2025中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：最值問(wèn)題之費(fèi)馬點(diǎn)模型（含答案）

2025中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)最值問(wèn)題之費(fèi)馬點(diǎn)模

型--初中數(shù)學(xué)含答案

最值問(wèn)題之費(fèi)馬點(diǎn)模型

【模型展示】

費(fèi)馬點(diǎn)：三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)

如圖，點(diǎn)河為銳角△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM.BM、CM,當(dāng)河與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為120°時(shí)

MA+MB+MC的值最小

B

【證明】

以為一邊向外作等邊三角形△ABE,

將BM繞點(diǎn)、口逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN.

?：△ABE為等邊三角形，

AAB=BE,乙4BE=60°.

而/MBN=60°,

：.4ABM=NEBN.

在AAMB與AENB中,

'AB=BE

?：＜ZABM=ZEBN,

、BM=BN

：.△AMB空LENB(SAS).

連接AW.由4AMBm4ENB知，AM=EN.

?：NMBN=60°,BM=BN,

.?.△BAIN為等邊三角形.

：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.

：.當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM■的值最小.

止匕時(shí)，ZBMC=180°-ANMB=120°；

NAMB=AENB=180°-ABNM=120°；

ZAMC=360°-ABMC-ZAMB=120°.

結(jié)論:三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)

【模型證明】???

1.如圖,在銳角△ABC外側(cè)作等邊連接8日.

求證:過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,且=R4+PB+PC.

【證明】

在BB,上取點(diǎn)P,使ABPC=120°,連接AP,在PB'上截取PE=PC,連接CE.

ZBFC=120°,NEPC=60°,

.?.△尸作為等邊三角形，

PC=CE,ZPCE=60°,ZCEB'=120°.

???△AC9為等邊三角形，

/.AC=B'C,^ACB'=&0°,

：.APCA+NACE=NACE+AECB'=60°,

/.APCA=AECB',：./\ACPnAB'CE,

：.NAPC=AB'EC=120°,B4=EB',針----------氣

：.AAPB=ZAPC=ABPC=120°,

.?.P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，

BB'過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC.

2.如圖，在△ABC中，以它的邊AB,AC為邊,分別在形外作等邊三角形ABD,ACE,連接BE,CD.

求證：8E=_DC.

【證明】

由已知可得AB=AD,AC=AE,ABAD=ACAE=60°,

/.ABAD+ABAC=ACAE+ABAC,即ZDAC=/.BAE.

在△BAE和△DAC中，

/XBAEnADAC,/.BE=DC.???

【題型演練】

一、單選題

1.數(shù)學(xué)很多的知識(shí)都是以發(fā)明者的名字命名的，如韋達(dá)定理、楊輝三角、費(fèi)馬點(diǎn)等，你知道平面直角坐標(biāo)系

是哪一位法國(guó)的數(shù)學(xué)家創(chuàng)立的，并以他的名字命名的嗎？()

A.迪卡爾B.歐幾里得C.歐拉D.丟番圖

2.已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則尸點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)

(Fermatpoint).已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)N4P8=NAPC=ZBPC=120°

時(shí)，P就是AABC的費(fèi)馬點(diǎn).若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為方的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PO+PE+PF

=()

A.2V3B.1+V3C.6D.3V3

3.已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)

(Fermatpoint).已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)乙4P8=/APC=120°

時(shí)，P就是4ABC的費(fèi)馬點(diǎn).若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為6的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF

=()

A.6B.3(V2+V6)C.6V3D.9

4.已知點(diǎn)P是△4BC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)

(Fermatpoint).已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的AABC中,當(dāng)AAPB=AAPC=ZBPC=120°

時(shí)，P就是AABC的費(fèi)馬點(diǎn).若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為V6的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF

=()

A.6B.V3+3C.6V3D.9

二、填空題

5.已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)

(Fermatpoint),已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)AAPB=AAPC=ABPC=120°

時(shí)，P就是的費(fèi)馬點(diǎn)，若P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為方的等腰直角三角形LEF的

費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF=.

6.若P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且NAPB=ZBFC=NCPA=120°,則點(diǎn)P叫做AABC的費(fèi)馬點(diǎn).若

點(diǎn)P為銳角AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且/ABC=60°,弘=3,PC=4,則的值為.

7.法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)P,使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最小.人們稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為費(fèi)

馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為費(fèi)馬距離.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角AABC中，費(fèi)馬點(diǎn)P滿足AAPB=

NBPC=ACPA=120°，如圖，點(diǎn)P為銳角△48。的費(fèi)馬點(diǎn)，且上4=3,PC=4,60°,則費(fèi)馬距

離為.???

B.

8.已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱(chēng)為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如果△ABC是銳角（或直角）三角

形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn),且滿足/4PB=N8PC=/Ca4=120°.（例如:等邊三角形的費(fèi)馬

點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）.若4B==P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則出+可+9。=

；若AB=2g,=2,AC=4,P為△4BC的費(fèi)馬點(diǎn)，則。A++PC=.

三、解答題

9.如圖（1）,P為△ABC所在平面上一點(diǎn),且NAPB=ABPC=ACPA=120°,則點(diǎn)P叫做AABC的費(fèi)馬

點(diǎn).

（1）若點(diǎn)尸是等邊三角形三條中線的交點(diǎn)，點(diǎn)尸（填是或不是）該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).

（2）如果點(diǎn)P為銳角AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且AABC=60°.求證：AABP?ABCP；

（3）已知銳角△4BC,分別以48、人。為邊向外作正448后和正乙4（3?,CE和BD相交于P點(diǎn).如圖

（2）

①求/CPO的度數(shù)；

②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

???

10.背景資料：

在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)P,使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.

這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱(chēng)為“費(fèi)馬

點(diǎn)”.

如圖①，當(dāng)ZVIBC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在AABC內(nèi)部,此時(shí)AAPB=/.CPA=

120°，此時(shí)，R4+尸6+PC的值最小.

解決問(wèn)題：

⑴如圖②，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到頂點(diǎn)48、C的距離分別為3,4,5,求乙4PB的度數(shù).

為了解決本題，我們可以將AAHP繞頂點(diǎn)人旋轉(zhuǎn)到XACP處，此時(shí)△ACP篤A4BP,這樣就可以利用

旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段E4,PB,PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出AAPB=；

基本運(yùn)用：

(2)請(qǐng)你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問(wèn)題：

如圖③，ZVIBC中，ZCAB=90°,AB=AC,E,尸為8C上的點(diǎn)，且/艮4尸=45°,判斷BE,EF,FC之

間的數(shù)量關(guān)系并證明；

能力提升：

⑶如圖④，在中，NC=90°,AC=1,NABC=30°,點(diǎn)P為Rt/\ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，

連接AP,BP,CP,求上4+PB+PC的值.

三zk

BCBEFC

CB

圖②圖③圖④

???

11.若P為△4BC所在平面上一點(diǎn)，且ZAPS=ABPC=ZCR4=120°,則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

(1)若點(diǎn)P為銳角的費(fèi)馬點(diǎn),且NABC=60°,A4=3,PC=4,則尸口的值為；

⑵如圖,在銳角ZVIB。外側(cè)作等邊AACB，連結(jié)BB'.求證：BB'過(guò)△4BC的費(fèi)馬點(diǎn)P,且BB'=PA

+PB+PC.

12.若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于120°,則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角均為120°,此時(shí)該點(diǎn)叫做

這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如圖1,當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在4ABC內(nèi)部，此時(shí)AAPB

=NBPC=NCR4=120°,R4++PC的值最小.

(1)如圖2,等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A,B,C的距離分別為3,4,5,求NAPB的度

數(shù).為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想,將AAB尸繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP處,連接PP',此時(shí)

△ACP空/\ABP,這樣就可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換,將三條線段PA,PB,PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出

NAP8=.

⑵如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)BP,在射線8P上取點(diǎn)。，E,連接AE,AD.使AD=AP,NDAE=

/四。,求證：8E=弘+PR+PC.

(3)如圖4,在直角三角形ABC中,ZABC=90°,乙4cB=30°,48=1,點(diǎn)P為直角三角形ABC的費(fèi)

馬點(diǎn)，連接AP,BP,CP,請(qǐng)直接寫(xiě)出上4+PB+PC的值.

???

13.【問(wèn)題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶?德?費(fèi)馬，提出一個(gè)問(wèn)題:求作三角形內(nèi)

的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來(lái)這點(diǎn)被稱(chēng)之為“費(fèi)馬點(diǎn)”.

如圖，點(diǎn)P是A4BC內(nèi)的一點(diǎn)，將AAPC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AAP，。,則可以構(gòu)造出等邊

△APPI得AP=PP,CP=CP，,所以M+P8+PC的值轉(zhuǎn)化為PP+PB+P。的值，當(dāng)

。四點(diǎn)共線時(shí)，線段的長(zhǎng)為所求的最小值，即點(diǎn)P為△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”.

(1)【拓展應(yīng)用】

如圖1,點(diǎn)P是等邊△48。內(nèi)的一點(diǎn),連接上4,尸B,PC,將XPAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到

/\AP'C.

①若上4=3,則點(diǎn)P與點(diǎn)P之間的距離是；

②當(dāng)上4=3,PB=5,PC=4時(shí)，求乙4PC的大??；

⑵如圖2,點(diǎn)P是△4BC內(nèi)的一點(diǎn)，且NR4C=90°,4B=6,4。=2，^,求弘+。8+。。的最小值.

BC

圖2

???

14.如圖1,點(diǎn)M為銳角三角形力內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM,BM,CM.以AB為一邊向外作等邊三角形

△4BE,將W繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN.

⑴求證：AAMB空；

(2)若AM+BM+CN的值最小,則稱(chēng)點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).若點(diǎn)M為ZV1BC的費(fèi)馬點(diǎn)，求此時(shí)

AAMB,ABMC,ACMA的度數(shù)；

(3)受以上啟發(fā),你能想出作銳角三角形的費(fèi)馬點(diǎn)的一個(gè)方法嗎？請(qǐng)利用圖2畫(huà)出草圖，并說(shuō)明作法以及

理由.

9

15.如圖，在△ABC中，NACB=30°,_BC=6,力。=5,在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接？A、PB、PC.（加權(quán)

費(fèi)馬點(diǎn)）求：

⑴24+PB+PC的最小值：

（2）R4+PB+V2PC的最小值

⑶上4+PB+V3PC的最小值；

（4）2B4+PB+四。。的最小值

⑸寺24+9口+乎PC的最小值;

（6）2B4+4PB+2，^PC的最小值

（7）4B4+2PB+2V3FC的最小值；

（8）3B4+4PB+5PC的最小值

16.閱讀材料:平面幾何中的費(fèi)馬問(wèn)題是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾?德?費(fèi)馬提

出的一個(gè)著名的幾何問(wèn)題.1643年，在一封寫(xiě)給意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利的私人信件中，費(fèi)馬

提出了下面這個(gè)極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請(qǐng)求托里拆利幫忙解答:給定不在一條直線上的三個(gè)

點(diǎn)C,求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)P的位置.托里拆利成功地解決了費(fèi)馬的問(wèn)題.

后來(lái)人們就把平面上到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,。距離之和最小的點(diǎn)稱(chēng)為△ABC的費(fèi)馬-托里拆

利點(diǎn)，也簡(jiǎn)稱(chēng)為費(fèi)馬點(diǎn)或托里拆利點(diǎn).問(wèn)題解決：

（1）費(fèi)馬問(wèn)題有多種不同的解法，最簡(jiǎn)單快捷的還是幾何解法.如圖1,我們可以將繞點(diǎn)口順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)60°得到ABDE,連接PD,可得ABPD為等邊三角形，故PD=,由旋轉(zhuǎn)可得=PC,因M+

P8+PC=P4+PD+,由可知，9+P8+PC的最小值與線段的長(zhǎng)度相等；

（2）如圖2,在直角三角形4BC內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P,ABAC=90°,乙4cB=30°,連接24,PB,PC,若AB

=2,求3+可+。。的最小值；

（3）如圖3,菱形的邊長(zhǎng)為4,60°,平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)E,在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,始終有

/BEC=90°，連接AE、OE,在LADE內(nèi)部是否存在一點(diǎn)尸，使得_B4+尸。+PE最小,若存在,請(qǐng)直接

寫(xiě)出上4++PE的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

???

17.綜合與實(shí)踐

材料一:''轉(zhuǎn)化思想”是幾何變換中常用的思想，例如將圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，實(shí)現(xiàn)圖形位置的“轉(zhuǎn)化”，把一

般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，使問(wèn)題化難為易.它是一種以變化的、運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)處理孤立的、離散問(wèn)題的

思想.

材料二:皮埃爾?德?費(fèi)馬(如圖)，17世紀(jì)法國(guó)律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”.1638年

勒?笛卡兒邀請(qǐng)費(fèi)馬思考關(guān)于三個(gè)頂點(diǎn)距離為定值的問(wèn)題，費(fèi)馬經(jīng)過(guò)思考并由此推出費(fèi)馬點(diǎn)的相關(guān)結(jié)論.

定義:若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于120°,則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角均為120°,此時(shí)該

點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如圖1,當(dāng)LABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí),費(fèi)馬點(diǎn)P在4ABC內(nèi)部，此時(shí)

NAPB=4BPC=ACPA=120°,B4+PB+PC的值最小.

(1)如圖2,等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到頂點(diǎn)的距離分別為3,4,5,求乙4PB的度數(shù).

為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想,將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AACP，處,連接PP,此時(shí)A4CP，

4ABP,這樣就可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出AAPB=

⑵如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)BP,在射線BP上取點(diǎn)D,E,連接AE,AD.使AD=AP,ADAE=

APAC,求證：BE=弘+P8+PC；

⑶如圖4,在Rt/\ABC中，4ABe=90°,ZACB=30°,AB=1,點(diǎn)P為Rt/\ABC的費(fèi)馬點(diǎn),連接AP,

BP,CP,請(qǐng)直接寫(xiě)出24+PB+PC的值.???

18.若點(diǎn)P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且ZAPB=ABPC=ACPA=120°，則點(diǎn)P叫做△4BC的費(fèi)馬點(diǎn).

當(dāng)三角形的最大角小于120°時(shí)，可以證明費(fèi)馬點(diǎn)就是“到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)”.即

E4+PB+PC最小.

⑴如圖1,向△ABC外作等邊三角形△4BD,△ABC.連接BE,OC相交于點(diǎn)P,連接4P.

①證明：點(diǎn)P就是△ABC費(fèi)馬點(diǎn)；

②證明：B4+PB+PC=BE=_DC；

(2)如圖2,在△AWG中，上^=4方，/7=75°,同3=3.點(diǎn)0是/XMNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)O到LMNG三

個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是.

19.如圖①，點(diǎn)河為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM.BM.CM.以AB為一邊向外作等邊三角形

△ABE,將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN.

⑴求證：g△EA?；

(2)若AM+BM+CM的值最小,則稱(chēng)點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),試求此時(shí)

NAMB、/BMC、NCMA的度數(shù)；

(3)小翔受以上啟發(fā),得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法:如圖②,分別以4ABC的AB、AC為一

邊向外作等邊4ABE和等邊AACF，連接CE、,設(shè)交點(diǎn)為M,則點(diǎn)M即為AABC的費(fèi)馬點(diǎn).試說(shuō)

明這種作法的依據(jù).

???

20.（1）知識(shí)儲(chǔ)備

①如圖1,已知點(diǎn)尸為等邊△4BC外接圓的弧上任意一點(diǎn).求證：尸B+PA.

②定義:在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P,使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小,則稱(chēng)點(diǎn)P為AABC

的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離.

（2）知識(shí)遷移

①我們有如下探尋△ABC（其中乙4,Z.B,ZC均小于120°）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：

如圖2,在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊ABCD及其外接圓，根據(jù)（1）的結(jié)論，易知線段

的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離.

②在圖3中，用不同于圖2的方法作出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P（要求尺規(guī)作圖）.

（3）知識(shí)應(yīng)用

①判斷題（正確的打V,錯(cuò)誤的打X）：

i.任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個(gè)（）；

ii.任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部（）.

②已知正方形是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且PA+PB+PC的最小值為，^+方,求正方形

ABCD的邊長(zhǎng).

???

21.如圖（1）,P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且/4?5=/族。=/。24=120°,則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)

馬點(diǎn).

（1）如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且乙4BC=60°.

①求證：l\ABP?/XBCP；

②若B4=3,PC=4,則PB=.

（2）已知銳角△ABC,分別以AB.AC為邊向外作正△4BE和正△ACO,CE和8。相交于P點(diǎn).

如圖⑵

①求NCP。的度數(shù)；

②求證：尸點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

最值問(wèn)題之費(fèi)馬點(diǎn)模型

【模型展示】

費(fèi)馬點(diǎn)：三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)

如圖，點(diǎn)及為銳角AABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM.BM、CM,當(dāng)M與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為120°時(shí),

MA+MB+MC的值最小

【證明】

以AB為一邊向外作等邊三角形AABE,

將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到8N,連接EN.

?.?△ABE為等邊三角形，

AB=BE,/ABE=60°.

而NMBN=60°,

ZABM=4EBN.

在AAMB與AENB中,

'AB=BE

?：-ZABM=/EBN,

、BM=BN

：./\AMBn/\ENB(SAS).

連接MN.由△AMB篤△ENB知，AM=EN.

?/AMBN=60°,BM=BN,

.?.△8MN為等邊三角形.?M

：.BM=MN.

：.AM+BM+CM=EN+MN+CM.

：.當(dāng)E、N、M、。四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CAI的值最小.

此時(shí)，ABMC=180°-ZTVAffi=120°；

AAMB=AENB=180°-ABNM=120°；

ZAMC=360°一/BMC—ZAMB=120°.

結(jié)論:三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)

【模型證明】

1.如圖,在銳角△4BC外側(cè)作等邊△ACB1連接

求證:過(guò)△4BC的費(fèi)馬點(diǎn)P,且=9+PH+PC.

【證明】

在BB'上取點(diǎn)P,使NBPC=120°,連接AP,在PB'上截取PE=PC,連接CE.

ABPC=120°,/./EPC=60°,

.?.△PCE為等邊三角形，

PC=CEZPCE=60°,NCEB，=120°.

?.?△AC?，為等邊三角形，

AC=B'C,AACB'=60°,

/.PCA+AACE=AACE+NECB'=60°,

APCA=ZECB',：./XACP^^B'CE,

：.AAPC=AB'EC=120°,B4=EB\

：.AAPB=AAPC=2BPC=120°,

.?.P為△4BC的費(fèi)馬點(diǎn)，

BB'過(guò)ZVIBC的費(fèi)馬點(diǎn)P,且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC.

2.如圖，在△ABC中，以它的邊為邊,分別在形外作等邊三角形ABDACE,連接BE,CD.

求證:BE=DC.

【證明】

由已知可得AB=AD,AC=AE,ABAD=ACAE=60°,

ABAD+ABAC=ZCAE+ABAC,即ZDAC=/BAE.

在△BAE和△D4C中，

ABAE空ARAC,BE=DC.

【典型演練】

一、單選題

1.數(shù)學(xué)很多的知識(shí)都是以發(fā)明者的名字命名的，如韋達(dá)定理、楊輝三角、費(fèi)馬點(diǎn)等,你知道平面直角坐標(biāo)

系是哪一位法國(guó)的數(shù)學(xué)家創(chuàng)立的，并以他的名字命名的嗎？()

A.迪卡爾B.歐幾里得C.歐拉D.丟番圖

【答案】A

【分析】根據(jù)實(shí)際選擇對(duì)應(yīng)科學(xué)家--迪卡爾.

【詳解】平面直角坐標(biāo)系是法國(guó)的數(shù)學(xué)家迪卡爾創(chuàng)立的，并以他的名字命名.

故選A

【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：數(shù)學(xué)常識(shí).解題關(guān)鍵點(diǎn)：了解數(shù)學(xué)家的成就.

2.已知點(diǎn)P是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫4ABC的費(fèi)馬點(diǎn)

(Fermatpoint).已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)N4PB=N4PC==

120°時(shí)，P就是AABC的費(fèi)馬點(diǎn).若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則+

PE+PF=()

A.2V3B.1+V3C.6D.3V3

【答案】B

【詳解】解:如圖:等腰RtADEF中，DE=DF=H,過(guò)點(diǎn)D作DM±EF于點(diǎn)M,過(guò)E、F分別作AMEP

EM，解得：==當(dāng)￡,則?！?乎，故DP=

ZMFP=30°,貝IEM=DM=1,故cos30°=

EP

點(diǎn)睛：此題主要考查了解直角三角形，正確畫(huà)出圖形進(jìn)而求出PE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.

3.已知點(diǎn)P是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)

(Fermatpoint).已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△4BC中，當(dāng)/APB=/_BPC=

120°時(shí)，P就是AABC的費(fèi)馬點(diǎn).若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為6的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE

+PF=()

A.6B.3(V2+V6)C.6V3D.9

【答案】B

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)勾股定理可得EF,由過(guò)點(diǎn)。作DM_LEF于點(diǎn)河，過(guò)E、F分別作ZMEP

=NMFP=30°就可以得到滿足條件的點(diǎn)P,易得EM=DM=MF=3A/2,根據(jù)勾股定理列方程求出PM,

PE、PF,繼而求出PD的長(zhǎng)即可求解.

【詳解】解:如圖：等腰RtADEF中，DE=6,

EF=y/DE2+DF2=V62+62=672,

過(guò)點(diǎn)。作DM_LEF于點(diǎn)河，過(guò)E、F分別作ZMEP=ZMFP=30°,則ZEPF=4FPD=NDPE=120°,

點(diǎn)P就是馬費(fèi)點(diǎn),

：.EM=DM=MF=3V^,

設(shè)PM=x,PE=PF=lx,

在Rt/^EMP中，由勾股定理可得：

PM2+EM2=PE2，即①2+18=(2x)2,

解得tXr=V6,x2=—VG(負(fù)數(shù)舍去)，

即PM=娓,

:.PE=PF=2前

故DP=DM-PM=3V2-V6,

則PD+PE+PF^3V2-V6+4V6=3A/2+3V6=3(V2+V6).

故選R

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，正確畫(huà)出做輔助線構(gòu)造直角三角形進(jìn)而

求出PA1的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.

4.已知點(diǎn)P是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫4ABC的費(fèi)馬點(diǎn)

(Fermatpoint).已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)N4PB=N4PC=NBPC=

120°時(shí)，P就是4ABC的費(fèi)馬點(diǎn).若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為V6的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則+

PE+PF=()

A.6B.V3+3C.6V3D.9

【答案】B

［分析］根據(jù)題意首先畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn)。作DM±EF于點(diǎn)M,在ABDE內(nèi)部過(guò)E、尸分別作4MEP=

/.MFP=30°，則AEPF=AFPD=ZEPD=120°,點(diǎn)P就是費(fèi)馬點(diǎn)，求出PE,PR,DP的長(zhǎng)即可解決問(wèn)

題.

【詳解】解:如圖：過(guò)點(diǎn)。作DM_LEF于點(diǎn)、M,在^BDE內(nèi)部過(guò)E、F分別作AMEP=ZMFP=30°,

則ZEPF=Z.FPD=NEPD=120°,點(diǎn)P就是費(fèi)馬點(diǎn)，

在等腰Rt^DEF中，。E=。尸=幾，DM±EF,

:.EF=6DE=2展,

:.EM=DM二衣,

,：4PEM=30°,NPME=90°,

:.EP=2PM,

解得：PM=1,則PE=2,

故DP=同一1,同法可得PF=2,

則PD+PE+PF=，^—l+2+2=3+四.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，正確畫(huà)出圖形進(jìn)而求出PE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.

二、填空題

5.已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)

(Fermatpoint),已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)4APB=NAPC=ZBPC=120°

時(shí)，P就是4ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，若P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為V2的等腰直角三角形。E尸

的費(fèi)馬點(diǎn)，則+PE+尸F(xiàn)=

【答案】通+1.

【詳解】如圖：等腰Rt^DEF中，=DF=四，過(guò)點(diǎn)。作DMA,EF于點(diǎn)M■，過(guò)E、F分別作ZMEP=

Z.MFP=30°,則EM=DM=1,故cos30°=，解得：PE=PF=^=則?！?乎，故。p=

EPV33O

1-4O,則PD+PE+PF=2xO+1-^O-=73+1.故答案為V3+1.

???

6.若P為4ABC所在平面上一點(diǎn)，且AAPB=Z.BPC=ZCR4=120°,則點(diǎn)P叫做AABC的費(fèi)馬點(diǎn).

若點(diǎn)P為銳角AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且AABC=60°,上4=3,PC=4,則的值為.

【答案】2/

【詳解】如圖，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得NPAB+NPBA=180°-AAPB=60°,再由ZPBC+/PBA

=ZABC=60°，即可得ZPAB=4PBC,又因AAPB=ABPC=120°,即可判定△ABP?4BCP,根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)可得梨=需,即P32=Q4.pc,再由R4=3,PC=4,即可求得PB=2四.

PBPC

7.法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出:在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)P,使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最小.人們稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為

費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)24+P8+PC的值為費(fèi)馬距離.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角LABC中，費(fèi)馬點(diǎn)P滿足AAPB

=/8尸。=/。巴4=120°,如圖，點(diǎn)。為銳角448。的費(fèi)馬點(diǎn),且^4=3,。。=4,乙48。=60°,則費(fèi)

馬距離為.

【答案】7+2聲

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解:如圖：

,/AAPB=NBPC=^CPA=120,ZABC=60°,

/.Zl+Z3=60°,Zl+Z2=60°,/2+/4=60°,

/l=/4,/2=/3,

△BPC?/\APB

?PC_PB

"TB~^Ad

即932=12

:.PB=2聰

：.PA+PB+PC=7+2V3

故答案為：7+2/3?M

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)一最短路線問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定和性質(zhì).

8.已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱(chēng)為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如果△ABC是銳角（或直角）三

角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn),且滿足AAPB=/.BPC=ACPA=120°.（例如:等邊三角形的

費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）.若48=人。=，7,8。=2《，？為448。的費(fèi)馬點(diǎn)，則9+尸8+。。

=；=2,AC=4,P為△4BC的費(fèi)馬點(diǎn)，則上4++PC=.

【答案】52a

【分析】①作出圖形，過(guò)B,。分別作NDBP=NDCP=30°,勾股定理解直角三角形即可

②作出圖形，將△4PC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,P為/\ABC的費(fèi)馬點(diǎn)則B,P,P',C四點(diǎn)共線，即A4+PB

+PC=B。，再用勾股定理求得即可

【詳解】①如圖，過(guò)A作AD_LBC,垂足為。，

過(guò)B,。分別作ZDBP=NDCP=30°,則PB=PC,P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)

,:AB=AC=Ji,BC=241>

:.BD=DC=^BC="

..tan30=-=—

：.PD=1

PD

：.PB==2

sin30

AD=dAB—Biy==2

：.PA+PB+PC^5

②如圖：

■/AB=2^3,BC=2,AC=4：.

：.AB2+BC2=16,BC2=16

AAB2+BC2=AC2

/ABC=90°

1/sin/_BAC==《=sin30°

AC2

/./BAG=30°

將4APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°

由旋轉(zhuǎn)可得:△APC空/XAP'C

：.AP=AP,PC^P'C',AC^ACACAC=/.PAP'60'

△APP，是等邊三角形，

AABAC=90°

-.?P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)

即B,P,P,C'四點(diǎn)共線時(shí)候，弘+PB+PC=BC

PA+PB+PC=BP+PP'+P'C'=BC

=^/AB2+AC'2=V（2A/3）2+42=2V7

故答案為：①5,②2/7

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的圖形是解題的關(guān)

鍵.本題旋轉(zhuǎn)△B4B,/XPBC也可，但必須繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn).

三、解答題

9.如圖（1）,P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且NAPB=NBPC=NCPA=120°,則點(diǎn)P叫做AABC的費(fèi)

馬點(diǎn).

（1）若點(diǎn)P是等邊三角形三條中線的交點(diǎn)，點(diǎn)尸（填是或不是）該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).

（2）如果點(diǎn)P為銳角4ABC的費(fèi)馬點(diǎn),且ZABC=60°.求證：AABP?ABCP；

（3）已知銳角△4BC,分別以為邊向外作正△ABE和正△AC。，CE和相交于P點(diǎn).如

圖⑵

①求NCPD的度數(shù)；

②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

【答案】⑴是；⑵見(jiàn)解析;（3）①60°,②見(jiàn)解析

【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)證明ZABP=ZFAB=30°,可得乙4PB=120°,同法可得：ZAPC=

ZBPC=120°,從而可得結(jié)論；

（2）由P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且AABC=60°,證明ZPAB=NPBC,ZAPB=ZBPC=120°,從而可

得&ABP?&BCP;

（3）①如圖2所示：由AABE與AACD都為等邊三角形，證明XACE空△ADB（SAS），利用全等三角形的性

質(zhì)可得/CFD=/6=/5=60°;②先證明△4DF?△PCF,可得萼=縹，再證明△AFP?△DFC.

rrGr

可得/APC=ACPD+NAPF=120°,再證明4BPC=120°,從而可得結(jié)論.

【詳解】解：（1）如圖1所示：

:.MB平分4ABe.

同理：AN平分ABAC,PC平分ABCA.

?.?△ABC為等邊三角形，

AABP=30°,ABAP=30°.

/.乙4PB=120°.?M

同理：ZAFC=120°,ZBFC=120°.

??.P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

故答案為：是.

(2)???P為銳角△4BC的費(fèi)馬點(diǎn)，且NABC=60°.

??.ZAPS=ZBFC=120°,

??.Z.PAB+/.PBA=180°-AAPB=60°,APBC+APBA=AABC=60°,

??."AB=/PBC,

：.△ABP?ABCP.

(3)如圖2所示:

①???/\ABE與叢ACD都為等邊三角形，

???ABAE=ACAD=6Q°,AE=AB9AC=AD,

：.ABAE+/BAC=ACAD-YABAC,即4EAC=/BAD,

(AC^AD

在/\ACE和△ABD中，(4EAC=ABAD

[AE=AB

：./XACE空△ADB(SAS),

??.Z1=Z2,

???Z3=Z4,

??.NCPD=N6=N5=60°;

②證明：???N1=N2,N3=N4,

???4ADF?/\PCF,

.AF=DF

**PF-CF?,

??,/AFP=/CFD,

???△AFP?ADFC.

??.ZAFF=ZACD=60°,

??.ZAPC=/CPD+/APF=120°,

???Z6=60°,

??."PC=120°,

??.ZAPS=360°-ABPC-ZAPC=120°,

??.P點(diǎn)、為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，確定圖中

隱含的全等三角形與相似三角形是解題的關(guān)鍵.

10.背景資料：

在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)P,使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.???

這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱(chēng)為

“費(fèi)馬點(diǎn)”.

如圖①，當(dāng)ZVIBC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí),費(fèi)馬點(diǎn)P在ZVIBC內(nèi)部,此時(shí)AAPB=ABPC=ACPA

=120°,此時(shí)，上4+PB+PC的值最小.

解決問(wèn)題：

⑴如圖②，等邊4ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、8、C的距離分別為3,4,5,求AAPB的度數(shù).

為了解決本題，我們可以將△4BP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP處,此時(shí)△ACP經(jīng)這樣就可以利

用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段E4,尸C轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出AAPB=；

基本運(yùn)用：

（2）請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問(wèn)題：

如圖③，△ABC中，/CAB=90°,AB=AC,E,尸為上的點(diǎn)，且2及4尸=45°,判斷BE,EF,FC

之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

能力提升：

⑶如圖④，在RtAABC中，NC=90°,AC=1,AABC=30°,點(diǎn)P為Rt/\ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，

連接AP,BP,CP,求Rl+PB+PC的值.

圖②圖③

圖④

【答案】（1）150°;（2）?F2=CE，2+FC2,理由見(jiàn)解析；（3）/7.?M

【詳解】試題分析：⑴

⑵首先把△ACE繞點(diǎn)人順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到4ACEI連接0F,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE'^AE,0a=

BE,NCAE，=NBAE,ZAC8=4B,/EAE'=90°,然后再證明AEAF篤小田/尸可得/尸=防，，再利

用勾股定理可得結(jié)論；

(3)將AAOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至AAOB處,連接00,根據(jù)已知證明C、。、4、O四點(diǎn)共線,在

Rt^A'BC中，利用勾股定理求得A'C的長(zhǎng),根據(jù)新定義即可得OA+OB+OC=V7.

試題解析：(1)：ZVLBC為等邊三角形，

：.AB^AC,ABAC=60°,

將△ABP繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得至IAACP,如圖，連結(jié)PP',

：.AP=AP=3,APAP'=60°,PC=PB=4,AAPB=/AP'C,

/.Z\APP為等邊三角形，

APP'A=60°,PP=AP=3,

在△PPC中，?.?PP=3,PC=4,PC=5,

：.PP'2+P'C2^PC2,

：.4Ppe為直角三角形，APP'C=90°,

/APC=APP'A+ZPP，C=60°+90°=150°,

/./APB=150°,

故答案為150°;

(i)E'F2=CE'2+FC2，理由如下：

如圖2,把4ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AACE，,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE'=AE,CE'=BE,ACAE'=ABAE,NACE'=ZB,AEAE'=90°,

?//區(qū)4F=45°,

/.ZE'AF=ACAE'+ACAF=ZBAE+ZCAF=ABAC-NEAF=90°-45°=45°,

/.NEAF="AF,

(AE=AE'

在AEAF和^E'AF中,{NEAF=AE'AF,

[AF=AF

：.AEAF^^E'AF(SAS),

：.E'F=EF,

?：