2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第五章 三角函數(shù) 5.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（4）說課稿 新人教A版必修第一冊

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（4）說課稿新人教A版必修第一冊一、教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容為新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（4），涉及人教A版必修第一冊的相關(guān)內(nèi)容。主要包括正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及三角函數(shù)周期性的概念和證明。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的基本圖像和性質(zhì)，并能夠運用周期性概念解決實際問題。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)

本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和直觀想象等核心素養(yǎng)。通過分析三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，學(xué)生能夠提升數(shù)學(xué)抽象能力，理解函數(shù)概念；通過探究三角函數(shù)周期性，鍛煉邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力；通過繪制和觀察函數(shù)圖像，增強直觀想象能力。此外，通過實際問題解決，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。三、學(xué)習(xí)者分析

1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識：

學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，已經(jīng)掌握了高中數(shù)學(xué)中關(guān)于函數(shù)的基本概念，包括函數(shù)的定義、性質(zhì)以及函數(shù)圖像的基本繪制方法。此外，學(xué)生對一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本函數(shù)的圖像與性質(zhì)有一定的了解，這為學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣程度不一，部分學(xué)生對三角函數(shù)較為感興趣，因為他們發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)在自然界和工程領(lǐng)域的應(yīng)用廣泛。學(xué)生的學(xué)習(xí)能力方面，部分學(xué)生具備較強的邏輯思維和空間想象能力，能夠快速理解函數(shù)圖像的變化規(guī)律。而在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，學(xué)生既有偏好于通過直觀圖像理解函數(shù)性質(zhì)的，也有偏好于通過公式推導(dǎo)來掌握知識的學(xué)生。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)時，可能會遇到以下困難和挑戰(zhàn)：一是對周期性的理解不夠深入，難以把握周期函數(shù)的特點；二是圖像變換的規(guī)律掌握不牢固，導(dǎo)致圖像繪制不準(zhǔn)確；三是將三角函數(shù)應(yīng)用于實際問題解決時，缺乏實際情境的聯(lián)想和建模能力。針對這些困難，教師需要通過多樣化的教學(xué)方法和練習(xí)設(shè)計，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)障礙。四、教學(xué)資源準(zhǔn)備

1.教材：確保每位學(xué)生都具備人教A版必修第一冊數(shù)學(xué)教材，以便學(xué)生能夠跟隨教材內(nèi)容學(xué)習(xí)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像示例圖片，周期性變化演示視頻，以及相關(guān)的圖表和數(shù)學(xué)軟件截圖，以幫助學(xué)生直觀理解函數(shù)性質(zhì)。

3.教學(xué)軟件：利用數(shù)學(xué)教學(xué)軟件如GeoGebra等，為學(xué)生提供動態(tài)繪制函數(shù)圖像的工具，便于觀察函數(shù)圖像的變化。

4.教室布置：設(shè)置黑板或白板，用于展示關(guān)鍵圖像和公式，并預(yù)留空間供學(xué)生分組討論和展示學(xué)習(xí)成果。五、教學(xué)過程

一、導(dǎo)入新課

（教師）同學(xué)們，我們之前學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基本概念和圖像，今天我們將繼續(xù)深入探討三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，特別是正弦、余弦和正切函數(shù)的圖像特征。請大家回顧一下，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些三角函數(shù)的性質(zhì)？

（學(xué)生）老師，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期性、奇偶性和對稱性。

（教師）很好，那么今天我們將重點關(guān)注這三個函數(shù)的圖像特征，尤其是它們的周期性和對稱性。首先，讓我們來看一下正弦函數(shù)的圖像。

二、正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

（教師）同學(xué)們，正弦函數(shù)的圖像是怎樣的呢？我們知道，正弦函數(shù)的周期是$2\pi$，這意味著函數(shù)圖像每隔$2\pi$個單位長度就會重復(fù)一次。現(xiàn)在，請同學(xué)們打開教材，找到正弦函數(shù)的圖像，觀察一下它的形狀和特點。

（學(xué)生）老師，正弦函數(shù)的圖像是一個波浪形的曲線，它在y軸的正半軸和負(fù)半軸之間交替。

（教師）非常好，正弦函數(shù)的圖像具有周期性和對稱性。它的周期是$2\pi$，這意味著圖像每隔$2\pi$個單位長度就會重復(fù)。同時，正弦函數(shù)是偶函數(shù)，即圖像關(guān)于y軸對稱。

（教師）接下來，我們通過一個實際例子來加深對正弦函數(shù)圖像的理解。假設(shè)我們有一個正弦波形的振動，其頻率為1Hz，振幅為5cm，請問這個波形在5秒內(nèi)的振動次數(shù)是多少？

（學(xué)生）老師，振動次數(shù)等于頻率乘以時間，所以是1Hz乘以5秒，等于5次。

（教師）很好，這個例子展示了正弦函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用?，F(xiàn)在，請同學(xué)們在練習(xí)本上繪制一個周期為$2\pi$，振幅為1的正弦函數(shù)圖像，并標(biāo)注出它的周期和對稱軸。

三、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

（教師）接下來，我們來探討余弦函數(shù)的圖像。與正弦函數(shù)類似，余弦函數(shù)也是一個周期函數(shù)，其周期也是$2\pi$。但是，余弦函數(shù)的圖像與正弦函數(shù)的圖像有何不同呢？

（學(xué)生）老師，余弦函數(shù)的圖像比正弦函數(shù)的圖像向右平移了$\pi/2$個單位。

（教師）正確。余弦函數(shù)的圖像是正弦函數(shù)圖像向右平移$\pi/2$個單位得到的。這意味著余弦函數(shù)在$x=\pi/2$時取得最小值，而在$x=-\pi/2$時取得最大值。

（教師）現(xiàn)在，讓我們通過一個實驗來觀察余弦函數(shù)的圖像。請同學(xué)們拿出你的數(shù)學(xué)軟件，比如GeoGebra，輸入余弦函數(shù)的公式，觀察并記錄下函數(shù)圖像的特點。

（學(xué)生）老師，我發(fā)現(xiàn)余弦函數(shù)的圖像也是波浪形的，但是它的起始點在x軸的正半軸上。

（教師）很好，余弦函數(shù)的圖像與正弦函數(shù)的圖像非常相似，只是它們的起始點不同?，F(xiàn)在，請同學(xué)們在練習(xí)本上繪制一個周期為$2\pi$，振幅為2的余弦函數(shù)圖像，并標(biāo)注出它的周期和對稱軸。

四、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

（教師）正切函數(shù)是另一個周期函數(shù)，它的周期是$\pi$。與正弦和余弦函數(shù)不同，正切函數(shù)的圖像有垂直漸近線。請大家觀察正切函數(shù)的圖像，思考一下它的周期性和漸近線。

（學(xué)生）老師，正切函數(shù)的圖像是波浪形的，但是它有無數(shù)個垂直漸近線，這些漸近線發(fā)生在$x$的奇數(shù)倍$\pi/2$處。

（教師）正確。正切函數(shù)的圖像在$x$的奇數(shù)倍$\pi/2$處有垂直漸近線，這意味著函數(shù)在這些點附近是不連續(xù)的。現(xiàn)在，請同學(xué)們在練習(xí)本上繪制一個周期為$\pi$，振幅為1的正切函數(shù)圖像，并標(biāo)注出它的周期、漸近線和對稱軸。

五、周期性的概念和證明

（教師）同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦、余弦和正切函數(shù)的周期性。那么，什么是周期性呢？周期性是指函數(shù)圖像在某個固定的距離后重復(fù)出現(xiàn)。接下來，我們將證明正弦函數(shù)的周期性。

（學(xué)生）老師，我想知道如何證明正弦函數(shù)的周期性。

（教師）很好，證明周期性的方法之一是使用三角恒等式。我們知道，正弦函數(shù)滿足以下恒等式：$\sin(\theta+2\pi)=\sin(\theta)$。這個恒等式告訴我們，正弦函數(shù)在增加$2\pi$后，其值不變，因此正弦函數(shù)的周期是$2\pi$。

（教師）現(xiàn)在，請同學(xué)們在練習(xí)本上用三角恒等式證明正弦函數(shù)的周期性。

（學(xué)生）老師，我明白了，正弦函數(shù)的周期性可以通過這個恒等式來證明。

六、應(yīng)用與練習(xí)

（教師）同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦、余弦和正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及它們的周期性?，F(xiàn)在，讓我們通過一些實際問題來鞏固所學(xué)知識。

（學(xué)生）老師，我想要練習(xí)一下如何將三角函數(shù)應(yīng)用于實際問題。

（教師）很好，這里有一個實際問題：一個彈簧振子的位移隨時間變化的函數(shù)是$y=5\sin(2\pit)$，其中$t$是時間（秒）。請問，振子的最大位移是多少？它的周期是多少？

（學(xué)生）老師，根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，振子的最大位移是5cm，周期是1秒。

（教師）正確。這個例子展示了三角函數(shù)在描述物理現(xiàn)象中的應(yīng)用?，F(xiàn)在，請同學(xué)們在練習(xí)本上完成以下練習(xí)題：

1.繪制正弦函數(shù)$y=\sin(2x)$的圖像，并標(biāo)注出它的周期和對稱軸。

2.繪制余弦函數(shù)$y=\cos(x+\pi/4)$的圖像，并標(biāo)注出它的周期和對稱軸。

3.繪制正切函數(shù)$y=\tan(3x-\pi/6)$的圖像，并標(biāo)注出它的周期和漸近線。

七、課堂小結(jié)

（教師）同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了正弦、余弦和正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及它們的周期性。我們通過觀察圖像、使用三角恒等式和解決實際問題來加深對這些概念的理解。希望大家能夠?qū)⑦@些知識應(yīng)用到日常生活中，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（學(xué)生）老師，今天的學(xué)習(xí)讓我對三角函數(shù)有了更深入的了解，謝謝老師！

（教師）不客氣，同學(xué)們，希望你們能夠繼續(xù)努力，不斷探索數(shù)學(xué)的奧秘。下課！六、教學(xué)資源拓展

1.拓展資源：

-三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用：介紹三角函數(shù)在振動、波動和流體力學(xué)中的角色，如簡諧振動、聲波傳播和流體動力學(xué)中的波動方程。

-三角函數(shù)在工程學(xué)中的應(yīng)用：探討三角函數(shù)在信號處理、電路分析和結(jié)構(gòu)力學(xué)中的重要性，如傅里葉變換和振動分析。

-三角函數(shù)在計算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用：介紹三角函數(shù)在圖形學(xué)、圖像處理和計算機(jī)圖形學(xué)中的使用，如坐標(biāo)變換和圖像的幾何變換。

-三角函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用：討論三角函數(shù)在時間序列分析、經(jīng)濟(jì)預(yù)測和金融數(shù)學(xué)中的運用，如周期性經(jīng)濟(jì)波動和金融衍生品定價。

2.拓展建議：

-閱讀相關(guān)書籍：《數(shù)學(xué)與物理的橋梁》、《工程數(shù)學(xué)》和《數(shù)學(xué)在計算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用》等書籍，以了解三角函數(shù)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用。

-觀看教育視頻：通過在線教育平臺觀看關(guān)于三角函數(shù)在物理、工程和計算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用的視頻教程，如KhanAcademy、Coursera等提供的課程。

-實踐項目：鼓勵學(xué)生參與實際項目，如設(shè)計一個簡單的振動分析系統(tǒng)，使用三角函數(shù)來模擬和預(yù)測振動的行為。

-制作教學(xué)工具：學(xué)生可以嘗試制作一個簡單的三角函數(shù)圖像生成器，使用計算機(jī)編程語言如Python或MATLAB來實現(xiàn)。

-參與數(shù)學(xué)競賽：鼓勵學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，如美國數(shù)學(xué)競賽（AMC）或國際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO），這些競賽通常包含與三角函數(shù)相關(guān)的題目。

-探索數(shù)學(xué)歷史：研究三角函數(shù)的歷史發(fā)展，了解歷史上著名的數(shù)學(xué)家對三角函數(shù)的貢獻(xiàn)，如歐幾里得、阿基米德和牛頓等。

-開展小組研究：組織學(xué)生進(jìn)行小組研究，探討三角函數(shù)在特定領(lǐng)域的應(yīng)用，如音樂理論中的音調(diào)分析或建筑設(shè)計中的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。

-創(chuàng)作數(shù)學(xué)論文：指導(dǎo)學(xué)生撰寫關(guān)于三角函數(shù)在某個特定領(lǐng)域應(yīng)用的論文，通過文獻(xiàn)綜述和案例分析來展示他們的研究成果。七、教學(xué)反思與總結(jié)

同學(xué)們，今天我們一起探討了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，這節(jié)課讓我收獲頗豐，同時也讓我對教學(xué)有了更深的思考。

首先，我覺得在教學(xué)方法上，我嘗試了多種教學(xué)手段，比如通過圖像展示、實際案例分析和小組討論等方式，來幫助學(xué)生更好地理解和掌握三角函數(shù)的性質(zhì)。我發(fā)現(xiàn)，這種方法對于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與度非常有效。學(xué)生們在討論和實踐中，能夠更加主動地去探索和發(fā)現(xiàn)知識，而不是被動地接受。

在教學(xué)策略上，我注重了知識的連貫性和實用性。比如，在講解正弦、余弦和正切函數(shù)的周期性時，我不僅介紹了理論，還結(jié)合了實際生活中的例子，如彈簧振子的振動和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期性。這樣的教學(xué)策略讓學(xué)生們更容易理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

然而，在教學(xué)管理方面，我也發(fā)現(xiàn)了一些不足。比如，在小組討論環(huán)節(jié)，個別學(xué)生參與度不高，這可能是因為他們對數(shù)學(xué)本身就不太感興趣，或者是因為他們不習(xí)慣于在課堂上表達(dá)自己的觀點。針對這個問題，我將在今后的教學(xué)中更加關(guān)注學(xué)生的個體差異，嘗試提供更多的個性化學(xué)習(xí)支持。

對于本節(jié)課的教學(xué)效果，我覺得整體上是滿意的。大部分學(xué)生能夠準(zhǔn)確地繪制三角函數(shù)的圖像，并能描述出它們的周期性、奇偶性和對稱性。在解決實際問題的部分，學(xué)生們也能夠運用所學(xué)知識來分析和解決簡單的物理問題。

當(dāng)然，也有一些學(xué)生在這方面的掌握還不夠扎實，特別是在理解和應(yīng)用周期性概念時。對于這部分學(xué)生，我會在課后進(jìn)行個別輔導(dǎo)，幫助他們鞏固基礎(chǔ)知識。

在教學(xué)總結(jié)方面，我認(rèn)為以下幾點是值得肯定的：

1.學(xué)生們對三角函數(shù)的性質(zhì)有了更深入的理解，能夠靈活運用這些性質(zhì)來解決實際問題。

2.學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維能力得到了提升，他們在觀察、分析和推理方面有了明顯的進(jìn)步。

3.學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣和參與度有所提高，他們在課堂上更加積極和主動。

當(dāng)然，也存在一些問題需要改進(jìn)：

1.部分學(xué)生對于數(shù)學(xué)的興趣不高，需要教師采取更多元化的教學(xué)方法來激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。

2.在教學(xué)過程中，需要更加注重學(xué)生的個體差異，提供更加個性化的學(xué)習(xí)支持。

3.需要加強對學(xué)生解決問題的能力的培養(yǎng)，讓他們能夠在實際情境中靈活運用所學(xué)知識。八、板書設(shè)計

①本文重點知識點：

-正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義

-三角函數(shù)的周期性

-三角函數(shù)的奇偶性

-三角函數(shù)的對稱性

-三角函數(shù)的圖像繪制方法

②關(guān)鍵詞：

-周期（Period）

-奇偶性（Odd/Even）

-對稱性（Symmetry）