數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：矩估計(jì)

矩估計(jì)3.2.1矩估計(jì)的基本思想設(shè)總體X的分布為若總體X為連續(xù)型，

表示密度函數(shù).若總體X為離散型，

表示分布列.則總體X的k階原點(diǎn)矩為它們一般均為參數(shù)

的函數(shù).樣本的k階原點(diǎn)矩為根據(jù)大數(shù)定律自然想到用樣本k階原點(diǎn)矩估計(jì)相應(yīng)的總體k階原點(diǎn)矩，即用我們可以用上述想法來(lái)估計(jì)總體中的未知參數(shù)，這就是矩估計(jì)法的基本思想.矩估計(jì)法是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.皮爾遜最早提出的.其基本思想是用樣本矩估計(jì)總體矩.定義3.2.1設(shè)為一參數(shù)分布族，其中Θ為參數(shù)空間.3.2.2矩估計(jì)的定義和例子X(jué)1,X2,…,Xn是從該分布族中的某總體抽取的樣本，假設(shè)總體的k階矩αk存在有限，令取k=1,2,…,m，并讓上面的近似式改寫(xiě)成等式，得到如下方程組一矩估計(jì)的定義解此方程組，其解記為分別稱為的矩估計(jì)量，矩估計(jì)量的觀察值

分別稱為的矩估計(jì)值.在不引起混淆的情況下，統(tǒng)稱為矩估計(jì).我們也可以用樣本k階中心矩估計(jì)相應(yīng)的總體k階中心矩，即用進(jìn)一步估計(jì)未知參數(shù)，由此得到的參數(shù)估計(jì)也稱為矩估計(jì).這兩種方法得到的矩估計(jì)可能不同.若要估計(jì)的是參數(shù)的某個(gè)函數(shù)，則用去估計(jì)，由此定出的估計(jì)量稱為的矩估計(jì).矩估計(jì)的具體做法如下.矩估計(jì)方法的基本思想是利用樣本矩代替總體矩.矩估計(jì)的具體做法(1)根據(jù)未知參數(shù)的個(gè)數(shù)，求出總體的各階矩.設(shè)總體X~f(x,θ1,θ2

,…,θk

),X1,

X2,…,Xn為樣本.X

為連續(xù)型X

為離散型總體X的密度函數(shù)總體X的分布列(3)用樣本矩估計(jì)相應(yīng)的總體矩，得到

l的矩估計(jì)量(2)解方程(組)，得(4)g(

1,

,

m)的矩估計(jì)量為例3.2.1

設(shè)總體X的均值μ和方差σ2都存在，且σ2>0，但μ和σ2均未知，設(shè)X1,

X2,…,Xn是來(lái)自總體X的樣本，求總體均值μ

和總體方差

σ2的矩估計(jì)量.解：第一步：求總體的一階矩和二階矩第二步：解方程組二矩估計(jì)的例子第三步：分別以A1,A2代替α1,α2得到μ,σ2的矩估計(jì)量分別為說(shuō)明：總體均值的矩估計(jì)是樣本均值，總體方差的矩估計(jì)不是樣本方差而是樣本二階中心矩.設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，由例3.2.1可以推出如下幾個(gè)結(jié)論：(1)設(shè)總體X~B(1,p)，其中

0<p<1，為未知參數(shù)，因此p的矩估計(jì)為(2)設(shè)總體X~B(N,p)，其中N，p(0<p<1)

為未知參數(shù)，因?yàn)榱蟹匠探M解得N，p

的矩估計(jì)為(3)設(shè)總體X~P(

)，其中

>0為未知參數(shù)，因?yàn)橐虼?/p>

的矩估計(jì)為或者說(shuō)明：一個(gè)參數(shù)

有兩個(gè)不同的矩估計(jì)，實(shí)際中，在用矩估計(jì)法求參數(shù)估計(jì)時(shí)一般選用低階矩.本例中，選用作為參數(shù)

的矩估計(jì).(4)設(shè)總體X~U[

1,

2

],其中

1<

2

均為未知參數(shù)，因?yàn)榱蟹匠探M得到

1,

2

的矩估計(jì)為(5)設(shè)總體X~N(μ,

σ2)，其中-∞<μ<∞,σ2>0均為未知參數(shù)，因?yàn)榈玫?/p>

μ,

σ2的矩估計(jì)為解：

(1)第一步：求總體的一階矩例3.2.2設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，且總體X的密度函數(shù)為其中

>?1是未知參數(shù)，求(1)參數(shù)

的矩估計(jì)；(2)g(

)=(

+1)/

的矩估計(jì).第二步：解方程第三步：用

代替μ1，得

的矩估計(jì)為(2)用

代替

，得g(

)=(

+1)/

的矩估計(jì)為解：

(1)第一步：求總體均值和總體方差分別為例3.2.3設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自伽瑪分布的一個(gè)樣本，且密度函數(shù)為其中α>0,

>0是未知參數(shù)，求參數(shù)α

和

的矩估計(jì).第二步：令第三步：

解得

α

和

的矩估計(jì)分別為解：記例3.2.4設(shè)(X1,Y1),(X2,Y2),…,(Xn,Yn)

是來(lái)自二維總體(X,Y)的樣本，

求X與Y的相關(guān)系數(shù)

XY的矩估計(jì).且當(dāng)n充分大時(shí)，有因此相關(guān)系數(shù)

XY的矩估計(jì)為因?yàn)槔?.2.5甲乙兩個(gè)校對(duì)員彼此獨(dú)立對(duì)同一本書(shū)的樣稿進(jìn)行校對(duì)，校完后，甲發(fā)現(xiàn)a個(gè)錯(cuò)字，乙發(fā)現(xiàn)b個(gè)錯(cuò)字，其中共同發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)字有c個(gè)，試用矩估計(jì)法對(duì)如下兩個(gè)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)(1)該書(shū)樣稿的總錯(cuò)字個(gè)數(shù)；(2)未被發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)字?jǐn)?shù).解:(1)設(shè)該書(shū)樣稿中總錯(cuò)字個(gè)數(shù)為

甲校對(duì)員識(shí)別出錯(cuò)字的概率為p1乙校對(duì)員識(shí)別出錯(cuò)字的概率為p2由于甲乙是彼此獨(dú)立的進(jìn)行校對(duì)，則同一錯(cuò)字能被甲乙同時(shí)識(shí)別的概率為p1p2解得由頻率替換思想，得到由獨(dú)立性，得矩估計(jì)方程(2)未被發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)字?jǐn)?shù)的估計(jì)等于總錯(cuò)字?jǐn)?shù)的估計(jì)減去甲乙發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)字?jǐn)?shù)，即若設(shè)a=120,b=124,c=80,則該書(shū)樣稿中錯(cuò)字總數(shù)的矩估計(jì)為未被發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)字個(gè)數(shù)的矩估為例如：186－120－124＋80=22個(gè)例3.2.6設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的樣本，且X的密度函數(shù)為求

1,

2的矩估計(jì).其中

1,

2為未知參數(shù)，且-1<

1<∞,

2>0.解:由于分別以A1,A2代替α1，α2，本例說(shuō)明不是所有的矩估計(jì)都有解析表達(dá)式.在實(shí)際問(wèn)題中，給不出矩估計(jì)量的解析表達(dá)式是常見(jiàn)的情形.其解就是

1,

2的矩估計(jì)，但是此處得不出矩估計(jì)的簡(jiǎn)單解析表達(dá)式，而只能用數(shù)值方法.注1：矩估計(jì)對(duì)總體分布的假定少，只需要總體相應(yīng)的各階矩存在，故可視其為非參數(shù)方法.注2：不適用情況:矩估計(jì)方法要求