北師大版八年級數(shù)學(xué)常見題型專練：二次根式（8種題型）（原卷版）

第08講二次根式（8種題型）

小【知識梳理】

--二次根式的定義

二次根式的定義：一般地，我們把形如㈠（。20）的式子叫做二次根式.

①“廠”稱為二次根號

②a（a20）是一個非負(fù)數(shù)；

二次根號

連開方數(shù)

學(xué)習(xí)要求：

理解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，給出一個式子能準(zhǔn)確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被開

方數(shù)中的字母取值范圍.

二.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

（1）二次根式的概念.形如五（a20）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

（3）二次根式具有非負(fù)性.4（a》O）是一個非負(fù)數(shù).

學(xué)習(xí)要求：

能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的

非負(fù)性解決相關(guān)問題.

【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非

負(fù)數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零.

三.二次根式的性質(zhì)與化簡

（1）二次根式的基本性質(zhì)：

/一二"0；（雙重非負(fù)性）.

②（二）2=a（a20）（任何一個非負(fù)數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）.

a（a>0）

③斤=|?|=0（a=0）（算術(shù)平方根的意義）

~a（a<0）

（2）二次根式的化簡：

①利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；

②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡.

Vab—Va*/b（心0,620）（。20,b>0）

（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得

盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于

根指數(shù)2.

【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法

1.常見題型：與分式的化簡求值相結(jié)合.

2.解題方法：

（1）化簡分式：按照分式的運(yùn)算法則，將所給的分式進(jìn)行化簡.

（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果.

（3）檢驗(yàn)結(jié)果：所得結(jié)果為最簡二次根式或整式.

四.最簡二次根式

最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方

數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.

如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a20）、x+y等；

含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、。2、（x+y）2、x2+2xy+y2等.

五.二次根式的乘除法

（1）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：Va^b=/a-Vb（。。0，b20）

（2）二次根式的乘法法則：Va'Vb=Va^b（a》0，b20）

（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：/=奈（a^0^b>0）

（4）二次根式的除法法則：乎>=點(diǎn)（。。0,b>0）

規(guī)律方法總結(jié)：

在使用性質(zhì)/a*b（aNO，bNO）時一定要注意a》O,bNO的條件限制，如果a<0,b<0,使

用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如（■x/W）X（V^9）W-4X-9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，

商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運(yùn)算也是如此.

六.二次根式的加減法

（1）法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合

并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變.

（2）步驟：

①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號.

②把不是最簡二次根式的二次根式進(jìn)行化簡.

③合并被開方數(shù)相同的二次根式.

（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：

二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并.合并時，只合并根式外的因式，即系數(shù)相

加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變.

七.二次根式的混合運(yùn)算

（1）二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算

應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

②在運(yùn)算中每個根式可以看做是一個“單項(xiàng)式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式“?

（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式.

（3）在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往

往能事半功倍.

八.二次根式的化簡求值

二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值.

二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干

擾.

九.二次根式的應(yīng)用

把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識的整體性，不斷豐富解決

問題的策略，提高解決問題的能力.

二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法.

【考點(diǎn)剖析】

二次根式的定義（共4小題）

1.（2023春?廬陽區(qū)校級期末）下列式子中，一定是二次根式的是（）

A.V-2023B.VsC.如D.VI

2.（2023春?大石橋市期中）下列各式是二次根式的有（）

⑴V21；⑵⑶7x2+r⑷源;⑸正2x2

A.4個B.3個C.2個D.1個

3.（2022秋?門頭溝區(qū)期末）下列代數(shù)式能作為二次根式被開方數(shù)的是（）

A.xB.3.14-itC.f+lD.x2-1

4.（2022秋?寧德期末）已知。是正整數(shù)，J詬是整數(shù)，則。的最小值是2.那么若6是正整數(shù)，j

是大于1的整數(shù)，則b的最大值與最小值的差是.

二.二次根式有意義的條件（共3小題）

5.（2023春?江夏區(qū)校級期末）若使二次根式江-3+X在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則無的取值范圍是（）

A.x》3B.x>3C.x<3D.xW3

6.（2022秋?寶山區(qū)期末）如果y=、3-2xW2x-3，貝1Jx+y的值為（）

A透B.1c.2D.0

3

歹為實(shí)數(shù),且yM乂21

7.（2023春?東港區(qū)校級月考）已知x,2-9_^/g_x+4>貝Jx-尸（）

A.-1B.-7C.-1或-7D.1或-7

三.二次根式的性質(zhì)與化簡（共4小題）

8.（2023春?合川區(qū)期末）實(shí)數(shù)加對應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡J（m-2）2+Y（m-7）2的結(jié)果為

）

-101234

A.2m-9B.-5C.5D.9-2m

9.（2023春?泰山區(qū)校級期中）把根號外的因式移入根號內(nèi)，化簡的結(jié)果是（）

A.Vl-xB.Vx-1C.-Vx-1D.-V1-x

10.（2023?婁底二模）如果J（X-2）2=2-X,那么x取值范圍是（）

A.xW2B.x<2C.x22D.x>2

11.（2023春?莘縣期末）若2<a<3,則Ja2-4a+4H（a-3）2等于（）

A.5-2aB.\-2aC.2a-5D.2a-\

四.最簡二次根式（共2小題）

.（2022秋?平度市期末）下列各式：①需，②③，五，@VO72-最簡二次根式有（）

12

A.1個B.2個C.3個D.4個

13.（2023春?南京期末）下列二次根式中，最簡二次根式是（）

A.712B.V6c.叱D.

五.二次根式的乘除法（共6小題）

14.（2023春?仙游縣期中）下列運(yùn)算正確的是（）

A.近.M二遙B.9yxi^=遙C.76X72=12=6

15.（2021秋?古冶區(qū)期末）計算：

（1）V3XV12；（2）JixV27-

.（2023春?興縣期中）若皿=二\口"成立,則（）

16

V6^xv6-x

A.x<6B.0WxW6C.xNOD.00<6

17.（2023春?蓬萊區(qū)期中）已知J五=6,則VO.063=

生3ababD3ab

A.RJD.---------

1010100.loo

計算：2V6X3^^V3,

18（2023春?密云區(qū)期末）

19.（2022春碓中區(qū)校級月考）375X2710.

六.二次根式的加減法（共5小題）

20.（2022秋?道外區(qū)期末）下列計算正確的是（）

A.V4+>/9=Vi3B.Vs-V3=V5C.3V2-V2=-2^2D.V3=V15

21.（2022秋?渠縣校級期末）計算，運(yùn)-收的結(jié)果是（）

A.V6B.-1C.V3D.-V3

22.（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）規(guī)定用符號[刈表示一個實(shí)數(shù)加的整數(shù)部分，^1]^：[-|]=0>[3.14]=3,按

此規(guī)定[7-浜]的值為____.

23.（2023?松北區(qū)三模）計算加7-3患的結(jié)果是.

24.（2023春?涪城區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)機(jī)、〃、p滿足等式Mm-3+nT3-m-n=43m+5n-2-p+A/m-n-D,則

P="

七.二次根式的混合運(yùn)算（共3小題）

25.（2023春?宿城區(qū)期末）計算：（立）XV2

26.（2023春?金川區(qū)校級期中）計算:

（1）V12-3V8+2V18；⑵9^3+7V12+5

(3)V24-^V3W6X2V3；(4)(V5W3)2-(V5+2)(V5-2)-

27.（2023春?潘集區(qū)期末）計算:

2

⑴<27-味xV6;⑵(275-572)(275+572)-(75W2)-

八.二次根式的化簡求值（共4小題）

28.（2023春?福清市期中）已知x=?+百，＞='而-通，求/+盯+/的值.

29.（2023春?泰安期中）（1）當(dāng)a=3-2立時，求代數(shù)式a+Wa2-6a+9的值?

（2）當(dāng)a=3+2亞，b=3-2M，求代數(shù)式/-3乃+廬的值.

30.（2023春?虹口區(qū)期末）已知：a+b=-2,ab=l,求：卜通?+aiR-的值.

31.（2022秋?羅湖區(qū)校級期末）小明在解決問題：已知。求2/-8a+l的值，他是這樣分析與解

2W3

答的:

12-V3

*?a==2-V3-

2W3"(2W3)(2W3)

/.-2=-.

(。-2)2=3,即屋-4Q+4=3.

，4-4。=-1,

???2/-8〃+1=2(/-4a)+1=2X(-1)+1=-1.

請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題:

(1)計算：_J^=；

V2+1

(2)計算：一1—+1一+____1-+?-?+.1

V2+lV3W2V4W3V2020W2019

(3)若——，求2a2-8a+l的值.

V5-2

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2023春?浙江寧波?八年級寧波市第十五中學(xué)校考期中）若根式正受有意義，則x的取值范圍是

（）

A.x=2B.C.x>2D.x>2

2.（2023春?山東臨沂?八年級統(tǒng)考期末）下列二次根式為最簡二次根式的是（）

A.V12B.703C.7a2+1D.出/

3.（2023春?廣東惠州?八年級校考期中）已知：廊是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)〃為（）

A.2B.4C.5D.20

4.（2023春?河北廊坊?八年級統(tǒng)考期末）下列各式計算正確的是（）

A.2+豆=2旨B.J（-3）x（-4）=12

C.72x5/3=76D.^+5/9=>/4+9

5.（2023春?安徽淮南?八年級統(tǒng)考期末）若p=E4一回:也，則p的取值范圍為（）

A.0<p<lB.1<p<2C.2<p<3D.3<p<4

6.（2023春?北京海淀?八年級中關(guān)村中學(xué)?？计谥校┫铝卸胃街校c行能合并的是（）

A.724B.720C.V18D.比

7.（2023?上海?八年級假期作業(yè)）已知x=3-2y/3,貝。尤2-6x+l的值為（）

A.-4B.4C.2y/3-3D.2G-8

8.（2023春?四川德陽?八年級統(tǒng)考期末）若最簡二次根式而與-3歷萬能夠合并，則。的值是（）

A.-IB.0C.1D.2

9.（2023春?廣東惠州?八年級統(tǒng)考期末）下列根式是最簡二次根式的是（）

A.y/4B.[C.y/5D.78

10.（2023?全國?八年級假期作業(yè)）下列式子一定是二次根式是（）

A.^4B.7rC.i/aD.近

二、填空題

11.（2023春?江蘇?八年級專題練習(xí)）已知"是一個正整數(shù)，&麗是整數(shù)，則"的最小值是

12.（2023春?江西贛州?八年級統(tǒng)考期中）計算：-莊+&=.

13.（2023春?福建龍巖?八年級統(tǒng)考期末）當(dāng)x=4時，二次根式后7的值為.

14.（2023春?河南新鄉(xiāng)?八年級河南師大附中?？计谀┯嬎悖汉笠?=.

15.（2023春?山東泰安?八年級統(tǒng)考期末）計算：V^3+V3^+7-x=.

16.（2023春?廣東汕頭?八年級統(tǒng)考期末）計算：（2+退）（2-石尸=.

三、解答題

17.（2023春?北京東城?八年級期末）已知X=2+6，求代數(shù)式（X-1）2-2X+5的值.

18.（2023春?廣東江門?八年級統(tǒng)考期末）如圖，從正方形ABCD中載去兩個面積分別為24cm2和15cm2的

正方形8EOH和OG,求留下部分的總面積.

19.（2023?全國?八年級假期作業(yè)）閱讀材料，并解決問題:

定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化.如：將石■分母有理化，解：原式=

2心+學(xué)

=（V5+V3）.運(yùn)用以上方法解決問題:

（有-百）（有+?。?/p>

（1）將分母有理化;

（2）比較大?。海ㄔ跈M線上填“>”、“<”或"="）

①7^-----773^；

②~1=I______________/7=（〃22,且〃為整數(shù)）；

7n一7幾一\7n十1—7n

⑶化簡：占+懸耳+的\++V2021+V2022-

20.（2023春?北京西城?八年級?？计谥校┮阎?6+括，y=&6,求Yy+孫?的值.

21.（2023春?廣東惠州?八年級統(tǒng)考期末）計算：&