18.2.3+正方形（教學設計）八年級數(shù)學下冊(人教版)

.2.3正方形教學設計一、內容和內容解析1.內容本節(jié)課是人教版《義務教育教科書?數(shù)學》八年級下冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第十八章“平行四邊形”18.2.3正方形.本節(jié)課主要內容涵蓋正方形的性質與判定兩大部分.性質方面，包括正方形的四條邊相等，四個角都是直角；對角線互相垂直、平分且相等，每條對角線平分一組對角；既是軸對稱圖形（有四條對稱軸）又是中心對稱圖形.判定部分則是從平行四邊形、矩形、菱形的基礎上出發(fā)，通過添加特定條件來判定一個四邊形是正方形，如“有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形”“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”“有一個角是直角的菱形是正方形”.2.內容解析正方形是在學生學習了平行四邊形、矩形和菱形的基礎上展開教學的，它是特殊的平行四邊形、矩形和菱形，具備它們的所有性質.正方形的性質和判定是對特殊四邊形知識的高度概括和綜合運用，是對四邊形知識體系的完善和升華.從知識結構來看，它將之前所學的多種四邊形的概念、性質和判定有機地聯(lián)系起來，使學生對四邊形的認識更加系統(tǒng)和深入.學習正方形的性質和判定，有助于學生理解特殊與一般的關系，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和推理能力，同時也為解決幾何證明、計算以及實際生活中的問題提供了有力的工具.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點為：掌握正方形的性質及其判定定理.二、目標和目標解析1.目標（1）掌握正方形的性質及其判定定理，并會用它們進行有關的論證和計算；（2）理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別．2.目標解析對于目標（1），學生能準確說出正方形的性質和判定定理的內容，能在不同的幾何情境中識別正方形，并運用其性質和判定定理進行邊長、角度、面積等的計算，以及完成相關的幾何證明題；對于目標（2），學生能清晰地闡述正方形與平行四邊形、矩形、菱形之間的包含關系.三、教學問題診斷分析1.性質理解困難：學生可能難以理解正方形同時具備平行四邊形、矩形和菱形的所有性質，容易混淆不同性質之間的區(qū)別和聯(lián)系.教師可以通過對比表格、圖形演示等方式，引導學生梳理正方形與其他特殊四邊形性質的異同點，加深學生的理解.2.判定定理應用錯誤：在應用判定定理時，學生可能會出現(xiàn)條件使用不準確或不完整的情況.例如，在判定一個四邊形是否為正方形時，忽略某些關鍵條件.教師可以通過大量的實例和練習，讓學生明確每個判定定理的適用條件和使用方法，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬎季S.3.知識綜合運用能力不足：在解決綜合性問題時，學生可能無法靈活運用正方形的性質和判定定理，將多個知識點結合起來.教師可以設計一些綜合性的例題和練習題，引導學生分析問題，逐步提高學生的知識綜合運用能力.基于以上學情分析，確定本節(jié)課的教學難點為：應用正方形的性質和判定進行有關的論證和計算.四、教學過程設計（一）新課導入前面我們已經(jīng)學習過矩形和菱形，它們都是特殊的平行四邊形.思考：如果矩形的邊特殊化或者菱形的角特殊化，又會產(chǎn)生什么圖形呢？【設計意圖】回顧矩形和菱形的探究過程，為后面學習正方形的性質做準備，加強新舊知識之間的聯(lián)系.（二）新知探究知識點1：正方形的性質問題1：觀察下圖，當矩形的一組鄰邊變?yōu)橄嗟?，會變化成什么圖形？正方形問題2：觀察下圖，當菱形的一個角變成直角，會變化成什么圖形？正方形正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在.【歸納小結】1.正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.2.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系：正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質，正方形都有.3.正方形的性質：對邊平行相等；對角相等；對角線相互平分【小試牛刀】1.根據(jù)圖形所具有的性質，在下表相應的空格中打“√”.2.正方形具有而矩形不一定具有的性質是(B)A.四個角相等B.對角線互相垂直平分C.對角互補D.對角線相等3.正方形具有而菱形不一定具有的性質（D）A.四條邊相等B.對角線互相垂直平分C.對角線平分一組對角D.對角線相等活動：請同學們拿出準備好的正方形紙片，折一折.觀察并思考：正方形是不是軸對稱圖形？如果是，那么對稱軸有幾條？對稱性：軸對稱圖形 .對稱軸：4條 知識點2：正方形的判定問題：你是如何判定矩形、菱形的？思考：怎樣判定一個四邊形是正方形呢？正方形判定的幾個方法：猜想：對角線互相垂直的矩形是正方形.已知：如圖,在矩形ABCD中，AC，DB是它的兩條對角線，AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB，∴AD=AB=BC=CD.∴四邊形ABCD是正方形.猜想：對角線相等的菱形是正方形.已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO.∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°.∴四邊形ABCD是正方形.【歸納小結】常用的正方形判定方法：【小試牛刀】在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是（C）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC【設計意圖】培養(yǎng)學生的總結歸納以及運用圖表整合信息的能力，進一步認識正方形與平行四邊形、矩形、菱形的從屬關系和包含關系.（三）典例精析例1.求證:正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于點O.求證：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.證明：∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.思考：圖中共有多少個等腰直角三角形？8個【針對練習】如圖，在正方形ABCD中，ΔBEC是等邊三角形，求證：∠EAD＝∠EDA＝15°.證明：∵ΔBEC是等邊三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°－75°=15°.例2.在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．求證：四邊形EFMN是正方形．分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個角是直角即可.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形.【針對練習】如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D.DE⊥AC，DF⊥AB.求證：四邊形CEDF為正方形.證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四邊形ADFC是矩形.過點D作DG⊥AB，垂足為G.∵AD是∠CAB的平分線DE⊥AC，DG⊥AB，∴DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴四邊形ADFC是正方形.例3.如圖，正方形ABCD，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE．（1）求證：BF=DE；（2）當點E運動到AC中點時(其他條件都保持不變)，問四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說明理由．（1）證明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠DAE＝∠BAF，AE＝AF,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；（2）解：當點E運動到AC的中點時四邊形AFBE是正方形，理由：∵點E運動到AC的中點，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE=1/2AC，∵AF=AE，∴BE=AF=AE.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴得平行四邊形AFBE，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四邊形AFBE是正方形．【設計意圖】通過簡單證明，鍛煉學生的證明能力，提高學習自信，培養(yǎng)應用意識；在證明練習中，提高解題能力.（四）當堂鞏固1.AB＝2，P為邊BC上一點，且BP＝OB，則∠COP＝____22.5____°，CP＝__2-22.如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E在BC的延長線上．若BE＝BD，則∠CDE＝____22.5°____，CE＝____2-1____.3.如圖，在正方形ABCD中，點E為AC上一點，延長BE與CD交于點F.若∠CBF＝20°，則∠AED＝____65____°.4.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中正確的是(C)A．當AB＝BC時，它是矩形B．當AC＝BD時，它是菱形C．當∠ABC＝90°時，它是正方形D．當AC＝BD，AC⊥BD時，它是正方形5.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為∠ACB的平分線，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F，則四邊形CEDF是____正方形_____6.如圖，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在正方形ABCD的邊AB，CD，DA上，連接CF.(1)求證：∠HEA＝∠CGF；(2)當AH＝DG時，求證：菱形EFGH是正方形．（1）證明：如圖，連接GE.∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD.∴∠AEG＝∠CGE.∵四邊形EFGH是菱形，∴GF∥HE.∴∠HEG＝∠FGE.∴∠AEG－∠HEG＝∠CGE－∠FGE，即∠HEA＝∠CGF.（2）證明：∵四邊形A