高考數學專項復習：立體幾何之外接球問題中常見的8種模型（學生版）

立體幾何專題:外接球問題中常見的8種模型

一、墻角模型

適用范圍：3組或3條棱兩兩垂直;可在長方體中畫出該圖且各頂點與長方體的頂點重合

直接用公式（2田2=.2+/+°2,即2R=衣的/，求出R

MlM2MJM4

【補充】圖1為陽馬，圖2和圖4為鱉腌

二、麻花模型

適用范圍:對棱相等相等的三棱錐

對棱相等指四面體的三組對棱分別對應相等,且這三組對棱構成長方體的三組對面的對角線。

推導過程:三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等,（AB=CD,AD=BC,AC=BD）

第一步：畫出一個長方體,標出三組互為異面直線的對棱;

第二步:設出長方體的長寬高分別為Q,b,C,

AD=BC=x,AB=CD=y,74c=BZ)=z,列方程組,

(Z2+&2=X22.2.2

222222

b+c=/n(27?)=O+6+C=+Z

c2+a2=z22

補充：V_=abc-占abcX4=~^~abc

ABCD63

x2+y2+z2

第三步:根據墻角模型，2R=Va2+b2+c2=

2

x2+y2+z2/+y+z2,求出R

&=,R=

8o

三、垂面模型

?1?

適用范圍:有一條棱垂直于底面的棱錐。

推導過程，

第一步:將ABC畫在小圓面上，人為小圓直徑的一個端點，

作小圓的直徑AD,連接PD,則PD必過球心。

第二步：Oi為ABC的外心，所以00」平面4BC,

算出小圓Q的半徑OQ=r

（三角形的外接圓直徑算法:利用正弦定理施=七=高念=2r）,

OOTPA.

第三步:利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑:

22

⑴（2A）2=P4+（2402R=y/PA+（2r）；

（2）&=產+。。；=R=7r2+OOt

公式:

4

四、切瓜模型

適用范圍:有兩個平面互相垂直的棱錐

推導過程:分別在兩個互相垂直的平面上取外心。1、。2過兩個外心做兩個垂面的垂線，

兩條垂線的交點即為球心0,取8。的中點為

連接OO1、。。2、。2夙。田為矩形

2222222

由勾股可得|OC|=|O2C|+|OO2|=|O2C\+1OjCl-1CE|.'.7?=ri+r-2-Y

公式:/=r?4*—￡

4

五、斗笠模型

適用于:頂點的投影在底面的外心上的棱錐

?2?

推導過程:取底面的外心01，連接頂點與外心，該線為空間幾何體的高區(qū)在人上取一點作為

球心0,根據勾股定理&=仇-五＞+產=R=胃匕

公式：R=強

六、矩形模型

適用范圍:兩個直角三角形的斜邊為同一邊，則該邊為球的直徑

推導過程：圖中兩個直角三角形bPAB和,其中AAPB=ZAQB=90°,求外接圓半徑

取斜邊的中點O,連接OP,OQ,則OP=^AB=OA=OB=OQ

所以。點即為球心，然后在AFOQ中解出半徑R

公式:用=居）也為斜邊長度）

七、折疊模型

適用范圍:兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊.

?3?

推導過程:兩個全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折疊,

設折疊的二面角ZAEC=a,CE=AE=h.

如圖，作左圖的二面角剖面圖如右圖：

Hi和可分別為/^CD,/\ABD外心,

分別過這兩個外心做這兩個平面的垂線且垂線相交于球心O

CHi=r=.,EH=h-r,0Hl=(h-r)tan-^-

2sinZ±>GlJX2

由勾股定理可得：&=。。2=。朋+況=/+(/i-r)2tan2-^.

公式:圮=，+(h—r)%!!?

八、鱷魚模型

適用范圍：所有二面角構成的棱錐,普通三棱錐

方法:找兩面外接圓圓心到交線的距離小,期找二面角a,找面面交線長度I

推導過程:取二面角兩平面的外心分別為01,5并過兩外心作這兩個面的垂線，

兩垂線相交于球心。，取二面角兩平面的交線中點為E,

則0,01,區(qū)。2四點共圓，由正弦定理得：|OE|=2r=坦用①

sma

在AO1O2區(qū)中，由余弦定理得：|。1七『+|02回2_2QIE||O2?COSQ②

由勾股定理得：\OD\2=QQF+|OQ|2③

由①②③整理得:

2

\OD\=QQ『+QQF=。劇2To固2+QQ『

)\2TQEF+QQ|2

sina

IQEF+IQ固22QiE||5E|cosa一|OM+|OQF

sin2a

?4?

20E\2-2\O,E\OE

_|<9^1+12I2Icosa—I。畫2+。歸|2

一.2

smcn

記\OXE\=m,\O2E\=n,\AB\=I,

則N=2771rzeosa

sin2a

公式.用=m2+n2-2mncosflf

sin2a

2?？碱}型/

題型1墻角模型題型5斗笠模型

題型2麻花模型題型6矩形模型

題型3垂面模型題型7折疊模型

題型4切瓜模型題型8鱷魚模型

題型一:墻角模型

的1（2023?高一單元測試）三棱錐A-BCD中，AD，平面BCD,DC_LBD,2AD=BD=DC=2,則該三

棱錐的外接球表面積為（）

A.-yB.-yC.9兀D.36元

跟蹤訓練［1.（2022秋?陜西西安?高一統考期末）在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之

為鱉麻已知在鱉席A—BCD中，滿足AB_L平面BCD,且AB=BD=5,BC=3,CD=4,則此鱉腌外

接球的表面積為（）

A.25元B.50兀C.1007TD.200兀

跟蹤訓練？.」（2023.高一課時練習）《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早1000多

年.在《九章算術》中，將底面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖P—ABCD是陽馬，

上4，平面人36,已4=5,人8=3,6。=4.則該陽馬的外接球的表面積為（）

?5?

p

/4>-\---

A.125gB.50兀C.lOOrcD.至警

oo

跟蹤訓練3.!（2023?廣西南寧?統考二模）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉腌，在

鱉膈A-BCD中，AB，平面BCD,CD，AD,AB==方,已知動點E從。點出發(fā),沿外表面經過

棱AD上一點到點B的最短距離為V10，則該棱錐的外接球的體積為.

跟蹤訓練4.“2023春?遼寧朝陽?高二北票市高級中學?？茧A段練習）己知四棱錐P-ABCD的外接球。的

表面積為647r,PA±平面ABCD,且底面ABCD為矩形，P4=4,設點河在球。的表面上運動，則四棱

錐M-ABCD體積的最大值為.

題型二：麻花模型:

網］1（2023春?廣東梅州?高二統考期中）己知三棱錐S—ABC的四個頂點都在球O的球面上，且SA=BC=

2,SB=AC=J7,SC=AB=〃K，則球。的體積是（）

A8_口32?小42D.也K

,33,33

----------------------------------------------------------------------------------------------------

跟蹤訓練1.1（2022春.江西景德鎮(zhèn).高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┰凇鰽BC中，AB=4C=2,cos4=4■，將

△48。繞旋轉至△BCD的位置，使得AD=2,如圖所示，則三棱錐?！狝BC外接球的體積為

B

,6,

跟蹤訓練2.」（2023秋?吉林?高一吉林一中校考階段練習）如圖，在△ABC中，AB=2BC=2，m,AC=

2V13,D,E,F分別為三邊中點，將△BOE,A4DF,Z\CEF分別沿向上折起，使A,B,。重合

為點P,則三棱錐P—DEF的外接球表面積為（）

A.[■兀B.7《I，兀C.14兀D.56兀

/O

跟蹤訓練3.（2023?江西?統考模擬預測）在三棱錐P—ABC中，已知P4=BC=2/*,AC=BP=@,

CP=AB=須，則三棱錐P—ABC外接球的表面積為（）

A.77兀B.64兀C.108兀D.727t

跟蹤訓練4.）（2022?全國?高三專題練習）已知四面體ABCD的棱長滿足AB=AC=BD=CD=2,BC=

AD=1,現將四面體ABCD放入一個軸截面為等邊三角形的圓錐中，使得四面體ABCD可以在圓錐中任

意轉動,則圓錐側面積的最小值為.

題型三：垂面模型

刷]（2023?高一單元測試）在三棱錐P-ABC中，P4，平面ABC,PA=6,BC=3,ACAB=y，則三棱

錐P—ABC的外接球半徑為（）

A.3B.2V3C.3V2D.6

跟蹤訓練L」（2。23?全國?高一專題練習）已知A,B,C,。在球。的表面上，△ABC為等邊三角形且邊長

為3,平面AB。，AD=2,則球。的表面積為（）

A.4兀B.8nC.16兀D.32兀

跟蹤訓練2.（2020春?天津寧河?高一?？计谀┰谌忮FP—ABC中，4P=2,AB=瓜,PA±面ABC,

且在△ABC中，。=60°,則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.等B.8nC.10TTD.12兀

O

跟蹤訓練3.」（2023?全國?高一專題練習）已知力，B,C,。在球。的表面上，△力BC為等邊三角形且其面積

為"ADL平面AB。，AD=2,則球。的表面積為（）

4

A.7iB.2兀C.4兀D.8兀

跟蹤訓練4.；（2022春.山東聊城.高一山東聊城一中?？茧A段練習）在四棱錐P—4BC。中，PAL平面

?7?

ABCD,四邊形ABCD為矩形，BC=2，PC與平面PAB所成的角為30°,則該四棱錐外接球的體積為

)

4V3

A.B.4岳

8V2D.哈

兀O

題型四：切瓜模型:

@]_￡（2023?貴州貴陽?校聯考模擬預測）在三棱錐4—38中，己知力。，3。,4。=日7=2,人。=80=

血,且平面平面ABC,則三棱錐A—BCD的外接球表面積為（）

A.8兀B.9兀C.107TD.127r

跟蹤訓練1.J（2023?四川達州?統考二模）三棱錐A-BCD的所有頂點都在球。的表面上,平面ABD±平

面BCD,4B=AD=述，AB_LAD,/BDC=2/DBC=60°,則球。的體積為（）

A.4V3TTB.等C.等D.32/兀

OO

跟蹤訓練2.J（2023春?陜西西安?高一長安一中?？计谥校┰谥比庵鵄BC—AB?中，ABLBC,AB=

BC=A4=4,點P為BiG的中點，則四面體PABC的外接球的體積為（）

A41V4141V41小41V41n川/TT

A..---兀BR.---兀C.---兀D.41/41兀

632

跟蹤訓練：3.（2022.高一單元測試）四棱錐P—ABCD的頂點都在球。的表面上，△H4。是等邊三角形，底

面ABCD是矩形，平面PAD,平面ABCD,若AB=2,BC=3,則球。的表面積為（）

A.12兀B.16nC.20kD.32兀

跟蹤訓練]4/（2021.高一課時練習）在四棱錐P-ABCD中，平面PAD±平面ABCD,且ABCD為矩形,

乙DP4=1,4D=2通,4B=2,PA=P。，則四棱錐P—ABCD的外接球的體積為（）

?8?

16口32c64n1汽

AA.—-7UB.-r-7TC.-T-7CD.16兀

ooo

跟晾訓I練「5.：（2023春.全國?高一專題練習）在四棱錐P—ABCD中,ABCD是邊長為2的正方形,AP=

PD=4"平面PAD，平面ABCD,則四棱錐P—ABCD外接球的表面積為（）

A.4兀B.8兀C.嚕^D.警

題型五：斗笠模型;

血11（2023?全國?高一專題練習）正四面體S-ABC內接于一個半徑為R的球,則該正四面體的棱長與這個

球的半徑的比值為（）

A.乎B.WC.D.V3

433

跟蹤訓練1J（2022.高一專題練習）已知正四棱錐P-ABCD（底面四邊形ABCD是正方形，頂點P在底面

的射影是底面的中心）的各頂點都在同一球面上,底面正方形的邊長為溝,若該正四棱錐的體積為空,

O

則此球的體積為（）

A.18兀B.8V67TC.36兀D.32二兀

跟晾訓練[2.]（2022?全國?高一專題練習）某四棱錐的底面為正方形，頂點在底面的射影為正方形中心，該四

棱錐內有一個半徑為1的球，則該四棱錐的表面積最小值是（）

A.16B.8C.32D.24

跟蹤訓練3.J（2022春?安徽?高三校聯考階段練習）在三棱錐P-ABC中，側棱PA==PC=6方，

乙民4。=耳，3。=22,則此三棱錐外接球的表面積為

4----------

題型六:矩形模型1

四1（2022春?全國?高一期末）已知三棱錐A—BCD中，CD=272,BC=AC=BD=AD=2,則此幾何體

外接球的表面積為（）

A.乂算B.27rC.警^D.87r

OO

跟蹤訓練1J（2022春?廣東惠州?高一校考期中）在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,現將△ABC沿對角線

AC翻折，得到四面體則該四面體外接球的體積為（）

跟蹤訓練2.（2022春.河北滄州?高一校考階段練習）矩形ABCD中，AB=4,=3,沿AC將三角形

ABC折起,得到的四面體A—BCD的體積的最大時，則此四面體外接球的表面積值為（）

?9?

A.25nB.30nC.36nD.100兀

跟蹤訓I練（2022春.四川成都.高一統考期末）在矩形ABCD中，=6,人。=8,將△4BC沿對角線

AC折起，則三棱錐B—的外接球的表面積為（）

A.36兀B.64兀

C.1007UD.與二面角B—A。一。的大小有關

題型七：折疊模型（

四]（2022春?陜西西安?高一長安一中?？计谀┮阎庑蜛BCD的邊長為3,AABC=60°,沿對角線AC折

成一個四面體，使平面ACD垂直平面ABC,則經過這個四面體所有頂點的球的體積為（）.

A.考無nB.6兀C.54K兀D.12兀

跟蹤訓練1J已知等邊AABC的邊長為2,將其沿邊AB旋轉到如圖所示的位置,且二面角C—AB—C'為

60°,則三棱錐C'-4BC外接球的半徑為

跟蹤訓練2.j（2023?廣西南寧?統考二模）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外

包皮革、內飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似今日的足球，現已知某“鞠”的

表面上有四個點滿足48=3。=。0=。人=。3=警^111,人。=2，^111,則該“鞠”的表面

積為cm2.

跟晾訓I練3.（2022秋?福建泉州?高三校考開學考試）在三棱錐S-ABC中，SA=SB=AC=BC=2,SC

=L二面角S-AB-C的大小為60°,則三棱錐S-ABC的外接球的表面積為.

跟蹤訓I練4.]（2022秋.山東德州.高二統考期中）已知在三棱錐中，S—4BO中，BA=BC=2,

SA=SC=2四,二面角B—AC—S的大小為萼，則三棱錐S—ABC的外接球的表面積為（）

O

.10.

C1057r124兀

9

題型八：鱷魚模型看

網11（2022春?四川成都?高一樹德中學?？计谀┮阎谌忮FS-ABC中，ABLBC,AB=BC=2,SA

=SC=22,二面角B—AC—S的大小為野，則三棱錐S—ABC的外接球的表面積為（）