北師版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)（壓軸題60題）

期末復(fù)習(xí)(壓軸題60題)

一、單選題

1.如圖，在等邊三角形內(nèi)部取一點(diǎn)尸，連接/尸，BP,CP.若40=b，BP=1,CP=2,則

S^ACP=()

A-TB.8C.子D.2遮

2.某經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，且一月份、二月份、三月份的總產(chǎn)值為175億元,

若設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為無(wú)，根據(jù)題意可列方程()

A.50(1+x)2=175B.50+50(1+%)2=175

C.50(1+%)+50(1+%)2=175D.50+50(1+%)+50(1+x)2=175

3.如圖，把正方形鐵片。ABC置于平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)P(l,2)在正方形鐵片上，

將正方形鐵片繞其右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛞来涡D(zhuǎn)90。，第一次旋轉(zhuǎn)至圖①位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖

②位置，……，則正方形鐵片連續(xù)旋轉(zhuǎn)2025次后，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

第一次第二次

,Pi

O\A@

A.(6074,1)B.(6075,1)C.(6076,2)D.(6077,2)

4.如圖,點(diǎn)P為雙曲線y=y(%>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)力為x軸正半軸上一點(diǎn),且。P=OA=5,則4POA的面積

C.7.5或12.5D.7.5或10

1

5.如圖，已知/1=乙2,那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC的是（）

A.Z-B=Z.ADEAC_BC

AE-DE

AB_AC

D.Z-C—乙E

AD-AE

6.關(guān)于久的一元二次方程1久2一（2k+1）久+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，貝心的取值范圍是（）

A.k>--1B1.C.k〉一七1且k大。D.k2—乙1且k片0

4444

7.如圖，在矩形紙片/BCD中，AB=6,8C=8,點(diǎn)石是A3上一點(diǎn)，點(diǎn)方是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F是上一

點(diǎn)，將矩形沿E9折疊，使點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G正好落在Z0的中點(diǎn)處，貝！L4E的長(zhǎng)為（）

AGD

8.如圖所示，在矩形ABCO中，AB=8,BC=4,將矩形沿4C折疊，點(diǎn)。落在點(diǎn)。處，則重疊部分△

4EC的面積為（）

C.10D.12

9.已知正比例函數(shù)yi=mx（mH0）的圖象與反比例函數(shù)y2=三（荏。0）的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）,則

不等式％<、2的解集為（）

A.x<—1或%>1B.%<—1或0<%V1

C.-1<%<1D.-3<%<0或0<%<3

2

10.如圖，點(diǎn)E為正方形2BCD內(nèi)一點(diǎn)，^AEB=90°,將△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到ACBG.延

長(zhǎng)4E交CG于點(diǎn)F,連接。E,下列結(jié)論：①4F1CG,②四邊形BEFG是正方形，③若。力=DE,則

CF=FG；其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③B.①②C.②③D.①③

11.如圖，在鈍角三角形力BC中，AB=6cm,AC=12cm,動(dòng)點(diǎn)D從4點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)止，動(dòng)點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)

到4點(diǎn)止.點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/秒，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/秒.如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)4、

D、E為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（

C.4.5秒D.4.5秒或4.8秒

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形a1B1C1D1、DiEiE2B2>24282c202、D2E3E4B3、

A3B3C3D3,按圖示的方式放置，其中點(diǎn)B1在y軸上，點(diǎn)C1,Ei,E2,C2,E3,E4,C3,在

x軸上，已知正方形4iBiCiD1的邊長(zhǎng)為1,4BiC10=60°,\\B2C2\\B3C3,則正方

形A2024B2024C2024D2024的邊長(zhǎng)是（）

/x.2024

C（Zf）

13.如圖，在矩形紙片4BCD中，AB=6,BC=10,點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊4。

上的點(diǎn)P處；點(diǎn)G在2F上，將A/IBG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)X處.下列結(jié)論:

①NE8G=45°；?ADEF-AHFG；③4S&HGF=9S“DE；?AG+DF=FG.正確的是（）

A.①②③B.①②③④C.①③④D.②③④

3

14.如圖，矩形ZBCO中，AB=2V3,AD=8,點(diǎn)E在邊40上，且AE:ED=1:3.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā),

沿射線運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)E作EFLPE交射線BC于點(diǎn)尸，連接PF.設(shè)M是線段PF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)

的整個(gè)過(guò)程中，線段DM的最小值是（）

A.5B.2V7C.3V2D.3V3

15.拋物線y=a/++。的對(duì)稱軸為直線式=一1,部分圖象如圖所示，下列判斷中：①abc>0；

②/一4。。>0；③9a-3b+c=0；④若點(diǎn)（一1.5,月），（-2,y2）均在拋物線上，則yi>V2；⑤5a-

2b+c<0.其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.2B.3C.4D.5

16.已知點(diǎn)A（l,yi）,8（2,丫2），。（3,、3），。（4,小+c）都在二次函數(shù)y=a/+人工+。（。，6，。為常數(shù)，

且QHO）的圖象上，若yi<y2〈y3，則。的取值范圍是（）

A.a<-8或a>4B.aV—8或a>8

C.a<-4或a>8D.a<-4或a>4

17.如圖，在四邊形ABC。中，AB=AD=3,BD1CD.記乙CBD=%乙BAD=若4a=￡,tana=

I，貝IBC的長(zhǎng)為（）

5555

4

18.如圖1,在矩形4BCD中，動(dòng)點(diǎn)E從力出發(fā)，沿A-B-C方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E

作EFL2E交CD于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路程為x,CF=y,如圖2所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖

19.如圖，在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,點(diǎn)尸在直線A。上運(yùn)動(dòng)，以BP為直角邊向右作Rt△

PBQ,使得N8PQ=90。，BP=|PQ,連接CQ,則C。長(zhǎng)的最小值為（）

20.如圖，是。。一條弦，將劣弧沿弦4B翻折，連結(jié)2。并延長(zhǎng)交翻折后的弧于點(diǎn)C,連結(jié)BC,若4B=

2,BC=1,貝Me的長(zhǎng)為（）

A.IV5B.?近C.|V5D.|V5

21.如圖，四邊形ABCO的對(duì)角線4718。于點(diǎn)0,點(diǎn)區(qū)F,G,H分別為邊48,BC,和D4的中點(diǎn)，

順次連接EF,FG,GH和HE,得至U四邊形若AC=10,BD=12,則四邊形￡7環(huán)”的面積等于

).

A.30B.35C.40D.60

5

二、填空題

22.如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形。力BC的點(diǎn)力在函數(shù)y=；(x>0)的圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)丫=一如<

0)的圖象上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-右則點(diǎn)2的坐標(biāo)為.

23.如圖，Rt△力B。中，NCMB=R叱，點(diǎn)4在x軸的正半軸，點(diǎn)B在第一象限，函數(shù)y=：(k>0,x>

，

0)的圖象與邊4B,OB分別交于點(diǎn)C,。，若SABCD=1SA0CD=2,則k的值為.

24.如圖，將等邊A4BC折疊，使得點(diǎn)C落在4B邊上的點(diǎn)。處，折痕為EF,點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊

上.若AC=6,AD=2,則ABDF周長(zhǎng)為,釜的值為

25.設(shè)a,夕是方程/—x-2024=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a3-2026a-6+1的值為.

26.如圖，在菱形4BCD中，AC=6立,BD=6,E是BC邊的中點(diǎn)，P,M分別是AC,4B上的動(dòng)點(diǎn)，連接

PE,PM,貝IJPE+PM的最小值是

D

6

27.如圖，A,8兩點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y=<0）和y=￡（x>0）圖象上，連接04,OB,若041

28.如圖，矩形。ABC與反比例函數(shù)y1=，（均是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)M,N,反比例函數(shù)y2=

孑（心是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)B,連接0M0N.若四邊形。MBN的面積為3,則2k2-

2k\=.

29.如圖，△ABC與aDEF是位似圖形，相似比為1:3,。/=2,貝|00的長(zhǎng)為

30.如圖，在一面與地面垂直的圍墻的同側(cè)有一根高10米的旗桿4B和一根高7米的電線桿CD,它們都與

地面垂直.某一時(shí)刻，在太陽(yáng)光照射下，旗桿落在地面上的影子BF的長(zhǎng)為10米，落在圍墻上的影子

EF的長(zhǎng)度為2米，而電線桿落在地面上的影子的長(zhǎng)為5米，則落在圍墻上的影子GH的長(zhǎng)為

米.

7

31.如圖，在矩形ABC。中，AD=13,CD=12,點(diǎn)、E,尸分別在BC,CD上，BE=5,CF=6,若點(diǎn)G

是4E的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn)，連接G”，則GH的長(zhǎng)為

32.如圖、在AABC中，乙4=60°,AB=6,4。=4,點(diǎn)。是4C邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是48邊上的動(dòng)點(diǎn)，把4

4DE沿DE所在直線折疊，點(diǎn)4落在點(diǎn)4處，則點(diǎn)4到點(diǎn)B之間距離的最小值是.

33.如圖，拋物線y=/-4刀+3與y軸交于點(diǎn)C,與久軸交于4B兩點(diǎn)（4在B的左側(cè)），點(diǎn)C關(guān)于拋物線

對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,動(dòng)點(diǎn)E在y軸上，點(diǎn)F在以點(diǎn)B為圓心，半徑為1的圓上，貝UDE+EF的最小值

是.

34.如圖，在等邊A4BC中，AB=4,D,E分別是邊4B,BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與△ABC的頂點(diǎn)重合），連接

相交于點(diǎn)E連接BF,若NBDF+NBEF=180。，貝加產(chǎn)的最小值為

35.如圖，分別以等邊△ABC的頂點(diǎn)4B,C為圓心，以4B長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，我們把這三條弧組成的封閉圖形

叫做萊洛三角形.若萊洛三角形的周長(zhǎng)為2兀，則萊洛三角形的面積為.

8

36.如圖，在矩形4BCD中，AB=4,AD=5,點(diǎn),E,G分別在邊力B,CD上，且AE=CG,點(diǎn)/在邊BC上,

連接EF,BG,若BF=2,則EF+8G的最小值為

37.如圖，在正方形4BCD中，E,F分別是邊AB,BC的中點(diǎn)，連接EC,FD,G,“分別是EC,FD的中

點(diǎn)，連接GH,若48=4,則GH的長(zhǎng)度為

38.如圖，正方形4BCD和正方形CEFG中，B、C、E三點(diǎn)共線，點(diǎn)G在CD上，BC=3,CE=1,M是力尸

的中點(diǎn)，那么CM的長(zhǎng)是

39.如圖，已知正方形4BCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E、F分別在邊4D、BC上，將正方形沿著EF翻折，點(diǎn)8恰好

落在CD邊上的點(diǎn)夕處，若四邊形4BFE的面積為6,則線段DE的長(zhǎng)為.

9

三、解答題

40.如圖1,正方形力BCD和正方形4EFG,A,E,B三點(diǎn)共線，AD=4,AG=2V2.將正方形4EFG繞點(diǎn)

4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0。WaW45。),連接BE,DG.

(1)如圖2,求證：BE=DG；

(2)如圖3,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)D,G,E三點(diǎn)共線時(shí)，試求DG的長(zhǎng);

(3)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在某時(shí)刻,使得NDG4=120°,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出DG的長(zhǎng)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

41.【閱讀理解】

半角模型是指有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等.通過(guò)旋轉(zhuǎn)或截長(zhǎng)

補(bǔ)短，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進(jìn)一步構(gòu)成全等三角形，用以解決線段關(guān)系、角度、

面積等問(wèn)題，

【初步探究】

如圖1,在正方形2BCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上，連接2E,4F,EF.若NE4F=45。，將AADF繞

點(diǎn)2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。與點(diǎn)B重合，得到AABG.易證：AAEF三AAEG.

10

（1）根據(jù)以上信息，填空：

?^EAG=°；

②線段BE、EF、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系為；

【遷移探究】

（2）如圖2,在正方形4BCD中，若點(diǎn)E在射線CB上，點(diǎn)尸在射線DC上，Z.EAF=45°,猜想線段

BE,EF,D尸之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的結(jié)論；

【拓展探索】

（3）如圖3,已知正方形2BCD的邊長(zhǎng)為3VINE4F=45°,連接BD分別交AE、4F于點(diǎn)M、N,若點(diǎn)

M恰好為線段BD的三等分點(diǎn)，且求線段MN的長(zhǎng)

AD，DAD

/E<

GBEC[bBEC

圖1圖2圖3

42.課本再現(xiàn)

證明：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30。.

結(jié)論證明

（1）為了證明該命題，小明同學(xué)畫(huà)出了圖形（如圖1）,并寫(xiě)出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你完成證明過(guò)

程.

已知：在△ABC中，AACB=90°,BC=^AB.

求證：A.BAC=30°.

證明：如圖1,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)。，使得CD=Ea連接AD.

A

:.

BCD

圖1知識(shí)應(yīng)用

11

(2)如圖2,四邊形2BCD是一張矩形紙片，將紙片折疊得到折痕EF后再把紙片展平；在CD上選一

點(diǎn)P,沿2P折疊△ADP,使點(diǎn)D恰好落在折痕EF上的點(diǎn)M處.求證：^DAP=^PAM=AMAB=

30°.

(3)如圖3,在矩形4BCD中，AB=8,AD=6,P是邊48上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合)，E在

邊4D上，且將△APE沿PE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A；將ACBP沿CP折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)出處，且

P,A',三點(diǎn)在同一條直線上，A,B',C三點(diǎn)在同一條直線上，AC與PE的交點(diǎn)為F.請(qǐng)直接寫(xiě)出

CF的長(zhǎng).

43.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD1BC,垂足為點(diǎn)。，2N是△48C外角/C4M的平分線，CE1AN,

垂足為點(diǎn)E.

⑴求證：四邊形力DCE為矩形；

(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形4DCE為正方形？給出證明.

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44.如圖，EI2BCD對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作DE||AC且。E=0C,連接CE,OE,0E=CD.

⑴求證：回ABCD是菱形；

（2）若4B=4,Z.ABC=60°,求4E的長(zhǎng).

45.在矩形力BCD中，AB=12,尸是邊4B上一點(diǎn)，把APBC沿直線PC折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,過(guò)

點(diǎn)B作BE1CG,垂足為E且在4D上，BE交PC于點(diǎn)F.

（1）如圖1,若點(diǎn)￡是4。的中點(diǎn)，求證：&AEBm4DEC；

（2）如圖2,&AD=25,且4ECDE時(shí),求笠的值;

(3)如圖3,當(dāng)BE-EF=96時(shí),求BP的值.

46.【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,在△48C中，N&CB=90。,2C=BC,D是4B邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，

ZCOF=45°.求證：AC-BF=AD-BD-,

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,在四邊形4BFC中，點(diǎn)。是4B邊的中點(diǎn)，/力=NB=NCDF=45。，若AC=

9,BF=8,求線段CF的長(zhǎng).

【拓展提高】（3）在A48C中，71F=4V2,ZB=45°,以4為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形4DE（其中

13

AD-.DE=1：V2),點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上.若CE=2萌，求CD的長(zhǎng).

47.(1)在菱形4BCD中，AB=60。，點(diǎn)P在邊CD邊上，連接2P,點(diǎn)。在BC的延長(zhǎng)線上，連接。Q,

CP=CQ,求證：AAPC=^DQC；

(2)菱形ABCD中，點(diǎn)尸、Q分別是CD,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足4P=DQ=8,當(dāng)乙4PD=60。時(shí)，求4

4DP與ADQC的面積之和.

(3)平行四邊形4BCD中，AD=2CD,尸是CD上一動(dòng)點(diǎn)，。是BC上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足4P=2DQ,

AP=10,DP=2,當(dāng)乙4PD=60。時(shí)，求CQ的長(zhǎng)度.

48.已知拋物線y=a/+6%+3與x軸交于點(diǎn)4(—1,0)和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C,直線y=—(尤+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)

8和點(diǎn)C.

14

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E,交直線BC于點(diǎn)。，連接PC.

①如圖1,若動(dòng)點(diǎn)P在直線BC上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF1BC于點(diǎn)E試求三角形APF。的周長(zhǎng)的最

大值.

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，將ACPD沿直線CP翻折，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q,若以C、。、

P、。為頂點(diǎn)的四邊形能成為菱形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

49.如圖1,拋物線y=a/+b%+c與x軸分別交于點(diǎn)2(-1,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)尸是坐標(biāo)

平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P坐標(biāo)(1,-2).

(1)求拋物線的解析式；

⑵連接0P，若點(diǎn)。在拋物線上且NDB。+"。8=90。，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3汝口圖2,將拋物線丫=a/++c當(dāng)一1WxW4時(shí)的函數(shù)圖象記為"，將圖象匕在久軸上方的部分

沿久軸翻折，圖象。的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象區(qū)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一次函數(shù)y=m%+n的圖

象與圖象％在第四象限內(nèi)恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，求〃的取值范圍.

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50.綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

⑴操作判斷

操作一：對(duì)折矩形紙片A8CD,使4。與BC重合，得到折痕EF,把紙片展平；

操作二：在4D上選取一點(diǎn)P,沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)M處，把紙片展平，連接

根據(jù)以上操作，如圖1,當(dāng)點(diǎn)M剛好落在折痕EF上時(shí)，NMBE的度數(shù)為。；

(2)遷移探究

將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過(guò)程如下：

①將正方形紙片48CD按照(1)中的方式操作后，如圖2,并延長(zhǎng)PM交CD于點(diǎn)Q,連接BQ.當(dāng)點(diǎn)M

在EF上時(shí)，NCBQ的度數(shù)為。；

②改變點(diǎn)P在上的位置(點(diǎn)P不與點(diǎn)4。重合)，如圖3,請(qǐng)判斷CQ與MQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由.

(3)拓展應(yīng)用

在(2)的探究中，已知正方形紙片力BCD的邊長(zhǎng)為20cm,當(dāng)FQ=2cm時(shí)，求4P的長(zhǎng).

51.(1)【問(wèn)題探究】如圖1,正方形48C。中，點(diǎn)F、G分別在邊BC、CD上,且4F_LBG于點(diǎn)P,求證：

AF=BG；

(2)【知識(shí)遷移】如圖2,矩形A8CD中，AB=4,BC=8,點(diǎn)E、F、G、H分別在邊BC、BC、CD、

力D上，且EG1FH于點(diǎn)P.若EG-”F=48,求HF的長(zhǎng)；

(3)【拓展應(yīng)用】如圖3,在菱形48CD中，ZXBC=60°,AB=9,點(diǎn)E在直線4B上，BE=6,AF1

DE交直線BC于點(diǎn)尸.請(qǐng)直接寫(xiě)出線段FC的長(zhǎng).

16

（圖1）（圖2）（圖3）

52.如圖1,0。的直徑48=8,4M和BN是它的兩條切線，點(diǎn)E是圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線與AM,BN

分別相交于點(diǎn)C兩點(diǎn)，連接4E并延長(zhǎng)，交BN點(diǎn)、P,BC=CP.

⑴求證：DC是。。的切線;

⑵若黑=，求4D長(zhǎng).

53.問(wèn)題背景：如圖，在正方形力BCD中，邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)N是邊上兩點(diǎn)，且BM=CN=1,連接

。用,。乂。用與)7相交于點(diǎn)0.

圖3

(1)探索發(fā)現(xiàn)：探索線段DN與CM的關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(2)探索發(fā)現(xiàn)：若點(diǎn)E,P分別是DN與CM的中點(diǎn)，計(jì)算EF的長(zhǎng);

(3)拓展提高：延長(zhǎng)CM至P,連接BP,若4BPC=45。,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段PM的長(zhǎng).

17

54.【觀察猜想】(1)我們知道，正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都為直角.如圖1,在正方形4BCD中，

點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上，連接4E,AF,EF,并延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G,使BG=DF,連接4G.若

LEAF=45°,則BE,EF,DF之間的數(shù)量關(guān)系為二

【類比探究】(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，且NE4F=45。時(shí)，試探究BE,EF,DF之間

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【拓展應(yīng)用】(3)如圖3,在RtzkABC中，AB=AC,D,E在BC上，^DAE=45°,若△4BC的面積

為12,BD-CE=4,請(qǐng)直接寫(xiě)出△力DE的面積.

F

55.如圖①，在RtAABC中，AC=BC,乙4cB=90。，點(diǎn)。為BC邊上的一點(diǎn)，連接力D,過(guò)點(diǎn)C作CE14D

于點(diǎn)F,交4B于點(diǎn)E,連接DE.

B

圖①圖②

⑴求證：AAFCsRCFD；

(2)若4E=2BE,求證：AF=2CF；

(3)如圖②，若力B=V2,DELBC,求器的值.

18

56.已知：如圖，在RtAABC中，ABAC=90。，AD1BC^D,E為直角邊AC的中點(diǎn)，過(guò)D,E作直線交

2B的延長(zhǎng)線于F.

(1)若力B=6,AC=8,求BD長(zhǎng);

⑵求證：AB*AF=AC?DF.

57.綜合與實(shí)踐課上，諸葛小組三位同學(xué)對(duì)含60。角的菱形進(jìn)行了探究.

【背景】在菱形力BCD中，Z.B=60°,作NP力Q=NB,AP,4Q分別交邊BC、CD于點(diǎn)P、Q.

(1)【感知】如圖1,若點(diǎn)P是邊8C的中點(diǎn)，小南經(jīng)過(guò)探索發(fā)現(xiàn)了線段4P與4Q之間的數(shù)量關(guān)系..

(2)【探究】如圖2,小陽(yáng)說(shuō)“點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)時(shí)，(1)中的結(jié)論仍然成立“，你同意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理

由；

(3)【應(yīng)用】小宛取出如圖3所示的菱形紙片4BCD,測(cè)得N4BC=60°,AB=6,在BC邊上取一點(diǎn)P,

連接AP,在菱形內(nèi)部作ZJMQ=60。，力Q交CD于點(diǎn)Q,當(dāng)4P=2b時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段DQ的長(zhǎng).

58.如圖①，在正方形48CD和正方形8EFG中，點(diǎn)A,B,E在同一條直線上，尸是線段。F的中點(diǎn)，連接

PG,PC.

(1)探究PG與PC的位置關(guān)系

19

(2)如圖②，將原問(wèn)題中的正方形2BCD和正方形BEFG換成菱形2BCD和菱形BEFG,且N4BC=

/.BEF=60°.探究PG與PC的位置關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想并加以證明：

⑶如圖③，將圖②中的菱形BEFG繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的邊BG恰好與菱形2BCD的邊4B

在同一條直線上，問(wèn)題(2)中的其他條件不變.你在(2)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜

想并加以證明.

59.如圖，拋物線y=a/+bx+c的對(duì)稱軸為直線久=—1,與x軸交于4(—3,0),B(l,0)兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)C(0,3),設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)連接試判斷AACD的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)若點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，拋物線上是否存在點(diǎn)P,使以A,B,Q,尸四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平

行四邊形？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

60.如圖，已知。。是AABC的外接圓，4B是。。的直徑，P是4B的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，弦CE交4B于點(diǎn)

(1)求證：CE1AB；

(2)求證：PC是。。的切線;

20

⑶若BD=OD,PB=9,求。0的半徑.

21

期末復(fù)習(xí)(壓軸題60題)

一、單選題

1.如圖，在等邊三角形4BC內(nèi)部取一點(diǎn)尸，連接/尸，BP,CP.若40=b，BP=1,CP=2,則

S"CP=(

A.—B.V3C.—D.2V3

24

【答案】B

【分析】將AAPC繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得△力連接PP1由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AP'=AP=

y/3,BP'=CP=2,^PAP'=60°,由勾股定理逆定理得AP'PB是直角三角形且NBPP，=90。，取BP，的

中點(diǎn)X,連接PH,則PH=P，H=BH=：BP，=1,證明△BPH是等邊三角形得=90。，然后根

據(jù)三角形面積公式即可求解.

【詳解】解：：ABC是等邊三角形，

：.AC=AB,^BAC=60°.

如圖，將AAPC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得△AP'B,連接PP',

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，N4PC=AAP'B,AP'=AP=W,BP'=CP=2,^PAP'=60°,

.?.△PAP，是等邊三角形，

：.PP'=AP=AP'=V3,^AP'P=60°.

VI2+(V3)2=22,

：.PB2+P'P2=P'B2,

；.△P，PB是直角三角形且NBPP，=90°.

取BP，的中點(diǎn)”，連接PH,則PH=P，H=BH=洌'=1,

：.PH=BH=BP,

...△BPH是等邊三角形，

."PBH=60°,

.,.z/5P,P=90o-60o=30°,

：.Z-AP'B=60°+30°=90°,

.?.N4P'B=60°+30°=90°,

22

AAPC=乙APB

：.ShAPC=|力P-CP=|xV3x2=V3.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線，勾股定理的逆

定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

2.某經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，且一月份、二月份、三月份的總產(chǎn)值為175億元，

若設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意可列方程()

A.50(1+久產(chǎn)=175B.50+50(1+%)2=175

C.50(1+x)+50(1+x)2=175D.50+50(1+x)+50(1+%)2=175

【答案】D

【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題

的關(guān)鍵.增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量又(1+增長(zhǎng)率)，本題可先用尤表示出二月份的

產(chǎn)值，再根據(jù)題意表示出三月份的產(chǎn)值，然后將三個(gè)月的產(chǎn)值相加，即可列出方程.

【詳解】解：二月份的產(chǎn)值為：50(1+%),

三月份的產(chǎn)值為：50(1+久)(1+x)=50(1+支＞，

故第一季度總產(chǎn)值為：50+50(1+%)+50(1+%)2=175.

故選：D.

3.如圖，把正方形鐵片O4BC置于平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)P(l,2)在正方形鐵片上，

將正方形鐵片繞其右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛞来涡D(zhuǎn)90。，第一次旋轉(zhuǎn)至圖①位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖

②位置，……，則正方形鐵片連續(xù)旋轉(zhuǎn)2025次后，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

23

第一次第二次

A①

A.(6074,1)B.(6075,1)C.(6076,2)D.(6077,2)

【答案】D

【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化、規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型.

首先求出B?P5的坐標(biāo)，探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問(wèn)題.

【詳解】解；???4(3,0),P(l,2),根據(jù)題意點(diǎn)尸也是繞正方形右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛞来涡D(zhuǎn)

第一次第二次

11X，＜22

MAM②

過(guò)點(diǎn)尸和點(diǎn)Pi作PM1OARN1OA,

貝|]"仍=90°,AP=APi，

."1+Z.2=90°,zl+Z3=90°,

z.2=z.3,

△APMP1AN(AAS),

：.AM=P]N=2,PM=AN=2,

AON=5,

第一次旋轉(zhuǎn)后Pi(5,2),

同理第二次旋轉(zhuǎn)后P2(8,l),

第三次旋轉(zhuǎn)后P3(10,1),

第四次旋轉(zhuǎn)后R(13,2),

第五次旋轉(zhuǎn)后25(17,2),

發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的位置4次一個(gè)循環(huán)，

?；2025+4=506...1,

24

「2025的縱坐標(biāo)與Pl相同為2，橫坐標(biāo)為5+12x506=6077,

"025(6077,2),

故選：D.

4.如圖，點(diǎn)P為雙曲線y=?(x>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)力為x軸正半軸上一點(diǎn)，且。P=O4=5,則APOA的面積

為()

【答案】D

【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，三角形的面積，作PDlx軸于D,如

圖，設(shè)P(a,孩)，根據(jù)勾股定理得a2+(?y=52,求得a=4或a=3,進(jìn)而求得P點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三

角形面積公式即可求得，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：作PDlx軸于。，如圖，設(shè)P(兄牌)，

12

：.0D=a,PD=—,

a

'：0P=OA=S,OD2+PD2=OP2,

+=52,

整理得，a4-25a2+144=0,

解得a=4或a=3,

；.P(4,3)或(3,4),

當(dāng)P(4,3)時(shí)，SAPOA^^OA-PD=ix5X3=7.5；

當(dāng)P(3,4)時(shí)，S“OA=\OA-PD=|x5x4=10；

綜上，APOA的面積為7.5或10,

故選：D.

25

5.如圖，已知/1=乙2,那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC?的是()

A.Z-B=Z-ADE

AEDE

-ABAC

C.—=—D.乙C=乙E

ADAE

【答案】B

【分析】本考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)相似三角

形的判定：①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的

兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等,

那么這兩個(gè)三角形相似，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：；zl=12,

???zl+Z.CAD=N2+Z.CAD

Z-BAC=/-DAE

A、由兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等可得△ABC-LADE,故不符合題意;

B、不符合兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，無(wú)法判定△ABCs/kADE,故符合題意;

C、由兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等可得△ABCsAADE,故不符合題意;

D、由兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等可得AABC故不符合題意;

故選：B.

6.關(guān)于x的一元二次方程1/—(2k+l)x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是()

1

A.k>一—B.kW-］且憶H0C.k>—1且k。0D.kN—工且上豐0

4

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程的定義和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.首先根據(jù)這是一個(gè)一元二

26

次方程，可得二次項(xiàng)系數(shù)不為0,所以有k270,再根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)根可得4k+l20,解不等式組

即可求出k的取值范圍.

【詳解】解：???一元二次方程1久2一(2卜+1)久+1=0中，

a=I、b=—(2k+1)、c=1

???A=b2—4ac

=[-(2/c+l)]2-4xfc2xl

=4k2+4/c+1—4k2

=4fc+l,

??,方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

f4fc+1>0

.?I*。，

解得：卜2-；且人力0,

故選：D.

7.如圖，在矩形紙片2BCD中，AB=6,BC=8,點(diǎn)E是A8上一點(diǎn)，點(diǎn)尸是4B上一點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上一

點(diǎn)，將矩形沿EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G正好落在4D的中點(diǎn)處，貝ME的長(zhǎng)為()

A.-B.-C.2D.3

63

【答案】B

【分析】本題主要考查了矩形與折疊問(wèn)題，勾股定，先由矩形的性質(zhì)得到4。=BC=8,乙4=90。，再

由折疊的性質(zhì)得到4G=4,BE=EG,設(shè)ZE=x,則BE=AB-4E=6—x=EG,再根據(jù)勾

股定理建立方程求解即可.

【詳解】解：：四邊形4BCD為矩形，8c=8,

：.AD=BC=8,ZX=90°,

:矩形沿EF折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G正好落在an的中點(diǎn)處，

：.AG=-AD=4,BE=EG,

2

設(shè)AE=%,

27

9：AB=6,

BE=AB-AE=6—x=EG,

在RtZkAEG中，由勾股定理得/E12+/G2=EG2,

即％2+42=(6—%)2,

解得X=I，

：.AE

3

故選：B.

8.如圖所示，在矩形4BCD中，AB=8,BC=4,將矩形沿AC折疊，點(diǎn)。落在點(diǎn)。處，則重疊部分△

4FC的面積為()

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】本題考查了矩形與折疊、勾股定理、等腰三角形的判定.證得NC4F=NFC4,貝IJ4F=CF,

設(shè)。F=久，則在Rt△力F）中，根據(jù)勾股定理求x,于是得到4F=4B—BF,即可得到結(jié)果.

【詳解】解：是矩形，

：.CD=AB,CD||AB,BC=DA,

：./.DCA=4CAF,

由折疊可得CD=CD',AD=AD',ADCA=^ACF,

：./.CAF=^ACF,AB=CD',BC=AD',

：.AF=CF,

：.D'F=BF,

設(shè)O'F=x,貝MF=8-x,

在RtAAF。'中，（8—無(wú)￥=/+42,

解之得：x=3,

：.AF=2B—FB=8—3=5,

：.S^AFC=|XF-BC=|x5x4=10.

28

故選：c.

9.已知正比例函數(shù)y1=mx（m豐0）的圖象與反比例函數(shù)把=力。）的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3），則

不等式為的解集為（）

A.久<-1或x>1B.x<—1或0<x<1

C.—1<x<1D.—3<%<0或0<%<3

【答案】B

【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，求出正比例函數(shù)為=3%,反比例函數(shù)、2=

畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵.

X

【詳解】解：???正比例函數(shù)月=mx（jnW0）的圖象與反比例函數(shù)丫2=?（九。0）的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)

為（1,3）,

??TH.—3,71=1x3=3,

正比例函數(shù)=3x,反比例函數(shù)=|>

畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可得：不等式為<%的解集為X<—1或0<X<1，

故選:B.

10.如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，Z.AEB=90°,將△力8E繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到ACBG.延

長(zhǎng)力E交CG于點(diǎn)F,連接OE,下列結(jié)論：@AF1CG,②四邊形BEFG是正方形，③若D4=DE,則

CF=FG；其中正確的結(jié)論是（

A.①②③B.①②

29

【答案】A

【分析】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)

等知識(shí).設(shè)4F交BC于K,由乙4BK=90。及將AABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，得到ACBG,可得

乙KAB=KBCG,即可得NKFC=90。，從而判斷①正確；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得乙4EB=NCG8=90。，

BE=BG,AEBG=90°,由正方形的判定可證四邊形BEFG