖是正方體的平面綻開圖，在這個(gè)正方體中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是．解析：以ABCD為下底面還原正方體，如圖，則易判定四個(gè)命題都是正確的．答案：①②③④9．如圖，在幾何體ABC-A′B′C′中，∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，求證：平面ABC∥平面A′B′C′．證明：在四邊形ABB′A′中，因?yàn)椤?＋∠2＝180°，所以A′B′∥AB．又因?yàn)锳′B′?平面ABC，AB?平面ABC，所以A′B′∥平面ABC．同理可證B′C′∥平面ABC．又因?yàn)锳′B′∩B′C′＝B′，所以平面ABC∥平面A′B′C′．10．如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q分別是BC，C1D1，AD1，BD的中點(diǎn)．(1)求證：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的長(zhǎng)；(3)求證：EF∥平面BB1D1D．解：(1)證明：法一：如圖，連接AC，CD1．因?yàn)镻，Q分別是AD1，AC的中點(diǎn)，所以PQ∥CD1．又PQ?平面DCC1D1，CD1?平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1．法二：取AD的中點(diǎn)G，連接PG，GQ，則有PG∥DD1，GQ∥DC，且PG∩GQ＝G，所以平面PGQ∥平面DCC1D1．又PQ?平面PGQ，所以PQ∥平面DCC1D1．(2)由第一問(wèn)易知PQ＝eq\f(1,2)D1C＝eq\f(\r(2),2)a．(3)證明：法一：取B1D1的中點(diǎn)O1，連接FO1，BO1，則有FO1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)B1C1．又BEeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)B1C1，所以BEeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))FO1．所以四邊形BEFO1為平行四邊形，所以EF∥BO1，又EF?平面BB1D1D，BO1?平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D．法二：取B1C1的中點(diǎn)E1，連接EE1，F(xiàn)E1，則有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，且FE1∩EE1＝E1，所以平面EE1F∥平面BB1D1D．又EF?平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D．[B實(shí)力提升]11．已知m、n表示兩條直線，α、β、γ表示三個(gè)平面，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β；②若存在a、b?α，c、d?β使a∥c，b∥d，則α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β．A．0 B．1C．2 D．3解析：選A．①錯(cuò)，可考慮三棱柱模型，三棱柱的三個(gè)側(cè)面中隨意兩個(gè)與第三個(gè)側(cè)面相交，兩條交線即側(cè)棱相互平行，但這兩個(gè)側(cè)面不平行；②錯(cuò)；③錯(cuò)．故選A．12．幾何體ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M、N分別是下底面的棱A1B1、B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP＝eq\f(a,3)，過(guò)P、M、N三點(diǎn)的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ等于．解析：取CD上一點(diǎn)Q，使CQ＝eq\f(a,3)，又由AP＝eq\f(a,3)，所以PQ∥AC．而由正方體的性質(zhì)知：AC∥A1C1，M、N分別為A1B1、B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥A1C1，所以MN∥AC，所以MN∥PQ，所以面MNQP為過(guò)點(diǎn)P、M、N的平面，在△DAC中，AP＝CQ＝eq\f(a,3)，所以PQ＝eq\r(2)DQ＝eq\f(2\r(2),3)a．答案：eq\f(2\r(2),3)a13．如圖所示，四邊形EFGH為三棱錐A-BCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形，(1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍．解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜤