北京市西城區(qū)2024-2025學(xué)年高三10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

北京市西城區(qū)2024-2025學(xué)年高三10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷本試卷共4頁(yè)，全卷共150分．考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．考生務(wù)必將答案寫(xiě)在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回．一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.設(shè)集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，則A∩B=A.(-∞，1) B.(-2，1)C.(-3，-1) D.(3，+∞)2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函數(shù)中，值域?yàn)榍以趨^(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是A. B.C. D.4.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則A. B. C. D.5.設(shè)，則（）A B. C. D.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的表達(dá)式為（）A. B.C. D.7.“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.點(diǎn)聲源在空間中傳播時(shí)，衰減量（單位：dB）與傳播距離r（單位：米）關(guān)系式為，則r從5米變化到40米時(shí)，衰減量的增加值約為（）參考數(shù)據(jù)：A.24dB B.18dB C.16dB D.12dB9.已知函數(shù)，若（），則的取值范圍是（）A. B. C. D.10.如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為A.4β+4cosβ B.4β+4sinβ C.2β+2cosβ D.2β+2sinβ二、填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分．）11.已知角終邊上一點(diǎn)，則______．12.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)___.13.已知為第二象限角，，則______．14.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且是偶函數(shù)，，.寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的函數(shù)______.15.已知函數(shù)，給出下列三個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為；②若函數(shù)無(wú)最小值，則的取值范圍為(0,+∞)；③若且，則，使得函數(shù).恰有3個(gè)零點(diǎn)，，，且．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.如圖，在四邊形中，，，，，.（1）求；（2）求的長(zhǎng).17.已知函數(shù)，且．（1）求a的值；（2）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若對(duì)于任意的，總有，直接寫(xiě)出m的最大值．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（2）求的單調(diào)性；（3）求函數(shù)在上的最小值．19.在中，已知．（1）求角C大??；（2）若，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：的周長(zhǎng)是．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．20.圖象識(shí)別是人工智能領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向.某中學(xué)人.工智能興趣小組研發(fā)了一套根據(jù)人臉照片識(shí)別性別的程序.在對(duì)該程序的一輪測(cè)試中，小組同學(xué)輸入了200張不同的人臉照片作為測(cè)試樣本，獲得數(shù)據(jù)如下表（單位：張）：識(shí)別結(jié)果真實(shí)性別男女無(wú)法識(shí)別男902010女106010假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且該程序?qū)γ繌堈掌淖R(shí)別都是獨(dú)立的.（1）從這200張照片中隨機(jī)抽取一張，已知這張照片的識(shí)別結(jié)果為女性，求識(shí)別正確的概率；（2）在新一輪測(cè)試中，小組同學(xué)對(duì)3張不同的男性人臉照片依次測(cè)試，每張照片至多測(cè)一次，當(dāng)首次出現(xiàn)識(shí)別正確或3張照片全部測(cè)試完畢，則停止測(cè)試.設(shè)表示測(cè)試的次數(shù)，估計(jì)的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）為處理無(wú)法識(shí)別的照片，該小組同學(xué)提出上述程序修改的三個(gè)方案：方案一：將無(wú)法識(shí)別的照片全部判定為女性；方案二：將無(wú)法識(shí)別的照片全部判定為男性；方案三：將無(wú)法識(shí)別的照片隨機(jī)判定為男性或女性（即判定為男性的概率為50%，判定為女性的概率為.現(xiàn)從若干張不同人臉照片（其中男性?女性照片的數(shù)量之比為）中隨機(jī)抽取一張，分別用方案一?方案二?方案三進(jìn)行識(shí)別，其識(shí)別正確的概率估計(jì)值分別記為.試比較的大小.（結(jié)論不要求證明）21.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)恒成立，求a的取值范圍；（3）若，證明：北京市西城區(qū)2024-2025學(xué)年高三10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷本試卷共4頁(yè)，全卷共150分．考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．考生務(wù)必將答案寫(xiě)在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回．一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.設(shè)集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，則A∩B=A.(-∞，1) B.(-2，1)C.(-3，-1) D.(3，+∞)【正確答案】A【分析】先求出集合A，再求出交集．【詳解】由題意得，，則．故選A．本題考點(diǎn)為集合的運(yùn)算，為基礎(chǔ)題目．2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算可求解.【詳解】由題可知，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第四象限，故選:D.3.下列函數(shù)中，值域?yàn)榍以趨^(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性以及值域，綜合即可得答案．【詳解】（A）的值域不是R，是［－1，＋∞），所以，排除；（B）的值域是（0，＋∞），排除；（D）＝，（0，）上遞減，在（，＋∞）上遞增，不符；只有（C）符合題意.故選C.本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及值域，關(guān)鍵是掌握常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性以及值域，屬于基礎(chǔ)題．4.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則A. B. C. D.【正確答案】B【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為Sn，，，故選5.設(shè)，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到，即可求解.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和，可得，即根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，因?yàn)椋?，綜上可得.本題主要考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的比較大小，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的表達(dá)式為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)圖像求出，周期，利用周期公式可求，又過(guò)點(diǎn)，利用五點(diǎn)作圖法可求，即可求函數(shù)的解析式．【詳解】根據(jù)圖像得，，可得，∴，又過(guò)點(diǎn)，可得，由五點(diǎn)法可得，解得，所以．故選：C．7.“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】利用，得出，從而求出，再利用偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可得出充分性成立，再利用，得出，從而判斷必要性成立，從而得出結(jié)果.【詳解】若，得到，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即或，當(dāng)時(shí)，恒有，當(dāng)時(shí)，，所以，若，則為偶函數(shù)，若為偶函數(shù)，則，所以，化簡(jiǎn)得，所以，故選：C.8.點(diǎn)聲源在空間中傳播時(shí)，衰減量（單位：dB）與傳播距離r（單位：米）的關(guān)系式為，則r從5米變化到40米時(shí)，衰減量的增加值約為（）參考數(shù)據(jù)：A.24dB B.18dB C.16dB D.12dB【正確答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)計(jì)算即可求得增加值.【詳解】由已知，所以r從5米變化到40米衰減量的增加值為，整理得.故選：B9.已知函數(shù)，若（），則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由，可知由可得根據(jù)基本不等式可求的取值范圍.【詳解】若由，則與矛盾；同理也可導(dǎo)出矛盾，故而即故選B本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題.10.如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為A.4β+4cosβ B.4β+4sinβ C.2β+2cosβ D.2β+2sinβ【正確答案】B【分析】由題意首先確定面積最大時(shí)點(diǎn)P的位置，然后結(jié)合扇形面積公式和三角形面積公式可得最大的面積值.【詳解】觀察圖象可知，當(dāng)P為弧AB的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積S取最大值，此時(shí)∠BOP=∠AOP=π-β,面積S的最大值為+S△POB+S△POA=4β+.故選B.本題主要考查閱讀理解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)式子變形和運(yùn)算求解能力，有一定的難度.關(guān)鍵觀察分析區(qū)域面積最大時(shí)的狀態(tài)，并將面積用邊角等表示.二、填空題（本題共5小題，每小題5分，共25分．）11.已知角終邊上一點(diǎn)，則______．【正確答案】##【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)定義可得，再結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榻墙K邊上一點(diǎn)，則，所以.故答案為.12.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)___.【正確答案】【分析】根據(jù)函數(shù)有意義得到不等式組，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得且，所以函?shù)的定義域?yàn)楣?3.已知為第二象限角，，則______．【正確答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式與同角的正余弦的平方關(guān)系和兩角和的正弦公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以，所?故答案為.14.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且是偶函數(shù)，，.寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的函數(shù)______.【正確答案】（答案不唯一）【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)公式寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的函數(shù)即可.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，設(shè)，則，由題意可知，，解得，故.故答案為.15.已知函數(shù)，給出下列三個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；②若函數(shù)無(wú)最小值，則的取值范圍為(0,+∞)；③若且，則，使得函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，，，且．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【正確答案】②③【分析】由題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的概念舉出反例可判斷①；畫(huà)出函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合即可判斷②；由題意結(jié)合函數(shù)圖象不妨設(shè)，進(jìn)而可得，，，令驗(yàn)證后即可判斷③；即可得解.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，由，，所以函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)遞減，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，函數(shù)可轉(zhuǎn)化，畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖：由題意可得若函數(shù)無(wú)最小值，則取值范圍為(0,+∞)，故②正確；對(duì)于③，令即，結(jié)合函數(shù)圖象不妨設(shè)，則，所以，，，所以，令即，當(dāng)時(shí)，，存在三個(gè)零點(diǎn)，且，符合題意；當(dāng)時(shí)，，存在三個(gè)零點(diǎn)，且，符合題意；故③正確.故②③.本題考查了分段函數(shù)單調(diào)性、最值及函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，考查了運(yùn)算求解能力與數(shù)形結(jié)合思想，合理使用函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.如圖，在四邊形中，，，，，.（1）求；（2）求的長(zhǎng).【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）計(jì)算出、，利用兩角和的余弦公式可求得的值；（2）在中，利用正弦定理可求出的長(zhǎng)，然后在中利用余弦定理可求得的長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)?，，則、均為銳角，所以，，，，，則，因此，；（2）在中，由正弦定理可得，可得，在中，由余弦定理可得，因此，.方法點(diǎn)睛：在解三角形的問(wèn)題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.17.已知函數(shù)，且．（1）求a的值；（2）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若對(duì)于任意的，總有，直接寫(xiě)出m的最大值．【正確答案】（1）；（2）函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；（3）m的最大值為.【分析】(1)由條件列方程求a，(2)由輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(3)解不等式求x的范圍，由此確定的最大值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以，【小?wèn)2詳解】由(1)，化簡(jiǎn)得，所以，所以函數(shù)的最小正周期，由，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；【小問(wèn)3詳解】由，可得，所以，所以，，化簡(jiǎn)可得由對(duì)于任意的，總有可得的最大值為.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（2）求的單調(diào)性；（3）求函數(shù)在上的最小值．【正確答案】（1）.（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（3）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得到單調(diào)性；（3）按a的取值情況，再借助單調(diào)性討論求解即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以，，所以曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意得，因?yàn)楹愠闪?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】由（2）得，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，.19.在中，已知．（1）求角C的大小；（2）若，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：的周長(zhǎng)是．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用余弦定理邊化角即可結(jié)果；（2）利用正弦定理可得.若選條件①：根據(jù)題意可得，進(jìn)而分析其唯一性即可；若選條件②：利用余弦定理可得，，進(jìn)而求，進(jìn)而可得面積；若選條件③：根據(jù)周長(zhǎng)可得，利用余弦定理并分析其唯一性.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，可得，且，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，由正弦定理可得，可?若選條件①：因?yàn)?，，即，可得，可知滿(mǎn)足條件的角A有兩個(gè)，不唯一，不合題意；若選條件②：因?yàn)?，由正弦定理可得，且，則，可得，則，，因?yàn)閮山呛蛢蛇吘汛_定，根據(jù)三角形全等可知三角形存在且唯一，又因?yàn)?，所以的面積；若選條件③：因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)是，則，即，由余弦定理可得，即，整理可得，且，可知方程有2個(gè)不相等的實(shí)根，且，可知方程有2個(gè)不相等的正實(shí)根，即邊a不唯一，不合題意.綜上，只有選條件②符合題意.20.圖象識(shí)別是人工智能領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向.某中學(xué)人.工智能興趣小組研發(fā)了一套根據(jù)人臉照片識(shí)別性別的程序.在對(duì)該程序的一輪測(cè)試中，小組同學(xué)輸入了200張不同的人臉照片作為測(cè)試樣本，獲得數(shù)據(jù)如下表（單位：張）：識(shí)別結(jié)果真實(shí)性別男女無(wú)法識(shí)別男902010女106010假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且該程序?qū)γ繌堈掌淖R(shí)別都是獨(dú)立的.（1）從這200張照片中隨機(jī)抽取一張，已知這張照片的識(shí)別結(jié)果為女性，求識(shí)別正確的概率；（2）在新一輪測(cè)試中，小組同學(xué)對(duì)3張不同的男性人臉照片依次測(cè)試，每張照片至多測(cè)一次，當(dāng)首次出現(xiàn)識(shí)別正確或3張照片全部測(cè)試完畢，則停止測(cè)試.設(shè)表示測(cè)試的次數(shù)，估計(jì)的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）為處理無(wú)法識(shí)別的照片，該小組同學(xué)提出上述程序修改的三個(gè)方案：方案一：將無(wú)法識(shí)別的照片全部判定為女性；方案二：將無(wú)法識(shí)別的照片全部判定為男性；方案三：將無(wú)法識(shí)別的照片隨機(jī)判定為男性或女性（即判定為男性的概率為50%，判定為女性的概率為.現(xiàn)從若干張不同的人臉照片（其中男性?女性照片的數(shù)量之比為）中隨機(jī)抽取一張，分別用方案一?方案二?方案三進(jìn)行識(shí)別，其識(shí)別正確的概率估計(jì)值分別記為.試比較的大小.（結(jié)論不要求證明）【正確答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）利用用頻率估計(jì)概率計(jì)算即可（2）由題意知的所有可能取值為，分別求出相應(yīng)的概率，然后根據(jù)期望公式求出即可（3）分別求出方案一?方案二?方案三進(jìn)行識(shí)別正確的概率，然后比較大小可得【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題中數(shù)據(jù)，共有張照片被識(shí)別為女性，其中確為女性的照片