2024-2025高二上期中數(shù)學(xué)（2019人教A版）模擬檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025高二上期中數(shù)學(xué)（2019人教A版）模擬檢測(cè)試題【人教A版2019】范圍：第一章～第三章一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．圓x2+yA．0,2，2 B．?2,0，4 C．2,0，2 D．2,0，4【正確答案】C【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此得到結(jié)果.【詳解】圓的方程可化為：x?22+y2=4，∴故選：C.2．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=34的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（A．y2=3C．y2=3x 【正確答案】D【分析】求出p的值，可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意可知，拋物線的開口向左，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2則p2=34，所以故選：D．3．雙曲線x2a2?y24A．1 B．2 C．3 D．6【正確答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的基本量關(guān)系求解即可.【詳解】由題意，a2+4a=3故選：B4．如圖，空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M在OA上，且OM=2MA，點(diǎn)N為A．12a?C．12a+【正確答案】B【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算，結(jié)合圖形分析可得．【詳解】因?yàn)镺M=2MA，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，所以MA=13故MN=13a故選：B．5．若兩異面直線l1與l2的方向向量分別是n1=1,0,?1，n2=A．30° B．60° C．120° D．150°【正確答案】B設(shè)異面直線l1與l2所成的角為θ，根據(jù)【詳解】由題意，兩異面直線l1與l2的方向向量分別是n1可得n1=2，n設(shè)異面直線l1與l2所成的角為θ，則又因?yàn)棣取?0°,即直線l1與l2的夾角為故選：B.6．已知直線l1:ax+2y+4=0，直線l2:x+a+1y+4=0，若l1A．2 B．22 C．32 【正確答案】C【分析】先由直線平行求得a的值，再利用平行直線間的距離公式即可得解.【詳解】因?yàn)閘1:ax+2y+4=0，l2所以a≠0，且1a=a+1則l1:?2x+2y+4=0，即x?y?2=0，所以l1與l2的距離為故選：C.7．若直線kx?y?2=0與曲線1?y?12=x?1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)kA．43,2 C．?2,?43∪【正確答案】A【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)曲線為x?12+(y?1)【詳解】由曲線1?(y?1)2=x?1又由直線kx?y?2=0，可化為y=kx?2，直線恒過定點(diǎn)P(0,?2)，作出半圓與直線的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，可得A(1,0)，所以kPA當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，可得k?3k2+1所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(4故選：A.8．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一條直線上，這條直線被稱為歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)A?1,0,B1,0,C1,1，若直線l:ax+a?3y+1=0與△ABCA．15,35 B．?15【正確答案】B【分析】由題求出歐拉線方程，即可得直線l方程，后可得交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可知其重心為?1+1+13注意到kAB=0，直線BC斜率不存在，則則其垂心為其直角頂點(diǎn)B1,0，則△ABC歐拉線方程為：y?因其與l:ax+a?3y+1=0?y=?a則l:y=2x+1，則直線l與△ABC的歐拉線的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足y=?12x+故選：B選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．若三個(gè)非零空間向量a,b,cB．若空間四個(gè)點(diǎn)P,A,B,C，PC=14C．已知a,b,c是空間的一組基底，若D．已知向量a=1,1,x，b=?3,x,9，若【正確答案】BC【分析】根據(jù)向量的概念，空間向量的基本定理，以及空間向量基底的定義和空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，若非零空間向量a,b,c滿足a對(duì)于B中，因?yàn)镻C=14PA+又因?yàn)锳C與CB有公共點(diǎn)，所以A,B,C三點(diǎn)共線，所以B正確；對(duì)于C中，由a,b,令m=xa+yb，可得所以a,對(duì)于D中，若a,b為鈍角，則a?b<0由a?b=?3+x+9x<0，解得x<310，當(dāng)時(shí)a與b當(dāng)a與b不共線得x≠?3，所以當(dāng)x<310且x≠?3時(shí)，故選：BC10．線l1:x+3y+9=0,lA．當(dāng)a>0時(shí)，l2的傾斜角的范圍是B．若l1//C．若l1⊥D．當(dāng)a=3時(shí)，l1到l2【正確答案】BCD【分析】求出直線l2的斜率范圍判斷A；由兩直線平行求出a判斷B；由兩直線垂直求出a【詳解】對(duì)于A，當(dāng)a>0時(shí)，直線l2的斜率k=2?aa=2a?1>?1當(dāng)k≥0時(shí)，l2的傾斜角α∈[0,對(duì)于B，由l1//l2，得對(duì)于C，由l1⊥l2，得對(duì)于D，當(dāng)a=3時(shí)，l1//l2，直線l2:x+3y+4=0，故選：BCD11．雙曲線C:x2?y2b2=1的左、右焦點(diǎn)分別為A．雙曲線的漸近線方程為y=±B．雙曲線的離心率為2C．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1D．△ABF2【正確答案】ABD【分析】求出雙曲線的漸近線方程，借助圓的切線求出b2【詳解】圓M:(x+2)2+y2=1的圓心M(?2,0)，半徑依題意，2|b|1+b2=1，解得雙曲線C的實(shí)半軸長(zhǎng)為1，則半焦距c=1+b2雙曲線C的右焦點(diǎn)F2(233,0)，點(diǎn)由x±3y=0(x+2)2+y2|BF2|=|AF2故選：ABD三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知直線l的方向向量為2,m,1，平面α的法向量為1,12,2，且l//α【正確答案】?【分析】根據(jù)題意，得到直線的方向向量與平面法向量互相垂直，結(jié)合向量的數(shù)量積列出方程，即可求解.【詳解】由直線l的方向向量為2,m,1，平面α的法向量為1,1因?yàn)閘//α，可得直線的方向向量與平面法向量互相垂直，所以2+1解得m=?8.故?13．已知圓C：x2+y2?4x?2y+1=0，圓C的弦AB被點(diǎn)P【正確答案】y=0【分析】先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心C2,1，由于圓C的弦AB被點(diǎn)P2,0平分，故AB⊥PC，得到【詳解】因?yàn)閳AC：x2所以化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：x?22+y?1又圓C的弦AB被點(diǎn)P2,0平分，故AB⊥PC而直線PC斜率不存在，所以kAB由于AB過點(diǎn)P2,0，故直線AB的方程為：y=0故y=0.14．已知點(diǎn)P?3,0在動(dòng)直線mx+ny?m+3n=0上的投影為點(diǎn)M，若點(diǎn)N2,3【正確答案】112/【分析】化簡(jiǎn)直線為m(x?1)+n(y?3)=0，得到恒過定點(diǎn)M'(1,3)，根據(jù)題意，得到點(diǎn)M落在以PM'為直徑的圓上，其中半徑為【詳解】由直線mx+ny?m+3n=0，可化為由方程組x?1=0y?3=0，解得x=1,y=3，可得直線恒過定點(diǎn)M則PM因?yàn)镻在動(dòng)直線mx+ny?m+3n=0上的投影為點(diǎn)M，即所以點(diǎn)M落在以PM'為直徑的圓上，其中圓的半徑為設(shè)PM'的中點(diǎn)為A，可得又因?yàn)镹2,32，可得AN=3，所以故112四．解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知直線l經(jīng)過兩條直線x+2y?5=0和3x?y?1=0的交點(diǎn).(1)若直線l與直線x?2y?3=0垂直，求直線l的方程；(2)若直線l與直線x?2y?3=0平行，求直線l的方程及此時(shí)直線l與直線x?2y?3=0的距離.【正確答案】(1)2x+y?4=0；(2)x?2y+3=0，65【分析】（1）求出兩條直線的交點(diǎn)得(1,2)，再利用直線垂直設(shè)l的方程為2x+y+C1=0（2）由直線平行設(shè)直線l的方程為x?2y+C2=0【詳解】（1）由x+2y?5=03x?y?1=0，解得x=1y=2，即直線x+2y?5=0和3x?y?1=0的交點(diǎn)為由直線l與直線x?2y?3=0垂直，設(shè)直線l的方程為2x+y+C把點(diǎn)(1,2)代入方程得2+2+C1=0所以直線l的方程為2x+y?4=0.（2）由直線l平行于直線x?2y?3=0，設(shè)直線l的方程為x?2y+C把點(diǎn)(1,2)代入方程得1?2×2+C2=0所以直線l的方程為x?2y+3=0，直線l與直線x?2y?3=0的距離d=|3?(?3)|16．（15分）已知雙曲線x2(1)若m=5，求雙曲線E的焦點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；(2)若雙曲線E的離心率e∈6,3，求實(shí)數(shù)【正確答案】(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為?3,0，3,0；頂點(diǎn)坐標(biāo)為?2,0，2,0；漸近線方程為y=±(2)20,32【分析】（1）代入m=5，求出a,b,c的值以及雙曲線焦點(diǎn)的位置，即可得出答案；（2）根據(jù)已知求出a,b,c的值，得出e=m+42，根據(jù)【詳解】（1）由已知可得，雙曲線的方程為x2所以，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且a2=4，b2所以，a=2，b=5，c=3所以，雙曲線E的焦點(diǎn)坐標(biāo)為?3,0，3,0；頂點(diǎn)坐標(biāo)為?2,0，2,0；漸近線方程為y=±（2）由已知可得，a2=4，b2所以，a=2，b=m，c=e=c因?yàn)閑∈6所以有6<m+42整理可得，24<m+4<36，解得20<m<32.17．（15分）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，AP=AB=AD=1，且直線PB與CD所成角的大小為(1)求BC的長(zhǎng)；(2)求點(diǎn)C到平面PBD的距離.【正確答案】(1)2(2)2【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出PB，利用直線PB與CD所成角的大小為π3求出BC（2）先求出平面的法向量，再根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式求出距離即可.【詳解】（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且AB⊥AD，所以建立如圖分別以AB,AD,AP為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系，則P0,0,1,B1,0,0,D0,1,0所以PB=所以cos<因?yàn)橹本€PB與CD所成角的大小為π3，所以cos即12×1+1?t2所以BC的長(zhǎng)為2；（2）由（1）知P0,0,1令平面PBD的法向量為m=x,y,z，因?yàn)樗詍?PB=0m?PD=0又CB=0,?2,0，所以所以點(diǎn)C到平面PBD的距離為2318．（17分）若圓M的方程為(x?1)2+(y?4)2=4，ΔABC中，已知A(7,2),B(4,6)（1）求AC中點(diǎn)D的軌跡方程；（2）求ΔABC面積的最小值．【正確答案】（1）(x?4)2（1）設(shè)D(x,y),C(x0,y0（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)D(x,y),C(x0,由(x0?1)即D點(diǎn)的軌跡方程為(x?4)2（2）計(jì)算得AB=5,直線AB為4x+3y?34=0點(diǎn)(1,4)到直線AB的距離d=4+12?34∴點(diǎn)C到直線AB的最小距離為185∴(本題考查了相關(guān)點(diǎn)法求點(diǎn)的軌跡方程、點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.19．（17分）如圖，已知F1?10,0，F(xiàn)210,0分別是雙曲線E(1)求E的方程．(2)過直線l：x=1上任意一點(diǎn)T作直線l1，l1與E的左、右兩支相交于A，B兩點(diǎn)，直線l1關(guān)于直線l對(duì)稱的直線為l2（與l1不重合），l2與E的左、右兩支相交于【正確答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)以及點(diǎn)P?（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程可得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解AT=1+k2x1?1【詳解】（1）由題可知a2+b2=10則E的方程為x2（2）證明：設(shè)T1,m，顯然直線l設(shè)l1的方程為y?m=kx?1，則直線l2設(shè)Ax1,y1，B聯(lián)立方程組y?m=kx?1